BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ******************** KHỔNG CHÍ NGUYỆN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ ĐỨC THUẬN GS TS NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI - 2019 My Thesis Luận án hoàn thành sở nghiên cứu tác giả Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn: PGS TS ĐỖ ĐỨC THUẬN GS TS NGUYỄN HỮU DƯ Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án tổ chức bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi phút, ngày / /2020 Luận án công khai tại: Thư viện Quốc gia Việt Nam Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội GIỚI THIỆU Năm 1988, lý thuyết giải tích thang thời gian Stefan Hilger giới thiệu Luận án tiến sĩ với mục đích thống mở rộng lý thuyết giải tích thời gian rời rạc liên tục Một toán quan trọng xét tính ổn định phương trình động lực thang thời gian Đã có nhiều cơng trình liên qua đến chủ đề công bố năm qua Nội dung luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định vững phương trình động lực tuyến tính thơng qua số mũ Lyapunov, số mũ Bohl bán kính ổn định Số mũ Lyapunov, số mũ Bohl sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân Số mũ Lyapunov A.M Lyapunov (1857-1918) giới thiệu Luận án tiến sĩ năm 1982, số mũ Bohl P Bohl (1865-1921) công bố vào năm 1913 báo1 Cả hai mô tả tăng trưởng cấp số mũ nghiệm phương trình x˙ = A(t) x Phương pháp số mũ Lyapunov nội dung bản, kinh điển sử dụng để xét tính ổn định phương trình vi phân sai phân Tuy nhiên, nay, chưa có cơng trình liên quan đến khái niệm số mũ Lyapunov tính ổn định hàm xác định thang thời gian Lý cách tiếp cận truyền thống thông qua hàm logarit không thể, khơng có định nghĩa hàm logarit chấp nhận thang thời gian, mà xem hàm ngược hàm mũ e p(t) (t, s) Luận án nghiên cứu phương pháp Lyapunov thứ phương trình động lực với cách tiếp cận phù hợp, thay xét giới hạn lim supt→∞ 1t ln | f (t)|, ta sử dụng dao động tỉ số | f (t)| eα (t,t0 ) t → ∞ theo tham số α để định nghĩa số mũ Lyapunov hàm f thang thời gian sử dụng để nghiên cứu tính ổn định phương trình động lực x ∆ = A(t) x Một số kết nghiên cứu trình bày Chương Luận án, chẳng hạn: điều kiện cần đủ để tồn số mũ Υ[ f (·)] thơng thường tính chất bản; điều kiện cần tính bị chặn số mũ Lyapunov Υ[ x (·)], x (·) = nghiệm phương trình x ∆ = A(t) x; điều kiện đủ tính ổn định phương trình x ∆ = A(t) x với giả thiết bổ sung A(t) ≤ M, t ∈ Tτ , đặc biệt điều kiện phổ tính ổn định mũ Số mũ Bohl sử dụng để đặc trưng tính ổn định mũ rút kết tính vững phương trình vi phân thường (ODEs) Trong báo Chyan et al (2008), tác giả tổng quát hóa số kết liên quan đến số mũ Bohl Bohl P (1913), Uber Differentialungleichungen, J.F.d Reine Und Angew Math., 144, 284–133 phương trình vi phân-đại số, tuyến tính có số-1 E(t) x˙ = A(t) x + f (t), E(·) giả sử suy biến Năm 2009, Linh and Mehrmann nghiên cứu phổ Bohl số mũ Bohl nghiệm ma trận nghiệm DAE Tuy nhiên, số mũ Bohl mục tiêu hai báo, Chyan et al (2008), Linh and Mehrmann (2009) Năm 2012, báo mình, Berger phát triển lý thuyết số mũ Bohl phương trình vi phân-đại số, tuyến tính, thời gian biến thiên Những kết báo tổng quát kết phương trình vi phân thường Daleckii and Krein (1974), Hinrichsen et al (1989) Năm 2016, tác giả báo Du et al giới thiệu khái niệm số mũ Bohl đặc trưng mối quan hệ tính ổn định mũ số mũ Bohl hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến với hệ số biến thiên Chương luận án giới thiệu số mũ Bohl phương trình động lực ẩn Eσ (t) x ∆ = A(t) x đặc trưng mối liên hệ tính ổn định mũ số mũ Bohl Một số kết là: Xây dụng cơng thức nghiệm phương trình Eσ (t) x ∆ = A(t) x + f (t) với điều kiện ban đầu P(t0 )( x (t0 ) − x0 ) = 0; trình bày số đặc trưng tính ổn định phương trình động lực ẩn chịu nhiễu Lipschitz, Định lý 3.10, Định lý 3.11; mở rộng định lý ổn định kiểu Bohl-Perron; đưa khái niệm số mũ Bohl phương trình Eσ (t) x ∆ = A(t) x mối liên hệ với tính ổn định mũ xem xét, Định lý 3.18 Tính vững số Bohl chứng minh phương trình Eσ (t) x ∆ = A(t) x chịu nhiễu tác động lên vế phải hai vế, Định lý 3.21, Định lý 3.22 Vấn đề cuối nghiên cứu luận án bán kính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Ta biết bán kính ổn định phương trình vi phân-đại số, phương trình sai phân ẩn thu ý nhiều nhà nghiên cứu Đã có nhiều cơng trình cơng bố, kết bán kính ổn định hệ tuyến tính, thời gian biến thiên hạn chế Khái niệm bán kính ổn định hệ tuyến tính, thời gian biến thiên giới thiệu báo Hinrichsen et al (1992) rC ( I, A; B, C ) = inf Σ L∞ , Σ ∈ PCb (R+ , Cm×q ) and ( I, A; B, C ) is not exponential stable , cơng thức tính bán kính ổn định rút báo Jacob (1998), rK ( I, A; B, C ) = sup Lt0 −1 t0 ≥0 Năm 2006, tác giả nghiên cứu bán kính ổn định phương trình vi phân-đại số, tuyến tính, thời