Đang tải... (xem toàn văn)
(NB) Nối tiếp phần 1, phần 2 của giáo trình Matlab trong điều khiển tự động trình bày những kiến thức về Symbolic math toolboxes; Matlab và điều khiển tự động; Power system blockset; phương trình vi phân đạo hàm riêng.
CHƯƠNG 5: SYMBOLIC MATH TOOLBOXES §1. KHÁI NIỆM CHUNG Symbolic Math Toolboxes kết hợp tính tốn bằng chữ vào mơi trường MATLAB. Các toolbox này bổ sung các tiện ích số và đồ thị với các kiểu tính tốn tốn học khác nhau. Tiện ích Nội dung Calculus đạo hàm, tích phân, giới hạn, tổng và chuỗi Taylor Linear Algebra nghịch đảo, định thức,giá trị riêng, phân tích và dạng chính tắc của ma trận. Simplification phương pháp rút gọn các biểu thức đại số Solution of Equations giải bằng chữ và bằng số các phương trình đại số và vi phân Variable‐Precision đánh giá độ chính xác của các biểu thức đại số Arithmetic Transform biến đổi Laplace, Fourrier và z Special Mathematical các hàm toán học đặc biệt của các ứng dụng toán Function học kinh điển Động lực tính tốn nằm dưới các toolbox là nhân Maple, một hệ thống tính tốn được phát triển đầu tiên ở trường đại học Waterloo, Canada và sau đó tại Eidgenroessiche Technische Hochschule Zurich, Thuỵ sĩ. Maple được thương mại hố và hỗ trợ của cơng ty Waterloo Maple. §2. KHỞI ĐỘNG TOOLBOX 1. Các đối tượng chữ: Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách tạo và dùng các đối tượng chữ. Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến chữ mặc định. Symbolic Math Toolbox định nghĩa một kiểu dữ liệu MATLAB mới gọi là đối tượng chữ hay sym. Bên trong, một đối tượng chữ là một cấu trúc số liệu mà nó lưu biểu diễn chuỗi các kí tự. Symbolic Math Toolbox dùng các đối tượng chữ để biểu diễn các biến chữ, các biểu thức chữ, các ma trận chữ. 2. Tạo các biến và các biểu thức chữ: Lệnh sym cho phép ta xây dựng các biến và các biểu thức chữ. Ví dụ lệnh: 85 x = sym(ʹxʹ) a = sym(ʹalphaʹ) tạo ra các biến chữ là x và a với x là x và a là alpha. Giả sử ta muốn ta muốn dùng biến chữ để biểu diễn tỉ lệ vàng 1+ ρ= Ta dùng lệnh: rho = sym(ʹ(1 + sqrt(5))/2ʹ) Bây giờ ta có thể thực hiên các phép tốn khác nhau với rho. Ví dụ : f = rho^2 ‐ rho ‐ 1 f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2‐3/2‐1/2*5^(1/2) Ta rút gọn biểu thức: simplify(f) ans = 0 Bây giờ giả sử ta muốn giải phương trình bậc 2 f = ax + bx + c Phát biểu: f = sym(ʹa*x^2 + b*x + cʹ) gán biểu thức chữ ax2 + bx + c cho biến f. Tuy nhiên trong trường hợp này Symbolic Math Toolbox khơng tạo ra các biến tương ứng với các số hạng a, b, c và x trong biểu thức. Để thực hiện các phép tốn bằng chữ(ví dụ tích phân, đạo hàm, thay thế v.v) trên f ta phải tạo các biến một cách rõ ràng, nghĩa là cần viết: a = sym(ʹaʹ) b = sym(ʹbʹ) c = sym(ʹcʹ) x = sym(ʹxʹ) hay đơn giản là : syms a b c x Nói chung là ta có thể dùng sym hay syms để tạo các biến chữ nhưng nên dùng syms để tiết kiệm thời gian. 2. Biến đổi giữa số và chữ: a. Tạo các biến thực và phức: Lệnh sym cho phép ta mơ tả các thuộc tính tốn học của các biến chữ bằng cách dùng tuỳ chọn real. Phát biểu: x = sym(ʹxʹ,ʹrealʹ); y = sym(ʹyʹ,ʹrealʹ); hay hiệu quả hơn: 86 syms x y real z = x + i*y tạo ra biến chữ x và y có thuộc tính là số thực. Đặc biệt: f = x^2 + y^2 thực sự là số khơng âm. Như vậy z là biến phức và các lệnh: conj(x) conj(z) expand(z*conj(z)) cho kết quả: return the complex conjugates of the variables x x ‐ i*y x^2 + y^2 Lệnh conj là tốn tử tạo số phức liên hợp. Để xóa thuộc tính real của x ta dùng lệnh: syms x unreal hay: x = sym(ʹxʹ,ʹunrealʹ) Lệnh clear x khơng xố thuộc tính số real của x. b. Tạo các hàm trừu tượng: Nếu ta muốn tạo một hàm trừ tượng(nghĩa là một hàm khơng xác định) f(x) cần dùng lệnh: f = sym(ʹf(x)ʹ) Khi này f hoạt động như là f(x) và có thể xử lí bằng các lệnh toolbox. Ví dụ để tính vi phân bậc 1 ta viết: df = (subs(f,ʹxʹ,ʹx+hʹ) – f)/ʹhʹ hay syms x h df = (subs(f,x,x+h)–f)/h trả về: df = (f(x+h)‐f(x))/h ứng dụng này của hàm sym sẽ rất hữu ích trong biến đổi Fourrier, Laplace và z. c. Dùng sym để truy cập các hàm của Maple: Ta có thể truy cập hàm giai thừa k! của Maple khi dùng sym. kfac = sym(ʹk!ʹ) Để tính 6! hay k! ta viết (lưu trong ct5_1.m): 87 syms k n subs(kfac,k,6) ans = 720 subs(kfac,k,n) ans = n! hay nếu tính 12! ta cũng có thể viết: prod(1:12) d. Ví dụ tạo ma trận chữ: Một ma trận vịng là ma trận mà hàng sau có được bằng cách dịch các phần tử của hàng trước đi 1 lần.Ta tạo một ma trận vòng A bằng các phần tử a, b và c: syms a b c A = [a b c; b c a; c a b] kết quả: A = [ a, b, c ] [ b, c, a ] [ c, a, b ] Do A là ma trận vòng tổng mỗi hàng và cột như nhau: sum(A(1,:)) ans = a+b+c sum(A(1,:)) = = sum(A(:,2)) ans = 1 Bây giờ ta thay A(2,3) bằng beta và b bằng alpha: syms alpha beta A(2,3) = beta; A = subs(A,b,alpha) A = [ a, alpha, c] [ alpha, c, beta] [ c, a, alpha] Từ ví dụ này ta thấy dùng các đối tượng chữ cũng tượng tự như dùng số trong MATLAB. 