Đang tải... (xem toàn văn)
Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt
129(W5){12s11x 2 2xT ( , ) T ( , ) T constdT (,) T (,) ld = = = = Trong đó T1x(,) và T2x(,) là gradient của trờng nhiệt độ T1 trong pha rắn và T2 pha lỏng, còn dd là tốc độ di động của biên x = , hay tốc độ chuyển pha, là khối lợng riêng của pha trớc qúa trình chuyển pha. 7.1.3. Mô hình TH bài toán biên di động Trong trờng hợp tổng quát, mô hình toán học của bài toán biên di động do sự chuyển pha sẽ là 1 hệ phơng trình vi phân, trong đó có hai phơng trình vi phân của T1, T2 thuộc 2 pha, các điều kiện đơn trị khác của chúng và điều kiện biên loại 5, nh các phơng trình (W5) ở trên, tại biên tiếp xúc giữa 2 pha. Ví dụ: Mô hình bài toán 1 chiều có biên chuyển pha nh hình H57 là: T1 (x, ) = a1T1xx (x, ), 0 < x < , > 0 T2 (x, ) = a2T2xx (x, ), < x < L , > 0 T2 (x, 0) = To > Ts (ĐK đầu) Các ĐK biên tại x = 0, x = L T1 (, ) = T2 (, ) = Ts = const 1T1x(, ) - 2T2x(, ) = l2dd, (tại x = ) Giải bài toán biên di động là nhằm xác định T1(x, ), T2 (x, ) và tính vận tốc di chuyển của biên ddvà dẫn ra các đặc tính khác của hệ 2 pha đợc khảo sát. 7.2. Bài toán biên hoá rắn 7.2.1. Phát biểu bài toán đóng băng vùng đất ớt Xét 1 vùng đất ớt, rộng và sâu vô cùng, có độ ẩm W, nhiệt độ đông đặc Ts, nhiệt hoá lỏng l, nhiệt độ ban đầu T2(x, 0)=To= const >Ts. (T1, T2) 130Lúc > 0 đột nhiên hạ nhiệt độ mặt đất xuống trị số T1 (0, ) = Tw = const < Ts. Cho biết các thông số vật lý 1, C1, 1 của đất băng và 2, C2, 2 của đất ớt. Tìm trờng nhiệt độ T1(x,) trong đất băng, trờng T2 (x, ) trong đất ớt, vận tốc di chuyển của mặt đóng băng. Tính độ dày lớp băng sau thời gian , tính thời gian để có lớp băng dày L cho trớc. (Xem minh họa tại hình H57) 7.2.2. Phát biểu mô hình: Tìm T1(x, ), T2 (x, ) và dd cho bởi hệ ptvp sau: ()()()()()()()() ( )() ( )()()() () ( )()21112222222o s12 1 w s212s11Tx, Tx,a,0x,0(1)xTx, Tx,a,x,0(2)xT x,0 T const T , x , 0 (3)T,T T 0, T const T, x 0, 0 (4)T,0, x , 0 (5)xT, T , Tconst,x , 0(6)T,x =<<> =<<>== <<== = < = >=> = = = =>()()222T,dWl , x , 0xd= => 7.2.3. Giải bằng phơng pháp Stefan * Theo kết quả của bài toán (4.3) về vật bán vô hạn, ta sẽ tìm nghiệm của phơng trình (1) và (2) ở dạng sau: T1 (x, ) = 111xABerf2a+ T2(x,)=222xABerf2a+ ,ở đây erf(x) =( )()2n2n 1xn001x22edn! 2n 1+===+ (7) 131là hàm sai số Gauss. Các hằng số A1B1A2B2 đợc xác định theo các ĐK đơn trị nh sau: * A1 xác định theo ĐKB (4): T1 (0, ) = Tw = A1 A2 tìm theo giả thiết cho rằng T2 (, ) = To T2 (, ) = To = A2 + B2 A2 = To - B2 Vậy nghiệm riêng của (1) + (4) và (2) + (5) là: T1 (x, ) = w11xTBerf2a+ và T2 (x, ) = o2 o222xxTB1erf TBerfc2a 2a = * B1 và B2 sẽ đợc xác định theo ĐKB (6) nh sau: T1 (, ) = T2 (, ) = Ts có dạng: w11TBerf2a+ = o2 s2T B erfc T2a = Vì (B1, B2) = const nên các đẳng thức trên chỉ thực hiện đợc khi = C , với C là 1 hằng số nào đó sẽ đợc xác định. Do đó, ĐKB (6) sẽ là: w11CTBerf2a+ = o2 s2CT B erfc T2a = Suy ra sw11TTBCerf2a= và os22TTBCerfc2a= Vậy nghiệm riêng của [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) là: 132T1 (x, ) = ( )swW11TTxTerf2aCerf2a+ T2 (x, ) = ( )oso22TTxTerfc2aCerfc2a * C đợc xác định theo ĐKB loại 5 (7) nh sau: ()11TC ,x - ( )22TC ,x = 2CWl2 ở đây dd = ()dCCd2= là vận tốc di động của biên, tức là vận tốc đóng băng. Các hàm sai số Gauss có dạng: erf(x) = ( )()2n2n 1x0n01x22edn! 2n 1+====+, erfc(x) = ()()2n2n 1xn11x22ed1erf(x)1n! 2n 1+=== = + Đạo hàm của chúng là: ()n2nn01xd2erf(x)dx n!== = ( )2n2xn0x22en!== 2xdd2erfC(x) erf(x) edx dx= = Do đó, ĐKB (7) là 1T1x( )C, - 2T2x( )C, = 2CWl2 sẽ ứng với phơng trình sau: 0 133()21sw111Cexp4aTT.aCerf2a + ()22os222Cexp4aTT.aCerfc2a = 2CWl2. Nếu đặt C = 1K2 a, tức K = 1C2a ta có phơng trình để xác định C nh sau: ()()2221os211sw 221aexp Kexp KaTTaerf K T T aaerfc Ka+ = ()21sw1lW aKTT. Đặt ()21osw1lW aKTT=, phơng trình có dạng: f(K) = ()oKK Giải bằng đồ thị ta có K và tìm đợc C = 1K2 aK. Hằng số Ko là 1 đại lợng không thứ nguyên, đợc gọi là tiêu chuẩn (hoặc số) Koccivich * Chuyển về dạng không thứ nguyên bằng cách đặt Fox = 12ax, Fox gọi là biến Fourier của toạ độ và thời gian, Ka = 21aa, ta có nghiệm của bài toán đã nêu ở dạng không thứ nguyên nh sau: ()1w1swTx, TTT= = ()()ox1ox1erf2FFerf K= y o K y=f(K) y= KoK K=c/21a H58. Để xác định K và C. 134()o22osTTx,TT= = ()()aox2oxa1erfc2KFFerfc K K= 7.2.4. Tính gần đúng trong kỹ thuật: * Do các chuỗi của erf(x) và exp(x2) hội tụ rất nhanh khi n tăng, nên với độ chính xác cho phép của kỹ thuật, có thể chỉ cần lấy số hạng đầu của các chuỗi này (ứng với n = 0) khi tính toán, tức là coi: ()erf x = ()()n2n 1n01x2n! 2n 1+=+ =& 2x ( ) ( )erfc x 1 erf x= =& 21x 2Cexp4a = n2n01Cn! 4a==& 1. Khi đó có: 1Cerf2a =& 12C.2a = 1Ca 2Cerfc2a =& 1 - 2Ca Khi đó phơng trình ĐKB loại 5 để xác định C sẽ có dạng: ()sw 111TT aCa + ( )os222TTC1aa = 2CWl2 hay C2 = ()( )1s w 1o s2222TT 2TTClw lwaC + * Xét trờng hợp To = Ts, tức là khi nhiệt độ ban đầu của pha ẩm bằng nhiệt độ đóng băng. 135Khi To = Ts ta có: C = ( )1s w22TTlW Nếu pha ẩm (2) là nớc, có độ ẩm w = 1, thì C = ()121sw22TTl - Lúc này, trờng nhiệt độ trong 2 pha có dạng: T1 (x, ) =& Tw + (Ts - Tw) 1aC1xerf2a hay T1 (x, ) =& Tw + (Ts - Tw) ()21s wlWx.2TT ()()()21w sw12oslf WxTx, T T T .2Tx, T T const= + = = = - Vận tốc dịch chuyển biên, tức vận tốc đóng băng, là: dd= C2 = ( )()1s w2TTf2l W.