ĐẠI HỌC HUẾ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG VẬN DỤNG CÁC MỨC ĐỘ HIỂU ĐỂ TẠO NÂNG ĐỠ CHO VIỆC HỌC TỐN CĨ CHẤT LƢỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU Huế, 2018 ĐẠI HỌC HUẾ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG VẬN DỤNG CÁC MỨC ĐỘ HIỂU ĐỂ TẠO NÂNG ĐỠ CHO VIỆC HỌC TỐN CĨ CHẤT LƢỢNG Chun ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN VUI Huế, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Hồng Nhung LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Vui, người thầy, người hướng dẫn khoa học tận tình hướng dẫn, bảo động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy suốt thời gian học tập trường ĐHSP Huế, Ban giám hiệu, học sinh trường THPT Phú Bài, THPT Dân tộc Nội trú tỉnh Thừa Thiên Huế tạo điều kiện thuận lợi giúp hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến khoa Tốn, phịng Sau đại học, anh chị bạn bè lớp Cao học Toán K25, đặc biệt học viên chun ngành LL&PPDH mơn Tốn trường ĐHSP Huế giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè sát cánh bên tôi, tạo điều kiện, ủng hộ tạo động lực cho suốt trình học tập thực luận văn Tơi mong nhận góp ý nhận xét để bổ sung cho thiếu sót khơng thể tránh khỏi luận văn Xin trân trọng cảm ơn! DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT CAPS Curriculum and Assessment Policy Statement MATH Mathematical Assessment Task Hierarchy NCTM National Council Of Teachers Of Mathematics OECD Organization for Economic Cooperation and Development PISA Programme for International Student Assessment SGK Sách giáo khoa SOLO Structure of the Observed Learning Outcome SPUR Skill, Properties, Uses, Representations THPT Trung học Phổ thông TIMSS Trends in International Mathematics and Science Study MỤC LỤC CHƢƠNG : MỞ ĐẦU .1 Đặt vấn đề Các mức độ hiểu toán nâng đỡ vừa sức học tập 3 Mục đích nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu .8 Tiểu kết chương CHƢƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC MỨC ĐỘ HIỂU VÀ CHẤT LƢỢNG HỌC TOÁN .10 Các mức độ hiểu toán 11 1.1 Phân loại tư Bloom 11 1.1.1 Phân loại tư Bloom nguyên (1956) .11 1.1.2 Phân loại tư Bloom sửa đổi (2001) 12 1.1.3 Đánh giá kiến thức toán với Bloom 13 1.2 Phân loại tư Marzano 14 1.3 Phân loại tư MATH .16 1.4 Tiếp cận đa chiều SPUR .18 1.4.1 Tiếp cận đa chiều SPUR .18 1.4.2 Tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tư MATH .20 1.4.3 Tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tư Bloom 21 1.4.4 Tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tư CAPS 22 Học toán có chất lượng .23 Mối liên hệ mức độ hiểu tốn học tốn có chất lượng 24 Tiểu kết chương 30 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU .31 Thiết kế nghiên cứu 31 Công cụ nghiên cứu 31 2.1 Nhiệm vụ mức độ Tái tạo .33 2.2 Nhiệm vụ mức độ Liên kết .36 2.3 Nhiệm vụ mức độ Suy luận 38 Tiểu kết chương 41 CHƢƠNG 4: PHƢƠNG PHÁP VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU .42 Định hướng phân tích kết 42 Phân tích kết nhiệm vụ .42 2.1 Kết nhiệm vụ 44 2.2 Kết nhiệm vụ 45 2.3 Kết nhiệm vụ 46 2.4 Kết nhiệm vụ 48 2.5 Kết nhiệm vụ 51 2.6 Kết nhiệm vụ 53 Tiểu kết chương 54 CHƢƠNG 5: THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN 55 Thảo luận câu hỏi nghiên cứu 55 1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ 55 1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai 56 Hướng phát triển đề tài .57 Tiểu kết chương 58 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 Phân loại mục tiêu Bloom sửa đổi .13 Bảng 2.2 Phân loại mục tiêu Marzano 16 Bảng 2.3 Phân loại tư MATH (Smith nnk, 1996) 17 Bảng 2.4 Ma trận trình nhận thức MATH hiểu khái niệm toán theo Usiskin 20 Bảng 2.5 Ma trận trình nhận thức Bloom hiểu khái niệm toán theo Usiskin 21 Bảng 2.6 Ma trận gồm q trình nhận thức tốn hiểu khái niệm toán cụ thể 22 Bảng 3.1 Ma trận khung đánh giá với nội dung toán cụ thể .32 Bảng 3.2 Bài toán đánh giá thơng hiểu tính chất biểu diễn .33 Bảng 3.3 Bài toán đánh giá việc sử dụng quy trình quen thuộc 34 Bảng 3.4 Bài toán đánh giá khả biểu diễn thông tin theo yêu cầu .36 Bảng 3.5 Bài toán đánh giá khả sử dụng phương pháp phù hợp 37 Bảng 3.6 Bài toán đánh giá khả vận dụng, đặt giả thuyết so sánh 38 Bảng 3.7 Bài toán đánh giá khả kiểm chứng chuyển thể 40 DANH MỤC HÌNH Hình 2.1 Phân loại tư Bloom nguyên (1956) .11 Hình 2.2 Phân loại tư Bloom sửa đổi (2001) .12 Hình 2.3 Bốn chiều hiểu toán theo tiếp cận SPUR .18 Hình 2.4 Sơ đồ bốn chiều hiểu tốn Phương trình bậc hai 19 Hình 2.5 Hiểu tốn chất lượng học tốn 29 Hình 3.1 Thang mức độ nhận thức theo SPUR – MATH 32 CHƢƠNG MỞ ĐẦU Đặt vấn đề Ngày nay, nước đổi giáo dục toán để phù hợp với xu tồn cầu, khơng thể phủ nhận tụt hậu ngày xa giáo dục toán Việt Nam so với nước xung quanh so với yêu cầu tất yếu xã hội Những thay đổi khơng hợp lý dẫn đến giáo dục tốn dần phương hướng, chất lượng học tốn khơng có dấu hiệu cải thiện tốt Để giải vấn đề đó, đưa giáo dục tốn nước ta vươn lên sánh vai với giáo dục nước phát triển khác, giáo dục toán nước ta cần đổi chương trình dạy học, phương pháp dạy học chương trình đánh giá chất lượng học tốn tiên tiến Khi nhắc đến giáo dục tiên tiến phát triển hàng đầu, người ta nghĩ tới giáo dục Singapore Bởi lẽ Singapore quốc đảo nhỏ bé đứng đầu bảng xếp hạng giáo dục giới Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế PISA với học sinh thông minh xuất sắc vượt xa cường quốc Mỹ, Anh, Pháp hay Đức Là quốc gia có giáo dục phát triển hàng đầu giới với mức độ đồng cao nhất, Singapore áp dụng thành công phương pháp giáo dục “Từng bước một” (“Step – By – Step”) Phương pháp giúp học sinh phát triển tối đa khả tư logic, hướng dẫn học sinh giải tốn theo phương pháp tư khơng theo khn mẫu, quy trình định sẵn Các tập tốn vận dụng gần gũi với thực tế khơng khiến việc giải toán trở nên thú vị, tạo hứng thú tìm kiếm câu trả lời mà cịn giúp học sinh áp dụng tốn vào thực tiễn sống, khẳng định Toán học không xa rời thực tế Những nhà giáo dục quan tâm đến chất lượng học Chất lượng học thể trình học Để đánh giá chất lượng học học sinh, nhà giáo dục cần phải đánh giá hai khía cạnh: định lượng (học bao nhiêu) định tính (học tốt nào) (Trần Vui, 2018) Mọi người thừa nhận đánh giá định tính chiếm ưu Nhưng thực tế, vấn đề phải đối mặt đánh giá lực học sinh tốn học, giáo viên thường xuyên đánh giá phần Ngồi ra, có số học sinh khác tham gia trả lời Mặc dù làm khai thác liệu chưa xác dẫn đến bế tắc, lại cho thấy học sinh chịu khó tư duy, nỗ lực tìm kiếm hướng giải đưa ý tưởng thân em Dưới