Đề2 Bài 1: (5 đ) Cho biểu thức A = 2 1 1 : x x x x x x x + − + + . a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b/ Rút gọn biểu thức A. Bài 2: ( 5 đ) a/ Chứng minh rằng: M = 11 10 – 1 chia hết cho 600. b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2 n + 1 chia hết cho 3. Bài 3:( 5 đ) a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy 2 + 3y 2 – x = 108. b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất: B = 10x 2 + 12xy + 4y 2 + 6x + 7. Bài 4:(5 đ) Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM. Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q. a/ Chứng minh rằng: AB AC AP AQ + = 3. b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x. PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÂP TỈNH NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Bài1: (5đ) Cho biểu thức A = 2 1 1 : x x x x x x x + − + + a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b/ Rút gọn biểu thức A. Điểm a) (2,5 đ) Điều kiện của x để A có nghĩa là: 2 0 0 0 1 0 x x x x x x x x ≥   − ≠   + + ≠   + ≠  ⇔ 3 0 ( 1) 0 ( 1) 0 1 0 x x x x x x x ≥   − ≠   + + ≠   + ≠  0,5đ 0 1 x x >  ⇔  ≠  0,25đ b) (2,5đ) Đặt x = a ⇒ x = a 2 . (a > 0, a ≠ 1) 0,5đ Ta có: A = 4 3 2 1 1 : a a a a a a + − + + = 2 3 1 ( 1) . ( 1) ( 1) a a a a a a + + − + 0,5đ A = 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 a a a a a a + + = − + + − 1đ ⇒ A = 1 1x − 0,5đ Bài 2: (5đ) a/ Chứng minh rằng: M = 11 10 – 1 chia hết cho 600. b/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để cho N = 2 n + 1 chia hết cho 3. a) (2,5đ) Ta có: M = 11 10 – 1 = 10(11 9 + 11 8 + 11 7 + 11 6 + .+ 11 2 + 11 + 1). Vậy chỉ cần chứng minh biểu thức M / = (11 9 + 11 8 + 11 7 + .+ 11 2 + 11 + 1) chia hết cho 60. 0,5đ Thật vậy: M / = (11 9 + 11 8 + 11 7 + 11 6 + 11 5 + 11 4 + 11 3 + 11 2 + 11 + 1) = 11 8 (11 + 1) + 11 6 (11 + 1) + 11 4 (11 + 1) + 11 2 (11 + 1) + 12 = 11 8 .12 + 11 6 .12 + 11 4 .12 + 11 2 .12 + 12. = 12 (11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 + 1). 1đ Vì (11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 + 1) M 5 ⇒ M / M 60. Vậy M = (11 10 – 1) M 600. 0,5đ b) (2,5đ) Ta có: 2 ≡ - 1 (mod 3) ⇒ 2 n ≡ ( - 1) n (mod 3) 1đ ⇒ 2 n + 1 ≡ ( - 1) n + 1 (mod 3). (n là số tự nhiên) 1đ Do đó: (2 n + 1) M 3 ⇔ ( - 1) n + 1 chia hết cho 3 ⇔ n là số tự nhiên lẻ. 0,5đ Bài 3: 5đ a/ Tìm các nghiệm là số tự nhiên của phương trình: xy 2 + 3y 2 – x = 108. b/ Với giá trị nào của x, y thì biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất: B = 10x 2 + 12xy + 4y 2 + 6x + 7. a) (2,5đ) Trừ cả hai vế của phương trình cho 3, ta được phương trình: (xy 2 + 3y 2 ) – (x + 3) = 105 ⇔ (y 2 – 1)(x + 3) = 105 ⇒ (y 2 – 1) là ước của 105 0,5đ Các ước của 105 là: 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105. Vậy y 2 phải là một trong các số sau: 2; 4; 6; 8; 16; 22; 36; 106. 0,5đ PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÂP TINH NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: Vì y ∈ N ⇒ chỉ có 3 số là bình phương của y: 4; 16; 36. Vậy thừa số thứ hai (x + 3) của phương trình thứ tự là: 35; 7; 3. 0,5đ Với y 2 = 4 ⇒ y 2 – 1 = 3 ⇒ x + 3 = 35 hay y = 2, x = 32 Với y 2 = 16 ⇒ y 2 – 1 = 15 ⇒ x + 3 = 7 hay y = 4, x = 4 Với y 2 = 36 ⇒ y 2 – 1 = 35 ⇒ x + 3 = 3 hay y = 6, x = 0. Phương trình có các cặp nghiệm: (x = 32, y = 2); (x = 4, y = 4); (x = 0, y = 6) 1đ b) (2,5đ) Ta có: B = 10x 2 + 12xy + 4y 2 + 6x + 7. = (x 2 + 6x + 9) + (9x 2 + 12xy + 4y 2 ) - 2 1đ = (x + 3) 2 + (3x + 2y) 2 – 2 ≥ - 2. Với mọi x, y 0,5đ min B = - 2 ⇔ 3 0 3 2 0 x x y + =   + =  ⇔ 3 9 2 x y = −    − =   0,5đ Vậy với x = -3; y = - 9 2 biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 2 0,5đ Bài 4 (5đ) Cho tam giác ABC, có AB = c, trung tuyến AM. Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt AB tại P, cắt AC tại Q. a/ Chứng minh rằng: AB AC AP AQ + = 3. b/ Đặt AP = x, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x. Vẽ hình (0,5đ) N Q P E G M F C B A 0,5đ a) (2.0đ) Kẻ BE, CF song song với PQ (E, F ∈ AM) ⇒ BME =CMF (g.c.g) (Vì MB = MC, · · FCM EBM= (so le), · · FMC EMB= (đối đỉnh)) ⇒ ME = MF 0.5đ Vì BE // PQ, CF // PQ ⇒ theo hệ quả ĐL Ta-lét ta có: ; AB AE AP AG = AC AF AQ AG = ⇒ AB AC AE AF AP AQ AG + + = = ( ) ( )AM ME AM ME AG − + + 1đ = 2 3 2. 3 2 AM AG = = . vậy 3 AB AC AP AQ + = 0,5đ b) (2,5đ) Khi (d) đi qua B và G ⇒ điểm P trùng với điểm B ⇒ AP = AB = c ⇒ x = c 1đ Khi (d) đi qua C và G ⇒ điểm P trùng với điểm N là trung điểm của AB ⇒ AP = AN = 1 2 AB = 1 2 c ⇒ x = 1 2 c 1đ ⇒ 1 2 c ≤ x ≤ c. Vậy giá trị lớn nhất của x là c, giá trị nhỏ nhất của x là 1 2 c 0,5đ . tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x. PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÂP TỈNH NĂM HỌC: 2010 –. SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÂP TINH NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: Vì y ∈ N ⇒ chỉ có