BỘ MƠN GIẢI TÍCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH B1 KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐHKHTN THHCM Chương Hàm số liên tục Cho đồ thị hàm số ❢ hình a) Tìm điểm gián đoạn ❢ giải thích b) Từ điểm tìm câu ♣❛q, xác định điểm mà hàm số liên tục bên trái bên phải không liên tục hai bên Từ đồ thị hàm số ❣ cho bên dưới, tìm khoảng mà hàm số ❣ liên tục ❢ liên tục thoả mãn khẳng định gián đoạn sau Vẽ đồ thị minh hoạ hàm số a) Gián đoạn liên tục bên phải ✷ b) Gián đoạn ✁✶ ✹ liên tục bên trái ✁✶ liên tục bên phải ✹ Giải thích hàm số sau liên tục hay không liên tục a) Nhiệt độ vùng cụ thể hàm số theo thời gian b) Nhiệt độ thời điểm cụ thể hàm số theo khoảng cách lấy gốc Hà Nội dọc theo tia hướng vào Tp Hồ Chí Minh c) Độ cao so với mực nước biển hàm số theo khoảng cách dọc Bắc Nam tính từ Hà Nội d) Giá cước taxi hàm số theo khoảng cách e) Dòng điện mạch qua đèn điện hàm số theo thời gian Giả sử Tính ❢ ❢ ♣ q ❣ hàm số liên tục cho ❣ ♣✷q ✏ ✻ ❢ ♣ q   ❢ ♣ q ♣ qs ✏ lim r✸ ① Ñ✷ ① ① ❣ ① ✸✻ ✷ Sử dụng định nghĩa liên tục tính chất giới hạn để hàm số sau liên tục điểm ❛ cho trước ❛ a) b) c) ❢♣ q✏ ✹✁   ✸ ✷  ❀ ❢ ♣ q ✏ ♣   ✸ q✹ ❀ ✏ ✁ ✿ ✷ ♣ q ✏ ✁  ✸ ❀ ✏ ✿ ① ✸① ① ① ❤ t ① ✺① ✷① ✷t ❛ ✸t ✶ ❛ ✹ ❛ ✏ ✿ ✷ ✶ ✶ t Sử dụng định nghĩa liên tục tính chất giới hạn để hàm số sau liên tục khoảng cho trước a) ❢ ♣ q ✏ ✁  ❀ ♣ ❀ ✽q✿ ① ✷① ✸ ① b) ✷ ♣ q✏ ❣ ① ❄ ✷ ✸ ✁ ❀ ♣✁✽❀ s✿ ① ✸ ✷ Giải thích hàm số sau gián đoạn điểm ❛ cho trước Vẽ đồ thị hàm số a) ❢♣ q✏   ❀ ✩ b) ❢♣ q✏✪   ✶ ① ① ✫ ① ❛ ✷ ✶ ① ✶ ✷ ✏✁ ✿ ✷ ① ① ✘✁ ✏✁ ✿ ✷ ✷ ❛ ✏✁ ✿ ✷ Hàm số liên tục c) ❢♣ q✏ ✧ ✶ ① ✩ ✫ d) ✁ ④ ① ✷ ① ① ✶ ① ① ❢♣ q✏✪ ✷ ✷ ① ① ✶ ✁ ✁ ① e) ❢♣ q✏✪ ✵ ① ✩ ✫ f) ✷① ❢♣ q✏✪ b) ✷ ❢♣ q✏ ① ♣ q✏ ❋ ① ♣ q✏ ✷ ✺① ✻ ✸ ✘ ✏ ✿ ➔ ✏ → ✿ ① ✶ ✁ ✁ ✁ ✸ ✏ ✿ ❛ ✶ ✶ ① ① ① ① ✶ ✵ ✵ ✏ ✿ ❛ ❛ ✶ ✏ ✿ ✵ ✵ ① ① ✘ ✏ ✿ ✸ ❛ ✏ ✿ ✸ ✸ ❢ ♣ q cho hàm số có gián đoạn khử trở thành liên tục ✷ ① ✁ ✁ ✁ ✷ ① ① 10 Sử dụng định lý ✹ miền xác định a) ① ① Hãy định nghĩa a) ✁ ✶ ✶ ① ✶ ✩ ✫ cos ① ➔ ➙ ✿ ✷① ❀ ❀ ✺ ✼ ✷ ❢♣ q✏ ① ① ① ✁ ✷✁ ✸ ✽ ✹ ① ✶ c) ✶   ✷✁ ✁ ✶ ✁ ✸✁ ① ◗ ① ① ✷ f) ❤ ① e) ❤ ① sin ① ① ✶ ✶ ♣ q ✏ ❛tan ✷ ✁ ❝ ♣ q✏   ♣ q ✏ sin♣cos♣sin qq ② b) ② ✏   sin ❄ ✏ tan ① g) ▼ h) ❋ ① ① ① ① 12 Dùng liên tục để tính giới hạn sau a) ❄   lim ❄ ① Ñ✹   lim sin♣   sin q ① Ñ✙ ✺ ① ✺ b) ① ① ① c) lim ① Ñ✙ ④✹ ① cos✷ ① d) lim ♣① ✸ ✁ ✸①   ✶q✁✸ ① Ñ✷ ✶ ① ✶ ① ✶ ✶ ① ❇ ① ✹ ✷ ♣ q✏   ♣ q ✏ cos♣ ✁ ✷q d) ✶ ① ♣ q✏ ❄✸ 11 Xác định điểm gián đoạn hàm số sau vẽ đồ thị a) ✾ giải thích hàm số sau liên tục miền xác định Tìm ✁ ✁ ✷  ✷ ① ✷① b) ✷ ① ● ① ✷ ✷ ① 13 Chứng minh ❢ liên tục ♣✁✽❀ ✽q, với ❢ định ✧ ✷ ❢♣ q✏ ❄ ① ① ① ① ① ➔ ➙ ✿ ✶ ✶ Chương Đạo hàm Chú ý: Phần tập A yêu cầu tính độ dốc, đạo hàm định nghĩa A Bài tập đạo hàm định nghĩa Tìm phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm có tọa độ cho trước a) ② b) ② ✏ ✏ ✹① ① ✸ ✁ ✁ ✸① ✸① ♣ ❀✁ q c) ②   ,♣ ❀ q d) ② ✷, ✷ ✶ ✹ ✷ ✸ ❄ ✏ ,♣ ❀ q ✏    , ♣ ❀ q ① ✶ ✶ ✷① ✶ ① ✶ ✶ ✷ a) Tìm độ dốc (hệ số góc) tiếp