số ý tưởng tiếp cận giải vấn đề em đó: 50 2.5 Kết nhiệm vụ Nhiệm vụ lạ với học sinh, yêu cầu học sinh đưa dự đốn kết sau kiểm chứng dự đốn quy trình tốn học Nhiệm vụ 5.1 yêu cầu học sinh dự đoán kết mong muốn nhận giải thích sở cho dự đoán, nhiên học sinh dự đốn kết có học sinh có đưa sở cho dự đốn đó, cịn lại số nửa học sinh khơng tham gia trả lời Sau làm học sinh có đưa giải thích, lập luận chặt chẽ cho dự đốn mình: 51 Ngồi ra, có vài học sinh dự đoán giải thích ngắn gọn có số em đưa dự đoán ( t  0,5s ) khơng đưa giải thích sở cho dự đốn Học sinh đa số dự đốn sai “thời điểm hai chất điểm có vận tốc vị trí mà hai đồ thị giao nhau”, đưa dự đoán “thời điểm hai chất điểm vận tốc t0  0,75 (học sinh dựa vào vị trí giao hai đồ thị hình vẽ để dự đoán)” Với câu trả lời này, thấy nhiều học sinh chưa hiểu ý nghĩa đạo hàm Cần phải khắc phục tình trạng trước xảy kết đáng tiếc cho học sinh thời gian học toán Câu trả lời đại đa số học sinh sau: Tiếp nối nhiệm vụ 5.1, nhiệm vụ 5.2 bước học sinh kiểm chứng dự đoán quy trình tốn Việc thực quy trình tốn học có sẵn giả thiết dễ dàng với học sinh số học sinh trả lời tăng lên đáng kể so với nhiệm vụ 5.1 (tăng 22 học sinh) Kết lại lần khẳng định khả học sinh việc giải toán nặng quy trình tính tốn Một số học sinh dự đốn sai nhiệm vụ 5.1 tính tốn nhiệm vụ 5.2 đưa số nhận xét “Kết tính bé so với dự đoán” hay “Kết dự đoán sai số với kết tìm được” 52 Những tốn nhiệm vụ nên sử dụng nhiều kiểm tra đánh giá lực học sinh Những toán hội để học sinh thể suy nghĩ thân kiến thức toán cho giáo viên nhìn khách quan, xác lực học sinh 2.6 Kết nhiệm vụ Đây nhiệm vụ xa lạ học sinh, nhiên nhiều học sinh trả lời sai Câu trả lời sai chiếm đa số học sinh “vận tốc lớn vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động vận tốc thời điểm t  10s ” Nguyên nhân dẫn đến nhầm lẫn khơng đáng có có lẽ học sinh chưa hiểu sâu vận tốc tức thời Trong học sinh trả lời (hoặc tương đối), có vài học sinh đưa thời điểm mà vật đạt vận tốc lớn thỏa mãn điều kiện “trong 10 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động”, làm học sinh: 53 Lỗi sai nhiều học sinh mắc phải suy nghĩ vận tốc lớn vật khoảng 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động vận tốc vật thời điểm 10 giây Nhiệm vụ giải quy trình học sinh lớp 11, nhiên để chọn quy trình để sử dụng bắt buộc học sinh phải hiểu vận tốc tức thời vật Tiểu kết chƣơng Trong chương này, chúng tơi trình bày kết nghiên cứu có qua khảo sát 67 học sinh lớp 11 Một số kết thống kê cách giải vấn đề học sinh phân tích sư phạm sai lầm học sinh thường mắc phải nhằm làm rõ mức độ hiểu tốn học sinh thơng qua nhiệm vụ tốn Từ kết đó, chúng tơi đưa nhận xét kết luận cho nghiên cứu chương sau 54 CHƢƠNG THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Thảo luận câu hỏi nghiên cứu Mơ hình đánh giá việc hiểu toán học sinh theo mức độ hiểu tốn nghiên cứu mang tính chất khảo sát, dựa việc tham khảo, đánh giá mơ hình nghiên cứu trước xem xét phù hợp chương trình dạy học tốn Việt Nam Các câu hỏi nghiên cứu đề luận văn bao gồm hai câu hỏi sau: i Khi thiết kế hoạt động toán học dựa theo mức độ hiểu phù hợp với học sinh đánh giá tạo nâng đỡ cho việc học toán học sinh nào? ii Những hoạt động toán nâng đỡ cho học sinh học tốn có chất lượng? 