Chương IV GIỚI HẠN A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §1 DAY CO GIGI HAN Định nghĩa dãy số giới han Định nghĩa: Ta nói dãy số (u,) cớ giới hạn (hay có giới hạn 0) số hạng dãy có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết lim (u,) = 0, viết tắt lim(u,) = limu, = u,—>0 noo Nhận xét: Dãy số (u,) có giới hạn day số 6) có giới hạn Một số dãy số có giới hạn thường gặp Sử dụng định nghĩa, người ta chứng minh 1 a lim— =0; lim—— n =0, lim— Nói rộng lim ir Vn =0, = (k số nguyên dương cho trước); n b Dãy không đổi (u,), với u„ = có giới hạn 0.; c Néu Iq! < I limq" = Các bạn sử dụng kết làm mà chứng minh Thí dụ a lim + 3n b lim = ñm 2] =0, nh = im( 3) , _ Dinh ly: Cho hai day số (u,) (v„) Nếu lu, tev, i (-5)" = im( -2 Z 5, _=0,c) lim > rn mv, = = limu, = Thí dụ Ching minh lim S222*) ~ o, Loi giai Ta có: HN HH L Thí dụ Chứng minh: a lim 3.2" n n -(1) =3; n (c 1a hang sé) Loi giai = im(-2) a Ta có Gan b Ta có lim [re | sin mn Ye c lim =4 fn c lim(u,) = c véi u, = Ta có b lim sin tn + 4Vn Ya < — _ =0lim——— =0 206 Tn : lim sinn + 4Ÿ/n Vn = (đpcm) c Ta có lim(u„— c) = Íin(c — c) = lim0 = © lim(u,) = c (đpcm) Một số định lý Định lý I: Giả sử lim u, = L Khi d6 a limlu,| = ILI lim‡ƒu„ =WL b Nếu u,> với n L > lim./u„ =XL Dinh ly 2: Gia str lim u, = L, lim v, = M vac la hang s6 Khi a dãy s6 (u, + v,), (u,—V,), (U,-V,), (c.u,) có giới han e lim(u, + V,)=L+M e lim(u,— v,) =L-M e lim(u,.v„) =L.M e lim(c.u,) =c.L b Nếu M #0 dãy số [>2 Vv 154 n có giới hạn lim R V n =+M =0 Định lý 3: (Định lý kẹp giới hạn) Cho ba dãy số (v,), (u,), (w,) số thực L Nếu với n ta có | Dinh ly 4: Vv, a su, sw (u,) có giới hạn va limu, = L n limv, =limw, = (Vai-o-xto-rat-xo) a Day số tăng va bi chặn có giới hạn b Day số giảm va bị chặn có giới hạn Kết đáng nhớ a i + on | =e (e=2,7 18281828459 ) b Téng cua cp sé nhan lai v6 han (Iqi < 1) 18: S=u,+uqtuq es = a ~q Các thí dụ Thí dụ Với k số nguyên dương c số, ta có: lim — n = clim — n =0 „ sng + 3n) - Thí dụ lim lim n? 24 ` n + ŸÊG c2) 2, n? Thí dụ Tìm giới hạn sau đây: 2n°+n”~7 _ a lim oo 13n?-3n+2 b lim——————— - 9n" -3n" +n+l n> Lời giải +4n° +1 (Chia cho luỹ thừa bậc cao n mẫu thức phân thức) a Chia tử thức mẫu thức cho n” ta có: _ 2n°+nˆ-7 = ————- lim On? —3n* +n+1 lim 2,1 i nw non b Chia tử thức mẫu thức cho n” ta có: = 2+0-0 9-0+0+0 = — on l3 n`+á4nˆ +] ~ Thi du Tim im( 222) tt 3n+2 ~ 1+0+1 —- m 155 Lời giải Ta có: (22) n elim| 3n+2 j = [+2] 3n+2 n/ l I+—+——| (142) 2, [i++] n 3n n = (102+) (142) non n =l+0+0=l n7 Tir (1), (2), (3) suy lim (221) 3n+2 n ` () (2) s=(-Ðj]lÍJÏI-gjeg] 0,28282828 tổng cấp số nhân lùi vô hạn vớ: u, = 28 100 28 q= —— 100 nên 028282828 = _100_ - 28 1100 99 Từ suy + 0,28282828 =74 2% = 72! pay 728082828 = 2! 