Chương : Điều khiển tối ưu Chương ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Vài nét lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển - Phương pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange 1766 - Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov 1892 - Trí tuệ nhân tạo 1950 - Hệ thống điều khiển máy bay siêu nhẹ 1955 - Nguyên lý cực tiểu Pontryagin 1956 - Phương pháp quy hoạch động Belman 1957 - Điều khiển tối ưu tuyến tính dạng tồn phương LQR ( LQR : Linear Quadratic Regulator ) - Điều khiển kép Feldbaum 1960 - Thuật toán di truyền 1960 - Nhận dạng hệ thống 1965 - Logic mờ 1965 - Luật điều khiển hệ thống thích nghi mơ hình tham chiếu MRAS tự chỉnh định STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR : Self-Tuning Regulator ) - Hệ tự học Tsypkin 1971 - Sản phẩm công nghiệp 1982 - Lý thuyết bền vững 1985 - Cơng nghệ tính tốn mềm điều khiển tích hợp 1985 Học kì năm học 2005-2006 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 1.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 1.1.1 Đặc điểm toán tối ưu Khái niệm Một hệ điều khiển thiết kế chế độ làm việc tốt hệ trạng thái tối ưu theo tiêu chuẩn chất lượng ( đạt giá trị cực trị ) Trạng thái tối ưu có đạt hay khơng tùy thuộc vào u cầu chất lượng đặt , vào hiểu biết đối tượng tác động lên đối tượng , vào điều kiện làm việc hệ điều khiển … Một số ký hiệu sử dụng chương Hình 1.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển Hệ thống điều khiển hình bao gồm phần tử chủ yếu : đối tượng điều khiển ( ĐTĐK ) , cấu điều khiển ( CCĐK ) vòng hồi tiếp ( K ) Với ký hiệu : x0 : tín hiệu đầu vào u : tín hiệu điều khiển x : tín hiệu đầu ε = x0 – x : tín hiệu sai lệch f : tín hiệu nhiễu Chỉ tiêu chất lượng J hệ thống đánh giá theo sai lệch đại lượng điều khiển x so với trị số mong muốn x0 , lượng điều khiển ( trị số cực đại xmax so với trị số xác lập x ( ∞ ) tính theo phần trăm ) , thời gian độ … hay theo tiêu hỗn hợp điều kiện làm việc định hạn chế công suất , tốc độ , gia tốc … Do việc chọn luật điều khiển cấu điều khiển để đạt chế độ làm việc tối ưu tùy thuộc vào lượng thơng tin ban đầu mà ta có Ở thấy khác biệt chất lượng tối ưu lượng thông tin ban đầu thay đổi ( Hình 1.2 ) http://www.khvt.com Chương : Điều khiển tối ưu Hình 1.2 : Tối ưu cục tối ưu toàn cục Khi tín hiệu điều khiển u giới hạn miền [u1,u2] , ta có giá trị tối ưu cực đại J1∗ tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu điều khiển u1∗ Khi tín hiệu điều khiển u không bị ràng buộc điều kiện u1 ≤ u ≤ u2 , ta có giá trị tối ưu J 2∗ > J1∗ ứng với u2∗ Như giá trị tối ưu thực J 2∗ Tổng quát , ta xét toán miền [um , un ] tìm giá trị tối ưu J i∗ giá trị tối ưu cục Nhưng tốn khơng có điều kiện ràng buộc u giá trị tối ưu J ∗ = extremum( J i∗ ) với J i∗ giá trị tối ưu cục , giá trị J ∗ giá trị tối ưu toàn cục Điều kiện tồn cực trị : • Đạo hàm bậc J theo u phải : ∂J =0 ∂u • Xét