= , tổng quát dd = K1a, với K = 1C2a = 1s w21(T T )2l Wa. Vậy vận tốc đóng băng chỉ phụ thuộc , đồng biến theo 1, Ts nghịch biến theo Tw, l, 2, W và . Vận tốc đóng băng tỷ lệ nghịch với , tức là khi tăng 4 lần thì vận tốc giảm 2 lần. Biên chuyển động chậm dần với gia tốc '' = 22dd = ( )1s w23TT122lW , [m/s2] Nhận xét: Gia tốc có trị âm, làm biên di chuyển chậm dần. Khi lớn, có thể coi gia tốc '' = 0. 2 =& =&3 136Lúc này biên di chuyển gần nh đều, nhng rất chậm. 7.2.5. Tính độ dày lớp băng tại thời điểm * Trờng hợp tổng quát, độ dày lớp băng tại thời điểm là x = = C , với C = 12aK, tức x = = 12K a , [m] * Trờng hợp To = Ts và tính gần đúng bậc 1 theo x, có C = ()1sw22TTlW nên độ dày lớp băng là x = = ()1sw22TTlW , [m] * Nếu pha (2) là nớc, có W = 1, ở điều kiện To = Ts thì x = = ()1sw22TTl, m 7.2.6. Tính thời gian đóng băng đến độ dày đã cho = L. * Trờng hợp tổng quát với lớp băng phẳng, rộng , thời gian đạt tới độ dày = L = C là = 222211LL LC2aK4a K==, [s] * Trờng hợp To = Ts và tính gần đúng bậc 1, có = ()221s wlWL2TT, [s] * Với nớc ở To = Ts thì thời gian để tạo lớp băng phẳng, dày L là (cho W = 1): = ()22o1s w 1lLL.KTT 2 2a= o'"c'2= H59. Vận tốc và gia tốc của mặt băng x = 3"4c= 1377.3. Bài toán đông lạnh các vật ẩm hữu hạn 7.3.1. Mục đích chủ yếu khi tính đông lạnh các vật ẩm hữu hạn là tính thời gian để nhiệt độ cực đại trong vật bằng 1 trị số cho trớc. Thời gian đông lạnh gồm 2 giai đoạn: = o + 1, trong đó o là thời gian để hoá rắn toàn bộ vật ẩm, có nhiệt độ tâm vật bằng Ts, còn 1 là thời gian để nhiệt độ tâm vật giảm trừ Ts đến nhiệt độ Tk cho tr-ớc, theo yêu cầu của công nghệ cấp đông Việc tính 1 có thể dựa vào kết quả của bài toán dẫn nhiệt không ổn định trong vật rắn 1 pha. Sau đây ta sẽ tính o theo phơng pháp gần đúng. Phép tính gần đúng sẽ dựa trên các giả thiết sau: 7.3.2. Các giả thiết 1. Các vật ẩm hữu hạn có dạng đối xứng 2. Điều kiện biên ngoài vật có tính đối xứng, loại 1 3. Nhiệt độ ban đầu trong vật ẩm là đồng nhất, và bằng nhiệt độ hoá rắn: T2 (M, ) = Ts 4. Trong lớp vật rắn tạo thành sau chuyển pha, phân bố nhiệt độ là tuyến tính đối với biên di động x = 7.3.3. Tính thời gian làm đông o 1. Đông đặc vật ẩm phẳng, rộng 2L, có To = Ts, có 1, l, 2 hai biên ngoài có Tw = const < To đối xứng. Bài toán này có mô hình giống mô hình bài toán ở trên. Điều kiện biên loại 5 trên biên di động x = là: 