99 99 99 Thí dụ Gọi C đường trịn đường kính AB = 2a (a số thực dương cho trước) C; đường gồm hai nửa đường trịn đường kính = : co ca C; đường gồm bốn nửa đường trịn đường kính , AB Sp ~ C, đường gồm 2" nửa đường trịn đường kính " Gọi p„ độ dài C, S, diện tích hình phẳng giới hạn C„ đoạn thẳng AB a Tinh p, va C, b Tìm giới hạn dãy số (p,) (S,) Lời giải a Mỗi đường trịn đường kính ^Š có bán kính r,= -^P = _2® = - suy 2n e Nửa chu vi mr, hay ¬ 2n+l —=Pp,= = e Diện tích nr? hay {= 2nrl 2n = : => S, = 2" (=) = > b e Thấy (p,) dãy số không déi va limp, = limza = 7a (bằng nửa độ dài đường trịn đường kính AB) 157 e Thấy (S,) cấp số nhân lùi vơ hạn có S¡ = > , cơng bội q = Bởi vậy, theo định nghĩa tổng cấp số nhân lùi vơ hạn ta có: na” lim S, = = a nt †— = xa?, (bằng diện tích đường trịn đường kính AB) Thí dụ Cho lại < 1, lQI < Biết rằng: a=l+q+g + +d? + b=l+Q+Q + +Q"'+ Tính tổng S= l + qQ + q?Q° + + q"Q"+ Lời giải Thấy rằng: e a tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u = có cơng bội q e b tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l có cơng bội Q e© S tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l có cơng bội qQ Theo công thức tông cấp số nhân lùi vơ hạn ta có + a=—— I~q +b=—— I-Q I > q=l (1) =Q=I-2 b (2) a + S=—— (3) I~qQ Th ay I 3)c6:S= va (3) (1), (2) 2) vào c xí) 1), aJ, = ab ab-(a-l)\(b~l) ab a+b-l ob §3 DAY DAN TOI VO CUC Cac dinh nghia Dinh nghia 1; Ta noi rang day số (u,) có giới hạn + œ số hạng dãy số lớn số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết: lim(u,) = + œ, viết tắt lim(u,)= + œ n-»+œ® limu,= + œ u, —> + œ Định nghĩa 2: Ta nói số (u,) có giới hạn —œ số hạng dãy số nhỏ số âm bé tuỳ ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết: lim(u„) = —œ, viết tắt tim(u,) = —œ n—»+œ limu, = —œ u„ —> —œ, 158 Thí dụ elimn= : ® lim(] +o: : [~ lmvn n — 2n)=->z: = +2: 3f lim N- ; limVn Nose os tor: lim2" = , lim an? -¢ ber Chú y: + Các dãy số có giới hạn + œ —œ gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực + Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Vì + œ -œ khơng phải số thực nên không áp dụng định lý §2 Ta thừa nhận quy tắc sau: Quy tắc Ti limu, limv, lim(u,v,) $00 —œ —œ +oo Nếu limu, = £00 va limv,, = +09 thi lim(u,v,) cho bảng bên: —œ Quy tắc , Nếu limu, = +00 va limv, = L # lim(u,v,) cho bảng bên: Quy tác Nếu limu, = L #0, limv, = u v, # thi lim—— +œ +œ 400 —œ —œ —0O +00 limu, Dấu L lim(u,v,) +œ + +œ —œ - +œ +0 —œ _ + —œ —œ Dấu L Dấu vụ lim(u,v,) - + —œ + + cho + ~ — bang bén: ~ Chi ý: - ® Nếu lim v,= v0 lim: | +00 ~œ +00 tm, Vv n e Néu limlu,! = + œ lim =0 tạ Thí dụ Tính giới hạn sau: a lim2 2, I—2n b lim 222+ 3nˆ +3n+] Lời giải Chia tử thức mẫu thức cho luỹ thừa bậc cao n phân thức ta có: a lim 2T" = —+n lim?! =—œ (VÌ im( +n n = +0, im( 4-2 "1 =-2) 159 — +00 X.- 5n +4n~Ï s.4_ n n° (vì im(2n—4 + 2] =0, iim(s+ 4-5] =5) n n° c lim 13—-2n? +3n” I~7nÌ n oon 13 22 =lim+ 0-7 ly n _9-0+3 n Nhận xét: Bằng cách chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n mẫu thức cách làm thí dụ ta thu kết sau: _ Gọi œ = lim AnnP +a, ¡nP””+ +a¡n+ao, ¬ b,n?+b,_,n4 + + pq a — œ=œ bạ Thí dụ Tính giới hạn sau: a lim(vVn+ -n ); I b lim —==: — I ——| Loi giải a Ta có lim(Ja+1 - Jn) = lim ———~ Tick = (vi lim (Vn+1 +n) = +0) stn = ea "ưng ch"(ode rt asda) vn? = im(~2 =lm 2h +Í Thí dụ Tìm lim +1 42743? + 4n? 2n.J/1+34+5+ +(2n-1)_ Loi giai Ta có: lim 7427437 4+ 4n° 2n-j1+3+ 5+ + (2n - l) _ =lim \ n(n+l)@n +]) {+1 =lim ft D(2n+1) 8+1 ˆ “im Á1 An +)/ 12n? 160 12 6.2n-Jn? = +o, nˆ +1] =~œ Thí dụ Từn lim 42.3" —n +5 Lời giải Ï : (1 + a)"> + na+ “ŒL=1 Theo Thí dụ 5§1 chương Với a = có: (l + 2)"> 1+ 2n + 2n(n— 1) hay 3°21 + 2n? suy rt 2.3°~n+5>2(1 +2n’?)