GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN GIA SƯ   Ứ ỨỨ ỨC KHÁNH ‘‘Thắp sáng ngọn lửa thành công’’ • Chuyên luyện thi ðại Học Khối A - B • Nhận dạy kèm tất cả các lớp 22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn Liên hệ : Thầy Khánh – 0975.120.189 BÀI TP GII HN DNG I: TÌM GII HN DÃY S Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số VÝ dô 1: VÝ dô 1:VÝ dô 1: VÝ dô 1: T×m: 2 8n 3n 3 lim 2 n − Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 2 8n 3n 3 3 3 3 lim lim 8 8 2 n2 n − = − = = VÝ dô 2: VÝ dô 2: VÝ dô 2: VÝ dô 2: T×m: 2 2n 3n 1 lim 2 n 2 − − − + Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 3 1 2 2 n 2 2n 3n 1 2 n lim lim 2 2 2 1 n 2 1 2 n − − − − = = = − − − + − + VÝ dô 3: VÝ dô 3:VÝ dô 3: VÝ dô 3: T×m: 2 lim n 1 n 1         − − + Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 2n 2 2 lim n 1 n 1 lim lim 1 2 1 1 n 1 n 1 1 1 n 2 n         − − − − + = = = − − + + − + + . DNG II: CHNG MINH limu 0 n = Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý • Cho hai dãy số ( ) |u | v n n u ,v : limu 0 n n n lim v 0 n      ≤ ⇒ = = (1) (1)(1) (1) • ( ) v u w , n n n n limu L n limv limw L L n n      ≤ ≤ ∀ ⇒ = = = ∈ ℝ (2) (2)(2) (2) GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN Ví dụ: Ví dụ:Ví dụ: Ví dụ: Chứng minh: ( ) n 1 cosn lim 0 n = Giải: Giải:Giải: Giải: Ta có: ( ) n 1 cosn 1 n n và 1 lim 0 n = nên ( ) n 1 cosn lim 0 n = DNG III: CHNG MINH limu n TN TI Phng phỏp gii: S dng ủnh lý Dóy (u n ) tng v b chn trờn thỡ cú gii hn ; Dóy (v n ) gim v b chn di thỡ cú gii hn Ví dụ: Ví dụ:Ví dụ: Ví dụ: Chứng minh dãy số ( ) n u cho bởi ( ) 1 u n n n 1 = + có giới hạn. Giải: Giải:Giải: Giải: Ta có ( )( ) ( ) u n n 1 1 n n 1 . 1, n. u 1 n 2 n 1 n 2 n + + = = < + + + Do đó dãy ( ) n u giảm. Ngoài ra, ( ) 1 * n :u 0, n n n 1 = > + nêu dãy ( ) n u bị chặn dới. Vậy dãy ( ) n u có giới hạn. DNG IV: TNH TNG CA CP S NHN LI Vễ HN Phng phỏp gii: S dng cụng thc u 1 S ,|q| 1 1 q = < Ví dụ: Ví dụ:Ví dụ: Ví dụ: Tính tổng 1 1 1 S 1 . n 2 2 2 2 = + + + + + Giải: Giải:Giải: Giải: Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1 q 1 2 = < và u 1 1 = . Vậy: u 1 1 S 2 1 q 1 1 2 = = = DNG V: TèM GII HN Vễ CC Phng phỏp gii: S dng quy tc tỡm gii hn vụ cc Ví dụ Ví dụVí dụ Ví dụ 1 1 1 1: :: : Tìm: 3 2n 4n 3 lim 2 3n 1 + + Giải: Giải:Giải: Giải: Cách 1: Cách 1:Cách 1: Cách 1: Ta có: 4 3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n lim lim 2 3 1 3n 1 n 3 n + + = + + Lại có 4 3 3 1 lim 2 2 0,lim 0 n2 3 2 n n n + = < + = và 3 1 * 0 n n 3 n + > nên suy ra: 4 3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n lim lim 2 3 1 3n 1 n 3 n + + = = + + Cách 2: Cách 2:Cách 2: Cách 2: GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN Ta cã: 4 3 4 3 3 n 2 2 3 2 3 2 3 2n 4n 3 n n n n lim lim lim n. 2 1 1 3n 1 2 3 n 3 2 2 n n                               − + − − + − − + − = = + + + L¹i cã 4 3 4 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2n 4n 3 n n n n limn ; lim 0 lim lim n. 1 3 2 1 3n 1 3 3 2 2 n n               − + − − + − − + − = +∞ = − < ⇒ = = −∞ + + + VÝ dô VÝ dôVÝ dô VÝ dô 2 2 2 2: :: : TÝnh 2 lim 4x 1 x − →−∞ Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 1 1 2 2 lim 4x 1 lim x 4 lim | x|. 4 x x x 2 2 x x         − = − = − →−∞ →−∞ →−∞ V× lim | x | x = +∞ →−∞ vµ 1 2 lim 4 2 0 lim 4x 1 x x 2 x − = > ⇒ − = +∞ →−∞ →−∞ DNG VI: TÌM GII HN CA HÀM S Phương pháp giải: Sử dụng các ñịnh lý và quy tắc VÝ dô 1: VÝ dô 1:VÝ dô 1: VÝ dô 1: TÝnh: 1 lim x.sin x x 0       → . Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: XÐt d·y ( ) x n mµ x 0, n n ≠ ∀ vµ limx 0 n = . Ta cã: ( ) 1 f x x sin | x | n n n x n = ≤ V× ( ) lim|x | 0 limf x 0. n n = ⇒ = Do ®ã 1 lim x.sin 0 x x 0       = → . VÝ dô 2: VÝ dô 2:VÝ dô 2: VÝ dô 2: TÝnh: 2 lim x x 1 x x         + + − →+∞ Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: 1 1 2 2 x x 1 x x 1 1 2 x lim x x 1 x lim lim lim x x x x 2 2 2 1 1 x x 1 x x x 1 x 1 1 x 2 x         + + + − + + + − = = = = →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + + + + + + + + VÝ dô 3: VÝ dô 3:VÝ dô 3: VÝ dô 3: TÝnh: 2 lim x 3x 1 x x         + + + →−∞ Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: 1 1 3 3 3x 1 3 2 x x lim x 3x 1 x lim lim lim x x x x 2 2 2 3 1 x 3x 1 x x 3x 1 1 1 1 x 2 x x         + + + + + + = = = = − →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + + − + + − + + − − (Chó ý: khi x → −∞ lµ ta xÐt x < 0, nªn 2 x x= − ) DNG VII: CHNG MINH ( ) lim f x 0 x x 0 = → (Hoc bng L) Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý giới hạn kẹp GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN Giả sử J là một khoảng chứa x 0 và f, g, h là ba hàm số xác ñịnh trên tập hợp { } J \ x 0 khi ñó: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x J\ x :g x f x h x 0 lim f x L x x lim g x lim h x L 0 x x x x 0 0        ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ = → = = → → VÝ dô: VÝ dô:VÝ dô: VÝ dô: Chøng minh: 2 x sinx lim 0 x 4 1 x = →+∞ + Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: Ta lu«n cã: ( ) ( ) 2 2 2 2 x sinx x x x |f x | f x 4 4 4 4 1 x 1 x 1 x 1 x = ≤ ⇒ − ≤ ≤ + + + + 1 1 2 2 2 2 x x x x lim lim 0; lim lim 0 x x x x 4 1 4 1 1 x 1 x 1 1 4 4 x x 2 2 2 x x x sinx lim lim 0 lim 0 x x x 4 4 4 1 x 1 x 1 x = = = = →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ + + + + ⇒ = = ⇒ = →−∞ →+∞ →+∞ + + + . DNG VIII: GII HN MT BÊN Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên • Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng 0 (x ;b) .  Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến 0 x (hoặc tại ñiểm 0 x ),nếu với mỗi dãy (x ) n trong khoảng 0 (x ;b) mà n 0 limx x= ,ta ñều có n limf(x ) L= .  ðịnh nghĩa tương tự cho 0 lim f(x) L x x = − → .  Hàm số có giới hạn tại x 0 và 0 lim f(x) L x x = → tồn tại lim f(x) x x 0 + → , 0 lim f(x) L x x = − → và lim f(x) lim L x x x x 0 0 = = − → + → . VÝ dô VÝ dôVÝ dô VÝ dô 1: 1: 1: 1: Cho hµm sè ( ) 3 x x 1 f x 2 2x 3 x 1 víi víi      < − = − ≥ − . T×m ( ) lim f x x 1 →− Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: ( ) ( ) 2 2 lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1 x 1 x 1                       = − = − − = − + + → − → − (1) ( ) 3 lim f x lim x 1 x 1 x 1                 = = − − − → − → − (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ( ) lim f x 1 x 1 = − →− VÝ dô 2: VÝ dô 2:VÝ dô 2: VÝ dô 2: Cho hµm sè ( ) 1 x 1 x 1 f x 1 x 1 x 1 khi khi        > + = − < + a) T×m ( ) lim f x x 2→ GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN b) Tìm ( ) lim f x x 1 Giải: Giải:Giải: Giải: a) ( ) 1 1 lim f x lim x 1 3 x 2 x 2 = = + b) ( ) lim f x x 1 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x 1 x 2 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = = = = + + + + + suy ra không tồn tại ( ) lim f x x 1 (Chú ý: ( ) lim f x x x 0 tồn tại khi và chỉ khi ( ) ( ) lim f x lim f x L x x x x 0 0 = = + thì ( ) lim f x L x x 0 = ) DNG IX: KH DNG Vễ NH Phng phỏp gii: 1 11 1) ) ) ) Khi tìm giới hạn dạng ( ) ( ) P x lim x x Q x 0 , với ( ) ( ) lim P x lim Q x 0 x x x x 0 0 = = : Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho x x 0 Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp. Ví dụ 1: Ví dụ 1:Ví dụ 1: Ví dụ 1: Tìm: 2 x 9x 14 lim x 2 x 2 + Giải: Giải:Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x 7 x 9x 14 lim