Giáo viên thực hiện: Trần Văn Hào TRÖÔØNG THPT BAÙN COÂNG EAKAR I/.giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm : • 1. Định nghĩa : 2 2 2 2 ( 1) ( ) 2 1 1 x x x x f x x x x − − = = = − − a. Ví dụ: Xét hàm số lim ( ) lim 2 2 1 2 n n f x x= = × = Vậy ( ) n x ∀ cho 1 n x ≠ * Nn ∈∀ * Nn ∈∀ * n N ∀ ∈ Mà 1 n x → Thì ( ) 2 n f x → Ta nói rằng khi x dần tới 1 thì hàm số : 2 2 2 ( ) 1 x x f x x − = − dần tới 2 (Hay giới hạn là 2). b b /. Định nghĩa /. Định nghĩa : : Cho khoảng K chứa điểm x 0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\ { x 0 }. Ta nói rằng hàm số: y = f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kỳ, x n k\ {x 0 } và ,ta có f(x n )  L. ký hiệu: 0 x x→ 0 lim ( ) x x f x L → = hay ( )f x L→ khi 0 x x→ • Định lý 1 : • a) Giả sử và Khi đó: 0 lim ( ) x x f x L → = 0 lim ( ) x x g x M → = 0 lim [ ( ) ( )]=L M x x f x g x → ± ± 0 lim [f(x) g(x)]=L M x x→ × × 0 ( ) lim ( ) x x f x L g x M → = 2. Định lý về giới hạn hữu hạn : Nếu 0M ≠ b) Nếu f(x) > 0 và thì và (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với ). 0 lim x x L → = 0L ≥ 0 lim ( ) x x f x L → = 0 x x≠ Ví dụ 1: Ví dụ 1: • Cho hàm số f(x) = 2 1 2 x x + Tìm 3 lim ( ) x f x → giải 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 lim 1 1 lim ( ) lim 2 lim 2 lim lim lim1 3 3 1 5 lim 2 lim 2 3 3 x x x x x x x x x x x f x x x x x x → → → → → → → → → + + = = × + × + = = = × Ví dụ 2 Tính 2 1 2 lim 1 x x x x → + − − 2 2 ( 1)( 2) 2 1 1 x x x x x x x + − − + = = + − − Giải Vì (x-1) 0 khi x 1, nên ta chưa thể áp dụng định lý 1 nêu trên. Nhưng với x ≠ 1, ta có: Do đó: 2 1 1 1 2 ( 1)( 2) lim lim lim( 2) 3 1 1 x x x x x x x x x x → → → + − − + = = + = − − Ví dụ 2 3/ Giới hạn một bên : 0 x x→ 0 x x→ ( ) n f x L → a) Định nghĩa 2 :  Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (x o ; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi nếu với dãy số (x n ) bất kỳ, x 0 <x n < b và ta có : Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L + → = 0 x x→ 0n x x→ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x 0 . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi . Nếu với dãy số (x n ) bất kỳ, a<x n <x 0 và , ta có: ( ) n f x L →