88 e. Biến chữ mặc định: Khi dùng các hàm tốn học,việc chọn các biến độc lập thường rất rõ ràng. Ví dụ xem bảng sau: Hàm toán học Lệnh MATLAB f = xn f = x^n g = sin(at+b) g = sin(a*t+b) h = Jv(z) h = besselj(nu,z) Nếu ta tìm đạo hàm của các hàm này nhưng khơng mơ tả biến độc lập (nghĩa là đạo hàm theo biến nào) thì kết quả là: f’ = nxn‐1 gʹ = acos(at + b) hʹ =J v (z)(v/z)‐Jv+1(z). Như vậy các biến độc lập là x, t và z. MATLAB hiểu các biến độc lập là các chữ thường và nằm ở cuối bảng chữ cái như x, y, z. Khi khơng thấy các chữ cái này, MATLAB sẽ tìm chữ gần nhất và coi đó là biến độc lập. Các biến khác như n, a, b và v được coi là hằng hay thông số. Tuy nhiên ta có thể lấy đạo hàm của f theo n bằng cách viết rõ biến độc lập ra. Ta dùng các lệnh sau để tạo ra các hàm( lưu trong ct5_2.m): syms a b n nu t x z f = x^n; g = sin(a*t + b); h = besselj(nu,z); Để đạo hàm hàm f ta viết: diff(f); ans = x^n*n/x Trong ví dụ trên x là biến độc lập. Nếu muốn tính đạo hàm của f theo n ta cần viết: diff(f,n) ans = x^n*log(x) 4. Tạo các hàm tốn học bằng chữ: a. Dùng các biểu thức chữ: Các lệnh: syms x y z 89 r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) t = atan(y/x) f = sin(x*y)/(x*y) tạo ra các biểu thức chữ r, t và f. Ta có thể dùng các lệnh diff, int, subs hay các lệnh Symbolic Math Toolbox khác để xử lí các biểu thức như vậy. b. Tạo các M‐file: M‐file cho phép ta dùng các hàm tổng quát hơn. Ví dụ ta muốn tạo ra hàm sinc = sin(x)/x ta sẽ viết một M‐file (sinc.m) có nội dung như sau: function z = sinc(x) if isequal(x,sym(0)) z = 1; else z = sin(x)/x; end Ta có thể mở rộng các ví dụ như vậy cho các hàm và biến khác nhau. §3. TÍNH TỐN 1. Đạo hàm: Ta tạo biểu thức chữ: syms a x f = sin(a*x) Vậy thì: df = diff(f) tính đạo hàm của hàm f(x) theo x. Kết quả là: df = cos(a*x)*a Để tính đạo hàm của f theo a ta viết: dfa = diff(f,a) kết quả: dfa= cos(a*x)*x Hàm toán học Lệnh MATLAB f = xn f = x^n ‐1 f’ = nxn diff(f) hay diff(f,x) g = sin(at+b) g = sin(a*t+b) g’ = acos(at+b) diff(g) hay diff(g,t) 90 h = besselj(nu,z) h = Jv(z) h’ = Jv(z)(v/z) ‐ diff(h) hay diff(h,z) Jv+1(z) Để tính đạo hàm bậc 2 của f theo x và a ta viết: diff(f,2) ans = ‐ sin(a*x)*a^2 diff(f,x,2) ans = ‐ sin(a*x)*x^2 Hàm diff có thể dùng đối số là ma trận. Trong trường hợp này đạo hàm được thực hiện trên từng phần tử. Ví dụ: syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x);‐sin(a*x),cos(a*x)] kết quả: A = [ cos(a*x), sin(a*x)] [‐sin(a*x), cos(a*x)] lệnh : dy = diff(A) cho kết quả: dy = cos(a*x)*a] [ ‐sin(a*x)*a, [ ‐cos(a*x)*a, ‐sin(a*x)*a] Ta khảo sát biến đổi từ toạ độ Euclid(x,y,z) sang tạo độ cầu (r, λ, ϕ) thực hiện bằng các cơng thức: x = rcosλcosϕ y = rcosλsinϕ z= rsinλ Để tính ma trận Jacobi J của phép biến đổi này ta dùng hàm jacobian. Định nghĩa toán học của J là: ∂( x , y , z ) J= ∂(r , λ , ϕ) Để dễ viết ta dùng kí tự l thay cho λ và f thay cho ϕ. Các lệnh (lưu trong ct5_5.m): syms r l f 91 x = r*cos(l)*cos(f); y = r*cos(l)*sin(f); z = r*sin(l); J = jacobian([x; y; z], [r l f]) cho ta kết quả: J = [ cos(l)*cos(f), –r*sin(l)*cos(f), –r*cos(l)*sin(f) ] [ cos(l)*sin(f), –r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)] [ sin(l), r*cos(l), 0] và lệnh : detJ = simple(det(J)) cho: detJ = –cos(l)*r^2 Chú ý là đối số thứ nhất của hàm jacobian phải là vec tơ cột và đối số thứ hai là vec tơ hàng. Hơn nữa do định thức của ma trận Jacobian là biểu thức lượng giác khá phức tạp nên ta dùng lệnh simple để thay thế và rút gọn. Bảng sau tổng hợp hàm diff và hàm jacobian Toán tử toán học Lệnh MATLAB f = exp(ax + b) syms a b x f = exp(a*x + b) df diff(x) hay dx diff(f,x) df diff(f,a) da d2f diff(f,a,2) da syms r t u v r = u2 + v2 t = arctan(v/u) r = u^2 + v^2 t = atan(v/u) ∂( r , t ) J = jacobian([r ; t],[u , v]) J= ∂( u , v ) 2. Giới hạn: Đạo hàm của một hàm là giới hạn sau đây nếu nó tồn tại : f ( x + h ) − f ( x) f ′( x) = lim h →0 h 92 Symbolic Math Toolbox cho phép giới hạn của một hàm một cách trực tiếp hơn. Lệnh: syms h n x dc = limit( (cos(x+h) – cos(x))/h,h,0 ) cho kết quả: dc = –sin(x) và : limit( (1 + x/n)^n,n,inf ) cho: ans = exp(x) minh hoạ 2 trong số các giới hạn quan trọng của toán học:đạo hàm(trong trường hợp cosx) và hàm mũ. Trong khi nhiều giới hạn : lim f( x) x→ a là “hai phía”(nghĩa là kết quả như nhau cho dù x tiến tới bên phải hay bên trái của a) lại có những hàm giới hạn phải và trái khác nhau. Do đó 3 giới hạn: 1 lim , lim , lim x→0 x x → −0 x x → +0 x cho 3 kết quả khác nhau: khơng xác định , ‐∞ và +∞ Trong trường hợp khơng tồn tại gới hạn Symbolic Math Toolbox trả về