gian biến thiên có số-1 báo Du and Linh (2006) nhận cơng thức tính, rK ( E, A; B, C ) = sup Lt0 t0 ≥0 −1 , L0 −1 Năm 2019, Rodjanadid et al nghiên cứu rút cơng thức bán kính ổn định phương trình sai phân ẩn, tuyến tính, thời gian biến thiên có số-1, rK ( E, A; B, C ) = sup Ln0 −1 n0 ≥0 , L0 −1 Năm 2014, T Berger thu vài cận bán kính ổn định phương trình vi phân-đại số, thời gian biến thiên có số-1 chịu nhiễu khơng cấu trúc tác động lên hệ số đạo hàm,  min{l ( E,A), QG −1 −  ∞ }   −  κ1 +κ2 min{l (E,A), QG −∞1 } if Q = 0, l ( E,A) r ( E, A) ≥ , if Q = and l ( E, A) < ∞, κ + κ2 l ( E,A)    1, if Q = and l ( E, A) = ∞ κ2 Những kết nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững thang thời gian phương trình vi phân-đại số, tuyến tính, thời gian biến thiên, Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) + f (t), có dạng tương ứng Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) trình bày Chương luận án Một số kết chính: cơng thức tính bán kính ổn định có cấu trúc phương trình động lực ẩn, Định lý 4.9; cận bán kính ổn định phương trình chịu nhiễu có cấu trúc tác động lên đạo hàm vế phải, Định lý 4.20, Hệ 4.22 Nhiều kết trước bán kính ổn định phương trình vi phân/sai phân, phương trình vi phân-đại số/sai phân ẩn với thời gian biến thiên tổng quát hóa kết thu được, Nhận xét 4.10, 4.11, 4.14, 4.15 Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Khóa 2015 2019 trình bày seminar Khoa Tốn, HPU2 Những kết luận án báo cáo Hội thảo liên kết Việt Nam - Hàn Quốc Hệ Động lực Chủ đề liên quan (Viện Nghiên cứu Cao cấp Toán, Hà Nội, 02-05/3/2016); Hội nghị Quốc tế Thái Bình Dương mở rộng lần thứ Tô-pô Ứng dụng (Đại học Quốc gia Pusan, Busan, Hàn Quốc, 13-17/11/2017); Đại hội Tốn học Tồn quốc lần thứ (Hội Toán học Việt Nam, Nha Trang, 14-18/8/2018); Hội thảo Quốc tế Phương trình Vi phân Hệ Động lực (ĐHSP Hà Nội Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Vĩnh Phúc, 05-07/9/2019) CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Những kiến thức giải tích thang thời gian cần thiết đề nghiên cứu tính ổn định ổn định vững phương trình động lực trình bày chương Nội dung Chương trích dẫn từ hai sách chuyên khảo thang thời gian tác giả M Bohner A Peterson xuất vào năm 2001, 2003 số tài liệu tham khảo khác 1.1 1.1.1 Thang Thời gian Phép tốn Định nghĩa Ví dụ Thang thời gian ký hiệu T, tập tùy ý, đóng khác rỗng tập số thực R Ta ln giả thiết T có tơ-pơ cảm sinh từ tô-pô R Định nghĩa 1.2 (Bohner & Peterson (2001), trang 1) Giả sử T thang thời gian Với t ∈ T, ta định nghĩa i) toán tử nhảy tiến σ : T → T σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}, ii) toán tử nhảy lùi : T → T (t) := sup{s ∈ T : s < t}, and iii) hàm hạt µ : T → [0, ∞) µ(t) = σ(t) − t Ta định nghĩa tập hợp Tκ = T\( (sup T), sup T] T sup T < ∞, sup T = ∞ Định nghĩa 1.4 (Bohner & Peterson (2001), trang 2) Một điểm t ∈ T gọi trù mật-trái t > inf T (t) = t; trù mật-phải t < sup T σ(t) = t, trù mật t đồng thời trù mật-trái trù mật-phải; cô lập-trái (t) < t; cô lập-phải σ(t) > t, cô lập t đồng thời cô lập-trái cô lập phải Nếu f : T → R hàm, f σ : T → R hàm xác định f σ (t) = f (σ(t)) for all t ∈ T, nghĩa là, f σ = f ◦ σ Với t0 ∈ T cố định, ta định nghĩa tập hợp Tt0 := [t0 , ∞) ∩ T 1.1.2 Vi phân Định nghĩa 1.7 (Bohner & Peterson (2001), trang 5) Hàm f : T → R gọi khả vi delta t ∈ T tồn hàm f ∆ (t) cho với ε > 0, | f (σ(t)) − f (s) − f ∆ (t)(σ(t) − s)| ≤ ε|σ(t) − s|, với s ∈ U = (t − δ, t + δ) ∩ T vài δ > Hàm f ∆ (t) gọi đạo hàm delta (hay Hilger) hàm f Khi f gọi khả vi delta (hay Hilger) Tκ Ta dùng thuật ngữ đạo hàm, khả vi thay cho đạo hàm delta, khả vi delta không gây nhầm lẫn 1.1.3 Tích phân Định nghĩa 1.16 (Bohner & Peterson (2001), trang 22) Hàm f : T → R gọi quy giới hạn phải tồn (hữu hạn) điểm trù mật phải T giới hạn trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật trái T; rd-liên tục liên tục điểm trù mật-phải T giới hạn trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật-trái T Tập hàm rd-liên tục f : T → R ký hiệu Crd = Crd (T) = Crd (T, R) Tập hàm f : T → R khả vi đạo hàm rd-liên tục ký hiệu C1rd = C1rd (T) = C1rd (T, R) Tập hàm f : T → R xác định khoảng J ⊂ T, rd-liên tục lấy giá trị X ký hiệu Crd (J, X) Định nghĩa 1.17 (Bohner & Peterson (2001), trang 22) Hàm f : T → R gọi tiền khả vi miền khả vi D, D ⊂ Tκ , Tκ \ D đếm không chứa phần tử cô lập-phải T, f khả vi điểm t ∈ D Định nghĩa 1.20 (Guseinov (2003)) Giả sử f : T → R hàm quy i) Hàm f gọi tiền nguyên hàm f F ∆ (t) = f (t) ∀ t ∈ D ii) Tích phân khơng xác định f xác định f (t)∆t = F (t) + C, C số bất kỳ, F tiền nguyên hàm f b iii) Tích phân Cauchy f xác định a f (t)∆t = F (b) − F ( a), ∀ a, b ∈ T, F tiền nguyên hàm iv) Hàm F : T → R gọi nguyên hàm f : T → R F ∆ (t) = f (t) với t ∈ Tκ Định lý 1.25 (Akin-Bohner et al (2005), Bohner & Peterson (2003), trang 46) Cho a ∈ Tκ , b ∈ T giả sử f : T × Tκ → R liên tục (t, t), t ∈ Tκ , t > a Ta giả thiết f ∆ (t, ·) rd-liên tục khoảng [ a, σ (t)] Cũng giả thiết f (·, τ ) khả vi delta differentiable với τ ∈ [ a, σ(t)] Giả sử với ε > 0, tồn lân cận U t, cho | f (σ(t), τ ) − f (s, τ ) − f ∆ (t, τ )(σ (t) − s)| ≤ ε|σ(t) − s|, với s ∈ U, f ∆ ký hiệu đạo hàm f tương ứng với biến thứ Khi t g(t) := 1.1.4 a f (t, τ )∆τ g∆ (t) = f (σ(t), t) + t a f ∆ (t, τ )∆τ Tính Hồi quy Định nghĩa 1.26 (Bohner & Peterson (2003), trang 10) Hàm p : T → R gọi hồi quy, + µ(t) p(t) = 0, với t ∈ Tκ ; hồi quy dương, + µ(t) p(t) > 0, với t ∈ Tκ ; hồi quy đều, tồn số δ > cho |1 + µ(t) p(t)| ≥ δ, với t ∈ Tκ Ký hiệu R = R(T, R) (tương ứng, R+ = R+ (T, R)) tập hàm hồi quy (tương ứng, hồi quy dương) thang thời gian 1.2 Hàm mũ Định nghĩa 1.33 (Bohner & Peterson (2001), trang 59) Nếu p(·) ∈ R, hàm mũ thang thời gian định nghĩa t e p (t, s) = exp s ξ µ(τ ) ( p(τ ))∆τ Log(1+zh) h ξ h (z) phép biến đổi trụ, ξ h (z) := 1.3 for all s, t ∈ T, z h > 0, h = Bất đẳng thức Bổ đề 1.36 (Bổ đề Gronwall-Bellman, Bohner & Peterson (2001), trang 257) Cho y ∈ Crd (T, R) k ∈ R+ (T, R), k ≥ 0, α ∈ R Giả thiết y(t) thỏa mãn bất đẳng thức t y(t) ≤ α + t0 k (s)y(s)∆s, for all t ∈ T, t ≥ t0 Khi đó, y(t) ≤ αek(t) (t, t0 ) với t ∈ T, t ≥ t0 Định lý 1.39 (Bất đẳng thức Holder, Bohner & Peterson (2001), trang 259) Cho a, b ă T Vi mi hm rd-liờn tc f , g : ( a, b) → R, p, q > 0, p > 1p + 1q = 1, ta có b a | f (t) g(t)|∆t ≤ b a p | f (t)| ∆t p b a q | g(t)| ∆t q , 1.4 Phương trình Động lực Tuyến tính Cho A : Tκ → Rn×n hàm rd-liên tục Xét phương trình động lực tuyến tính n-chiều x ∆ = A(t) x với t ∈ T Định lý 1.42 (Hilger (1990)) Giả thiết A(·) hàm giá trị ma trận rd-liên tục Khi đó, với t0 ∈ Tκ , tốn giá trị ban đầu x ∆ = A(t) x, x (t0 ) = x0 (1.1) có nghiệm x (·) xác định t ≥ t0 Hơn nữa, A(·) hồi quy nghiệm xác định t ∈ Tκ Nghiệm phương trình (1.1) gọi toán tử Cauchy, hay hàm mũ ma trận ký hiệu Φ A (t, t0 ) hay Φ(t, t0 ) Định lý 1.44 (Bohner & Peterson (2001), trang 195) Cho A : Tκ → Rm×m f : Tκ × Rm → Rm rd-liên tục Nếu x (t), t ≥ t0 , nghiệm phương trình động lực x ∆ = A(t) x + f (t, x ), x (t0 ) = x0 , t x (t) = Φ A (t, t0 ) x0 + Φ A (t, σ (s)) f (s, x (s))∆s, t ≥ t0 t0 1.5 Tính Ổn định Phương trình Động lực Cho T thang thời gian, t0 ∈ T Xét phương trình động lực có dạng x ∆ = f (t, x ), x ( t ) = x ∈ Rm , t ∈ T, (1.2) f : T × Rm → Rm rd-liên tục Nếu f (t, 0) = 0, phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường x ≡ Ký hiệu x (t; t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (1.2) Định nghĩa 1.45 (DaCunha (2005a), Hilger (1990)) Nghiệm tầm thường x ≡ of dynamic equation phương trình động lực (1.2) gọi ổn định mũ tồn số dương α thỏa mãn −α ∈ R+ số dương δ > cho với t0 ∈ T tồn số N = N (t0 ) > 0, nghiệm phương trình (1.2) với điều kiện ban đầu x (t0 ) = x0 thoả mãn x (t; t0 , x0 ) ≤ N x0 e−α (t, t0 ), với t ≥ t0 , t ∈ T x0 < δ Nếu số N lựa chọn độc lập với t0 ∈ T nghiệm x ≡ phương trình (1.2) gọi ổn định mũ CHƯƠNG SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC Ở Chương 2, ta nghiên cứu phương pháp Lyapunov thứ phương trình động lực thang thời gian với cách tiếp cận phù hợp Nội dung chương dựa báo số danh sách cơng trình tác giả Ta biết rằng, định nghĩa hàm logarit thang thời gian, xem Bohner (2005), | f (t)| ta sử dụng dao động tỉ số e (t,t ) t → ∞ theo tham số α cụ thể để định α nghĩa số mũ Lyapunov hàm f thang thời gian Cho T thang thời gian không bị chặn trên, sup T = ∞, hàm hạt µ(t) bị chặn, tức là, tồn số µ∗ = supt∈T µ(t) < ∞ Điều tương đương với việc tồn số dương m1 , m2 cho với phần tử t ∈ T, tồn đại lượng phụ thuộc t, c = c(t) ∈ T, thỏa mãn điều kiện m1 ≤ c − t < m2 , xem Potzsche (2004) Hơn ¨ + nữa, theo định nghĩa, α ∈ R ∩ R α > − µ(t) với t ∈ T Kết là, ta có inf(R ∩ R+ ) = − µ1∗ Ta quy ước 2.1 2.1.1 = ∞ Số mũ Lyapunov: Định nghĩa Tính chất Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Số mũ Lyapunov hàm f xác định thang thời gian Tt0 , lấy giá trị K, số thực a ∈ R+ cho với ε > tùy ý, ta có | f (t)| = 0, t→∞ e a⊕ε ( t, t0 ) | f (t)| lim sup = ∞ t→∞ e a ε ( t, t0 ) lim (2.1) (2.2) Số mũ Lyapunov hàm f ký hiệu κ L [ f ] Nếu (2.1) với a ∈ R ∩ R+ ta quy ước f có số mũ cực biên trái κ L [ f ] = − µ1∗ = inf(R ∩ R+ ) Nếu (2.2) với a ∈ R ∩ R+ , ta nói f có số mũ cực biên phải κ L [ f ] = +∞ Nếu κ L [ f ] không số mũ cực biên trái không số mũ cực biên phải, ta gọi κ L [ f ] số mũ Lyapunov thông thường (normal Lyapunov exponent) Ký hiệu S = {α1 , α2 , , αn |α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αn } tập phổ Lyapunov (2.4) Hơn nữa, ta giả sử αi ∈ R ∩ R+ , với i = 1, 2, , n Định lý 2.19 (Bất đẳng