đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 Môn: Toán ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 ) Bài 1 ( 2 điểm ): Cho đa thức: f(x) = x 4 + 6x 3 + 11x 2 + 6x 1/ Phân tích f(x) thành nhân tử. 2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là số chính phơng. Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho phơng trình ẩn x: 21 23 74 2 + = + x b x a xx x ; với x 1; x 2. Tìm a và b để phơng trình có nghiệm là bất kỳ số thực nào khác 1 và 2. Bài 3 ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y 2 + yz + z 2 = 1 - 2 3 2 x . Bài 4 ( 3,5 điểm ): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đờng thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đờng thẳng CD tại E. Đờng thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. 1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh. 2/ Chứng minh: AK 2 = KC . KE. 3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi. 4/ Tia AM cắt đờng thẳng CD ở G. Chứng minh rằng 22 11 AGAM + không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Bài 5 ( 1 điểm ): Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng: 1 1200820082008 2008 = ++ + ++ + ++ cca c bbc b aab a - Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: - Họ tên, chữ ký của ngời coi thi: Chú ý: Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm. đáp án, biểu điểm môn toán kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 ) Bài 1: 2 điểm; Mỗi câu 1 điểm. Câu 1: Lần lợt phân tích để có kết quả f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) Câu 2: Từ kết quả của câu 1 ta có: + A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x 2 + 3x )( x 2 + 3x + 2 ) + 1 ( 0,25 điểm ) + Đặt x 2 + 3x = t; ta có A = t( t + 2 ) = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1 ) 2 ( 0,25 điểm ) + Do x Z nên t = x 2 + 3x x Z; do đó ( t + 1 ) 2 Z và ( t + 1 ) 2 là số chính phơng. ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 2: 1,5 điểm. + Với x 1; x 2 ta có: )2)(1( )2()( )2)(1( 2 21 ++ = + = + xx baxba xx bbxaax x b x a ( 0,25 điểm ) + Do đó 21 23 74 2 + = + x b x a xx x với mọi x 1; x 2 )2)(1( )2()( )2)(1( 74 ++ = xx baxba xx x với mọi x 1; x 2 4x 7 = ( a + b )x ( 2a + b ) với mọi x 1; x 2 =+ =+ 72 4 ba ba ( 0,75 điểm ) + Từ đó tính đợc a = 3; b = 1. ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 3: 2 điểm + Ta có y 2 + yz + z 2 = 1 - 2 3 2 x 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 3x 2 3x 2 + 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 ( 1 ) x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x 2 2xy + y 2 + x 2 2xz + z 2 = 2 ( x + y + z ) 2 + ( x y ) 2 + ( x z ) 2 = 2 ( 1,0 điểm ) + Do ( x y ) 2 0; ( x z ) 2 0 nên từ ( * ) suy ra ( x + y + z ) 2 2 Hay - 22 ++ zyx ( 0,5 điểm ) + Dấu = xảy ra khi x y = 0 và x z = 0 hay x = y = z Thay vào ( 1 ) đợc 9x 2 = 2; x = 3 2 ; x = - 3 2 ( 0,25 điểm ) + KL: Với x = y = z = - 3 2 thì min B = - 2 Với x = y = z = 3 2 thì max B = 2 ( 0,25 điểm ) Bài 4: 3,5 điểm. N E I G K BA D C M Câu 1: 0, 75 điểm. + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE ( 0,25 điểm ) + Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE KM ( 0,25 điểm ) + Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi. ( 0,25 điểm ) Câu 2: 0, 75 điểm. + Từ tính chất hình vuông có ACK = 45 0 . ( 0,25 điểm ) + Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM. ( 0,5 điểm ) Câu 3: 1, 0 điểm. + Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB + ED. ( 0,25 điểm ) + Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do đó ME = EK. ( 0,25 điểm ) + Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Câu 4: 1, 0 điểm. + Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó 22 11 AGAM + = 22 11 AGAK + . ( 0,25 điểm ) + Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK 2 . AG 2 = KG 2 . AD 2 . ( 0,25 điểm ) + Mặt khác lại có KG 2 = AK 2 + AG 2 và AD = a nên ta có AK 2 . AG 2 = a 2 ( AK 2 + AG 2 ), hay 222 22 1 . aAGAK AGAK = + , suy ra 22 11 AGAK + = 2 1 a ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 5: 1 điểm. + Đặt vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A. + Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. ( 0,25 điểm ) + ở phân thức thứ nhất ta thay 2008 bởi tích abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ ba với b ta có: A = 1 2008 2008 200820082008 2008 = ++ ++ = ++ + ++ + ++ bbc bbc bbc bc bbc b bbc ( 0,75 điểm ) Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm quy định. . đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 Môn: Toán ( Thời gian làm bài: 120 phút. tên thí sinh: ; Số báo danh: - Họ tên, chữ ký của ngời coi thi: Chú ý: Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm. đáp án, biểu điểm môn toán kỳ thi chọn