tuyến với đường cong ① ✏ ❛ ② ✏   ✸ ✹① ✷ ✁ ✷① ✸ điểm ❀ q ♣ ❀ q b) Tìm phương trình tiếp tuyến điểm ♣✶ ✺ ✷ ✸ c) Vẽ đồ thị đường cong hai tiếp tuyến hình chung a) Tìm độ dốc hệ số góc tiếp tuyến tới đường cong ② ✏❄ ✶ ① điểm ① ✏ ❛ ❀ q ♣ ❀ q b) Tìm phương trình tiếp tuyến điểm ♣✶ ✶ ✹ ✶ ✷ c) Vẽ đồ thị đường cong hai tiếp tuyến hình chung Đồ thị bên biểu diễn hàm vị trí hai vận động viên A B đường đua cự ly ✶✵✵m a) Mô tả so sánh tốc độ chạy hai vận động viên b) Dựa vào đồ thị, ước đoán thời điểm khoảng cách vận động viên lớn nhất? c) Ước đoán xem thời điểm họ có vận tốc? ❢ Nếu bóng ném thẳng đứng lên khơng trung với vận tốc ✹✵ t ④s , độ cao (đơn vị feet) sau thời gian t giây cho ② ✏ ✹✵t ✁ ✶✻t ✷ Tìm vận tốc t ✏ ✷ Nếu đá ném thẳng đứng lên cao hành tinh Hoả với vận tốc ✶✵♠④s , chiều cao (tính mét) sau t giây cho ❍ ✏ ✶✵t ✁ ✶ ✽✻t ✷ ✿ a) Tìm vận tốc hịn đá sau giây b) Tìm vận tốc hịn đá t ✏ ❛ c) Trong đá quay lại chạm mặt đất? d) Vận tốc đá đá chạm mặt đất? Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị ② ✏ ♣ q ✏ ❣ ① ① Nếu phương trình tiếp tuyến tới đường cong ② tìm ♣✷q ✶ ♣✷q ❢ ❢ Nếu đường tiếp tuyến ② 10 Vẽ đồ thị hàm ✺ ❣ ♣✺q ✏ ✁✸ ❣ ✶ ♣✺q ✏ ✹ ✏ ❢ ♣ q điểm ✏ ① ❛ ✷ ② ✏ ✹① ✁ ✺ , ✏ ❢ ♣ q ♣ ❀ q qua điểm ♣ ❀ q, tìm ❢ ♣ q ❢ ✶♣ q ① ✹ ✸ ✵ ✷ ✹ ✹ ❢ mà ❢ ♣ q ✏ , ❢ ✶♣ q ✏ , ❢ ✶♣ q ✏ , ❢ ✶♣ q ✏ ✁ ✵ ✵ ✵ ✸ ✶ ✵ ✷ ✶ 11 Vẽ đồ thị hàm ❣ mà ❣ ♣✵q ✏ ❣ ♣✷q ✏ ❣ ♣✹q ✏ ✵, ❣ ✶ ♣✶q ✏ ❣ ✶ ♣✸q ✏ ✵, ❣ ✶ ♣✵q ✏ ❣ ✶ ♣✹q ✏ ✶ ✶, ❣ ♣✷q ✏ ✁✶, lim ❣ ♣① q ✏ ✽ lim ❣ ♣① q ✏ ✁✽ ① Ñ✺✁ ① Ñ✁✶  12 Nếu ② ✏ ❢♣ q✏ ① ✷ ✸① ✁ ✸① ✷ ✁ ① ✸ , tìm ✸ ① điểm ❢ ✶♣ q dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường cong ♣ ❀ q ✶ ✷ ✶ Đạo hàm , tìm ❣ ✶ ♣✶q dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường cong ✏ ① ✹ ✁ ✷ điểm ♣✶ ✁✶q 13 Nếu ❣ ♣① q ② ✏ ① ✹ ✁ cong ② ❀ ✏   ✷ , tìm ✶♣ q dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường ✏   ✷ điểm ♣ ❀ q a) Nếu ❋ ♣① q 14 ✷ ✺① ✶ ❋ ✺① ✶ ✷ ① ✷ ✷ ① b) Minh hoạ phần (a) cách vẽ đồ thị đường cong tiếp tuyến hình a) Nếu ● ♣① q ✏ ✹① ✷ ✁ ① ✸ , tìm ● ✶ ♣❛q dùng để tìm phương trình tiếp tuyến đường cong ② ✏ ✹① ✷ ✁ ① ✸ điểm ♣✷ ✽q ♣✸ ✾q 15 ❀ ❀ b) Minh hoạ phần (a) cách vẽ đồ thị đường cong tiếp tuyến hình ❢ ✶♣ q với❢ định a) ❢ ♣ q ✏ ✷ ✁   16 Tìm b) ❛ ① ✸① ❢♣ q✏ ✸ ✷t t ✹①   ✶ t c) d) ❢ ♣ q ✏    ❢ ♣ q ✏ ✁✷ t ✷t t ① ✶ ✸ ① 17 Lượng dưỡng khí hồ tan nước phụ thuộc vào nhiệt độ nước (vì nhiễm nhiệt ảnh hưởng hàm lượng oxy nước) Đồ thị sau cho thấy độ hồ tan ❙ dưỡng khí thay đổi hàm theo nhiệt độ ❚ nước a) Ý nghĩa đạo hàm ❙ ✶ ♣❚ q gì? Đơn vị gì? b) Ước tính giá trị ❙ ✶ ♣✶✻q giải thích Adapted from Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; by Charles E Kupchella, ✌ c 1989 Reprinted by permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ 18 Đồ thị sau cho thấy ảnh hưởng nhiệt độ ❚ tốc độ bơi tối đa ổn định ❙ cá hồi Soho a) Ý nghĩa đạo hàm ❙ ✶ ♣❚ q gì? Đơn vị gì? b) Ước tính giá trị ❙ ✶ ♣✶✺q ❙ ✶ ♣✷✺q, giải