kết quả NaN. Ví dụ: limit(1/x,x,0) cho: ans = NaN Lệnh: limit(1/x,x,0,ʹleftʹ) cho: ans = –inf Lệnh: limit(1/x,x,0,ʹrightʹ) cho: ans = inf Như vậy limit(f) tương đương với limit(f,x,0). Bảng sau cho các giới hạn: 93 Hàm toán học Lệnh MATLAB lim f( x) limit(f) x→ lim f( x) lim f( x) limit(f,x,a) limit(f,a) limit(f,x,a,’left’) lim f( x) limit(f,x,a,’right’) x→ a x→ −a x→+a hay 3. Tích phân: a. Các vấn đề chung: Nếu f là một biểu thức chữ thì int(f) tìm một biểu thức khác F sao cho diff(F) = f. Như vậy int(f) cho ta tích phân bất định của f. Tương tự như đạo hàm int(f,v) lấy tích phân theo biến độc lập v. Ta có bảng sau: Hàm tốn học Lệnh MATLAB xn +1 int(x^n) hay n = x dx ∫ int(x^n,x) n+1 π int(sin(2*x),0,pi/2) hay int(sin(2*x),x,0,pi/2) ∫ sin( 2x)dx = g = cos(at+b) ∫ g( t)dt = a sin(at + b) g = cos(a*t + b) int(g) hay int(g,t) ∫ J1 ( z)dz = − J ( z) int(besselj(1,z) hay int(besselj((1,z),z) Khi MATLAB khơng tìm được tích phân nó viết lại lệnh đã nhập vào. b. Tích phân với hằng số thực: Một trong các vấn đề khi tính tích phân là giá trị của các thơng số. Ta xét hàm e −( kx ) Hàm này rõ ràng là có giá trị dương với mọi k và x và có dạng hình chng. Giá trị của hàm tiến đến 0 khi x→±∞ với mọi số thực k. Ta lấy ví dụ k = và vẽ đồ thị của hàm bằng các lệnh ( lưu trong ct5_6.m): syms x k = sym(1/sqrt(2)); f = exp(–(k*x)^2); ezplot(f) 94 menu con Select All trong menu Edit và chọn điều kiện biên Neumann cho tất cả các biên. Sau đó sửa lại điều kiện biên cho hai phía của thanh. Phía trái chọn điều kiện biên Dirichlet với r = 100. Phía bên phải chọn điều kiện biên Neumann với g = ‐10. Bước tiếp theo là mở hộp thoại PDE Specification và nhập vào các hệ số của PDE. PDE parabolic tổng quát mà PDE Toolbox xử lí có dạng: ∂u d − ∇.(∇u) + au = f ∂t với điều kiện đầu u0 = u(t0) và thời gian tính nghiệm mơ tả trong mảng tlist. Như vậy trong trường hợp này ta có d = 1, c = 1, a = 0 và f = 0. Khởi gán các lưới và làm tinh lại. Điều kiện đầu u0 = 0 và khoảng thời gian được nhập vào là [0:0.5:5]. Ta nhập chúng vào hộp thoại Solve Parameters từ menu Solve. Bây giờ ta có thể giải bài tốn. Để thấy được q trình truyền nhiệt ta đánh dấu vào ô Animation trong hộp thoại Plot selection. Nên chọn màu là colormap hot. Chú ý là nhiệt độ của khối tăng rất nhanh. Bài toán này được lưu trong ct8_9.m. b. Phân bố nhiệt trong thanh phóng xạ: Bài tốn phân bố nhiệt này là một ví dụ về bài tốn 3‐D PDE parabolic được biến đổi thành bài tốn 2‐D nhờ dùng toạ độ trụ. Ta khảo sát một thanh phóng xạ hình trụ. Tại cuối bên trái của thanh nhiệt được gia tăng liên tục. Đầu cuối bên phải có nhiệt độ khơng đổi. Tại biên bên ngồi, nhiệt được trao đổi với mơ trường bằng truyền nhiệt. Tại một thời điểm,nhiệt độ được tạo ra khơng đồng đều trong tồn bộ thanh do q trình phóng xạ. Giả sử ban đầu nhiệt độ bằng 0. Điều này đưa tới bài tốn sau: ∂u ρC − ∇.( k∇u) = f ∂t Trong đó ρ là mật độ, C là nhiệt dung riêng của thanh, k là hệ số dẫn nhiệt và f là nguồn nhiệt phóng xạ. Mật độ của kim loại là 7800kg/m3, nhiệt dung riêng là 500Ws/kg0C, độ dẫn nhiệt là 40W/m0C. Nguồn nhiệt là 20000W/m3. Nhiệt độ ở một đầu thanh là 1000C. Nhiệt độ mơi trường bên ngồi là 1000C và hệ số truyền nhiệt là 50W/m20C. Dịng nhiệt ở cuối bên trái là 5000 W/m2. Nhưng đây là bài tốn hình trụ, như vậy ta cần biến đổi phương trình, dùng các toạ độ trụ r , z và θ. Do tính đối xứng, nghiệm khơng phụ thuộc θ. Như vậy phương trình đã biến đổi là: ∂u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ rρC − ⎜ kr ⎟ − ⎜ kr ⎟ = fr ∂t ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ Điều kiện biên là: 168 r • n.( k∇u ) = 5000 ở đầu cuối bên trái của thanh(điều kiện biên Neumann). r Do điều kiện Neumann tổng qt hố trong PDE Toolbox là n (c∇u)+qu = g và c phụ thuộc vào r trong bài tốn này( c= kr),điều kiện biên này được biểu diễn r bằng biểu thức n.(c∇u) = 5000r. • u = 100 tại đầu cuối bên phải của thanh(điều kiện biên Dirichlet) r • n.(k∇u)= 50(100‐u) tại biên bên ngoài(điều kiện biên Neumann tổng qt hố). Trong PDE Toolbox nó được biểu diễn bằng: r n.(c∇u)+ 50r.u = 50r.100. • trục của hình trụ r = 0 khơng phải là biên trong bài tốn gốc nhưng khi r biến đổi thành 2‐D thì lại là biên.Ta phải cho một điều kiện biên n.