thức Lyapunov) κ L [eα (·, t0 )] ≤ κ L [eα1 ⊕α2 ⊕ ⊕αn (·, t0 )] Trường hợp T = R, ta có κ L [eα (·, t0 )] = lim supt→∞ t − t0 t t0 (trace A(s))ds, κ L [eα1 ⊕···⊕αn (·, t0 )] = α1 + · · · + αn Vì vậy, ta nhận Bất đẳng thức Lyapunov phương trình vi phân thường báo Malkin (1958) Xét phương trình (2.4), A(t) ≡ A ma trận hằng, hồi quy vuông cấp n Giả sử λi , i = 1, 2, , n giá trị riêng A Ta chứng minh α(t) = λ1 ⊕ λ2 ⊕ λn (2.5) Định lý 2.22 Với giá trị riêng λi ma trận A, hàm mũ eλi (·, t0 ) có số mũ Lyapunov xác, κ L [eα (·, t0 )] = κ L [eα1 ⊕α2 ⊕ ⊕αn (·, t0 )], αi = κ L [eλi (·, t0 )], i = 1, 2, , n 2.3 Phổ Lyapunov Tính Ổn định Phương trình Tuyến tính Xét phương trình x ∆ = A(t) x, (2.6) A(t) ma trận vuông cấp n, hồi quy rd-liên tục, thỏa mãn A(t) ≤ M, với t ∈ Tτ Định lý 2.24 Phương trình (2.6) với điều kiện phát biểu A(·) Khi đó, i) Phương trình (2.6) ổn định tiệm cận mũ tồn số α > thỏa mãn −α ∈ R+ cho với t0 ∈ Tτ , có số N = N (t0 ) > cho Φ A (t, t0 ) ≤ Ne−α (t, t0 ) với t ≥ t0 , t ∈ Tτ ii) Phương trình (2.6) ổn định tiệm cận mũ tồn số α > 0, N > thỏa mãn −α ∈ R+ cho Φ A (t, t0 ) ≤ Ne−α (t, t0 ) với t ≥ t0 , t, t0 ∈ Tτ Định lý 2.25 (Điều kiện phổ tính ổn định mũ) Ký hiệu −α := max S, S tập phổ Lyapunov phương trình (2.6) Khi đó, phương trình (2.6) ổn định tiệm cận mũ α > Bây ta xét phương trình x ∆ = Ax (2.7) A ma trận hằng, hồi quy Ký hiệu tập giá trị riêng A σ( A) Từ tính hồi quy ma trận A, kéo theo σ ( A) ⊂ R 11 Định lý 2.26 Nếu phương trình (2.7) ổn định tiệm cận mũ κ L [eλ (·, t0 )] < 0, với λ ∈ σ( A) Hơn nữa, giả sử giá trị riêng λ ∈ σ( A) hồi quy Khi đó, giả thiết κ L [eλ (·, t0 )] < phương trình (2.7) ổn định tiệm cận mũ Hệ 2.27 Nếu với giá trị riêng λ ∈ σ ( A) ta có đó, phương trình (2.7) ổn định tiệm cận mũ Định lý 2.28 Nếu lim supt→∞ ổn định tiệm cận mũ λ = κ L [eλ (·, t0 )] < 0, λ(t) < với λ ∈ σ ( A), phương trình (2.7) Hệ 2.29 Nếu σ ( A) ⊂ (−∞, 0) ∩ R+ phương trình (2.7) ổn định tiệm cận mũ Ví dụ 2.30 Xét phương trình x ∆ (t) = Ax (t) thang thời gian T = ∪∞ k =0 [2k, 2k + 1], đó,   −24 48  −24 24  A= 24 33 −72 −48 Rõ ràng µ(t) = if t ∈ ∪∞ k=0 [2k, 2k + 1), if t ∈ ∪∞ k=0 {2k + 1}, có số mũ cực biên trái −1 Hơn nữa, σ( A) = −2, −1 + 21 i, −1 − 21 i λ ∈ σ ( A) hồi quy i) Trường hợp λ1 = −2, t ∈ [2k, 2k + 1], ta nhận κ L [e−2 (·, 0)] ≤ κ L [e− (·, 0)] = − 12 √1 √1 2 < ii) Trường hợp λ2 = −1 + 2i , ta nhận κ L [eλ2 (·, 0)] ≤ lim supt→∞ − < λ2 ( t ) = iii) Trường hợp λ3 = −1 − 2i , ta nhận κ L [eλ3 (·, 0)] ≤ lim supt→∞ − < λ3 ( t ) = Do đó, theo Định lý 2.23, phương trình ổn định tiệm cận mũ Chú ý rằng, phương trình x ∆ (t) = −2x (t), t ∈ T = ∪∞ k=0 [2k, 2k + 1] ổn định tiệm cận mũ, lim supt→∞ (−2)(t) = Kết chứng tỏ, điều ngược lại Định lý 2.23 nói chung khơng 12 CHƯƠNG SỐ MŨ BOHL CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN Xét phương trình động lực ẩn tuyến tính có dạng Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t), t ≥ 0, (3.1) Eσ (·) giả thiết suy biến ker A(·) liên tục tuyệt đối Nếu phương trình chịu ngoại lực f (t) tác động trở thành, Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) + f (t), t ≥ (3.2) Ta định nghĩa số mũ Bohl phương trình (3.1) có số-1 nghiên cứu mối liên hệ tính ổn định mũ số mũ Bohl tính vững số mũ Bohl phương trình chịu nhiễu tác động lên hệ số Nội dung Chương dựa báo số số danh sách công trình tác giả 3.1 Phương trình Động lực Ẩn với số-1 Xét phương trình động lực ẩn tuyến tính, thời gian biến thiên (3.2) với t ≥ n×n ) Giả thiết rank E = r, ≤ r < n, với a > 0, A, Eσ thuộc Lloc ∞ (T a ; K t ∈ Ta ker E trơn theo nghĩa tồn phép chiếu Q lên ker E cho Q n×n ) Đặt P = I − Q, liên tục khả vi với t ∈ ( a, ∞), Q2 = Q Q∆ ∈ Lloc ∞ (T a ; K P phép chiếu dọc theo ker E, EP = E Khi đó, phương trình (3.2) viết lại n×n Eσ (t)( Px )∆ (t) = A¯ (t) x (t) + f (t), t ≥ a, A¯ := A + Eσ P∆ ∈ Lloc ∞ (T a ; K (3.3) Cho H hàm liên tục xác định T, lấy giá trị nhóm Gl(Rn ) cho H |ker Eσ tự đồng cấu ker Eσ ker E Ta định nghĩa ma trận G := ¯ Eσ − AHQ σ , tập hợp S : = { x : Ax ∈ im Eσ } Bổ đề 3.2 (Du et.al (2007)) Giả sử ma trận G không suy biến i) Pσ = G −1 Eσ ; ¯ ii) G −1 AHQ σ = − Qσ ; iii) Q := − HQσ G −1 A¯ phép chiếu lên ker E dọc theo S, Q phép chiếu chuẩn tắc; iv) Nếu Q phép chiếu lên ker E P = I − Q, Pσ G −1 A¯ = Pσ G −1 A¯ P, Qσ G −1 A¯ = Qσ G −1 A¯ P − H −1 Q; 13 v) Các ma trận Pσ G −1 , HQσ G −1 không phụ thuộc H Q Định nghĩa 3.4 Phương trình động lực ẩn (3.2) gọi có số-1 dễ điều khiển (index-1 tractable) Ta G (t) khả nghịch với hầu hết t ∈ Ta G −1 ∈ n × n ) Lloc ∞ (T a ; K Cho J ⊂ T khoảng Ta ký hiệu tập C1 ( J, Kn ) := x (·) ∈ Crd ( J, Kn ) : P(t) x (t) khả vi delta, với hầu hết t ∈ J Định nghĩa 3.6 Hàm x gọi nghiệm phương trình (3.2) (có index-1) khoảng J x ∈ C1 ( J, Kn ) thỏa mãn phương trình (3.2) với hầu hết t ∈ J Nhân hai vế (3.3) với Pσ G −1 Qσ G −1 sử dụng phép đổi biến số u := Px v := Qx, phương trình (3.3) phân rã thành u∆ = ( P∆ + Pσ G −1 A¯ )u + Pσ G −1 f , ¯ + HQσ G −1 f , v = HQσ G −1 Au (3.4) (3.5) (3.4) gọi thành phần vi phân, (3.5) thành phần đại số Ta tìm nghiệm u từ phương trình (3.4), v từ (3.5), cuối x = u + v Do ta có nghiệm (3.2) với điều kiện ban đầu x (t) = Φ(t, t0 ) P(t0 ) x0 + t t0 Φ(t, σ(s)) Pσ (s) G −1 (s) f (s)∆s + H (t) Qσ (t) G −1 (t) f (t) Giả thiết 3.1 Tồn phép chiếu khả vi bị chặn Q lên ker E Đặt P = I − Q K0 = supt≥ a P(t) 3.2 Tính Ổn định Phương trình Động lực Ẩn chịu Nhiễu nhỏ Cho a ∈ T điểm cố định Xét trường hợp ngoại lực f (t) := F (t, x (t)), với F hàm cụ thể xác định Ta × Rn Khi đó, phương trình (3.2) viết lại Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) + F (t, x (t)), t ≥ a (3.6) Giả thiết F (t, 0) = với t ∈ Ta , phương trình (3.6) có nghiệm tầm thường x (t) ≡ Sử dụng kỹ thuật Mục 3.1 phép đổi biến số u = Px v = Qx, (3.6) phân rã thành hai thành phần vi phân 3.7, đại số 3.8 u∆ = ( P∆ + Pσ G −1 A¯ )u + Pσ G −1 F (t, u + v), ¯ + HQσ G −1 F (t, u + v) v = HQσ G −1 Au (3.7) (3.8) Giả thiết HQσ G −1 F (t, ·) liên tục Lipschitz với hệ số Lipschitz γt < 1, nghĩa là, HQσ G −1 F (t, y) − HQσ G −1 F (t, z) ≤ γt y − z , ∀t ≥ a Bởi HQσ G −1 không phụ thuộc vào lựa chọn H Q, nên tính chất Lipschitz HQσ G −1 F (t, ·) 14 vậỵ Cố định u ∈ Rn chọn t ∈ Ta , ta xét ánh xạ Γt : im Q(t) → im Q(t) xác định Γt (v) := H (t) Qσ (t) G −1 (t) A¯ (t)u + H (t) Qσ (t) G −1 (t) F (t, u + v) Dễ thấy Γt (v) − Γt (v ) ≤ γt v − v với v, v ∈ im Q(t) Vì γt < 1, Γt ánh xạ co, nên tồn ánh xạ (theo Định lý Điểm bất động) gt : im P(t) → im Q(t) thỏa mãn gt (u) = H (t) Qσ (t) G −1 (t) A¯ (t)u + F (t, u + gt (u)) Ký hiệu β t := H (t) Qσ (t) G −1 (t) A¯ (t) , ta có gt (u) − gt (u ) ≤ gt liên tục Lipschitz với hệ số Lipschitz Lt = vào (3.7), ta thu γt + β t − γt γt + β t − γt (3.9) u − u Vì > Thay v = gt (u) u∆ = ( P∆ + Pσ G −1 A¯ )u + Pσ G −1 F t, u + gt (u) (3.10) Ta giải nhận nghiệm u(t) từ phương trình (3.10) Do đó, nghiệm (3.6) x (t) = u(t) + gt (u(t)), t ∈ Ta (3.11) Định lý 3.10 Giả thiết phương trình (3.2) có số-1, bị chặn thỏa mãn: i) L = supt∈Ta Lt < ∞, ii) hàm Pσ (t) G −1 (t) F (t, x ) liên tục Lipschitz với số Lipschitz k t , cho hai điều kiên sau thỏa mãn a) N = ∞ a kt ∆t < ∞ − αµ(t) b) lim supt→∞ k t (1 + Lt ) = δ < α LM , với α, M dương −α ∈ R+ Khi đó, tồn hai số K > 0, −α1 hồi quy dương cho x (t) ≤ Ke−α1 (t, s) P(s) x (s) , với t ≥ s ≥ a, x (·) nghiệm (3.6) Nghĩa phương trình bị nhiễu (3.6) bảo tồn tính ổn định mũ Tiếp theo, ta chứng minh Định lý Bohl-Perron phương trình (3.2) tính ổn định mũ phương trình động lực ẩn (3.1) Trước hết ta ý rằng, giải phương trình (3.2), hàm f tách thành hai thành phần Pσ G −1 f HQσ G −1 f Do đó, với t0 ∈ Ta ta xét hàm f phần tử tập L ( t0 ) = f ∈ C ([t0 , ∞], Rn ) : supt≥t0 H (t) Qσ (t) G −1 (t) f (t) < ∞ supt≥t0 Pσ (t) G −1 (t) f (t) < ∞ 15 Dễ thấy L(t0 ) không gian Banach trang bị chuẩn f = sup t ≥ t0 Pσ (t) G −1 (t) f (t) + H (t) Qσ (t) G −1 (t) f (t) Ký hiệu x (t, s, f ) nghiệm, liên kết với hàm f , phương trình (3.2) với điều kiện ban đầu P(s)( x (s, s) − x0 ) = Ta viết x (t, s) hay x (t) thay cho x (t, s, f ) không xảy nhầm lẫn Bổ đề 3.13 Nếu với hàm f (·) ∈ L(t0 ), nghiệm x (·, t0 ) toán Cauchy (3.2) với điều kiện ban đầu P(t0 )( x (t0 ) − x0 ) = bị chặn, với t1 ≥ t0 , tồn số k > 0, độc lập với t1 , cho sup x (t, t1 ) ≤ k f (3.12) t ≥ t1 Định lý 3.14 Tất nghiệm toán Cauchy (3.2) với điều kiện ban đầu P(t0 )( x (t0 ) − x0 ) = 0, liên kết với hàm tùy ý f L(t0 ), bị chặn (3.1) ổn định mũ Nhận xét 3.15 Những kết mở rộng định lý ổn định kiểu Bohl-Perron với đầu vào/ra bị chặn phương trình vi phân hay sai phân, phương trình vi phân đại số hay phương trình sai phân ẩn, T = R hay T = Z 3.3 3.3.1 Số mũ Bohl Phương trình Động lực Ẩn Định nghĩa Tính chất Định nghĩa 3.17 Giả sử phương trình động lực ẩn (3.1) có số-1, Φ(t, s) toán tử Cauchy tương ứng Số mũ Bohl (trên) (3.1) định nghĩa κB ( E, A) = inf{α ∈ R; ∃ Mα > : Φ(t, s) ≤ Mα eα (t, s), ∀t ≥ s ≥ t0 } Khi κB ( E, A) = − µ1∗ hay κB ( E, A) = +∞ ta gọi số mũ Bohl phương trình động lực ẩn (3.1) cực biên Trường hợp T = R (hay T = hZ), ta nhận định nghĩa kinh điển số mũ Bohl số mũ cực biên ±∞ (hay − 1h , hay +∞) Hơn nữa, ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.18 Nếu α = κB ( E, A) không cực biên, với ε > ta có i) lim t−s→∞ s→∞ Φ(t, s) =0 eα⊕ε (t, s) ii) lim sup t−s→∞ s→∞ Φ(t, s) = ∞ eα ε (t, s) Giả thiết 3.2 Các số hạng Pσ G −1 HQσ G −1 bị chặn số dương K3 K4 Tt0 Định lý 3.23 Các khẳng định sau tương đương: i) Phuong trình (3.1) ổn định mũ; ii) Số mũ Bohl κB ( E, A) số âm; 16 iii) Số mũ Bohl κB ( E, A) hữu hạn với p > 0, tồn số K p cho ∞ s Φ(t, s) p ∆t ≤ K p , ∀t ≥ s ≥ t0 ; iv) Tất nghiệm toán Cauchy (3.2) với điều kiện ban đầu P(t0 )( x (t0 ) − x0 ) = 0, liên kết với f L(t0 ) bị chặn 3.3.2 Tính Vững Số mũ Bohl Giả sử Σ(·) ∈ Rn×n hàm ma trận liên tục Ta xét phương trình bị nhiễu Eσ (t) x ∆ (t) = ( A(t) + Σ(t)) x (t), ∀t ≥ t0 (3.13) Ta kiểm chứng trực tiếp, phương trình (3.13) tương đương với phương trình Eσ (t)( Px )∆ (t) = ( A¯ (t) + Σ(t)) x (t), ∀t ≥ t0 (3.14) Phương trình (3.14) trường hợp đặc biệt (3.6) với F (t, x ) = Σ(t) x Giả sử nhiễu Σ đủ nhỏ, cho −1 sup Σ(t) < t ≥ t0 sup HQσ G −1 (t) (3.15) t ≥ t0 Theo (3.15) quan hệ ( I − ΣHQσ G −1 )−1 GΣ = G, GΣ := Eσ − ( A¯ + Σ) HQσ , rõ ràng GΣ khả nghịch G khả nghịch, nghĩa là, phương trình (3.2) có số-1 phương trình (3.14) có số-1 Ta giải phương trình (3.14) Bởi HQσ G −1 Σ(t) x liên tục Lipschitz với hệ số Lipschitz γt = HQσ G −1 Σ(t) < 1, nên hàm gt xác định (3.9) trở thành gt (u) = ( I − HQσ G −1 Σ(t))−1 HPσ G −1 ( A¯ + Σ)(t)u Khi nghiệm (3.14) x (t, s) = u(t, s) + gt (u(t, s)), u(t, s) nghiệm tốn giá trị ban đầu u∆ = ( P∆ + Pσ G −1 A¯ )u + Pσ G −1 Σ(u + gt (u)), u(s, s) = P(s) x0 Định lý 3.26 Giả sử Giả thiết 3.2 Khi đó, với ε > tồn số δ = δ(ε) > cho, lim supt→∞ Σ(t) ≤ δ κB ( E, A + Σ) ≤ κB ( E, A) + ε Cuối ta xét phương trình Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t), ∀t ≥ t0 chịu nhiễu hai vế có dạng Eσ (t) + Fσ (t) x ∆ (t) = A(t) + Σ(t) x (t), ∀t ≥ t0 , (3.16) Fσ (t) Σ(t) nhiễu ker( Eσ + Fσ) = ker Eσ Ta chứng minh phương trình (3.16) tương đương với phương trình Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) + Σ¯ (t) x (t), ∀t ≥ t0 Định lý 3.27 Giả sử Giả thiết 3.2 Khi đó, với ε > tồn số δ = δ(ε) > cho bất đẳng thức lim supt→∞ Σ¯ (t) ≤ δ kéo theo κB ( E + F, A + Σ¯ ) ≤ κB ( E, A) + ε 17 CHƯƠNG BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN Ta xét tính ổn định vững phương trình động lực ẩn tuyến tính thời gian biến thiên thang thời gian Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) + f (t), t ≥ t0 , (4.1) n×n ), giả sử t ∈ T, t ≥ t Ma trận A (·) ∈ Eσ (·) ∈ Lloc ∞ (T; K n×n ), ker A (·) tuyệt đối liên tục Phương trình tương ứng Lloc ( T; K ∞ Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t), t ≥ t0 , (4.2) Chương viết dựa nội dung báo số danh sách cơng trình tác giả Cho X, Y không gian véc tơ hữu hạn chiều Với p ∈ R, ≤ p < ∞ s < t, s, t ∈ Ta , ký hiệu L p ([s, t]; X ) không gian hàm đo khoảng đóng [s, t] với chuẩn f p = f L p ([s,t];X ) := t s f (τ ) p ∆τ p < ∞, L∞ ([s, t]; X ) không gian hàm đo bị chặn cốt yếu (essentially bounded) f với chuẩn f ∞ = f L∞ ([s,t];X ) := ∆- esssupτ ∈[s,t] f (τ ) Ta xét không loc gian Lloc p (Ta ; X ), L∞ (Ta ; X ), chứa tất hàm f hạn chế [ s, t ], f |[s,t] , tương ứng thuộc L p ([s, t]; X ), L∞ ([s, t]; X ), với s, t ∈ Ta , a ≤ s < t < ∞ Với τ ≥ a, τ ∈ T, toán tử chặt (operator of truncation) πτ không gian L p (Ta ; X ) định nghĩa πτ (u)(t) := u ( t ), 0, t ∈ [ a, τ ], t > τ Ký hiệu L( L p (Ta ; X ), L p (Ta ; Y )) khơng gian Banach hàm tuyến tính, bị chặn Σ từ L p (Ta ; X ) đến L p (Ta ; Y ) với chuẩn tương ứng Σ := sup x ∈ L p (Ta ;X ), x =1 Σx L p (Ta ;Y ) Toán tử Σ ∈ L( L p (Ta ; X ), L p (Ta ; Y )) gọi causal thỏa mãn đẳng thức πt Σπt = πt Σ, với t ≥ a 18 4.1 Tính Ổn định Phương trình Động lực Ẩn chịu Nhiễu Causal Xét phương trình động lực ẩn tuyến tính thời gian biến thiên (4.1), với t ≥ a, phương trình tương ứng Eσ (t) x ∆ (t, t0 ) = A(t) x (t, t0 ), t ≥ a (4.3) với điều kiện ban đầu P(t0 )( x (t0 , t0 ) − x0 ) = Với P(t), Q(t) phép chiếu Chương 3, phương trình (4.1) đưa dạng n×n Eσ (t)( Px )∆ (t) = A¯ (t) x (t) + f (t), t ≥ a, A¯ := A + Eσ P∆ ∈ Lloc ) ∞ (T a ; K (4.4) Giả thiết 4.1 Phương trình động lực ẩn (4.3) có số-1 ổn định mũ theo nghĩa rằng, tồn số M > 0, ω > cho −ω hồi quy dương, Φ(t, s ≤ Me−ω (t, s), t ≥ s, t, s ∈ Ta Giả thiết 4.2 Tồn phép chiếu trơn, bị chặn Q(t) lên ker E(t) cho toán tử Pσ G −1 HQσ G −1 bị chặn cốt yếu Ta Xét phương trình (4.3) chịu nhiễu cấu trúc có dạng Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) + B(t)Σ C (·) x (·) (t), t ∈ Ta , (4.5) B ∈ L∞ (Ta ; Kn×m ) C ∈ L∞ (Ta ; Kq×n ) ma trận cho trước xác định cấu trúc nhiễu, Σ : L p (Ta ; Kq ) → L p (Ta ; Km ) toán tử nhiễu chưa biết giả sử tuyến tính, causal Do đó, với nhiễu Σ, phương trình (4.5) trở thành phương trình vi phân-đại số hàm ẩn (implicit functional DAE) n n loc Ta định nghĩa toán tử tuyến tính G từ Lloc p (Ta ; K ) đến L p (Ta ; K ) mà viết cách hình thức G = ( I − BΣCHQσ G −1 ) G Định nghĩa 4.3 Phương trình vi phân-đại số hàm ẩn (4.5) gọi có số-1, theo nghĩa tổng quát, với T > a, toán tử G hạn chế L p ([ a, T ]; Kn ) có tốn tử nghịch đảo bị chặn G −1 Với t0 ∈ Ta , ta thiết lập toán Cauchy phương trình (4.5) sau Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t) + B(t)Σ C (·)[ x (·)]t0 (t), P(t0 )( x (t0 ) − x0 ) = 0, ∀t ∈ Tt0 , (4.6) if t ∈ [ a, t0 ) Bài toán Cauchy (4.6) chấp nhận x (t) if t ∈ [t0 , ∞) n nghiệm đủ tốt (mild solution) tồn phần tử x (·) ∈ Lloc p (Tt0 ; K ) cho với t ≥ t0 , ta có đó, [ x (t)]t0 = x (t) = Φ(t, t0 ) P(t0 ) x0 + t t0 Φ(t, σ(s)) Pσ (s) G −1 (s) B(s)Σ C (·)[ x (·)]t0 (s)∆s + H (t) Qσ (t) G 19 −1 (t) B(t)Σ C (·)[ x (·)]t0 (t) (4.7) Ta định nghĩa toán tử: (Mt0 u)(t) = t t0 Φ(t, σ(s)) Pσ (s) G −1 (s) B(s)u(s)∆s, (Mt0 u)(t) = H (t) Qσ (t) G −1 (t) B(t)u(t), (Mt0 u)(t) = (Mt0 u)(t) + (Mt0 u)(t) Ta nhận thấy Mt0 , Mt0 ∈ L( L p ([t0 , ∞); Km ), L p ([t0 , ∞); Kn )) tồn số K0 ≥ cho (Mt0 u)(t) ≤ K0 u L p ([t0 ,t];Km ) , t ≥ t0 ≥ a, u|[t0 ,t] ∈ L p ([t0 , t]; Km ) Ký hiệu x (t; t0 , x0 ) nghiệm đủ tốt tốn Cauchy (4.6) Khi cơng thức (4.7) viết ngắn gọn x (t; t0 , x0 ) = Φ(t, t0 ) P(t0 ) x0 + Mt0 Σ(C (·)[ x (·; t0 , x0 )]t0 ) (t) Định lý 4.4 Nếu phương trình (4.6) có số-1, chấp nhận nghiệm đủ tốt x (·) với P(·) x (·) tuyệt đối liên tục tương ứng với ∆-độ đo Hơn nữa, với số tùy ý T > t0 , tồn số dương M1 = M1 ( T ), M2 = M2 ( T ) cho P(t) x (t) ≤ M1 P(t0 ) x0 , x (t) L p ([t0 ,t];Kn ) ≤ M2 P(t0 ) x0 , ∀ t ∈ [ t0 , T ] Nhận xét 4.5 Giả sử toán tử Σ ∈ L( L p (Ta ; Kq ), L p (Ta ; Km )) causal với t > a h ∈ L p ([ a, t]; Kq ) Khi đó, áp dụng Định lý 4.4, ta thấy hàm g, định nghĩa g(s) := P(t) x (t; σ(s), h(s)), s ∈ [ a, t], thuộc L p ([ a, t]; Kn ) Hơn nữa, đặt t y(t) := s g(τ )∆τ đó, theo Định lý 1.27, ta có y∆ (t) = Pσ (t)h(t) + (Wy)(t), Wu := ( P∆ + Pσ G −1 A¯ )u + Pσ G −1 BΣC ( I + D)[u]t0 4.2 Bán kính Ổn định Phương trình chịu Nhiễu Động lực Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Nghiệm tầm thường (4.5) gọi L p -ổn định toàn cục, tồn số dương M3 , M4 cho, với t ≥ t0 , x0 ∈ Kn P(t) x (t; t0 , x0 ) Kn ≤ M3 P(t0 ) x0 Kn , x (t; t0 , x0 ) L p (Tt ;Kn ) ≤ M4 P(t0 ) x0 Kn , (4.8) Định nghĩa 4.6 Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Bán kính ổn định phương trình (4.2) chịu nhiễu tuyến tính, dynamic causal phương trình (4.5) rK ( Eσ , A; B, C; T) = inf Σ , nghiệm tầm thường (4.5) không L p -ổn định tồn cục hay (4.5) khơng có số-1 Với t0 ∈ Ta , ta định nghĩa toán tử: Lt0 u := C (·)Mt0 u, Lt0 u := C (·)Mt0 u, and Lt0 u := C (·)Mt0 u Toán tử Lt0 gọi toán tử input-output liên kết với phương tình bị nhiễu (4.5) Các toán tử Lt0 , Lt0 ∈ L L p (Tt0 ; Km ), L p (Tt0 ; Kq ) Lt0 , Lt0 giảm theo t0 Hơn Lt0 = ∆- esssupt≥t0 CHQσ G −1 B ≤ Lt0 20 Bởi Lt giảm theo biến t, tồn giới hạn L∞ := limt→∞ Lt Ký hiệu β : = L∞ −1 , γ := La −1 , quy ước = ∞ (4.9) Bổ đề 4.8 Giả sử β < ∞ α > β, β định nghĩa (4.9) Khi đó, tồn q ˜ z˜ ∈ Lloc tốn tử Σ ∈ L L p (Ta ; Kq ), L p (Ta ; Km ) , hàm y, p (Ta ; K ) số tự nhiên N0 > cho i) Σ < α, Σ causal có nhớ hữu hạn; ii) Σh(t) = với t ∈ [0, N0 ]và h ∈ L p (Ta ; Kq ); q q iii) y˜ ∈ Lloc p (Ta ; K ) \ L p (Ta ; K ) supp z˜ ⊂ [0, N0 ]; ˜ iv) ( I − La Σ)y˜ = z Định lý 4.9 Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Khi đó, rK ( Eσ , A; B, C; T) = min{ β, γ} (4.10) β, γ định nghĩa (4.9) Nhận xét 4.10 Trong trường hợp T = R, công thức (4.10) xác định công thức bán kính ổn định báo Du & Linh (2006), trường hợp T = Z ta thu cơng thức bán kính ổn định báo Rodjanadid et al (2009) Nhận xét 4.11 Trong trường hợp T = R and E = I, công thức (4.10) trình diễn cơng thức bán kính ổn định báo Jacob (1998)     p(t) p(t) 1 −1 0 , Ví dụ 4.12 Xét phương trình (4.3) với E = 0 0 , A(t) =  0 0 − 12 if t = 3k, [3k + 1, 3k + 2], p(t) = − 14 if t ∈ [3k + 1, 3k + 2] k =0 k =0 1  1  − 2 2 Dễ dàng tính P = P =  12 21 0 , H = I, G −1 =  12 21  Giả sử B = 0 0 −1 C = I ma trận có cấu trúc phương trình bị nhiễu (4.5) Ta tính Lt0 = 8, Lt0 = Theo Định lý 4.9, ta nhận rK ( Eσ , A; B, C; T) = 81 thang thời gian T = ∞ {3k} ∞ Cho Σ ∈ L∞ (Tt0 ; Km×q ) tốn tử tuyến tính, causal xác định (Σu)(t) = Σ(t)u(t) Hơn nữa, ta có Σ = esssupt0 ≤t≤∞ Σ(t) Hệ 4.13 Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Nếu rK ( Eσ , A; B, C; T) > Σ phương trình (4.5) L p -ổn định toàn cục Nhận xét 4.14 Trường hợp T = R E = I Σ(·) ∈ L∞ (Rt0 ; Km×q ), Hệ 4.13 cận bán kính ổn định báo Hinrichsen et al (1989) 21 Nhận xét 4.15 Theo kỹ thuật biến đổi Fourier-Plancherel Hinrichsen & Pritchard (1986b), Marks II et al (2008) Nếu E, A, B, C ma trận p = ta chứng tỏ Lt0 = supλ∈∂S C ( A − λE)−1 B , S := {λ ∈ C : x ∆ = λx ổn định mũ đều} miền ổn định mũ T Hơn nữa, Lt0 = limλ→∞ C ( A − λE)−1 B Trong trường hợp này, ta thu cơng thức bán kính ổn định báo Du et al (2011) r ( E, A; B, C; T) = 4.3 supλ∈∂S∪∞ C ( A − λE)−1 B Bán kính Ổn định chịu Nhiễu Cấu trúc Hai vế Trong mục này, ta xét phương trình (4.2) chịu nhiễu tác động lên hai vế ( Eσ + B1σ Σ1σ C1σ )(t) x ∆ (t) = ( A + B2 Σ2 C2 )(t) x (t), t ≥ t0 (4.11) Bi ∈ L∞ (Tt0 ; Kn×m ), Ci ∈ L∞ (Tt0 ; Kq×n ) ma trận cho trước, Σi ∈ L∞ (Tt0 ; Km×q ) ma trận nhiễu, với i = 1, Ta định nghĩa tập nhiễu chấp nhận được, S = S( E; B1 , C1 ) := {(Σ1 , Σ2 )| ker( E + B1 Σ1 C1 ) = ker( E)} Bổ đề 4.16 Các khẳng định sau đúng: i) Qσ Q∆ HQσ = 0; ii) Qσ Q∆ P = Q∆ ; iii) I + Q∆ HQσ khả nghịch; iv) ( I + Q∆ HQσ ) G −1 = ( Eσ − AHQσ )−1 , Qσ G −1 = Qσ ( Eσ − AHQσ )−1 Σ1σ ¯ := A − Eσ Q∆ , G := Eσ − AHQ ¯ Đặt A σ B : = B1σ B2 , Σb : = Σ2 Bổ đề 4.17 Giả sử phương trình (4.2) có số-1 Nếu (Σ1 , Σ2 ) ∈ S cho Σb < FB , phương trình bị nhiễu (4.11) có số-1 Bổ đề 4.18 Giả sử phương trình (4.2) có số-1 Khi đó, phương trình (4.5) tương đương với phương trình (4.11) với nhiễu Σ = ( I + Σb FB)−1 Σb Định nghĩa 4.19 Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Bán kính ổn định phức (thực) phương trình (4.2) chịu nhiễu tuyến tính có cấu trúc phương trình (4.11) xác định rK ( Eσ , A; B1 , C1 , B2 , C2 ; T) = inf Σb , nghiệm tầm thường (4.11) không L p -ổn định tồn cục (4.11) khơng số-1 Định lý 4.20 Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Khi đó, bán kính ổn định phương trình (4.2) chịu nhiễu tuyến tính có cấu trúc phương trình (4.11) thỏa mãn  min{ β;γ}  β < ∞ γ < ∞, 1+ FB min{ β;γ} rK ( Eσ , A; B1 , C1 , B2 , C2 ; T) ≥  β = ∞ γ = ∞ FB 22 β, γ định nghĩa (4.9)  0 Ví dụ 4.21 Xét phương trình động lực ẩn Ex ∆ = Ax, đó, E = 0 0 , A = 0   −1 21  −1  Giả sử phương trình chịu nhiễu có cấu trúc có dạng E E, A A 0 −1     −1 + δ1 (t) δ1 (t) δ1 (t) + δ1 (t) δ1 (t) , A =  21 + δ2 (t) −1 + δ2 (t) + δ2 (t)  , E =  δ1 (t) 0 δ2 (t) δ2 (t) −1 + δ2 (t)   đóδi (t), i =1,2, phần tử nhiễu Dễ thấy, mơhình nàycó dạng   (4.11) với 0 0 B1 = 1 , B2 = 1 , C1 = C2 = 1 Chọn P = 0 0 , Q = 0 0 0 0   1 − 21 − 12 ,C = Qua tính tốn, ta nhận B = 1 1 , F = 0 −1 −1 −1 0 1 λ + 32 λ + 32 − Do FB = C ( A − λE) B = Lấy T = (λ + 1)2 − 14 2λ + 2λ + ∞ λ + ln |1 + λ| < 1} k=1 [2k, 2k + 1] Khi đó, miền ổn định mũ S = { λ ∈ C : Theo Nhận xét 4.15, ta dễ dàng tính β = , γ = +∞ Áp dụng Định lý 4.20, ta nhận rK ( Eσ , A; B1 , C1 , B2 , C2 ; T) ≥ 11 Hệ 4.22 Giả sử Giả thiết 4.1, 4.2 Khi đó, bán kính ổn định phức (thực) phương trình (4.2) chịu nhiễu tuyến tính khơng cấu trúc E E + Σ1 , A A + Σ2 thỏa mãn   min{l (E,A), HQσ G−1 −∞1 } Q = l ( E, A) < ∞, −1 rK ( Eσ , A; I; T) ≥ k1 +k2 min{l (E,A), HQσ G−1 ∞ } 1 Q = l ( E, A) = ∞ k2 quy ước HQσ G −1 −1 ∞ = ∞ HQσ G −1 ∞ = Nhận xét 4.23 Trong trường hợp T = R, hệ liên quan tới cận bán kính ổn định báo Berger (2014) Ví dụ 4.24 Xét phương trình (4.3) với E, A, T Ví dụ 4.12 Ta tính p ∞ = , k1 = k2 = Do theo Hệ 4.22, ta nhận kết rK ( Eσ , A; I; T) ≥ 23 + 18 = KẾT LUẬN Luận án đạt kết sau thang thời gian: Đưa khái niệm số mũ Lyapunov thang thời gian sử dụng để nghiên cứu tính ổn định phương trình động lực tuyến tính thang thời gian Thiết lập số kết tính ổn định vững phương trình động lực ẩn với nhiễu Lipschitz mở rộng định lý ổn định kiểu Bohl-Perron cho phương trình động lực ẩn thang thời gian Đưa khái niệm số mũ Bohl nghiên cứu mối quan hệ tính ổn định mũ số mũ Bohl phương trình động lực chịu nhiễu tác động lên hệ số phương trình Đưa cơng thức bán kính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian số lớp nhiễu có cấu trúc tác động lên vế phải hai vế 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Nguyen K.C., Nhung T.V., Anh Hoa T.T., and Liem N.C (2018), Lyapunov exponent for dynamic equations on time scales, Dynamic Systems and Application, 27(2), 367–386 (SCIE), Giải thưởng cơng trình Tốn học năm 2019 Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010 - 2020 theo Quyết định số 146/QĐ-VNCCCT ngày 22/11/2019 Giám đốc điều hành Viện Nghiên cứu Cao cấp Toán Thuan D.D., Nguyen K.C., Ha N.T., and Du N.H (2019), Robust stability of linear time-varying implicit dynamic equations: A general consideration, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 31(3), 385–413 (SCI) Thuan D.D., Nguyen K.C., Ha N.T., and Quoc P.V (2019), On stability, Bohl exponent and Bohl-Perron theorem for implicit dynamic equations, International Journal of Control, Published online, (SCI) ... sau thang thời gian: Đưa khái niệm số mũ Lyapunov thang thời gian sử dụng để nghiên cứu tính ổn định phương trình động lực tuyến tính thang thời gian Thiết lập số kết tính ổn định vững phương trình. .. ( E, A) + ε 17 CHƯƠNG BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN Ta xét tính ổn định vững phương trình động lực ẩn tuyến tính thời gian biến thiên thang thời gian Eσ (t) x ∆ (t) = A(t) x (t)... = πt Σ, với t ≥ a 18 4.1 Tính Ổn định Phương trình Động lực Ẩn chịu Nhiễu Causal Xét phương trình động lực ẩn tuyến tính thời gian biến thiên (4.1), với t ≥ a, phương trình tương ứng Eσ (t) x