1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ Trong trình dạy học toán, hoạt động toán thiết kế dựa theo mức độ hiểu phù hợp với lực học sinh giúp em tiếp cận với kiến thức bước một, từ hiểu sâu kiến thức áp dụng vào giải vấn đề đặt khác Giống bạn lên cầu thang, bước lúc hai hay ba bậc bạn thấy mệt nhiều so với việc bạn lên bậc Khi bạn thấy nản chí thời gian ngồi nghỉ ngơi, sau trước bước lên tới bậc cuối bạn cảm thấy mệt không muốn làm tiếp việc Những nâng đỡ vừa sức học toán giúp học sinh tham gia nhẹ nhàng vào kiến thức toán mức độ thử thách phù hợp Tạo hội cho học sinh mở rộng nhận thức, phát triển độc lập tự tin trình học toán Giáo viên thiết kế hoạt động toán theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp tạo sở để nâng dần khả giải vấn đề thân học sinh, toán đơn giản sở để học sinh thực toán phức tạp Kết hợp đưa vào toán lạ yêu cầu học sinh thể suy nghĩ, tư duy, lập luận kiến thức tốn Thơng qua hoạt động toán thế, học sinh tự tư duy, thể ý tưởng Các em phát triển 55 kĩ tốn học, khả biểu diễn trực quan, áp dụng kiến thức toán vào giới thực tế thân em Từ đó, giáo viên đánh giá lực học sinh mức độ nào, nắm hạn chế học sinh có biện pháp giúp học sinh cải thiện tốt 1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai Làm để tạo nâng đỡ vừa sức giúp học sinh học tốn có chất lượng câu hỏi mà nhiều nhà giáo dục quan tâm, mong muốn nhận câu trả lời Thông qua trình khảo sát học sinh hai lớp 11 chọn ngẫu nhiên phân tích kết quả, chúng tơi nhận thấy khả hiểu biết tốn em hạn chế Đa số em học sinh dừng lại khả giải tốn áp dụng quy trình sẵn có Đối với tốn lạ, khơng có quy trình sẵn để giải mà đòi hỏi học sinh tư duy, liên kết nhiều kiến thức hầu hết em giải giải không Một lý dẫn đến thực trạng rập khn thuật tốn trình bày SGK Ở trường học, hầu hết giáo viên THPT q trình dạy học tốn chọn tốn quen thuộc làm ví dụ sử dụng tốn truyền thống, mang tính quy trình rập khn để đánh giá học sinh thơng qua điểm số mà em đạt học sinh ngỡ ngàng trước vài toán yêu cầu suy luận tốn học Những tốn mang tính quy trình mà giáo viên hay sử dụng khơng đánh giá em có hiểu hay khơng mà đánh giá kết em đạt Cách đánh giá khó để đánh giá lực học sinh tốt hơn, học sinh có lực học tốn chưa tốt hồn thành tốn áp dụng quy trình có sẵn học sinh khơng cần tư duy, không cần hiểu chất Khi đánh giá học sinh, cần đánh giá trình suy nghĩ học sinh, suy luận để đưa câu trả lời thay đánh giá kết cách đánh giá hầu hết giáo viên THPT Giáo viên cần phải biết rằng, học sinh học lực mơn tốn tư đưa phương pháp giải vấn đề hay hơn, sáng tạo học sinh có học lực giỏi Để học sinh giải vấn đề lạ, toán yêu cầu suy luận, liên kết nhiều kiến thức, học sinh phải học toán có chất lượng, hiểu sâu kiến thức Do đó, q trình dạy học tốn, giáo viên cần có hoạt động toán lạ, yêu 56 cầu học sinh phải giải thích, dự đốn, suy luận, chuyển đổi thơng tin… Những hoạt động toán hấp dẫn học sinh, khuyến khích em tư duy, liên kết kiến thức, áp dụng quy trình học vào giải toán phức tạp, chuyển đổi thông tin, liệu cho dạng quen thuộc hơn… Không phần qua trọng việc lựa chọn hoạt động toán để giảng dạy, hoạt động tốn phải phân hóa từ mức độ thấp đến mức độ cao phù hợp với lực học sinh Qua mức độ, tốn địi hỏi