(c∇u) = 0 tại đây. Giá trị đầu là u(t0) = 0 Mơ hình thanh là hình chữ nhật dọc theo trục x và trục y hướng r. Ta vẽ hình chữ nhật với các góc (‐1.5,0), (1.5,0), (1.5,0.2), (‐1.5,0.2), nghĩa là cần nhập các số [‐1.5 0.0 3 0.2] vào Object Dialog của phần tử R1. Nhập điều kiện biên Neumann cho đầu cuối bên trái với q = 0 và g = 5000*y. Nhập điều kiện biên Dirichlet cho đầu cuối bên phải với h = 1và r = 100. Đối với biên ngồi dùng điều kiện biên Neumann với q = 50*y và g = 50*y*100. Trên trục ta dùng điều kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Các hệ số của phương trình c = 40*y, a = 0, d = 7800*500*y và f =20000*y. 3. Các ví dụ về bài tốn hyperbolic: a. Phương trình sóng: Ta khảo sát sóng tạo ra từ dao động của một màng hình vng có các góc (‐1,‐1),(‐1,1),(1,‐1) và (1,1). Phương trình dao động có dạng: ∂2u − ∆u = ∂t ∂u = ⎞⎟ ở Màng được cố định(u = 0) tại cạnh phải và cạnh trái và tự do ⎛⎜ ⎝ ∂n ⎠ ∂u( t ) ⎞ cạnh trên và cạnh dưới. Ngoài ra, ta cần giá trị đầu u(t0) và ⎛⎜ ⎟ Giá trị ⎝ ∂t ⎠ đầu phải khớp với điều kiện biên. Nếu ta bắt đầu tại t = π sin ⎛⎜ y ⎞⎟ ∂u(0) π ⎞ ⎛ ⎝2 ⎠ là các giá trị đầu thoả mãn 0,thì u(0) = arctan⎜ cos x ⎟ và = sin( πx)e ⎠ ∂t ⎝ điều kiện biên. Ta dùng PDE Toolbox với mode Generic Scalar. Vẽ hình chữ nhật với các góc như trên, nghĩa là ta phải điền vào Object Dialog các số: [ ‐1 ‐1 2 2]. Sau đó ta xác định điều kiện biên và khởi gán lưới. Mở hộp thoại PDE 169 Specification để nhập các giá trị của hệ số của phương trình. Do phương trình tổng qt có dạng: ∂2u d − ∇.(c∇u) + au = f ∂t nên với phương trình sóng ta có c = 1, a = 0, f = 0 và d = 1. Trước khi giải phương trình chọn Parameters từ menu Solve để mở hộp thoại Solve Parametes. Trong mục times nhập linspace(0, 5, 31), giá trị đầu của u ta nhập atan(cos(pi/2*x)), và đạo hàm của u bằng: 3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y)). Cuối cùng nhấn nút = để giải phương trình. Bài tốn này được lưu trong ct8_11.m. 4. Các ví dụ về các bài tốn giá trị riêng: a. Các giá trị riêng và hàm riêng của màng dạng L: Bài tốn tìm các giá trị riêng và các hàm riêng tương ứng của một màng dạng L hấp dẫn người dùng MATLAB, vì vẽ hàm riêng đầu tiên là logo của MathWorks. Thực tế, có thể so sánh các giá trị riêng và hàm riêng tính bằng PDE Toolbox và các giá trị riêng và hàm riêng tạo bởi hàm membrane của MATLAB. Bài tốn được giải với tất cả các mode riêng và có các giá trị riêng nhỏ hơn 100 đối với bài tốn PDE eigenmode: ‐∆u = λu trên hình dạng của màng L, u = 0 trên biên(điều kiện biên Dirichlet). Kích hoạt pdetool và kiểm tra xem ta đã ở Generic Scalar chưa. Sau đó vẽ hình L có các góc (0,0), (‐1,0), (‐1,‐1), (1,‐1),(1,1), và (0,1) bằng cách dùng nút polygon. Khơng cần xác định điều kiện biên đối với bài tốn này vì điều kiện biên mặc định u = 0 trên biên là phù hợp. Do đó ta có thể thực hiện bước tiếp theo là tạo lưới. Sau đó ta tinh chỉnh lại lưới hai lần. Xác định bài tốn giá trị riêng PDE cũng dễ. Ta mở hộp thoại PDE Specification và chọn Eigenmodes. Các giá trị mặc định của các hệ số của phương trình c =1, d = 1 và a = 0 khớp với bài tốn. Như vậy ta có thể thốt khỏi hộp thoại PDE Specification bằng cách nhấn nút OK. Ta mở hộp thoại Solve Parameters và xác nhận phạm vi [0,100] là đúng.Cuối cùng giải bài toán bằng nhấn nút =. Giá trị riêng đầu tiên(nhỏ nhất) được hiển thị. Ta tìm số lượng giá trị riêng trên đường thơng tin ở cuối GUI. Ta có thể mở hộp thoại Plot Selection và chọn giá trị riêng cần vẽ bằng cách chọn menu có giá trị riêng tương ứng. Bài tốn này được lưu trong ct8_12.m. b. Các giá trị riêng và mode riêng của màng hình vng: Ta nghiên cứu các giá trị riêng và mode riêng của một hình vng. Các góc của hình vng là 170 (‐1,‐1), (‐1,1), (1,1), and (1,‐1). Điều kiện biên như sau: • trên biên bên trái, điều kiện biên Dirichlet u = 0 ∂u = 0 ∂n • trên biên trên và dưới, điều kiện biên Neumann • trên biên bên phải, điều kiện biên Neumann tổng qt hố ∂u − u = ∂n Bài toán PDE giá trị riêng là: ‐∆u = λu Chúng ta quan tâm đến các giá trị riêng nhỏ hơn 10 và mode riêng tương ứng sao cho phạm vi nghiên cứu là [ ‐Inf 10]. Dấu của điều kiện biên Neumann tổng qt hố sao cho ta có giá trị riêng âm. Ta dùng pdetool GUI theo kiểu Generic Scalar. Vẽ hình vng dùng menu Draw. Sau đó ta xác định điều kiện biên trên biên bên phải là g = 0 và q = ‐3/4(điều kiện biên Neumann); điều kiện biên bên trái là u = 0(điều kiện biên Dirichlet); điều kiện biên trên và dưới là g = 0 và q = 0(điều kiện biên Neumann). Khởi gán lưới và tinh chỉnh lại một lần. Các hệ số của phương trình là: c = 1, a = 0 và d = 1. Khoảng giải bài tốn trong Solve Parameters là [‐ Inf 10]. Cuối cùng nhấn = để giải bài tốn. Bài tốn được lưu trong ct8_13.m. 5. Các dạng ứng dụng: a. Các kiểu ứng dụng và GUI: PDE Toolbox có thể áp dụng cho một số rất lớn bài tốn khoa học và kĩ thuật. Các kiểu ứng dụng có thể có của nó là: • Generic scalar (kiểu mặc định) • Generic system • Structural Mechanics ‐ Plane Stress • Structural Mechanics ‐ Plane Strain • Electrostatics • Magnetostatics • AC Power Electromagnetics • Conductive Media DC • Heat Transfer • Diffusion Chú ý là nếu dùng GUI, bài tốn bị giới hạn ở hàm 2 biến. Sử dụng các hàm dịng lệnh sẽ không gặp giới hạn