Trường THCS VINH THANH HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao . Vẽ HD ⊥ AB ( D ∈ AB ) , HE ⊥ AC ( E ∈ AC ) . Chứng minh rằng AD .AB = AE .AC . Giải : Cách 1 : O E D H A C B Tứ giác AEHD có 0 90A D E∠ = ∠ = ∠ = Nên là hình chữ nhật Suy ra OA = OD ( O là tâm của hình chữ nhật ) ⇒V OAD cân tại O ODA OAD⇒ ∠ = ∠ Mà C OAD ∠ = ∠ ( hai góc cùng phụ với góc HAC ) Nên V AED V ABC Suy ra .A . AD AE AD B AE AC AC AB = ⇒ = Cách 2 : E D H A C B V HAB vuông tại HD là đường cao 2 .AH AD AB⇒ = V HAC vuông tại HE là đường cao 2 .AH AE AC⇒ = Do đó AD.AB = AE . AC Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao . Biết AB = 8 cm , AC = 6 cm . Tính độ dài AH . Giải : Cách 1 : H A B C Tam giác ABC vuông tại A n ên : 2 2 2 2 2 2 8 6 10 10 BC AB AC BC cm = + = + = ⇒ = Tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC nên : . 8.6 . . 4,8 10 AB AC AH BC AB AC AH cm BC = ⇒ = = = Cách 2 : Tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC nên : GV: Đỗ Kim Thạch st 1 S Trường THCS VINH THANH 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 10 8 6 8 .6 8.6 4,8 10 AH AB AC AH cm = + = + = ⇒ = = Cách 3 : Tam giác ABC vuông tại A n ên : 2 2 2 2 2 2 8 6 10 10 BC AB AC BC cm = + = + = ⇒ = Tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC nên : 2 2 2 2 . 6,4 10 6,4 3,6 . 6,4.3,6 4,8 4,8 AB BH BC AB BH cm BC HC BC BH cm AH BH HC AH cm = ⇒ = = = − = − = = = = ⇒ = Cách 4 : Tam giác ABC vuông tại A n ên : 2 2 2 2 2 2 8 6 10 10 BC AB AC BC cm = + = + = ⇒ = Tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC nên : 2 2 . 6,4 AB BH BC AB BH cm BC = ⇒ = = Tam giác HAB vuông tại H nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 6,4 4,8 4,8 AH BH AB AH AB BH AH cm + = ⇒ = − = − = ⇒ = Cách 5 : Tam giác ABC vuông tại A n ên : 2 2 2 2 2 2 8 6 10 10 BC AB AC BC cm = + = + = ⇒ = Tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC nên : 2 2 2 6 . 3,6 10 AC HC BC AC HC cm BC = ⇒ = = = Tam giác HAC vuông tại H nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3,6 4,8 4,8 AH HC AC AH AC HC AH cm + = ⇒ = − = − = ⇒ = Cách 6 : GV: Đỗ Kim Thạch st 2 Trường THCS VINH THANH M H A B C M là trung điểm BC BM = AM = 1 2 BC = 5cm MH = BH – BM = 6,4 -5 = 1,4cm Tam giác HAm vuông tại H nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 1,4 4,8 4,8 AH MH AM AH AM MH AH cm + = ⇒ = − = − = ⇒ = Bài 3 : Cho tam giác ABC có 0 90C B∠ − ∠ = , AH là đường cao . chứng minh rằng 2 .AH BH CH= . Giải : Cách 1 : j 21 D H A B C Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC Tam giác ACD cân tại A , 1 2 1 0 0 1 0 1 2 90 , 90 90 A A ACB A AHC ACB A C B B A A BAD ∠ = ∠ ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ −∠ = ∠ −∠ = ⇒ ∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ = Tam giác ABD có góc A = 0 90 , AH ⊥ BD 2 2 . . AH BH DH AH BH CH ⇒ = ⇒ = Cách 2 : j 1 H A B C 1 0 1 0 90 90 ACB A AHC ACB A ACB B ∠ = ∠ + ∠ ⇒ ∠ −∠ = ⇒ ∠ −∠ = Do đó 1 A B∠ = ∠ Xét hai tam giác HAC và HBA có 1 A B∠ = ∠ AHC∠ chung Do đó V HAC V HBA AH CH BH AH ⇒ = 2 .AH BH CH⇒ = Bài 4 : Cho hình vuông ABCD . Qua A vẽ đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó ) lần lượt tại các điểm E và F . GV: Đỗ Kim Thạch st 3 S Trường THCS VINH THANH Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 AE AF AD + = Giải : Cách 1 : F C D A B E V ABE V FDA 2 2 2 2 2 2 2 2 .AF . . 1 .AF AB AE DF AF AB AE DF AD AF AE DF DE AE AD ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Mà 2 2 2 -ADF AF D= Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 AF -AD 1 1 1 1 1 1 .AE AD AF AE AD AF AE AF AD = ⇒ = − ⇒ + = Cách 2: G F C D A B E Vẽ AG ⊥ AF ( G thuộc DC ) V ABE = V ADG ( g . c . g ) Suy ra AE = AG V AGF vuông tại A , AD là đường cao nên : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 AFAG AF AD AE AD + = ⇒ + = GV: Đỗ Kim Thạch st 4 S