thích chúng B Bài tập định lý Rolle, Lagrange - Hãy kiểm tra hàm số thoả mãn ba giả thiết Định lý Rolle khoảng cho trước Sau tìm tất số ❝ thoả mãn kết luận Định lý Rolle ❢♣ ❢♣ ❢♣ ❢♣ q ✏ ✁   ✷❀ r ❀ s q✏ ✸✁ ✷✁   ❀ r ❀ s ❄ q✏ ✁ ❀ r ❀ s q ✏ cos ❀ r✙ ④ ❀ ✙ ④ s Cho ❢ ♣ q ✏ ✁ ✷④✸ Chứng tỏ ❢ ♣✁ q ✏ ❢ ♣ q không tồn số khoảng ♣✁ ❀ q cho ❢ ✶♣ q ✏ Tại điều không mâu thuẫn với Định lý Rolle? Cho ❢ ♣ q ✏ tan Chứng tỏ ❢ ♣ q ✏ ❢ ♣✙ q không tồn số khoảng ♣ ❀ ✙ q cho ❢ ✶♣ q ✏ Tại điều không mâu thuẫn với Định lý Rolle? ① ✺ ✶✷① ✸① ✶ ✸ ① ① ① ✻① ✷ ① ✶ ① ① ✵ ✾ ✸ ① ✷① ① ✶ ✽ ✼ ✶ ❝ ① ❝ ✶ ❝ ✵ ① ✵ ✽ ① ✶ ✶ ✵ ✸ ✵ ❝ ✵ - Hãy kiểm tra hàm số thoả mãn ba giả thiết Định lý giá trị trung bình khoảng cho trước Sau tìm tất số ❝ thoả mãn kết luận Định lý giá trị trung bình ❢ ♣ q ✏ ❄✸ ❀ r ❀ s ① ① ✵ ✶ ❢♣ q✏ ④ ❀ r ❀ s ① ✶ ① ✶ ✸ - 10 Tìm số ❝ thoả mãn Định lý giá trị trung bình khoảng cho trước Vẽ đồ thị hàm số, đường cát tuyến qua hai điểm đầu mút đường tiếp tuyến ♣❝ ♣❝ qq Đường cát tuyến đường tiếp tuyến có song song khơng? ❀❢ 10 ❢♣ q✏❄ ❀ r ❀ s ① ① 10 ✵ ✹ ❢ ♣ q ✏ ✸ ✁ ❀ r✁ ❀ s ① ① ✷① ✷ ✷ ❢ ♣ q ✏ ♣ ✁ q✁✷ Chứng tỏ không tồn khoảng ♣ ❀ q cho ❢ ♣ q ✁ ❢ ♣ q ✏ ❢ ✶♣ q♣ ✁ q Tại điều không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình? Cho ❢ ♣ q ✏ ✁⑤ ✁ ⑤ Chứng tỏ không tồn cho ❢ ♣ q✁ ❢ ♣ q ✏ ❢ ✶ ♣ q♣ ✁ q 11 Cho ① ① ✶ 12 Đạo hàm ❝ ✸ ✹ ① ✷ ❝ ✶ ✹ ✹ ✶ ✷① ✶ ❝ ✸ ✵ ❝ ✸ ✵ Tại điều không mâu thuẫn với Định lý giá trị trung bình? 13 - 14 Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm thực 13 ✷①   cos ✏ ① 14 ✵ 15 Chứng tỏ phương trình ① ✸ ✁ ✶✺①   ❝ 16 Chứng tỏ phương trình ① ✹   ✹① 17 ✏   ✏ ❝ ✵ ✵ ✷① ✁ ✁ sin ✏ ✶ ① ✵ có nhiều nghiệm đoạn r✁✷ ❀ s ✷ có nhiều hai nghiệm a) Chứng tỏ đa thức bậc có nhiều nghiệm thực b) Chứng tỏ đa thức bậc ♥ có nhiều ♥ nghiệm thực C Bài tập vi phân, hàm hợp hàm ẩn Tính vi phân a) b) c) ❢♣ q✏ ✷✁ ❢ ♣ q ✏ ❄ sin ❢ ♣ q ✏ sin   ① ① e) ② f) ❣ t ② h) ② ② ① j) cos ① ① k) ✶ cot ① ✷ ✏ sec ✁ csc ✏ sec ✒ tan ✒ ♣ q ✏ sec   tan ✏ cos   ✷ sin ✏ ♣ cos   cot q ✏ ✁ tan ② g) ✷ ① ① d) i) ✸① ✷ ① ✹ ❝ ① t t ✉ ❛ ✶ l) ② m) ② t ✉ t n) ② ❜ ✉ o) ❤ ① p) ② ❢ ✏ ✁cossin ✏ sin   ✏ ✁ sec ① ✶ t ① ✷ ✏ sin ✒ cos ✒ ❢ ♣✒ q ✏  secsec✒ ✒ ② t t ✶ t ✶ ① ① tan ① q ✏ csc ♣✒ ✏ ✒ ① ✒ ✁ cot ✒ ✷ sin ① tan ① Viết hàm sau theo dạng ♣❣ ♣① qq (Xác định hàm bên ngồi ② ✏ ♣✉q) Sau tìm đạo hàm ❞② ④❞① ❢ ✉ ✏ ♣ q hàm nên ❣ ① 19 Hình 2.0.1 ✈ 34 Nếu sóng nước có bước sóng ▲ di chuyển với vận tốc ngang qua vùng nước có độ sâu ❞ Hình 2.0.2 ✷ ✏ ❣▲ ✷ ❞ ✈ a) Nếu nước sâu, chứng minh ✙ ✷ ❜ ✈✓ ✙ ❣▲ ▲ ④♣ ✙ q✿ ✷ ✈ ❛ ✿ b) Nếu nước cạn, dùng chuỗi Maclaurin cho để chứng minh ✓ ❣❞ (Do nước cạn vận tốc sóng tiến đến khơng phụ thuộc vào bước sóng.) c) Sử dụng Định lý ước lượng chuỗi đan dấu để chứng minh lượng ✷ ✏ ❣❞ xác đến ✵ ✵✶✹❣▲ ✈ ✿ ▲ → ✶✵❞ ước Hình 2.0.2 ✛ 35 Một đĩa tích điện có bán kính ❘ mật độ điện tích mặt hình Điện ❱ điểm P cách khoảng ❞ dọc theo trục qua tâm vuông góc với đĩa ❱ ✏ ✙ ❡✛ ♣ ✷ ❛ ❦ ❞ ✷   ❘ ✷ ✁ q ❞ ❦❡ số Coulomb Chứng minh với ❞ lớn ❱ ✓✙ ❦❡ ❘ ✷ ✛ ❞ 36 Nếu người quan sát đo sai biệt độ cao lên kế hoạch xây dựng đường cao tốc xuyên sa mạc hiệu chỉnh phải dựa độ cong trái đất a) Nếu ❘ bán kính trái đất ▲ chiều dài đường cao tốc, chứng minh hiệu chỉnh ❈ ✏ ❘ sec ♣▲④❘q ✁ ❘ 20 Đạo hàm Hình 2.0.3 b) Dùng đa thức Taylor để ❈ ✓ ✷ ▲ ✷❘   ✺▲ ✹ ✷✹❘ ✸ c) So sánh hiệu chỉnh cho phần (a) (b) cho đường cao tốc dài 100 km (Lấy bán kính trái đất 6370 km.) Hình 2.0.4 ✒ 37 Chu kỳ lắc với chiều dài ▲, tạo góc lớn ✵ so với phương thẳng đứng ❚ ❦ ✏ sin ♣ ✒✵q ✶ ✷ ❣ ✏ ❞ ✹ ▲ ❣ ➺ ✙ ④✷ ✵ ❞① ❛ ✶ ✁ ❦ ✷ sin✷ ① gia tốc trọng trường (Trong Bài tập 42 Mục 7.7 xấp xỉ tích phân cơng thức Simpson.) 21 a) Khai triển hàm lấy tích phân thành chuỗi nhị thức dùng kết Bài tập 50 Mục 7.1 để ❚ ✏ ✙ ❞ ✓ ▲ ✷ ✶ ❣   ✷ ✶ ✷ ❦    ✷ ✷ ✒ ✙ ✷ ✷ ✶ ✸ ✷ ✷ ❦    ✹ ✷ ✹ ✷ ✷ ✷ ✶ ✸ ✺ ✷ ✷ ✷ ❦ ✻ ✷ ✹ ✻   ☎☎☎ ✛ ❜ ▲④❣ , thu cách dùng số hạng Nếu ✵ không lớn, xấp xỉ ❚ ✓ ✷ chuỗi Một xấp xỉ tốt thu cách dùng hai số hạng: ❚ ✓ ✙ ❞ ✷ ♣   ▲ ✶ ❣ ✶ ❦ ✷ ✹ q ✶ b) Nhận xét tất số hạng chuỗi sau số hạng không Sử ✹ dụng điều để so sánh chuỗi với chuỗi hình học chứng minh ✷ ✙ ❞ ▲ ❣ c) Dùng bất đẳng thức phần ✒✵ ✏ ✒✵ ✏ ♣   ✶ ✶ ✹ ❦ ✷ q↕ ↕ ✙ ❚ ❞ ✷ ▲ ✹ ❣ ✹ ✁ ✁ ✸❦ ✷ ✹❦ ✷ ♣ q để ước lượng chu kỳ ✏ mét ❜ lắc với ✓ ✙ ④ nào? Nếu ❜ ▲ ♦ ✶✵ Xấp xỉ so sánh với ước lượng ♦ ✹✷ sao? ❚ ✷ ✶ ▲ ❣ 38 Trong mục trước, xét phương pháp Newton để xấp xỉ nghiệm r phương trình ♣① q ✏ ✵ giá trị khởi tạo ①✶, xấp xỉ ①✷ ①✸ ☎ ☎ ☎ ❢ ①♥ ❀ ❀ ❢ ♣ ♥q  ✶ ✏ ①♥ ✁ ❢ ✶ ♣① ① ❀ ♥ q ❀ Sử dụng Bất đẳng thức Taylor với ♥ ✏ ✶ ❛ ✏ ①♥ ① ✏ r để đoạn ❧ chứa r ①♥ ①♥ ✶ ⑤ ✷ ♣① q⑤ ↕ ▼ , ⑤ ✶ ♣① q⑤ ➙ ❑ với ① € ❧ ❀ ❀ ❢ ⑤ ①♥ ❢  ✶ ✁ r ⑤ ↕ ▼ ✷❑ ❢ ✷♣ q tồn ① ⑤ ♥ ✁ ⑤✷ ① r [Điều có nghĩa ①♥ xác ❞ chữ số ①♥ ✶ xác khoảng ✷❞ chữ số Chính xác hơn, sai số bước ♥ ✶✵✁♠ sai số bước ♥   ✶ khơng q ♣▼ ④✷❑ q✶✵✁✷♠ ] ✿ Chương Tích phân Xác định xem tích phân sau hội tụ hay phân kỳ Tính giá trị tích phân hội tụ ➺✽ ✸ ✶ ♣ ✁ q✸④✷ ① ➺✽ ❄✹ ✵ ✷ ✶ ✶ ➺✵ ① ✶ ➺✽ ✷ ✷① ❞① 13 ❞① ✶ 14 ✁✺♣ ❞♣ ❡ r ✷ ❞r 16 ❛ ➺✽ ✁✽ ➺✽ ✁✽ ① ✶ ✷   ♣ ✁ ✸ ② ✷ ① ➺✽ ✵ ✷ ❞① ✷ ✸② ✁① ✷ ❞① ①❡ q ❞② 17 18 19 ✷ ☛☛ ✙ t ❞t ✶   ✷ 21 ❞ cos ① 22 ✈ ✈   ✈✁ ✷ ③❡ ②❡ 23 ✶ ➺✽ ✁✽ ➺✽ ✸ 24 ❞① ① ① ✁ ✸① ✹ ✁✽ ✾   ➺✽ ① ❞① 27 arctan ① ✶ ✸ ① ✺ ❄ ❞① 28 ❞① ✶ ✁ ❄✹ ❞① ① ❞① ①   ✷ ✹ ♣ ✁ q✸ ① ❞① ✻ ✶ ✁✷ ① ✹ ✵ ❞① ① ✸ ✁✷ ➺✶ ❞① ① ♣   ✷ q✷ ✵ ✻ ❞① ✸ ♣ln q✸ ① ✷   ✶ ❡ ➺✸ ✷ ✻ ① ➺✽ ✵ ① ✷① ➺✽ 26 ✸ ❡ ➺ ✶✹ 25 ✁✸② ❞② ① ❡ ❡ ✵ ➺✸ ✷③ ❞③ ln ① ➺✽ ➺✶ ❞① ① ❞ ✷ ✁✽ ➺✽ ➺✽ ❞① sin✷ ✁✽ ➺✽ ➺✽ 20 ① ➺✽ ✶ ✁❄① ❄ ❡ ✶ ➺✵ 15 ✁✽ ➺✽ ✵ 12 ♣   q✸ ➺✵   10 11 ❞① ✁✽ ✸ ✁ ✹① ➺✽ ✶ ✶ ❞① ➺✽ ❛ ❞① ❞① ✶ ✁ ① ✷ ❞① 23 ➺✾ 29 ✵ ➺✺ 30 ✵ ➺✸ 31 ✵ ❄✸ ➺✙ ✶ ① ✇ ✁ ✇✁ ✷ 33 ❞① ✷ ✁ ✙ ④✷ ➺✵ ❞① ① 32 ❞① ✶ ✻①   34 ✺ ✁✶ csc ①❞① ✶④① ❡ ① ✸ ➺ ✶ ✶④① ❡ ✵ ① ✸ ➺✷ 35 ✵ ➺✶ ❞① ❞① 36 ✵ ③ ✷ ln ③❞③ ❄ ln ① ① ❞① Chương Dãy số, chuỗi số A Tìm cơng thức tổng qt ❛♥ , biết quy luật phần tử không thay đổi cho số hạng t ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ✿✿✿✉ t✁ ❀ ❀ ✁ ❀ ❀ ✁ ❀ ✿✿✿✉ t ❀ ✁ ❀ ❀ ✁ ❀ ❀ ✿✿✿✉ t ❀ ✁ ❀ ❀ ✁ ❀ ❀ ✿✿✿✉ t ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ✿✿✿✉ t ❀ ❀ ✁ ❀ ❀ ❀ ❀ ✁ ❀ ❀ ✿✿✿✉ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✸ ✺ ✼ ✾ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✸ ✾ ✷✼ ✽✶ ✸ ✷ ✹ ✽ ✶✻ ✸ ✾ ✷✼ ✺ ✽ ✶✶ ✶✹ ✶✼ ✶ ✹ ✾ ✶✻ ✷✺ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✵ B Tìm 10 phần tử dãy, xác đến số số thập phân vẽ hình minh họa cho dãy Hỏi dãy có giới hạn khơng? Tính giới hạn có giải thích khơng có ❛♥ ❛♥ ✏   ♥ ✏   ♣✁ q ✸♥ ✶ ✻♥ ✶ ✷ ♥ ❛♥ ❛♥ ✏   ♣✁ q♥ ✶ ✶ ✷ ✏   ✶ ♥ ✶✵ ✾ ♥ C Xác định dãy hội tụ hay phân kỳ Nếu dãy hội tụ xác định giới hạn ❛♥ ❛♥ ❛♥ ✏ ✁ ♣ ✿ q♥ ✶ ✏ ✵ ✷ ♥ ♥ ✸ ✸   ✏    ✸ ♥ ❛♥ ❛ ❛♥ ❛♥ ✶ ✷ ✺♥ ✷ ♥ ✸ ✏   ✶④♥ ♥✏ ♥ ♥ ✶ ❡ ✏ ✸ ♥  ✷ ✺ ♥ ✏ tan   ✙ ✷♥ ✶ ✽♥ 25 10 11 ❝ ❛♥ ✏ ❛♥ ✏❛ ❛♥ ✏ ♥     ✶ ✾♥ ♥ ❡ ✸   ✷♥④♣♥ ✷q ♣✁❄q♥ ✏ ♥ ❛ ✷ ♥ ♣✁ q♣♥❄ ✶q ♥✏   ♥ ✏ cos♣ ④ q ♥ ✏ cos♣ ④ q ✧ ✯ ♣ ✁ q ♥✏ ♣   q ✶ 13 ❛ ♥ ✷ 14 ❛ ✷ ♥ 17 18 ♥ ❛ ❛♥ ❛♥ ❛♥ 19 t 20 ❛♥ ❛♥ 23 ❛ ♥ 24 ❛ ✷ ✏ ✏ ✏ ✷ ♥ ❡ ✧ ♥ ✷♥ ✶ ✦ ✷♥ ✶ ✦ ln ♥ ln ✷♥ ❡ ❛♥ 27 ❛ 28 ❛♥ 31 ❡ ✶ 33 ✁♥ ✉ ✏ ln♣   q ✁ ln ✶ 34 ♥ ❛ ♥ ♥ ✶ ✸♥ ✷ sin♣✶④♥q ✁♥ cos ♥✙ ✂ ✶   ✡♥ ✷ ♥ ✷♥ ✶ ♥ ✶ ✷♥ ♥ ✶ ♥ ♥ ✏ arctan♣ln q ❄ ❄     ♥✏ ✁ t ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀☎☎☎✉ ❛♥ ♥ ❛ ♥ ♥ ✶ ♥ ✸ ✵ ✶ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✶ 32 ♥ ✏ ✷ ✏ sin  ❄ ✷   q ✁ ln♣ ✷   q ♥ ✏ ln♣ ✷ ✏ ♣ln q ✧ tan✁✶ ♥ ♥ 26 30   ✁♥ ✯ ✷♥ ✁ ✧ ♥ ❡ ❛♥ 29 ✯ ✏ ♥✏ ♥✏ 25 ♥ ❛ 16 22 ✶ 12 15 ✹♥ ✷ ❝♦s ♥ ❛♥ ✶ ✷ ♥ ✏ 21 ✶ ✶ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ❀ ☎☎☎ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✸ ✷ ✹ ✸ ✺ ✹ ✻ ✯ ♥✦ ✷ ♥ ♣✁ q♥ ✸ ♥✦ D Bài tập chuỗi số tổng qt I Tìm 10 tổng riêng phần chuỗi Vẽ đồ thị dãy số hạng dãy tổng riêng hệ trục tọa độ Chuỗi hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ tìm tổng chuỗi Nếu phân kỳ giải thích ✽ ➳ ✶✷ ♣✁ q♥ ♥✏✶ ✺ ✽ ➳ ♥ ✏✶ cos ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ❛ ♥ ✷ ♥   ✹ 26 Dãy số, chuỗi số ✽ ➳ ✼ ♥  ✶ ♥ ✶✵ ♥ ✏✶ ♥ ✏✶ ❄ ✁❄ ✶ ♥ ♥   ✽ ➳ ✡ ✶ ✶ ♥ ✏✶ ✶ ♣   q ♥ ♥ ✷♥ ✸♥ ❛ b) Chuỗi ✂   Dãy t ♥ ✉ hội tụ hay không Đặt ❛♥ a) ✏ ✽ ➳ ✶ ✽ ➳ ❛♥ ♥ ✏✶ hội tụ hay khơng a) Giải thích khác biệt b) Giải thích khác biệt ♥ ➳ ✐ ✏✶ ♥ ➳ ✐ ✏✶ ❛✐ ❛✐ ♥ ➳ ❥ ✏✶ ♥ ➳ ✐ ✏✶ ❛❥ ❛❥ II Xác định chuỗi hình học hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ tính tổng 10 ✸ ✹ ✁   ✹ ✸ ✶✵ 12 ✷ 14 ✸ ✁ ✻✹ ✾   ☎☎☎ 15         ☎☎☎ ✁   ✿ ✁ ✿   ☎☎☎   ✿   ✿   ✿   ☎☎☎ 11 13 ✶✻ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✾ ✷✼ ✹ ✻ ✷ ✵ ✹ ✵ ✺ 16 ✵ ✵✽ ✵ ✶✷✺ ✵ ✵✸✶✷✺ ♣ ✿ q♥✁✶ 17 ✻ ✵ ✾ ✶✵ ♥ ♣✁ q♥✁✶ 18 ✾ ✽ ➳ ♣✁ q♥✁✶ ✸ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✵ ✽ ➳ ♥ ✏✵ ✹ ❄ ✶ ♣ q♥ ✷ ✙♥ ✸ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ♥  ✶ ❡ ✸ ♥ ♥ ✁✶ III Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ, tính tổng chuỗi 19 20 ✶ ✸ ✶ ✸       ✶ ✻     ✶ ✾ ✷ ✶ ✾ ✷✼ ✶ ✶✷     ✷ ✽✶ ✶ ✶✺     ☎☎☎ ✶ ✷✹✸   21 ✷ ✼✷✾   ☎☎☎ 22 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✁ ✁ ✸♥ ✶ ✶ ♣   