này. Lựa chọn mode được thực hiện trên menu và khi đó các hệ số và điều kiện biên mặc định sẽ được tự động thay đổi cho phù hợp. b. Cơ học kết cấu ‐ ứng suất bề mặt: Trong cơ học kết cấu, các phương 171 trình quan hệ giữa ứng suất và lực kéo phát sinh từ sự cân bằng lực trong vật thể. Ứng suất bề mặt là một điều kiện phổ biến trong một đĩa phẳng trong mặt phẳng xy chịu tải chỉ trong mặt phẳng khơng liên quan đến hướng z. Quan hệ lực ‐ ứng suất có thể được viết trong điều kiện đẳng hướng và đẳng nhiệt: ⎛1 ν ⎛ σx ⎞ ⎞⎟⎛ ε x ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E ⎜ ⎟⎜ ε ⎟ ν ⎜ σy ⎟ = y ⎜ τ ⎟ − ν ⎜ 0 − ν ⎟⎜ γ ⎟ ⎟ xy ⎜ ⎝ xy ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Trong đó σx và σy là ứng suất theo hướng x và y; τxy là ứng suất cắt. Tính chất của vật liệu được biểu diễn như là kết hợp của E‐mơ đun đàn hồi hay mơ đun Young và ν‐tỉ số Poisson. Sự biến dạng của vật liệu được mơ tả bằng sự dịch chuyển theo hướng x và hướng y là u và v và được xác định như sau: ∂u ∂v ∂v ∂u + εx = ; εy = ; γ xy = ∂y ∂x ∂x ∂y Phương trình cân bằng lực là: ∂σ ∂τxy = Kx − x− ∂y ∂x ∂σ y ∂τxy = Ky − − ∂x ∂y Trong đó Kx và Ky là lực khối. Kết hợp các quan hệ trên, chúng ta có phương trình dịch chuyển : − ∇.( c ⊗ ∇u) = k Trong đó c là hạng của tenxơ bậc 4 mà ta có thể viết như 4 ma trận 2*2: ⎛ 2G + µ ⎞ ⎟⎟ c11 = ⎜⎜ G ⎝ ⎠ ⎛ µ⎞ ⎟⎟ c12 = ⎜⎜ G ⎝ ⎠ ⎛ G⎞ ⎟⎟ c 21 = ⎜⎜ ⎝µ ⎠ ⎞ ⎛G ⎟⎟ c 22 = ⎜⎜ ⎝ 2G + µ ⎠ Trong đó G là mo đun cắt, xác định bằng: E G= 2(1 + ν) và µ được xác định bằng: 172 µ = 2G ν 1− ν và ⎛ Kx ⎞ k = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝Ky ⎠ là lực khối. Đây là phương trình PDE elliptic của một hệ(u là 2 chiều) nhưng ta chỉ cần để lựa chọn kiểu ứng dụng Structural Mechanics, Plan Stress và nhập các thơng số phụ thuộc vật liệu E và ν và lực khối vào hộp thoại PDE Specification. Trong kiểu này chúng ta cũng giải bài tốn giá trị riêng được mơ tả bằng: − ∇.( c ⊗ ∇u) = λ d u ⎛ρ 0⎞ ⎟⎟ d = ⎜⎜ ⎝ ρ⎠ với ρ là mật độ và cũng được nhập bằng hộp thoại PDE Specification. Trong hộp thoại Plot Selection, dịch chuyển theo trục x và trục y là u và v và giá trị tuyệt đối của vec tơ dịch chuyển (u,v) có thể nhìn thấy bằng cách dùng màu, đường đồng mức hay độ cao z và trường vec tơ dịch chuyển (u,v) có thể vẽ bằng cách dùng mũi tên hay lưới biến đổi. Hơn nữa,ta có thể chọn từ 15 biểu thức ten xơ vơ hướng: ∂u • ux = ∂x ∂u • uy = ∂y ∂v • vx = ∂x ∂v • vy = ∂y exx, lực căng theo hướng x(εx) • eyy, lực căng theo hướng y (εy) • exy, lực cắt(γxy) • sxx, ứng suất theo hướng x(σx) • syy, ứng suất theo hướng y(σy) • sxy, ứng suất cắt (τxy) • e1, lực chính thứ nhất (ε1) • e2, lực chính thứ 2 (ε2) • s1, ứng suất chính thứ nhất(σ1) •s2, ứng suất cơ bản thứ 2(σ2) • 173 • ứng suất hiệu dụng theo Mises ( σ12 + σ 22 − σ1σ2 ) Ta khảo sát một tấm thép bị nén bởi một lực vng góc với cạnh bên dưới và kéo ở đoạn cắt trịn bên trên. Các cạnh khác tự do. Tấm thép có các đặc tính sau: kích thước 1m*1m; dày 1mm; ghép 1/3‐1/3m; vết cắt trịn từ (2/3,1) đến (1,2/3). Mo đun Young là 196.103MN/m2; tỉ số Poisson 0.31. Biên cong chịu một lực kéo ra ngồi với trị số 500N/m. Ta cần mơ tả lực kéo trên bề mặt nên ta chia cho chiều dày 1mm và như vậy có lực 0.MN/m2. Ta cần tính lực và ứng suất theo hướng x và hướng y. Với bài toán này ta chọn mode Structural Mechanics, Plane Stress. Mơ hình CSG có thể thực hiện bằng cách vẽ đa giác có các góc với x = [0 2/3 1 1 1/3 1/3 0] và y = [1 1 2/3 0 0 1/3 1/3] và hình trịn có tâm tại x = 2/3, y = 2/3 và bán kính1/3. Mơ hình là P1+E1. Tiếp đó chọn Boundary Mode để mơ tả điều kiện biên. Trước hết bỏ hết các biên của vùng con bằng cách chọn Remove All Subdomain Borders từ menu Boundary. Hai biên ở góc dưới phải bị nén, nghĩa là điều kiện biên Dirichlet với 0 bị bỏ. Góc cắt trịn có điều kiện biên Neumann với q = 0 và g1 = 0.5*nx và g2 = 0.5*ny. Các biên còn lại có điều kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Bước tiếp theo là mở hộp thoại PDE Selection và nhập các thơng số của PDE. Do khơng có lực nên Kx và Ky bằng 0 và ρ khơng dùng trong mode này. Vật liệu đồng nhất nên E và ν áp dụng cho tồn miền. Khởi gán lưới và tinh chỉnh lại nó. Giải bài tốn bằng cách nhấn nút = . Bài ttốn được lưu trong ct8_14.m. c. Cơ học kết cấu‐lực căng bề mặt: Trạng thái biến dạng trong đó khơng có dịch chuyển theo hướng z và dịch chuyển theo hướng x và y là hàm của x và y mà khơng phải của z được gọi là lực căng bề mặt. Ta có thể giải bài tốn về lực căng bề mặt với PDE Toolbox bằng chọn kiểu ứng dụng Structural Mechanics, Plane Strain. Quan hệ lực ‐ ứng suất chỉ khác ít so với trường hợp ứng suất phẳng và các chọn lựa như trên được dùng. Giao diện ứng dụng là ngnhtvi2kiungdngchcktcu.Sbindngtrongbitoỏnlc cngbmtkhỏcviphngtrỡnhngsutphngch: ãthụngsmtrongtenx c cxỏcnhl: = 2G − 2ν • ứng suất hiệu dụng Mises được tính bằng: (σ + σ 22 )(ν − ν + 1) − σ1σ (2ν − 2ν − 1) Bài toán tương tự như trên được lưu trong ct8_15.m. 174 c. Điện trường tĩnh: Các ứng dụng liên quan đến điện trường tĩnh bao gồm các thiết bị điện cao áp, các dụng cụ điện tử và các tụ điện. Chữ “tĩnh” bao hàm ý là sự thay đổi của các đại lượng theo t rất chậm và bước sóng rất lớn so với kích thước của vùng đang xét. Trong các bài tốn tĩnh điện, điện thế vơ hướng V quan hệ với cường độ điện trường E qua biểu thức: r E = −∇U Dùng phương trình Maxwell : r ∇D = ρ r r và quan hệ D = εE ta có phương trình Poisson: − ∇.