-n+5=4n-n+7= Suy 0< l l < 42.3"-n+5_ Lại có lim———— A4n?-n+7 [n-2) +3nˆ+ - > VneN* (1) =0 4l4n?—n+7 a’, (2) Từ (1), (2) suy lim————— =0=> limv2.3" -n+5 = +0 V2.3" —n+5 Thí dụ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn tổng hai số hạng đầu bing Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân Lời giải Goi u,, q theo thứ tự số hạng đầu công bội cấp số nhân cho Tổng cấp số nhân nghĩa S = _— ~ is =6 =>u,=6(I -q I-q Tựa Tông hai số hạng đầu bang nghia 1a u, + u,q = Thay (1) vào (2) có 6(1~q) ` Thay vao (1): * Voi q=5 +4)= œ1 =g)= u,(+q)= () P (2) Š q=‡d— q52 4 có u =6(1= -)=3 * Với q=~2 có u =6(1 + 2) =9 Vậy ta cé hai cặp số hạng đầu công bội cấp số nhân thoả mãn yêu cầu l toán là: (u,(u, = 3; qq= —),(u,=9;q=——) ), (uụ q ) u, =Ì Thí dụ Cho dãy số (u,) : u, n+l =-2-3,khin>2 (1) a Chứng minh dãy (v,) xác định v, = u, + 1a mét c4p s6 nhan b Tim lim u, 16] Lời giải a Ta có v„ạ= uy, + © uạ= vạ— Thay (2) (]) vào có với công bội q = (2) Vụ Vie1-~6= —6 ne1i= > vạ= l+6=7, Bởi (v„) có số hạng tổng quát v„ = Thay vào (2) ta có uạ = sar = (vạ) cấp số nhân b lim u, = lim ( -6] 2m1] : Qn! - Đó số hạng tổng quát dãy số (u,) =0—6=-6 Vậy lim u, = —6 BÀI TẬP Bài Tìm giới hạn sau l‡n-2n” I+án a lm————————, b lim——————r, 2-n+nˆ Bài Tìm giới hạn sau : a lim L†Zt3t l+n” Bài Tìm giới hạn sau : a im{ = 2n+! n+1 ; b lim I+nˆ -5n” _ 13n°+8n~-l c lim———————- án +n+3 b lim(+Ín + sin?(n + 1) —+/n — cos?(n + 1) ) tt 3° 42771 c lim V3.4" -n4+1 u, =3 Bài Cho diy số (u,): ==®*+4,khin>2 n+ a Gọi (v,) dãy xác định v„ = u„ + œ Tìm œ để (v,) cấp số nhân b Tim lim u,, Bai Biéu thi moi số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số a 2,22222 b 5,123123123 Bai Cho hình vng ABCD có cạnh a Hình vng A,B, C, D,có đỉnh trung điểm cạnh hình vng ABCPD, hình vng A,B,C,D, cé đỉnh trung điểm cạnh hình vng A,B,C,D,, , hình vng A,B,C,D, có đỉnh trung điểm cạnh hình vng A,_,B„_.C,_¡D,s,, GỌI pị, p›› Pạ SỊ, S, , Sn, theo A,-iB,s.Cu- thứ tự chu ví diện tích hình vng A,B,C,D,, A;B;C;D;, , Dị ¡, a Tìm giới hạn dãy số (Pa) va S0 b Tìm cdc t6ng p, + prt +p, + vaS,+S+ 4+S5, Bài Cho ac (0; ) Tính tổng | —tan?a + tanÊa + + (—1)° Đan? “Đa + , 162 ... (x? -1 )(2x —Vx7 +1) ta có (2x+V3x7+1)(2x-Y3x+417 ) x ?-] Suy lim lm = lim(2x - V3x” +1) +[J Thi du 13 (dang 2) 4x - Bx"7+1 x?I = -4 Tìm lim 2x-9 ¬5 mm" 3— Lời giải Ta có: 42x- 1-4 x- _ 2x-I-Yx-1)(2x-1+Xx—1)(3+Xx+4)... —x+5)=3.2''? ?-2 +5= l5 blimE sod 2= xt] 4-3 -1 4+] -a 165 c lim(x —V5x? +4) =1xl V5.144 = 1-3 =2 Thí dụ Tìm giới hạn sau: _ 2x? -5 x+2 xạ 1-2 x a lim ———————_ ; "x7 b +2x-8 lim —————— xa-4 x" 4+ 4x Lời giải. .. có số hạng tổng quát v„ = Thay vào (2) ta có uạ = sar = (vạ) cấp số nhân b lim u, = lim ( -6 ] 2m1] : Qn! - Đó số hạng tổng quát dãy số (u,) =0—6 =-6 Vậy lim u, = —6 BÀI TẬP Bài Tìm giới hạn