giá trị đạo hàm bậc hai J theo u điểm cực trị : ∂2J > : điểm cực trị cực tiểu ∂u ∂2J < : điểm cực trị cực đại ∂u Trang PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Điều kiện thành lập toán tối ưu Để thành lập toán tối ưu yêu cầu hệ thống phải có đặc tính phi tuyến có cực trị Bước quan trọng việc thành lập hệ tối ưu xác định tiêu chất lượng J Nhiệm vụ bảo đảm cực trị tiêu chất lượng J Ví dụ xây dựng hệ tối ưu tác động nhanh yêu cầu hệ nhanh chóng chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác với thời gian độ nhỏ , nghĩa cực tiểu hóa thời gian q độ Hay tính tốn động tên lửa tiêu chất lượng vượt khoảng cách lớn với lượng nhiên liệu cho Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu x(t) , tín hiệu điều khiển u(t) thời gian t Bài toán điều khiển tối ưu xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm cho tiêu chất lượng J đạt cực trị với điều kiện hạn chế định u x Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau : T J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt Trong L phiếm hàm tín hiệu x , tín hiệu điều khiển u thời gian t Lấy ví dụ toán điều khiển động điện chiều kích từ độc lập Φ kt = const với tín hiệu điều khiển u dịng điện phần ứng iu tín hiệu x góc quay ϕ trục động Hình 1.3 : Động điện chiều kích từ độc lập Ta có phương trình cân moment động : http://www.khvt.com Chương : Điều khiển tối ưu kM iu − M c = M q ω= dω dt dϕ dt (1) (2) kM = CM Φ = const ; Mq moment quán tính ; ω tốc độ góc ; ϕ góc quay Giả sử bỏ qua phụ tải trục động ( M c = ) : kM iu = M q d 2ϕ dt (3) Nếu xét theo thời gian tương đối cách đặt : τ = t kM / M q (3) có dạng : d 2ϕ = iu dτ (4) d 2x =u dτ (5) Từ ta có : Vậy phương trình trạng thái động điện phương trình vi phân cấp hai • Bài tốn tối ưu tác động nhanh ( thời gian tối thiểu ) : Tìm luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế u ≤ để động quay từ vị trí ban đầu có góc quay tốc độ đến vị trí cuối có góc quay ϕ0 tốc độ với khoảng thời gian ngắn Vì cần thời gian ngắn nên tiêu chất lượng J : T J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = T Rõ ràng từ phương trình ta phải có L[ x(t ), u (t ), t ] = Như , tốn tối ưu tác động nhanh tiêu chất lượng J có dạng : T J = ∫ 1dt = T Trang PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà • Bài tốn suất tối ưu : Năng suất xác định góc quay lớn động thời gian T định Khi tiêu chất lượng J có dạng : T T 0 J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ϕT − ϕ0 = ∫ ϕ (t )dt Do L[ x(t ), u (t ), t ] = ϕ (t ) = x(t ) ta có tiêu chất lượng J toán suất tối ưu sau : T J = ∫ x ( t )dt • Bài tốn lượng tối thiểu : Tổn hao lượng hệ thống : T Q = ∫ U u iu dt Dựa vào phương trình cân điện áp : U u = iu Ru + keω phương trình cân moment : kM iu − M c = M q dω dt Ta tính : T Q = ∫ U u iu dt = T ke M c (ϕT − ϕ0 ) + ∫ Ru iu2 dt kM Để có tiêu hao lượng tối thiểu , ta cần tìm cực tiểu J : T T 0 