(ε∇U) = ρ Trong đó ε là hệ số điện mối và ρ là mật độ điện tích khơng gian. Sử dụng các ứng dụng PDE Toolbox kiểu Electrostatics, ta có thể giải các bài tốn tĩnh điện được mơ hình hố bằng phương trình trên. Hộp thoại PDE Specification chứa mục vào cho ε và ρ. Điều kiện biên đối với các bài tốn tĩnh điện có thể là điều kiện biên Dirichlet hay Neumann. Với điều kiện biên Dirichlet, điện thế tĩnh U được mơ tả trên biên. Với điều kiện biên Neumann, r điện tích bề mặt n(ε∇U) được mơ tả trên biên. Để xem các nghiệm của bài tốn điện tĩnh phần vẽ bao gồm điện thế U, cường độ điện trường E, và vec tơ dịch chuyển điện D. Ta khảo sát bài tốn xác định điện thế tĩnh trong một khung hình vng chứa đầy khơng khí với biên trong có cạnh dài 0.2 và biên ngồi có cạnh 0.5. Tại biên trong điện thế là 1000V. Tại biên ngồi điện thế là 0V. Khơng có điện tích trong vùng khảo sát. Như vậy ta có phương trình Laplace: ∆U = 0 với điều kiện biên Dirichlet U = 1000 ở biên trong và U = 0 tại biên ngồi. Sau khi chọn kiểu ứng dụng là Electrostatics ta vẽ vùng xác định của bài tốn là 2 hình vng có cạnh 0.5 gọi là R1 và 0.2 gọi là R2(file ct8_16.m). Vùng 2‐D ta xét là R2 ‐ R1. Tiếp đó ta xác định điều kiện biên. Chọn tất cả biên trong bằng cách dùng Shift‐click và đặt điều kiện biên Dirichlet 1000. Điều kiện biên bên ngồi là 0. Mở hộp thoại PDE Specification và đặt rho = 0. Hệ số điện mơi có thể đặt bằng 1 vì nó là hằng nên khơng ảnh hưởng đến kết quả. Khởi gán lưới rồi nhấn nút = để giải phương trình. Để xem các đường đẳng thế, chọn Contour plot từ hộp thoại Plot Selection. d. Từ trường tĩnh: Nam châm, động cơ điện và máy biến biến áp là những lĩnh vực có từ trường tĩnh. Phương trình Maxwell đối với trường tĩnh là: 175 r r ∇× B = J r ∇.B = 0r r và quan hệ B = µH r Do ∇.B = nên tồn tại từ thế vec tơ A sao cho B = ∇×A và: r⎞ r ⎛1 ∇ × ì A = J Do.B=0nờntntitthvectAsaocho: B = ∇A r⎞ r ⎛1 Và: ∇ × ⎜ ∇ × A ⎟ = J ⎝µ ⎠ Trong trường hợp bài tốn 2‐D ta coi dịng điện chạy theo hướng z và như vậy vec tơ A chỉ có thành phần theo trục z: A = (0,0,A),J = (0,0,J), Và phương trình trên được đơn giản hố thành phương trình ellipptic: ⎛1 ⎞ − ∇.⎜ ∇A ⎟ = J ⎝µ ⎠ Trong đó : J = J(x,y). Với bài tốn 2‐D ta tính từ cảm B theo: r ⎛ ∂A ∂A ⎞ B = ⎜⎜ ,− ,0 ⎟⎟ ∂ y ∂ x ⎝ ⎠ và H được tính theo: r 1r H = B iukinbiờntrờnmtphõncỏchhaimụitrngkhỏcnhaul Hìnphiliờn A liờntc.iunykhụngũihisxlớcbitvỡtadựng tc,nghal µ ∂n cơng thức biến phân của bài tốn PDE. Trong vật liệu sắt từ, µ thường phụ thuộc vào B và do đó ta phải dùng phương pháp giải phi tuyến. Điều kiện biên Dirichlet mơ tả giá trị của từ thế A trên biên. Điều kiện biên Neumann mơ tả giá trị của thành phần pháp tuyến r⎛ ⎞ n⎜ ∇A ⎟ Điều này tương đương với việc mơ tả giá trị tiếp tuyến của H trên ⎝µ ⎠ biên. Ta khảo sát từ trường tĩnh tạo bởi cuộn dây stator của một động cơ điện một chiều hai cực. Ta coi động cơ rất dài nên có thể bỏ qua hiệu ứng biên và mụhỡnhtớnh2Dl.Tatớnhtrngtrong4vựng: 176 ãhaivựngsttlstatorvrotor ãkhehkhụngkhớgiastatorvrotor ãcundõyphnngcúiờnmtchiu. tthmà=1trongcundõyvtrongkhehkhụngkhớ.Trongstatorv max rotor ta có: µ = + µ + c ∇( A) µmax = 5000, µmin = 200 và c = 0.05 là các giá trị thường dùng đối với thép làm lõi máy điện. Mật độ dịng điện J = 0 tại mọi nơi trừ cuộn dây. Trong cuộn dây nó có trị số là 1. Hình dạng hình học của vùng xét cho thấy vec tơ A đối xứng so với trục y và đối xứng đổi dấu so với trục x. Do đó ta chỉ cần tính trường trong r⎛ ⎞ vùng x ≥ 0, y ≥ 0 với điều kiện biên Neumann n⎜ ∇A ⎟ trên trục x và điều kiện ⎝µ ⎠ biên Dirichlet A = 0 trên trục y. Trường bên ngồi động cơ có thể bỏ qua nên trên biên bên ngồi ta dùng điều liện biên Dirichlet A = 0. Hình dạng động cơ rất phức tạp, gồm 5 cung trịn và hai hình chữ nhật. Ta dùng pdetool GUI, đặt trục x có giới hạn từ [‐1.5 1.5] và trục y có giới hạn [‐ 1 1]. Đặt kiểu ứng dụng là Magnetostatics và dùng grid spacing là 0.1. Mơ hình là tổ hợp của hình trịn và hình chữ nhật. Ta khởi động pdetool vẽ mơ hình bằng các lệnh sau(lưu trong file