1T1x(,)-2T2x(,)=l2ddW oxTL-LTT0sTWTW H60. Làm đông vật phẳng do T2(x, ) = Ts = const nên T2x(, ) = 0 138H61. Làm đông vật trụ H62. Làm đông vật cầuTWTstroRRrTWTsoDo T1(x, ) tuyến tính với x = tại nên T1x(, ) = swTT Vậy phơng trình cân bằng nhiệt trên biên W5 có dạng: sw1TT = 2dlWd hay ( )1s w2TTddlW = Thời gian làm đông o ứng với khi = L nên có: Lod = ( )o1s wo2TTdlW ( )21s wo2TTL2lW= Vậy o = ()222o1s w 1lWLL.KTT 2 2a=, với Ko = ()211s wlWaTT 2. Đông đặc vật ẩm hình trụ giải tơng tự nh trên, ta đợc o = ()222o1s w 1lWRR.KTT 4 4a= 3. Bài toán làm đông vật ẩmhình cầu cho kết quả o = ()222o1s w 1lWRR.KTT 6 6a= Các công thức trên khi tính cho khối chất lỏng hoàn toàn thì lấy W = 1 7.3.4. So sánh thời gian o: - Nếu các vật phẳng, trụ, cầu có cùng độ dầy tức R = L thì ta có: of = 2ot = 3oc Với vật ẩm hình dạng bất kỳ, thời gian đóng băng o tỷ lệ thuận với bình phơng độ dầy của vật. Độ dầy của vật đợc hiểu là khoảng cách trung bình giữa hai mặt đợc làm lạnh của vật. Do đó, để giảm [...]... phơng pháp BTHS 17 2.4.3 Bài toán tấm phẳng biên (W2 + W20) .17 2.5 Phơng pháp Fourier cho bài toán không ổn định nhiều chiều .20 2.5.1 Phơng pháp tách biến lặp 20 2.5.2 Phơng pháp quy về các bài toán 1 chiều .23 2.5.3 Định lý giao nghiệm 25 Chơng 3: phơng pháp toán tử phức và các bài toán dao động nhiệt .26 3.1 Bài toán dao động nhiệt 26 3.1.1 Khái niệm dao động nhiệt. .. toán dao động nhiệt 26 3.2 Phơng pháp toán tử phức hay tổ hợp phức (Complex Combination) 27 3.2.1 Nội dung phơng pháp toán tử phức (TTP) 27 3.2.2 Các bớc của phơng pháp toán tử phức 27 3.3 Bài toán dao động nhiệt trong vật bán vô hạn 28 3.3.1 Phát biểu và mô hình (Nh mục 3.1.2) 28 3.3.2 Giải bằng phơng pháp THP 28 3.3.3 Khảo sát sóng nhiệt .29 3.4 Dao động nhiệt không ổn... hay 2 Qo 1 = Kk v3 , [W/m2] S 2 Lợng nhiệt nhận vào có thể làm nhiệt độ vỏ tàu tăng rất cao, gây nguy hại cho cả con tàu Do đó, ngơì ta phải tìm cách giải thoát lợng nhiệt này, bảo đảm cho nhiệt độ thành tàu không vợt quá 1 giá trị an toàn Tk nào đó qo = Giải pháp hiện nay là bọc vỏ tàu bằng 1 lớp vật liệu có nhiệt độ nóng chảy Ts không lớn hơn Tk nói trên, Ts < Tk Nhiệt ma sát làm nóng chảy lớp vỏ này... phơng pháp tách biến fourier 12 2.2.1 Nội dung phơng pháp tách biến Fourier 12 2.2.2 Cách giải các bài toán thuần nhất 12 144 2.2.3 Ví dụ: Bài toán làm nguội tấm phẳng biên (W2+W3) 12 2.3 Phơng pháp nghiệm riêng ổn định .14 2.3.1 Phạm vi sử dụng phơng pháp NROĐ 14 2.3.2 Nội dung phơng pháp NROĐ 14 2.3.3 Ví dụ: Bài toán gia nhiệt vách phẳng biên (W1) 14 2.4 Phơng pháp. .. Phép sai phân vật lý 50 5.3 Các phơng pháp xấp xỉ đạo hàm theo thời gian 51 146 5.3.1 Phơng pháp Euler 51 5.3.2 Phơng pháp ẩn (Implicit) .51 5.3.3 Phơng pháp Crank-Nicolson 52 5.3.4 Phơng pháp tổng quát 52 5.4 Các phơng pháp giải hệ phơng trình đại số tuyến tính .53 5.5 FDM cho bài toán KOĐ một chiều tổng quát 54 5.6 FDM giải bài toán không ổn định 2 chiều... 