học sinh u cầu khác theo nhiều chiều khác nhau, tạo nâng đỡ vừa sức cho em dựa vào bước hiểu sâu kiến thức tốn Trong kiểm tra đánh giá, giáo viên nên tăng cường toán mức độ Liên kết Suy luận để đánh giá xác lực học sinh Thật đáng ngạc nhiên thống kê kết thực toán lạ yêu cầu học sinh thể ý tưởng, lập luận… thấy đa số học sinh không làm làm sai Những tốn khơng phải “bài tốn khó”, mà tốn u cầu học sinh thể việc hiểu tốn mình, liên kết kiến thức để trả lời Nhiều học sinh chia sẻ sau buổi khảo sát: “Bài toán làm cơ? Em chưa gặp dạng tốn bao giờ” Thế thấy, giáo viên nên cho học sinh tiếp xúc nhiều với toán cho phép em thể ý tưởng, lập luận riêng Những tốn vừa tạo hội cho em mở rộng nhận thức toán, phát triển tư vừa giúp giáo viên đánh giá lực học sinh Dựa vào mà học sinh thể làm, giáo viên biết khả hiểu toán học sinh mức độ nào, em thường mắc sai lầm tìm lỗ hổng kiến thức thân em Từ đưa nâng đỡ vừa sức với cá nhân học sinh để giúp học sinh học tốn có chất lượng Hƣớng phát triển đề tài Thứ nhất, nghiên cứu thực giới hạn phạm vi kiến thức ý nghĩa đạo hàm, có nhiều điều thú vị nghiên cứu phát triển cho kiến thức tốn học khác, chí mơn học khác Hơn nữa, nghiên cứu dừng lại cỡ mẫu 67 học sinh, nghiên cứu rộng với cỡ mẫu lớn nâng cao độ xác cho kết luận 57 Thứ hai, việc nâng cao chất lượng học toán học sinh cấp thiết, nên việc vận dụng mức độ hiểu vào thiết kế hoạt động, cơng cụ tốn học quan trọng Do hạn chế mặt thời gian khả tác giả, nghiên cứu dừng lại việc đo lường, khảo sát trình ứng dụng mức độ hiểu toán việc nâng đỡ học sinh học toán có chất lượng đến số chiều hướng tích cực mà phương pháp mang lại Đây phương pháp đánh giá, nâng cao chất lượng học toán nhiều nước phát triển sử dụng hiệu Để áp dụng chúng vào Việt Nam cần có thời gian nghiên cứu, thiết kế, đưa cách thức, phương pháp áp dụng cách hợp lí phù hợp Trong nghiên cứu này, chúng tơi sử dụng mức độ hiểu toán theo phân loại tư MATH Việc vận dụng mức độ hiểu theo phân loại tư Marzano hay phân loại tư CAPS vào dạy học toán đánh giá việc hiểu tốn học sinh có nhiều ý tưởng hay cần khai thác thực hóa giảng dạy Tiểu kết chƣơng Trong chương này, trả lời câu hỏi nghiên cứu dựa kết thực nghiệm mà thực Dựa vào kết đó, chúng tơi đề xuất hướng phát triển luận văn Phần kết luận cuối luận văn, chúng tơi tóm tắt kết bật nghiên cứu nêu lên số ý nghĩa qua trọng rút từ luận văn 58 KẾT LUẬN Nghiên cứu đề xuất phương pháp giúp học sinh học tốn có chất lượng, thiết kế hoạt động toán tạo nâng đỡ vừa sức cho học sinh q trình dạy học tốn Các kết thống kê cho thấy phương pháp đảm bảo độ tin cậy có ý nghĩa Điều nói lên giáo viên vận dụng mức độ hiểu toán vào thiết kế hoạt động tốn cơng cụ, đề kiểm tra cách phù hợp giúp học sinh phát triển tư duy, hiểu sâu kiến thức tốn Mặc khác, cịn giúp giáo viên biết việc hiểu tốn học sinh mức độ nào, sai lầm em thường mắc phải Từ đó, giáo viên có nâng đỡ vừa sức với cá nhân học sinh q trình học tốn để em học tốn có chất lượng Kết thống kê cho thấy khả hồn thành tốn có sẵn quy trình cao hẳn tốn lạ, toán yêu cầu tư duy, lập luận, liên kết nhiều kiến thức Trong dạy học toán đánh giá lực học sinh, giáo viên cần có nhiều toán cho học sinh hội vận dụng hiểu biết tốn mình, đưa phương án giải vấn đề thể ý tưởng