ct8_17.m): pdecirc(0,0,1,ʹC1ʹ) pdecirc(0,0,0.8,ʹC2ʹ) pdecirc(0,0,0.6,ʹC3ʹ) pdecirc(0,0,0.5,ʹC4ʹ) pdecirc(0,0,0.4,ʹC5ʹ) pderect([–0.2 0.2 0.2 0.9],ʹR1ʹ) pderect([–0.1 0.1 0.2 0.9],ʹR2ʹ) pderect([0 1 0 1],ʹSQ1ʹ) Nhập lệnh sau (C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + R1 + R2)*SQ1 rồi bấm icon ∂Ω để đưa mơ hình về góc phần tư thứ nhất. Ta cần bỏ một số biên của vùng con. Dùng shift‐click, chọn biên và bỏ nó bằng cách dùng Remove Subdomain Border trong menu Boundary cho đến khi mơ hình có 4 vùng: stator, rotor, khe hở và cuộn dây. Trước khi chuyển sang PDE mode, chọn biên dọc theo trục x và đặt điều kiện biên Neumann với g = 0 và q = 0. Trong PDE mode chọn Show Subdomain Labels. Nhấp ỳp lờn tng vựngxỏcnhcỏcthụngscaPDE. ãtrongcundõycàvJubng1,nhvykhụngcnthayigiỏtr 177 mcnh. ãtrongstatorvrotoràlphituynvxỏcnhbngphngtrỡnhtrờn. Nhptrcaà:5000./(1+0.05*(ux.^2+uy.^2))+200vJ=0. ãtrongkhụngkhớà=1vJ=0 TakhigỏnlivtiptcbngcỏchmhpthoiSolveParametersv chncỏchgiiphituyn.GiibitoỏnvvBbngmitờnvngng thbngcontour.Bitoỏnlutrongct8_18.m. e. Trng in từ của nguồn ac: Bài toán về trường điện từ của nguồn xoay chiều xuất hiện khi ta nghiên cứu trường của các động cơ, m.b.a, vật dẫn có dịng điện xoay chiều. Chúng ta sẽ khảo sát trường trong mơi trường điện mơi đồng nhất có các hệ số ε & µ và khơng có điện tích trong ton min.TrngthomónhphngtrỡnhMaxwell: r r H ì E = ∂t r r ∂E r ∇×H = ε +J ∂t Khi khơng có dịng điện, hệ trường thoả mãn phương trình sóng với vận tốc truyền sóng là εµ : r r ∂ 2H ∆E − µε = ∂t r r ∂ 2E ∆H − µε = ∂t Chúng ta nghiên cứu một điện mơi đồng nhất khơng có điện tích, có các hệ số điện mơi là ε, độ từ thẩm là µ và độ dẫn điện là σ. Mật độ dịng điện là: r r J = σE và các sóng bị tắt dần do điện trở. Phương trình đối với E là: r r r ∂E ∂ 2E ∆E − µσ − µε = ∂t ∂t Phương trình đối với H cũng có dạng tương tự. Trường hợp trường biến thiên điều hồ ta dùng dạng phức, thay E bằng Ec e jωt Trường hợp bài tốn phẳng ta có Ec = (0,0,Ec) và J = (0,0,Jejωt) và từ trường là: r r H = (H x , H y ,0) = ì Ec jà PhngtrỡnhvụhngiviEctrthnh: ⎛1 ⎞ − ∇⎜ ∇Ec ⎟ + ( jωσ − ω2 ε)Ec = ⎝µ ⎠ 178 Phương trình này được dùng trong PDE Toolbox với dạng ứng dụng AC Power Electromagnetics. Nó là phương trình Helmholz phức mơ tả sự lan truyền của một sóng điện từ phẳng trong mơi trường điện mơi khơng hồn hảo và dẫn điện tốt(σ >> ωε). Hệ số điện môi phức εc định định nghĩa là: εc = ε − j σ ω Điều kiện biên ở bề mặt phân cách hai môi trường là điều kiện tự nhiên đối với công thức biến phân nên ta không cần chú ý. Các thông số PDE cần nhập vào hộp thoại PDE Specification là tần số góc ω, độ từ thẩm µ, độ dẫn điện σ và hệ số điện môi ε. Điều kiện biên kết hợp với mode này là điều kiện biên Dirichlet mô tả giá trị của Ec trên biên và điều kiện biên Neumann mô tả đạo hàm của Ec theo hướng pháp tuyến. Điều này tương đương với việc cho thành phần tiếp tuyến của vec tơ cường độ từ trường H: j ⎛1 ⎞ H t = n ⎜ ∇E c ⎟ ω Cỏcilngcúthtớnhtnghiml: r j r B = ìE ω và J = σE. Các đại lượng E, J, B, H và nhiệt lượng Q = Ec*Ec/σ có thể vẽ ra. Vec tơ B,H vẽ được nhờ dùng mũi tên. Ta xác định hiệu ứng mặt ngồi khi dịng điện xoay chiều chạy trong vật dẫn bằng đồng có tiết diện trịn. Độ dẫn điện của đồng là σ = 57.106 và độ từ thẩm là 1, nghĩa là µ = 4π.10‐7. Tại tần số f = 50Hz, ω2ε ≈ 0 và có thể bỏ qua. Do hiện tượng cảm ứng nên mật độ dịng điện bên trong thanh dẫn nhỏ hơn mặt ngồi là nơi có JS = 1 và điều kiện biên của trường là Ec = 1/σ. Trong trường hợp này có thể tìm nghiệm giải tích dạng: J ( kr ) J = JS J ( kR ) Trong đó k = jωµε , và R là bán kính của dây, r là khoảng cách đến tâm và J0(x) là hàm Bessel loại 1 bậc zero. Khởi động pdetool GUI và dùng mode AC Power Electromagnetics. Vẽ hình trịn bán kính 0.5 để biểu diễn mặt cắt ngang của dây dẫn (file ct8_19.m)và xác định điều kiện biên. Dùng tuỳ chọn Select All để chọn tất cả biên và nhập 1/57E6 và cho r trong hộp thoại Boundary Condition để xác định điều kiện biên Dirichlet(E = J/σ). Mở hộp thoại PDE Specification và nhập các thơng số. Tần số góc ω = 2*pi*50. Đánh dấu ơ Adaptive mode. Đặt số tam giác 179 là Inf và maximum numbers of refinements là 1. Khởi gán lưới và giải phương trình. Vẽ mật độ dịng điện là 3‐D. Bài tốn lưu trong ct8_19.m. f. Mơi trường dẫn dc: Khi với tính tốn q trình điện phân và điện trở nối đất ta gặp một mơi trường dẫn có độ dẫn σ và một dịng điện ổn định. Mật độ dịng điện J liên quan với cường độ điện trường E bằng phương trình J=σE. Kết hợp tính liên tục của phương trình ∇J = Q (Q là nguồn dịng) với định nghĩa điện thế U cho ta phương trình Poisson: − ∇(σ∇U) = Ta chỉ có 2 thơng số PDE là độ dẫn σ và nguồn dịng điện Q. Điều kiện biên Dirichlet gán các giá trị của điện thế U vào biên, thường là vật dẫn bằng kim loại. Điều kiện biên Neumann địi hỏi