109 6.7.4 Tính đạo hàm theo [t] của I và IC .109 6.7.5 Tính dIg/d[t] 109 148 6.7.6 Tính dI/d[t] 110 6.7.7 Tính dIq/d[t] 112 6.7.8 Phát biểu phần tử hữu hạn 113 6.7.9 Phát biểu sai phân để đa về hệ phơng trình đại số 113 6.8 Phơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán có = (t) .114 6.9 Phơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán biên phi tuyến 117 6.10 Phơng pháp phần... đích chủ yếu khi tính đông lạnh 137 149 7.3.2 Các giả thiết 137 7.3.3 Tính thời gian làm đông o 137 7.3.4 So sánh thời gian o .138 7.4 Bài toán đông kết vật đúc 139 7.4.1 Phát biểu bài toán 139 7.4.2 Tính () và tốc độ đông kết .139 7.5 Tính truyền nhiệt khi nóng chảy lớp bảo vệ vỏ phi thuyền có vận tốc lớn 140 7.5.1 Vấn đề bảo vệ nhiệt cho vỏ phi... tàu, phần nhiệt này bằng: 142 qv = qv = T = CW (To - Ts) hay =0 q o C ( Ts To ) , l + C ( Ts To ) C ( Ts To ) qv = q o l + C ( Ts To ) Công thức trên cho thấy nếu chọn vật liệu có nhiệt nóng chảy lớn, l , thì dòng nhiệt thừa qv sẽ nhỏ 7.5.6 Xác định chiều dày an toàn của lớp cách nhiệt nóng chảy Gọi thời gian con tàu cần bay trong khí quyển là Để chuyến bay an toàn, chiều dày lớp cách nhiệt nóng... luận 39 Chơng 4: phơng pháp toán tử laplace .41 4.1 Nội dung phơng pháp toán tử Laplace 41 4.1.1 Phơng pháp toán tử 41 4.1.2 Phép biến đổi Laplace thuận 41 4.1.3 Phép biến đổi Laplace ngợc 42 4.1.4 Các bớc của phơng pháp Laplace giải một hệ phơng trình vi phân 43 4.2 Phơng pháp toán tử cho bài toán vách phẳng biên W1 .43 4.3 Phơng pháp toán tử tìm (x,f) trong vật... lại, khi thiết kế lớp an toàn nhiệt cho vỏ tàu, phải chọn vật liệu có nhiệt độ nóng chảy Ts Tk, có nhiệt nóng chảy l lớn, và độ dày thoả mãn công thức nêu trên 143 Mục lục Trang Chơng 1: Mô hình bài toán dẫn nhiệt 3 1.1 Định luật Fourier 3 1.1.1 Thiết lập 3 1.1.2 Phát biểu 4 1.1.3 Hệ số dẫn nhiệt 4 1.2 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt 4 1.2.1 Định nghĩa . có nhiệt độ tâm vật bằng Ts, còn 1 là thời gian để nhiệt độ tâm vật giảm trừ Ts đến nhiệt độ Tk cho tr-ớc, theo yêu cầu của công nghệ cấp đông Việc tính. = ()121sw22TTl - Lúc này, trờng nhiệt độ trong 2 pha có dạng: T1 (x, ) =& Tw + (Ts - Tw) 1aC1xerf2a hay T1 (x, ) =& Tw + (Ts - Tw) ()21s wlWx.2TT