q ♣   q✷ ❦ ✏✶ ❦ ❦ ❦ ✷ ✸ ✷ 27 23 24 25 26 27 28 ✽ ➳   ✶ ♥ ✏✶ ✸ ✽ ➳ ✷ ❄♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ 29 ♥   ✶ ♥ ✏✶ ✷ ✸ ♥ 30 ♥ ✷ 31 r♣ ✿ q♥✁✶ ✁ ♣ ✿ q♥s ✵ ✽ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✵ ✸ ✄ ✷♥ ✽ ➳   ✷  ✷ ♥ ln 32 ☛ ✶ 33 ✶ ✶ ♥ ✏✶ ✁ ✠♥   ✶ 34 ✷ ✸ ✽ ✁ ➳ ✙ ✠❦ ❦ ✏✵ ✽ ➳ ❦ ✏✵ ✽ ➳ ♥✏✶ ✽ ➳ ✸ ♣cos q❦ ✶ arctan ♥ ✂ ♥✏✶ ✽ ➳ ✺ ✂ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥✏✶ ✸ ✶ ❡ ❡ ♥ ♥   ✷ ✡ ♥   ♣   ✡ ✶ ♥ ♥ ✶ ♥ ✷ ♥ IV Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ cách biểu diễn s♥ tổng hai số hạng, số hạng khác bị triệt tiêu theo cặp Nếu hội tụ tính tổng chuỗi 35 36 37 ✽ ➳ ✷ ✷ ♥ ✏✷ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ln ✽ ➳ ♥ ✏✶ 38 ✶ ♥ ♥   39 ✶ ✸ ♣   q ♥ ♥ 41 Cho ① a) ✁ ① 40 ✸ ✽ ➳ ✂ cos ✷ ♥ ♥ ✏✶ ✽ ✁ ➳ ❡ ♥✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✷ ✶ ✶④♥ ✁ ✶ ✸ ♥ ✁ ♥ ✏ ✿ ✿✿✿✿ ➔ hay ✏ ? ✵ ✾✾✾✾✾✾ ✶ ① ✶ b) Dùng tổng chuỗi hình học để tìm ① c) Có biểu diễn thập phân đại diện cho số 1? d) Những số có biểu diễn thập phân? ✁ cos ♣   q✷ ✶ ♥ ❡ ✶④♣♥ ✶q ✠ ✶ ✡ 28 Dãy số, chuỗi số 42 Cho dãy định nghĩa ❛✶ Tính ✽ ➳ ♥ ✏✶ ❛♥ ✏ ❀ ♥✏♣ ✁ q ✶ ❛ ✺ ♥ ❛♥ ✁✶ E Bài tập tiêu chuẩn tích phân, ước lượng tổng chuỗi I Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ ✽ ➳ ❄✺ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✶ ♥ ✏✶ ✺ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✶ ♣   q ✷♥ ❄ ✶ ✸ ✶ ♥   ✹ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ II Xác định chuỗi hội tụ hay phân kỳ 10 ✽ ➳ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✸ ✶ ♥ ❄ 12 13 ✷ ✁✵✿✾✾✾✾ ✿ ♥     ✶ ✶ ✽ ✷✼ 15   ✶ ✻✹   ✶ ✶✷✺   ☎☎☎   ❄   ❄   ❄   ❄   ☎☎☎ ✶ ✶ ✷ 11 14 ✶ ✶ ✷ ✸ ✶ ✸ ✹ ✶ ✹ ✺           ☎☎☎ ✶ ✶ ✶ ✶ ✸ ✺ ✼ ✾           ☎☎☎ ✽ ❄   ➳ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✺ ✽ ✶✶ ✶✹ ✶✼ ♥ ♥ ✏✶ ✷ ♥ ✹ 16 17 ✺ 18 19 20 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✸ ✷   ✿ ♥ ✸ ✶   ✿ ✁ ✿ ✷✁ ✶ ✷ ♥ ✹ ✸♥ ♥ ✹ ✷♥ ✽ ln ♥ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ✸ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✻♥ ✶ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✷     ✿ ✶ ✷ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✷ ✿ ln ♥ ✿ ♣ln q✷ ✿ ✶ ♥ ♥ ✶✸ ♥ ✷ ♥ ✷   ♥ ❡ ✶ ✁♥✸ 29 21 22 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✸ ❡ ✶④♥ ✷ ♥ ✿ 23 ✷ ♥✿ ♥ ❡ 24 ✽ ➳   ✸✿ ✶ ♥ ✏✶ ✷ ♥ ✽ ➳ ♥   ✿ ♥ ♥ ✏✶ ✹ ♥ ✶ III Giải thích Tiêu chuẩn Tích phân áp dụng để xác định chuỗi hội tụ hay không 25 ✽ cos ➳ ❄♣✙ q ♥✏✶ ♥ 26 ♥ ✽ cos✷ ♥ ➳ ♥ ✏✶ ✷ ♥   ✿ ✶ IV Tìm giá trị ♣ để chuỗi hội tụ 27 28 ✽ ➳ ♥ ✏✷ ♣ln q♣ ✿ ✶ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✸ 29 ♥ rln ♣ln qs♣ ✿ ✶ ♥ ln ♥ 30 ♥ ✽ ➳ ♣   ✷ q♣ ✿ ♥ ✶ ♥✏✶ ✽ ln ♥ ➳ ♥✏✶ ♥ ♣ ♥ ✿ E Bài tập tiêu chuẩn Leibnitz (chuỗi đan dấu) I Kiểm tra hội tụ hay phân kỳ chuỗi ✷ ✸ ✁   ✁   ✷ ✷ ✺ ✼ ✾ ✷ ✶✶ ✁   ✁   ✁ ✁ ☎☎☎ ✷ ✹ ✻ ✽ ✶✵ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾   ☎☎☎ ❄ ✁ ❄   ❄ ✁ ❄   ❄ ✁ ☎☎☎ ✶ ✶ ✷ ✷ ✽ ➳ ✶ ✸ ✹ ♣✁ q♥✁✶   ♥✏✶ ✶ ✷♥ ✽ ➳ ✺ ✶ ✻ ✶ ♣✁ q♥✁✶ ln ♣   q ♥✏✶ ✶ ♥ ✶ ✹ ✽ ➳ ♣✁ q♥ ✁  ♥✏✶ ✶ ✽ ➳ ✶ ✶ ♣✁ q♥ ❛ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ✸♥ ✷♥ ✶ ♣✁ q♥ ♥ ✏✶ ♥ ✸ ♥ ✶ ❡ ✁♥ ❄ ♣✁ q   ♥✏✶ ✽ ➳ ✶   ♥ ♥ ✷♥ ✸ ✷ 30 10 Dãy số, chuỗi số ✽ ➳ ✷ ♣✁ q♥ ✶ ✸   ♥ ✏✶ ♥ ✶ ♥ 11 12 13 14 ✽ ➳ ♣✁ q♥ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♣✁ q ♥ ✏✶ ✽ ➳ ✶ ✶ ♥❡ 15 ✹ ✁♥ ♥✁✶ ❡ ✷④♥ ♣✁ q♥✁✶ arctan ♥ ✏✶ ✶ ✽ sin ➳ ♥ ✏✵ 16 17 18 ♥ ♣  ❄✷✶ q✙   ♥ ✶ 19 ♥ ✽ ➳ ♥ ♥ ✷ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♣✁ q♥ sin♣ ✙ q ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ♣✁ q♥ cos♣ ✙ q ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ♣✁ q♥ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ✙ cos ♥ ♥ ♥✦ ♣✁ q♥♣ ✶ ♥ ✏✶ ♥ ❄   ✁ ♥ ✶ ❄ ♥ q II Chứng minh chuỗi hội tụ Ta cần cộng số hạng chuỗi để tìm tổng với sai số tương ứng 20 21 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♣✁ q♥ ✶ ,  ✞✞sai số✞✞ ➔ ✿ ✻ ✶ ✵ ✵✵✵✵✺ ✟ 22 ♥ ♣✁ q♥ ,  ✞✞sai số✞✞ ➔ ✿ ♥ ✶ ♥✺ ✵ ✵✵✵✶ ✟ 23 ✽ ➳ ✶ ♥ ✏✵ ✽ ➳ ♣✁ q♥ ,  ✞✞sai số✞✞ ➔ ✿ ♥ ✵ ✵✵✵✵✵✺ ✶✵ ♥✦ ♣✁ q♥✁✶ ✶ ♥ ✏✶ ♥❡ ✁♥ ,  ✞✞sai số✞✞ ➔ ✵✿✵✶✟ III Xấp xỉ tổng chuỗi đến chữ số thập phân 24 25 ✽ ➳ ♣✁ q♥ ♣ q ♥ ✏✶ ✶ ✷♥ ✦ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♣✁ q♥ ✶ ✶ ✻ ♥ 26 27 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✟ ♣✁ q♥✁✶ ✶ ✶✵ ✷ ♥ ♥ ♣✁ q♥ ✶ ♥ ✸ ♥✦ F Bài tập tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’ Alembert 1-27 Cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện, hay phân kỳ? 31 ✽ ➳ ♣✁ q♥ ✷ 10 ✷ ♥ ♥✏✶ ✽ ➳ ♥ 11 ✺ ♥✏✶ ♥ ✽ ➳ ♣✁ q♥✁✶ ✷   ♥✏✶ ✽ ♣✁ q♥ ➳   ♥ ✏✵ ♥ ✶ ♥ 26 27 12 ✹ ✶ ✺♥ 13 ✶ ✽ ➳ ✸ ✽ ➳ ✂ ✡❦ ❦ ✏✶ ✽ ➳ ♥✏✶ ✶ ✷ ✺ 15 ♥✦ ✶✵✵ 16 ♥ ♣✁ q♥ ♣ ✿ ✹q ✶ ✶ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ✷ ✸ ✽ ➳ ♥✏✶ 14 ✶ ✦ ❦ ♥ ✶ ♥ ✸ 17   ✶ ❡ ✶④♥ 19 ✸ ♥ ♥ ✏✶ ✽ sin ✹♥ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✹ ♥ 20 ✶✵ ♥ ♣   q ♥ ✽ ➳ ✶ ✹ ✷♥ ✶ 21 ✶✵ ♥ ♣✁ q♥ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ♣✁ q♥ arctan ➳ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ 18 ✷ ♥ ✸ ✷④✸ ♥ ♥ 22 ✷ ✁ cos ✁ ♥ ✏✶ ✽ ♣✁ q♥ ➳ ♥ ✷ 23 ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ln ♥ 24 ♥✦ ♥ ♥ ✽ cos ♥ ➳ ✙④ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♣✁ q♥ ✷ ♥ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✄ ♥ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ✷♥ ✂ ♥ ✏✷ ✽ ➳ ✶ ✁   ✷♥ ♥ ✂ ✶ ✶ ✸ ✺ ✶ ✸ ✺ ✼ ✸✦ ✺✦ ✼✦ ✸ 25 ♥✦ ✶ ✸ ✺ ✼ ✶ ✷♥ ✷ ✻ ✶✵ ✷ ✻ ✶✵ ✶✹ ✺ ✽ ✺ ✽ ✶✶ ✺ ✽ ✶✶ ✶✹ ♥ ✶✵✵ ✶✵✵♥ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥✦ ✷ ♥✷ ♥✦ ✷♥ ✶ ✶ ✦ 28-57 Kiểm tra hội tụ phân kỳ chuỗi sau 28 29 ✽ ➳ ♥✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✶ ♥   ✸ ♥ ♣   q♥ ✷♥ ✶ ✷♥ ♥ 30 31 ✽ ➳ ♣✁ q♥   ♥ ✏✶ ♥ ✶ ♥ ✽ ➳ ✷ ♣✁ q♥ ✷   ♥ ✏✶ ♥ ✶ ♥ ✡ ♥✷ ✷♥ ✦   ✿✿   ✿✿ ✿✿   ✿✿ ✿✿ ✿✿   ☎ ☎ ☎ ✷ ✻ ✡✺♥ ♥ ✁ ✿   ✿ ✿ ✁ ✿ ✿ ✿   ☎ ☎ ☎   ♣✁ q♥✁✶ ✿ ✿ ✿♣✿ ☎ ☎ ✁☎ ✿♣ q ✁ q   ☎ ☎ ☎ ✶ ✸ ✶ ♣ q ♣ q✷ ♥ ✏✶ ✽ ➳ 32 33 ✷ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✷ ♥ ✁✶ ♥ ✷ ♣✁ q♥ ✺ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✶ ✷♥   ☛♥ ✶   ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳   ✷  ✷ ♥✦ ✶ ♥ ♥ ♣✁ q♥ ❛ ♣✁ q♥ ✶✵ ♣✁ q♥ ♣   q ♥ ✏✵ ✷♥ ✽ ➳ ✶ 32 34 35 36 37 38 39 40 41 Dãy số, chuỗi số ✽ ➳ ❄ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ 42 ln ♥ ❦ ✷ ❦✦ ❦ ✏✶ ✽ ➳ ❦ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♣   q ❦ 44 ✷ ✁♥ ✸ ♥ ❡ ♥ ✏✶ 45   ✸ ✶ ♥ ✽ ➳ ✽ ➳ ✷ ✦ ✷ ✁❦ ❦ ❡ ✂ ❦ ✏✶ 43 ✶ ❛ ❦ ✷ ❦ ✡ ✶ ♥ 46 ✸   47 ✶ ♥ ✷ ✸ ♥ ♥ ✏✶ 48 ♥✦ ✽ sin ✷♥ ➳ ♥ ✏✶ ✶   49 ♥ ✷ ✽ ➳ ✷ ❦ ✁✶ ✸ ❦  ✶ ❦ ✏✶ ✽ ➳ ❦ ♥ ♥ ✏✶ ♥ ✽ ➳ ❦   ✸  ✷ ✶ 51 ✶ ☎ ☎ ☎☎☎♣ ✁ q ☎ ☎ ☎☎☎♣ ✁ q ✶ ♥ ✏✶ 50 ✷ ✽ ➳ ✸ ✺ ✷♥ ✶ ✺ ✽ ✸♥ ✶ ♥✁✶ ♣✁ ❄ q✁ ♥ ✏✷ ✶ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ❦ ❄✸ ❄✁ ♣   q ❦ ✏✶ ✶ ❦ ♣✁ q ✶ ✽ ➳ 55 ✶ ♥ cos   sin ♣④ q ✶ ✷ ♥ 56 ♥ ✏✶ tan♣✶④♥q ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ sin♣✶④♥q ♥ ♥✦ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ❡ ♥✷   ✷ ♥ ♥ ✏✶ ✺ ✽ ➳ ln ❦ ❦ ❦ ✏✶ ✽ ➳ ♣   q✸ ❦ ❡ ♥ ✏✶ ✶ ✶④♥ ♥ ✷ ✽ ➳ ♣✁ q♥ ♥ ✏✶ cosh ♥ ✶ ❄ 57 ♣✁ q   ❥ ✏✶ ✶ ❦ ✶ ♥ ✽ ➳ ✶ ✷ 54 ♥ ❦ ❦ ✏✶ 53 ✶ ♣✁ q♥ ln❄ ✽ ➳ 52 ✽ ➳ ❥ ❥ ❥ ✺ G Bài tập chuỗi luỹ thừa 1-26 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi ✽ ➳ ♣✁ q♥ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✶ ♥① ♣✁❄q♥ ✶ ✸ ① ✷♥ ① ♥ ♥ ♥ ♥ ✁ ✶ ✽ ➳ ♣✁ q♥ ✶ ✷ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✵ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ① ♥ ♥ ① ♥ ♥✦ ♥ ♥ ♥ ① ✽ ➳ ♣✁ q♥ ✶ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✷ ♥ ♥ ① ♥ ✷ ♥ ♥ ✶✵ ① ♥ ✸ ♣✁❄q♥ ✸ ♥ ♥ ① ♥ 33 10 11 12 13 ✽ ➳ ① ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ♥✸ ♥ ♣✁ q ✶ ♥ ✏✷ 16 ♥ 15 ♥ 17 ♥ ✹ ln ♥ ✽ ➳ ✷♥ ✶ ♣✁ q♥ ♣   q ♥ ✏✵ ① ✶ ✷♥ ✽ ➳ ✶ ✦ ♣ ✁ q♥ ✷  ♥ ✏✵ ① ✷ ♥ 14 ① 19 ✶ ✽ ➳ ♣✁ q♥ ♣ ✁  q ♥ ✏✵ ✶ ① ✷♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ✸ 18 ♣ ❄  q♥ ① ✹ ♥ ✸ ♥ ✶ 20 21 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ♥ ♥♣   q ♥ ✹ ① ♣ ✁ q♥ ① ✷ ♥ ♥ ✷① ✶ ✺ ♥ 24 ♥♣ ✁ q ❀ ♥ ❜ ♥ ❜ ♥ ✏✷ ln ♥ ♥ ✏✶ 23 ♣ ❄✁ q♥ ♥ ✽ ➳ ✽ ➳ 22 ✶ ① ❛ ♥ ♣ ✁ q♥ ❀ ① ❛ ♣ ✁ q♥ ♥✦ ✷① ✶ ❜ → ❜ ✵ → 25 ✵ 26 ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✽ ➳ ✷ ♥ ♥ ① ✷ ☎ ☎ ☎☎☎♣ q ✹ ✺① ① ♥ ✽ ➳ ✷♥ ♣ln q✷ ♥ ① ✶ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✹ ✸ ♥ ✽ ➳ ♥ ✏✶ ✷♥ ♣ ✁ q♥ ♥ ✏✶ ♥ ✏✶ ✻ ♥ ☎ ☎ ☎☎☎♣ ✁ q ✸ ✺ ✷♥ ♥✦① ✶ ✶ ♥ ☎ ☎ ☎☎☎♣ ✁ q ✸ ✺ ✷♥ ✶ ... lệ diện tích hình vng tăng lên diện tích hình vuông ✶✻ ❝♠✷ ? Chiều dài hình chữ nhật tăng với tỷ lệ ✽ ❝♠④s chiều rộng tăng với tỷ lệ ✸ ❝♠④s Khi chiều dài ✷✵ ❝♠ chiều rộng ✶✵ ❝♠, diện tích hình... bước ♥ ✶✵✁♠ sai số bước ♥   ✶ không ♣▼ ④✷❑ q✶✵✁✷♠ ] ✿ Chương Tích phân Xác định xem tích phân sau hội tụ hay phân kỳ Tính giá trị tích phân hội tụ ➺✽ ✸ ✶ ♣ ✁ q✸④✷ ① ➺✽ ❄✹ ✵ ✷ ✶ ✶ ➺✵ ① ✶ ➺✽ ✷... tính sai khác với biểu thức hàm mũ khoảng ✶%? 33 Một lưỡng cực điện gồm hai điện tích độ lớn trái dấu Nếu điện tích q ✁q đặt cách khoảng ❞ điện trường ❊ điểm P hình ❊ ✏ q ✷ ❉ ✁ ♣   q✷ q ❉ ❞ Bằng