J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ∫ iu2 dt Mà dòng điện phần ứng iu tín hiệu điều khiển u Vì tiêu chất lượng J tốn lượng tối thiểu có dạng : T J = ∫ u (t )dt http://www.khvt.com Chương : Điều khiển tối ưu Tối ưu hoá tĩnh động Chúng ta cần phân biệt hai dạng toán tối ưu hoá tĩnh tối ưu hóa động Tối ưu hóa tĩnh tốn khơng phụ thuộc vào thời gian Cịn tối ưu hóa động thời gian biến mà cần phải xem xét đến 1.1.2 Xây dụng toán tối ưu Tối ưu hóa khơng có điều kiện ràng buộc Một hàm tiêu chất lượng vô hướng L(u ) = cho trước hàm vector điều khiển hay vector định u ∈ R m Chúng ta cần chọn giá trị u cho L(u) đạt giá trị nhỏ Để giải toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến thiên L(u) sau : dL = LTu du + du T Luu du + O(3) (1.1) Với O(3) coi số hạng thứ Grad L theo u vector m cột : Δ Lu ⎡ ∂L / ∂u1 ⎤ ⎥ ⎢ ∂ L ⎢ ∂L / ∂u ⎥ = ⎥ ∂u ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ∂L / ∂u m ⎦ (1.2) đạo hàm cấp L theo u ma trận m x m ( gọi ma trận Hessian ) : Luu Δ ∂ L ⎛⎜ ∂ L = ∂u ⎜⎝ ∂u i ∂u j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (1.3) Luu gọi ma trận uốn Một điểm cực trị điểm dừng xuất biến thiên dL với thành phần thứ tiến với biến thiên du trình điều khiển Vì , để có điểm cực trị : Lu = (1.4) Giả sử điểm cực trị , có Lu = (1.4) Để điểm cực trị trở thành điểm cực tiểu , cần có : Trang PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà dL = T du Luu du + O(3) (1.5) xác định dương với biến thiên du Điều đảm bảo ma trận uốn Luu xác định dương : Luu > (1.6) Nếu Luu xác định âm điểm cực trị điểm cực đại ; cịn Luu khơng xác định điểm cực trị điểm n ngựa Nếu Luu bán xác định xét đến thành phần bậc cao (1.1) để xác định loại điểm cực trị Nhắc lại : Luu xác định dương ( âm ) giá trị riêng dương ( âm ) , không xác định giá trị riêng vừa có dương vừa có âm khác , bán xác định tồn giá trị riêng Vì Luu = , thành phần thứ hai khơng hồn tồn loại điểm cực trị Tối ưu hóa với điều kiện ràng buộc Cho hàm tiêu chất lượng vô hướng L(x, u ) , với vector điều khiển u ∈ R m vector trạng thái x ∈ R n Bài toán đưa chọn u cho hàm tiêu chất lượng L(x,u) đạt giá trị nhỏ thỏa mãn đồng thời phương trình điều kiện ràng buộc f ( x, u ) = (1.7) Vector trạng thái x xác định từ giá trị u cho trước mối quan hệ (1.7) , f hệ gồm n phương trình vơ hướng , f ∈ R n Để tìm điều kiện cần đủ giá trị cực tiểu , đồng thời thỏa mãn f ( x, u ) = , ta cần làm xác phần trước Đầu tiên ta khai triển dL dạng chuỗi Taylor , sau xác định số hạng thứ thứ hai Thừa số Lagrange hàm Hamilton Tại điểm cực trị , dL với giá trị thứ với biến thiên du df Như cần có: dL = LTu du + LTx dx = (1.8) df = f u du + f x dx = (1.9) và: http://www.khvt.com Chương : Điều khiển tối ưu Từ (1.7) ta xác định x từ giá trị u có, độ biến thiên dx xác định (1.9) từ giá trị biến thiên du có Như , ma trận Jacobi fx khơng kỳ dị : dx = − f x−1 f u du (1.10) dL = ( LTu − LTx f x−1 f u )du (1.11) Thay dx