riêng em Quá trình nhận thức học sinh tiếp xúc qua nhiều chiều hiểu toán khác giúp em hiểu rõ chất toán học kiến thức ghi nhớ thời gian dài, khơng qn Đừng gị bó học sinh với tốn rập khn SGK chương trình THPT, cho em tiếp xúc với toán lạ, thú vị toán liên quan đến thực tiễn sống ngày Chúng hi vọng rằng, với kết mà nghiên cứu ngày rút được, giáo viên Tốn có cách nhìn việc đánh giá lực học sinh áp dụng kết cách hợp lí, phù hợp dạy học toán Giáo viên đầu tư nhiều thời gian việc thiết kế hoạt động tốn có nâng đỡ vừa sức giúp học sinh hiểu kiến thức cách sâu sắc, thiết kế đề kiểm tra phù hợp, đánh giá lực học sinh 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO Anderson, L W (Ed.), Krathwohl, D.R (Ed.), Airasian, P W., Cruikshank, K.A., Mayer, R E., Pintrich, P R., Raths, J., & Wittrock, M C (2001) A taxonomy for learning, teaching, & assessing: A revision of Bloom’s Taxonomy of Educational Objectives (Complete edition) New York: Longman Anghileri, J (2006) Scaffolding practices that enhance mathematics learning Journal of Mathematics Teacher Education, 9, 33-52 Askew, M., Brown, M., Rhodes, V., Wiliam, D & Johnson, D (1997) Effective teachers of numeracy: Report carried out for the TTA London: King‟s College Ball, D L., & Bass, H (2003) Making mathematics reasonable in school In J Kilpatrick, W G Martin, & D Schifter (Eds.), A research companion to Principles & St&ards for School Mathematics Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics Barmby, P., Harries, T., Higgins, S & Suggate, J (2007) How can we assess mathematical u nderst&ing? In Woo, J H., Lew, H C., Park, K S & Seo, D Y Psychology of Mathematics Education, Vol Seoul: PME Bean, T W., & Patel Stevens, L (2002) Scaffolding reflection for preservice and inservice teachers Reflective Practice, 3(2), 205–218 Biggs, J & Collis, K F (1982) Evaluating the Quality of Learning: The SOLO Taxonomy, Strucsture of the Observed Learning Outcome (London: Academic Press) Bloom, B (Eds.) (1956) Taxonomy of educational objectives: The classification of educational goals H&book 1: Cognitive domain, McKay, New York Bloom, B., Engelhart, M., Furst, E., Hill, W & Krathwohl, D (Eds) (1956) Taxonomy of educational objectives: The classification of educational goals H&book 1: Cognitive domain, McKay, New York 60 Brownell, W A (1935) Psychological considerations in the learning & teaching of arithmetic In W D Reeve (Ed.), The teaching of arithmetic 10th Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics New York: Teachers College Press Brownell, W A (1940) Borrowing in subtraction Journal of Educational Research, 33, 415-424 Brownell, W A (1947) An experiment on borrowing in third-grade arithmetic Journal of Educational Research, 41(3), 161-171 Cobb, P., Wood, T., Yackel, E., Nicholls, J., Wheatley, G., Trigatti, B., & Perlwitz, M (1991) Assessment of a problem-centered second-grade mathematics project Journal for Research in Mathematics Education, 22, 3-29 Darlington, E (2013) The use of Bloom‟s taxonomy in advanced mathematics questions In Smith, C (Ed) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics 33(1): 7–12 DBE (2011) Department of Basic Education, Curriculum and assessment policy statement Grades R–12 