lim lim x 7 5 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 + = = = V VV Ví dụ 2: í dụ 2:í dụ 2: í dụ 2: Tìm: 4 x 2 lim 4x x 0 + Giải: Giải:Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 4 1 1 lim lim lim lim 4x 16 x 0 x 0 x 0 x 0 4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2 + + + + + = = = = + + + + + + Ví dụ 3: Ví dụ 3:Ví dụ 3: Ví dụ 3: Tìm: 3 x 7 2 lim x 1 x 1 + Giải: Giải:Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 x 7 2 x 7 2. x 7 4 3 3 x 7 2 x 7 2 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 3 3 3 3 x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4 + + + + + + + = = + + + + + + + + ( ) 1 1 lim 12 x 1 2 3 3 x 7 2. x 7 4 = = + + + + Ví dụ 4: Ví dụ 4:Ví dụ 4: Ví dụ 4: Tìm: 2x 5 3 lim x 2 x 2 2 + + Giải: Giải:Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2 2x 5 3 4 lim lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3 + + + + + + + + + + + = = = = + + + + + + + + + + + GIA S C KHNH 0975.120.189 22A PHM NGC THCH TP.QUY NHN V VV Ví dụ 5: í dụ 5:í dụ 5: í dụ 5: Tìm: 3 x 3x 2 lim x 1 x 1 Giải: Giải:Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) 3 x 1 3x 2 1 3 3 x 3x 2 x 1 3x 2 1 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3x 2 1 3 3 3 2 2 lim x x 1 lim x x 1 3 2 2 x 1 x 1 3x 2 1 x 1 3x 2 1 = = = + + = + + = = + + = Ví dụ 6: Ví dụ 6:Ví dụ 6: Ví dụ 6: Tìm: 4 x 2 1 lim 3 x 1 x 2 1 + + Giải: Giải:Giải: Giải: Đặt 12 12 12 t x 2 x 2 t x t 2, khi x 1 t 1 đó thì = + + = = . Do đó: ( ) ( )( ) ( ) 2 t 1 t t 1 4 3 2 x 2 1 t 1 t t 1 3 lim lim lim lim 3 4 4 2 2 x 1 t 1 t 1 t 1 t 1 x 2 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 + + + + + = = = = + + + + + Ví dụ 7: Ví dụ 7:Ví dụ 7: Ví dụ 7: Tìm: 3 x 7 x 3 lim x 1 x 1 + + Giải: Giải:Giải: Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x 7 2 x 3 2 3 3 x 7 x 3 x 7 2 x 3 2 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 x 7 2 x 3 4 lim 2 x 1 x 1 x 3 2 3 3 x 1 x 7 2. x 7 4 1 1 1 lim 12 x 1 2 x 3 2 3 3 x 7 2 x 7 4 + + + + + + = = + + = + + + + + + = = + + + + + + 1 1 4 6 = 2 22 2) )) ) Khi tìm giới hạn dạng ( ) ( ) P x lim Q x x , ta lu ý: Đặt m x (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x) Sử dụng kết quả: 1 lim 0 x x = ( với 0 > ) Ví dụ 1: Ví dụ 1:Ví dụ 1: Ví dụ 1: Tìm: 2 3x 4x 1 lim x 2 2x x 1 + + + + Giải: Giải:Giải: Giải: 4 1 3 2 x 2 3x 4x 1 3 x lim lim x x 2 1 1 2 2x x 1 2 x 2 x + + = = + + + + + + GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP.QUY NHƠN VÝ dô 2: VÝ dô 2:VÝ dô 2: VÝ dô 2: T×m: 2 x x 1 3x lim x 2 3x + + − →−∞ − Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 1 1 1 3 2 x 2 x x 1 3x 1 3 4 x lim lim x x 2 3x 2 3 3 3 x − + + − + + − − − = = = →−∞ →−∞ − − − VÝ dô 3: VÝ dô 3:VÝ dô 3: VÝ dô 3: T×m: 3 3 2 8x 3x 1 x lim 2 x 4x x 2 3x + + − →−∞ − + + Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 3 1 38 1 3 3 3 2 x 3 8x 3x 1 x 8 1 x lim lim 1 x x 2 1 2 4 3 4x x 2 3x 4 3 x 2 x + + − + + − − = = = →−∞ →−∞ − + − + + − − + + 3) Dạng ∞−∞ và dạng 0.∞ • Nhân và chia với biểu thức liên hợp • Nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy ñồng mẫu ñể ñưa về cùng một phân thức. VÝ dô VÝ dô VÝ dô VÝ dô : :: : 2 lim ( 2 3 )+ + − →+∞ x x x x Gi¶i: Gi¶i:Gi¶i: Gi¶i: 2 2 ( 2 3 )( 2 3 ) 2 lim ( 2 3 ) lim 2 ( 2 3 ) 3 2 2 3 lim lim 1 2 2 3 ( 2 3 ) ( 1 1) 2 + + − + + + + + − = →+∞ →+∞ + + + + + = = = →+∞ →+∞ + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên • Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng 0 (x ;b) .  Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến. GII HN DÃY S Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số VÝ dô 1: VÝ dô 1:VÝ dô 1: VÝ dô 1: T×m: 2 8n 3n 3 lim 2