vào (1.8) ta : Đạo hàm riêng L theo u chứa số f cho phương trình : ∂L ∂u ( ) với f x−T = f x−1 T ( = LTu − LTx f x−1 f u ) T = Lu − f uT f x−T Lx (1.12) df = Lưu ý : ∂L ∂u = Lu (1.13) dx =0 Để thành phần thứ dL không với giá trị du tùy ý df = , ta cần có : Lu − f uT f x−T L x = (1.14) Đây điều kiện cần để có giá trị cực tiểu Trước tìm điều kiện đủ , xem xét thêm vài phương pháp để có (1.14) Viết (1.8) (1.9) dạng: ⎡dL ⎤ ⎡ LTx ⎢ df ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ fx LTu ⎤ ⎡ dx ⎤ ⎥⎢ ⎥ = f u ⎦ ⎣du ⎦ (1.15) Hệ phương trình tuyến tính xác định điểm dừng , phải có [ ] kết dx T du T Điều xảy ma trận hệ số (n + 1) × (n + m ) có hạng nhỏ n+1 Có nghĩa hàng ma trận tuyến tính với để tồn vector λ có n số hạng sau: T [ ] ⎡ LTx λ ⎢ ⎣ fx T LTu ⎤ ⎥=0 fu ⎦ (1.16) Hay: LTx + λT f x = (1.17) LTu + λT f u = (1.18) Trang 10 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Giải (1.17) ta λ : λT = − LTx f x−1 (1.19) thay vào (1.18) để có (1.14) Vector λ ∈ R n gọi thừa số Lagrange , cơng cụ hữu ích cho sau Để hiểu thêm ý nghĩa thừa số Lagrange ta xét du = , từ (1.8) (1.9) ta khử dx để : dL = LTx f x−1 df (1.20) Vì vậy: ∂L ∂f ( = LTx f x−1 ) T = −λ (1.21) du = Do -λ đạo hàm riêng L với biến điều khiển u số Điều nói lên tác dụng hàm tiêu chất lượng với biến điều khiển không đổi điều kiện thay đổi Như cách thứ ba để tìm (1.14) , ta phát triển thêm để sử dụng cho phân tích phần sau Kết hợp điều kiện hàm tiêu chất lượng để tìm hàm Hamilton H ( x, u, λ ) = L( x, u ) + λT f ( x, u ) (1.22) Với λ ∈ R n thừa số Lagrange chưa xác định Muốn chọn x , u , λ để có điểm dừng , ta tiến hành bước sau Độ biến thiên H theo độ biến thiên x , u , λ viết sau : dH = H xT dx + H uT du + H λT dλ (1.23) Lưu ý : Hλ = ∂H = f ( x, u ) ∂λ (1.24) Giả sử chọn giá trị u thỏa mãn : Hλ = (1.25) Sau ta xác định x với giá trị u có phương trình điều kiện ràng buộc f ( x, u ) = Trong trường hợp hàm Hamilton tương đương với hàm tiêu chất lượng: http://www.khvt.com Chương : Điều khiển mờ Trường hợp 3: θi,j = 20; với i =1 5, j = 5; y m = 1400 + 500 sin( tập mờ Trường hợp 1, γ0 0.2, 0.5, 0.8, 1.2 2π t ) , 60 Nhận xét: Việc tăng γ0 làm cho luật cập nhật nhạy với sai số, đáp ứng hệ thống tốt Tuy tốc độ thấp, γ0 tăng làm cho tốc độ động bị dao động lớn Sự dao động tỷ lệ thuận với việc tăng γ0 Bằng kinh nghiệm qua trường hợp xét ta thấy đáp ứng tốc độ phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: số lượng tập mờ, hệ số γ0, θi,j, tốc độ biến thiên tốc độ mong muốn…Từ ta đưa việc lựa chọn thông số cho phù hợp để tối ưu đáp ứng hệ thống 2π t ) ; θi,j chọn bảng 60 bên dưới, sử dụng tập mờ cho biến tốc độ tập mờ cho biến gia tốc Trường hợp 4: γ0 = 2.5; y m = 1400 + 500 sin( BIẾN NGÔN NGỮ GIA TỐC μ11 ( x1 ) BIẾN NGÔN NGỮ TỐC ĐỘ μ12 (x1 ) μ13 (x1 ) μ14 ( x1 ) μ15 ( x1 ) μ16 ( x1 ) μ17 ( x1 ) μ 21 (x2 ) μ 22 ( x2 ) μ 23 ( x2 ) μ14 ( x1 ) μ 25 ( x ) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 