giá trị pháp tuyến của mật độ dịng điện (nσ(∇(U))) đã cho. Cũng có thể mơ tả điều kiện biên Neumann tổng qt hố được xác định bằng nσ(∇(U)) + qU = g, trong đó q có thể coi là một lớp mỏng dẫn điện. Điện thế U, cường độ điện trường E và mật độ dịng điện J có thể vẽ ra. Ta muốn thấy các đường dịng điện(trường vec tơ của J) và các đường thế của U. Các đường thế trực giao với đường dịng điện khi σ đẳng hướng. Ta xét hai thanh dẫn kim loại hình trịn được đặt trong một mặt phẳng, dẫn điện mỏng như tờ giấy thấm thấm đẫm nước biển. Mơ hình vật lí của bài tốn gồm phương trình Laplace đối với điện thế U: − ∇(σ∇U) = và các điều kiện biên: • U = 1 trên thanh dẫn trịn bên trái • U = ‐1 trên thanh dẫn trịn bên phải • điều kiện biên Neumann tự nhiên trên biên ngồi ∂U/∂n = 0 Độ dẫn σ = 1. Trong pdetool GUI dùng Conductive Media mode. Vẽ tờ giấy thấm là hình chữ nhật R1 có các góc (‐1.2, ‐0.6),(1.2, ‐0.6),(1.2, 0.6) và (‐1.2, 0.6). Vẽ thêm 2 hình trịn C1 và C2 có bán kính 0.2 và tâm tại (‐0.6, 0) và (0.6, 0). Bài tốn 2‐D (file ct8_20.m)được biểu diễn trong miền R1 ‐ (C1 + C2). Chọn tồn bộ biên ngồi và đặt điều kiện biên Neumann vào hộp thoại Boundary Condition. Đối với thanh dẫn trịn bên trái ta nhập điều kiện biên Dirichlet U = 1. Thanh dẫn trịn bên phải có điều kiện biên Dirichlet u = ‐1. Tiếp theo mở hộp thoại PDE Specification và nhập q = 0. Giá trị mặc định của σ =1 không cần thay đổi. Khởi gán lưới và tinh chỉnh 2 lần. Giải phương trình bằng nhấn nút =. Xem J bằng cách vẽ giá trị tuyệt đối và dùng contour plot và trường vec tơ bằng cách dùng mũi tên. 180 g. Truyền nhiệt: Phương trình truyền nhiệt có dạng: ∂T ρC − ∇( k∇T) = Q + h(Text − T) ∂t Đây là phương trình parabolic có các thơng số: • mật độ ρ • nhiệt dung C • hệ số dẫn nhiệt k • nguồn nhiệt Q • hệ số truyền nhiệt bằng đối lưu h • nhiệt độ bên ngồi Text Các điều kiện biên có thể là điều kiện biên Dirichlet(cho nhiệt độ trên biên) hay điều kiện biên Neumann(cho dòng nhiệt n.(k∇(T)). Điều kiện biên Neumann tổng qt n.(k∇(T) + qt = g (q là hệ số truyền nhiệt)cũng có thể được dùng. Ta có thể xem nhiệt độ, gradient nhiệt độ và dịng nhiệt k∇(T). Ta xét bài tốn truyền nhiệt với các vật liệu khác nhau. Bài tốn 2‐D gồm một hình vng quay 450(hình thoi). Vùng hình vng khác bằng vật liệu có hệ số dẫn nhiệt 10 và mật độ 2. Vùng hình thoi có nguồn nhiệt phân bố đều với trị số 4, có hệ số dẫn nhiệt 2 và mật độ 1. Cả 2 vùng có nhiệt dung 0.1. Khởi động pdetool ở kiểu Heat Transfert. Đặt giới hạn của trục x và y là [‐0.5 3.5] và chọn Axis Equal từ menu Option(file ct8_21.m). Vẽ hình vng có các góc (0, 0), (3, 0), (0, 3) và (3, 3) và hình thoi có các góc (1.5 0.5), (2.5 1.5), (1.5 2.5) và (0.5 1.5). Nhiệt độ bằng 0 trên tất các các biên ngồi và như vậy ta khơng cần thay đổi điều kiện biên mặc định. Nhấp đúp vào từng vùng để nhập các thông số PDE. Ta muốn giải phương trình truyền nhiệt parabolic vì vậy cần chọn cách giải parabolic. Trong vùng hình vng nhập mật độ 1, nhiệt dung 0.1, hệ số dẫn nhiệt 10. Do khơng có nguồn nhiệt nên nhập 0. Trong vùng hình thoi nhập mật độ 1, nhiệt dung 0.1, hệ số dẫn nhiệt 2, nguồn nhiệt 4. Số hạng (Text‐T) khơng dùng nên nhập h = 0. Do ta giải phương trình PDE động nên cần cho điều kiện đầu và thời gian tính nghiệm. Vì vậy mở hộp thoại Solve Parameter. Bài tốn xảy ra rất nhanh, đạt giá trị xác lập trong 0.1 đơn vị thời gian. Để bắt được phần quan trọng của đặc tính động, nhập time [0:0.01:0.1] như là vec tơ thời gian để giải phương trình nhiệt. Đặt giá trị đầu của nhiệt độ là 0. Giải bài tốn. Mặc định, nhiệt độ cuối q trình được vẽ. Cách tốt nhất để nhìn đặc tính động là hoạt 181 hình hố nghiệm. Khi hoạt hình hoá, đánh dấu Height và chọn Plot in x‐y grid. 182 ... 111 [ 1 /2* alpha+1 /2* (alpha ^2+ 2)^(1 /2) ] [ 1 /2* alpha‐1 /2* (alpha ^2+ 2)^(1 /2) ] [ 1 /2* alpha+1 /2* (alpha ^2? ? ?2) ^(1 /2) ] [ 1 /2* alpha‐1 /2* (alpha ^2? ? ?2) ^(1 /2) ] y = [ ‐alpha+(alpha ^2+ 2)^(1 /2) ] [ ‐alpha‐(alpha ^2+ 2)^(1 /2) ] ... 108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3) +2* a/(‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3))] [ ‐1/ 12* (‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3)+a/(‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3)‐ 1 /2* i*3^(1 /2) *(1/6*(‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3) +2* a/(‐... 1/6*(‐ 108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3)? ?2* a/(‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3)] [ ‐1/ 12* (‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3)+a/(‐ 108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3)+1 /2* i*3^(1 /2) *(1/6*(‐ 108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3) +2* a/(‐108+ 12* ( 12* a^3+81)^(1 /2) )^(1/3))]