Mathematics Pretoria: DOE Fennema, E., Sowder, J., & Carpenter, T (1999) Creating classrooms that promote underst&ing In E Fennema, & T Romberg (Eds.), Mathematics classrooms that promote underst&ing Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Fennema, E., & Romberg, T (Eds.) (1999) Mathematics classrooms that promote underst&ing Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Gibbons, P (2002) Scaffolding language, scaffolding learning: Teaching second language learners in the mainstream classroom Portsmouth, NH: Heinemann Gierl, M J (1997) Comparing cognitive representations of test developers & students on a mathematics test with Bloom‟s Taxonomy The Fournal of Educational Research, 91(1), 26–32 61 Hanna, G., & Jahnke, H N (1996) Proof & proving In A Bishop, K Clements, C Keitel, J Kilpatrick, & C Laborde (Eds.), International h&book of mathematics education Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Hiebert, J & Carpenter, T P (1992) Learning & Teaching with Underst&ing In Grouws, D A (Ed.) H&book of Research on Mathematics Teaching & Learning New York: Macmillan Hiebert, J., & Wearne, D (1993) Instructional tasks, classroom discourse, & students‟ learning in second-grade arithmetic American Educational Research Journal, 30, 393-425 Marzano, R J (2000) Designing a new taxonomy of educational objectives Thous& Oaks, CA: Corwin Press Math Solutions Professional Learning Team (2016), What Is Scaffold Learning, 04/09/2018, https://mathsolutions.com/uncategorized/what-is-scaffold- learning/ Maybin, J., Mercer, N., & Stierer, B (1992) Scaffolding in the classroom Thinking Voices: The Work of the National Oracy Project, 165-195 Nathan, M J., Long, S D., & Alibali, M W (2002) The symbol precedence view of mathematical development: a corpus analysis of the rhetorical structure of textbooks Discourse Processes, 33(1), 1-21 NCTM (2000) National Council of Teachers of Mathematics, Curriculum & evaluation st&ards for school mathematics Reston, VA: Author OECD (2016), The Survey of Adult Skills: Reader’s Companion, Second Edition, OECD Skills Studies, OECD Publishing, Paris Poincaré, H (1914) Mathematical definitions & education In, Science & method (trans F Maitl&) New York: Thomas Nelson & Sons Schoenfeld, A H (1988) When good teaching leads to bad results: The disasters of well taught mathematics classes Educational Psychologist, 23(2), 145-166 62 Schoenfeld, A H (1992) Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, & sense making in mathematics In D A Grows (Ed.) H&book of research on mathematics teaching & learning, (pp 334–370) New York: Macmillan Silver, E A., Shapiro, L J., & Deutsch, A (1993) Sense-making & the solution of division problems involving remainders: An examination of middle school students‟ solution processes & their interpretations of solutions Journal for Research in Mathematics Education, 24, 117-135 Silver, E A., & Stein, M K (1996) The QUASAR Project: The „revolution of the possible‟ in mathematics instructional reform in urban middle schools Urban Education, 30(4), 476-521 Skemp, R (1976) Relational underst&ing & instrumental underst&ing Mathematics Teaching, 77 Smith, G., Wood, L., Coupland, M., Stephenson, B., Crawford, K & Ball, G (1996) Constructing mathematical examinations to assess a range of knowledge and skills International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 27 (1): 65–77 Stein, M K., Grover, B., & Henningsen, M (1996) Building student capacity for mathematical thinking & reasoning: An analysis of mathematical tasks used in refor classrooms American Educational Research Journal, 33, 455-488 Stylianides, &reas J & Stylianides, Gabriel J (2007) Learning Mathematics with Underst&ing: A Critical Consideration of the Learning Principle in the Principles & St&ards for School Mathematics, The Mathematics Enthusiast: Vol 4: No 1, Article Thompson, D R & Senk, S L (2008) A multi–dimensional approach to underst&ing in mathematics textbooks developed by UCSMP Paper presented in Discussion Group 17 of the International Congress on Mathematics Education Monterrey, Mexico Thompson, D R & Kaur, B (2011) Using a multi–dimensional approach to underst&ing to assess studens‟ mathematical knowledge In B Kaur & K Y 63 Wong (Eds.), Assessment in the mathematical classroom, (pp 17 – 32) Singapore: World Scientific Publishing Thompson, T (2008) Mathematics teacher‟s interpretation of higher–order thinking in Bloom‟s Taxonomy International Electronic Journal of Mathematics Education,3(2), 96–109 TIMSS (2015) TIMSS 2015 mathematics frameworks IEA, International Study Center, Boston College, USA Trần Vui (2017) Từ lý thuyết học đến thực hành giáo dục Toán ISBN 978604-912-725-0, NXB Đại Học Huế Trần Vui (2018) Đánh giá trình độ tốn: hiểu sâu khái niệm thành thạo kỹ giải vấn đề NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Usiskin, Z (2012) What does it mean to underst& some mathematics? In 12th International Congress on Mathematics Education (ICME–12) Usiskin, Z (2015) What does it mean to underst& some mathematics? In Cho, J S (Ed.), Selected Regular Lectures from the 12th International Congress on Mathematical Education, DOI 10.1007/978–3–319–17187–6–46 Van de Pol, J., Volman, M., & Beishuizen, J (2010) Scaffolding in teacher–student interaction: A decade of research Educational Psychology Review, 22(3), 271–296 Williams, L (2008) Tiering and scaffolding: Two strategies for providing access to important mathematics Teaching Children Mathematics, 14(6), 324-330 Yackel, E., & Cobb, P (1996) Sociomathematical norms, argumentation, & autonomy in mathematics Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 458-477 Zohar, A., & Dori, Y J (2003) Higher order thinking skills & low-achieving students: Are they mutually exclusive? The Journal of the Learning Sciences, 12(2), 145-181 64 ... biết toán, lực học tốn học sinh Vì vậy, chọn vấn đề ? ?Vận dụng mức độ hiểu để tạo nâng đỡ cho việc học tốn có chất lượng? ?? làm đề tài nghiên cứu luận văn Các mức độ hiểu toán nâng đỡ vừa sức học. .. Làm để thiết kế hoạt động toán phù hợp tạo nâng đỡ vừa sức giúp phát triển khả toán học học sinh?  Làm để tạo nâng đỡ vừa sức giúp học sinh học tốn có chất lượng, từ nâng cao chất lượng học toán? ... cho hai câu hỏi sau đây: i Khi thiết kế hoạt động toán học dựa theo mức độ hiểu phù hợp với học sinh đánh giá tạo nâng đỡ cho việc học toán học sinh nào? ii Những hoạt động toán nâng đỡ cho học