45 45 45 45 45 60 60 60 60 60 80 80 80 80 80 Trang 73 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà c Áp điều khiển (%PWM) a Đáp ứng ngõ (0 1200s) d Sai số ngõ b Đáp ứng phóng to Hình 4.41: Kết điều khiển trường hợp Kết luận chung Đối tượng động DC điều khiển phương pháp PWM đối tượng phi tuyến Một BĐK mờ thích nghi thiết kế hợp lý điều khiển tốc độ động bám theo nhiều dạng tốc độ mong muốn khác Những kinh nghiệm, thông tin biết đối tượng hữu ích việc tìm BĐK thích nghi tối ưu Các thông số định chất lượng hệ thống : hệ số γ0, giá trị ban đầu θi,j, tín hiệu mong muốn ym …Với thơng số có tác dụng riêng, việc tìm thơng số tối ưu cần dựa vào kinh nghiệm kiến thức hệ thống điều khiển http://www.khvt.com Chương : Điều khiển mờ 4.7 Hệ thống điều khiển tích hợp Ngành điều khiển học đời phát triển từ sớm, đặc biệt thập niên gần việc ứng dụng Lý thuyết mờ Mạng nơron tạo nhiều phương pháp điều khiển với đặc tính “linh hoạt” “thơng minh” Cơng nghệ mờ cơng nghệ mạng nơron hai trụ cột để tạo nên cơng nghệ tích hợp mới, cơng nghệ tính tốn mềm (Soft computing) 4.7.1 Khái niệm Một số phương pháp sử dụng ngành điều khiển học: ĐK Kinh điển & Hiện đại ĐK Thông minh PID GA Tối ưu Nơron Thích nghi Mờ Bền vững … Mỗi phương pháp có điểm mạnh hạn chế định, người ta thường có xu hướng kết hợp chúng lại với để tạo mơ hình điều khiển có khả đáp ứng cao với đòi hỏi thực tế Việc kết hợp cho phương pháp điều khiển điều khiển tích hợp Điều khiển tích hợp : Điều khiển kết hợp phương pháp kinh điển đại với phương pháp điều khiển thông minh 4.7.2 Một số hệ thống tích hợp • Điều khiển sử dụng PID mờ • Điều khiển mờ - thích nghi, mờ - tối ưu • Sử dụng hệ mờ - nơron để nhận dạng & tối ưu hệ thống • Ứng dụng thuật toán GA thiết kế hệ thống điều khiển ……………… Ở phần 4.3 ta trình bày cách thiết kế PID mờ, phần 4.6 nói việc tích hợp cơng nghệ mờ điều khiển Sau ta trình bày ứng dụng giải thuật GA điều khiển thơng qua ví dụ Trang 75 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà 4.7.3 Ứng dụng thuật toán GA thiết kế điều khiển PID tối ưu H2/H∞ Mơ tả tốn Dựa vào hai tốn cực đại hóa độ dự trữ ổn định cực tiểu hóa hàm nhạy điều khiển tối ưu H∞, toán thiết kế điều khiển PID tối ưu H2/H∞ mô tả sau Cho hệ thống điều khiển PID hình 4.42 Mơ hình P(s) đối tượng toán giả thiết có sai lệch Δ0(s) biểu diễn theo mơ hình sai số nhân đầu r + e C(s) u y [1+Δ0(s)] P0(s) - Hình 4.42: Hệ thống điều khiển PID với sai số nhân đầu Bộ điều khiển PID có dạng sau: C (s ) = k + k / s + k s (4.127) Sai số mơ hình Δ0(s) xem ổn định rõ ràng.Giả sử Δ0(s) bị chặn sau: Δ ( jω ) < δ ( jω ) , ∀ω ∈ [0, ∞), (4.128) δ0 (jω) hàm chặn Δ0(jω), ổn định biết trước Kết ổn định bền vững cho thấy điều khiển C(s) chọn cho hệ thống danh định vòng kín (khơng tính Δ0(s)) hình 4.42 ổn định tiệm cận thỏa mãn bất đẳng thức sau: PO ( s )C ( s )δ O ( s ) I + PO ( s )C ( s ) http://www.khvt.com