MU C LU C Mu.c lu.c `au L`o.i n´oi d¯ˆ Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´ u.c chuˆa’n bi §1 Tˆa.p ho p ´ §2 Quan hˆe v`a Anh xa 11 §3 Lu c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p 15 §4 Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng 18 §5 Tru.`o.ng sˆo´ thu c 26 u.c 29 §6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´ - a th´ §7 D u.c 35 B`ai tˆa.p 40 Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto 45 §1 Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto 45 - ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh 50 §2 D `eu cu’a khˆong gian v´ecto 56 §3 Co so’ v`a sˆo´ chiˆ §4 Khˆong gian - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto 63 §5 Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru c tiˆe´p 66 §6 Khˆong gian thu.o.ng 69 B`ai tˆa.p 72 ´ Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a Anh xa tuyˆe´n t´ınh 77 §1 Ma trˆa.n 77 ´ §2 Anh xa tuyˆe´n t´ınh 83 `ong cˆa´u 94 §3 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆ §4 Khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u 99 B`ai tˆa.p 105 http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM - i.nh th´ u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 113 Chu.o.ng III: D §1 C´ac ph´ep thˆe´ 113 - inh th´ §2 D u.c cu’a ma trˆa.n 116 ´ §3 Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen 121 - i.nh th´ `ong cˆa´u 125 §4 D u.c cu’a tu d¯ˆ u.c 128 §5 C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´ - i.nh th´ §6 D u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n 135 §7 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer 136 §8 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu’ Gauss 139 §9 Cˆa´u tr´ uc nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 144 B`ai tˆa.p 146 `ong cˆa´u 155 uc cu’a tu d¯ˆ Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´ §1 V´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 155 `ong cˆa´u thu c v`a ph´ §2 Khˆong gian ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu d¯ˆ u.c 161 `ong cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o c 164 §3 Tu d¯ˆ `ong cˆa´u lu˜ §4 Tu d¯ˆ y linh 168 `ong cˆa´u 172 §5 Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu d¯ˆ B`ai tˆa.p 179 Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto Euclid 188 §1 Khˆong gian v´ecto Euclid 188 ´ §2 Anh xa tru c giao 201 u.ng 214 §3 Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´ `e khˆong gian Unita 222 §4 V`ai n´et vˆ B`ai tˆa.p 225 Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234 §1 Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234 - u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆ `e da.ng ch´ınh t˘a´c 237 §2 D http://www.ebook.edu.vn §3 Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng 244 §4 Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh 247 §5 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u 252 B`ai tˆa.p 254 - a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh 262 Chu.o.ng VII: D §1 T´ıch tenxo 263 §2 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch tenxo 267 - a.i sˆo´ tenxo 270 §3 D - a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´ §4 D u.ng 275 - a.i sˆo´ ngo`ai 281 §5 D B`ai tˆa.p 290 T`ai liˆe.u tham kha’o 292 http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM `.I NOI ´ D ˆU -` LO A `au v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n Theo d`ong li.ch su’., mˆon -Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh kho’.i d¯ˆ `e sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´ uc cu’a tˆa.p c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Vˆ `eu kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay nghiˆe.m v`a d¯iˆ u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh du ng nh˜ u.ng kh´ai niˆe.m tr` `au kha’o s´at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ `eu thuˆo.c t´ınh h`ınh ho.c Ngu.`o.i ta c˜ ung c´o nhu cˆ ho.n, d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc gi˜ u.a hai v´ecto Xa ho.n, hu.´o.ng nghiˆen c´ u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.n phˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´ uc n`ao d¯´o - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c u Ng`ay nay, D ´.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu c kh´ac nhau, y thuyˆe´t biˆe’u diˆ˜en nh´om, t` u Co ho.c, Vˆa.t l´ y t` u Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´ t´o.i K˜ y thuˆa.t V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’ th`anh mˆo.t mˆon ho.c co so’ cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´ac gi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆen ng`anh khoa ho.c co ba’n v`a cˆong nghˆe tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c - ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆ - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´ `e D D gi´o.i Ch´ ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u viˆe.c tr`ınh b`ay mˆon ho.c n`ay `au v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´ u nhˆa´t b˘a´t d¯ˆ u.c v`a hˆe Khuynh hu.´o.ng th´ `oi d¯i t´o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr` phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆ˜e tiˆe´p thu Nhu.ng n´o khˆong cho `e d¯i.nh th´ ph´ep tr`ınh b`ay l´ y thuyˆe´t vˆ u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘`a ng mˆo.t ngˆon ng˜ u cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e u hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa Khuynh hu.´o.ng th´ `oi ´ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´ tuyˆe´n t´ınh tru.´o.c, rˆ u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n `e cˆa´u t´ınh U u d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a d¯`ˆe cao ve’ d¯e.p t´ınh nhˆa´t qu´ an vˆ tr´ uc cu’a c´ac d¯ˆo´i tu.o ng d¯u.o c kha’o s´at Nhu.o c d¯iˆe’m cu’a n´o l`a x´et t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p http://www.ebook.edu.vn tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ ung c´o c´ai l´ y cu’a n´o Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´ ung tˆoi th`ı u.u tu.o ng nˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´ u hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu tr` `e to´an u.c cao ho.n vˆ tˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘`a ng kiˆe´n th´ ung tˆoi biˆen soa.n nh˘`a m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ ach Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o c ch´ tham kha’ o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´ u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c tu nhiˆen v`a cˆong nghˆe cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu nhiˆen, d¯a.i ho.c su pha.m - a.i sˆo´ tuyˆe´n `e D v`a d¯a.i ho.c k˜ y thuˆa.t Cuˆo´n s´ach d¯u.o c viˆe´t trˆen co so’ c´ac b`ai gia’ng vˆ - a.i ho.c Tˆo’ng `eu n˘am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D t´ınh cu’a tˆoi nhiˆ - a.i ho.c khoa ho.c Tu nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su ho p (nay l`a D - ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999, pha.m D - i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o ng y, Ho´a, Sinh, D 1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´ - a.i ho.c khoa thuy’ v˘an cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang, D ho.c Tu nhiˆen H`a Nˆo.i u hai hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜a Ch´ ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´ n´oi o’ trˆen Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´ ut thay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d` ung d¯ˆe’ gia’ng - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´ D u nhˆa´t uc d¯u.o c ch´ ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´n Tu tu.o’.ng cˆa´u tr´ `eu d¯u.o c nghiˆen c´ s´ach Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆ u.u mˆo´i tu.o.ng quan v´o.i nh´om c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´ uc cu’a d¯ˆo´i tu.o ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto g˘a´n `en v´o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto Euclid v`a khˆong liˆ `en v´o.i nh´om tru c giao O(n) v`a nh´om tru c giao gian v´ecto Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆ `en v´o.i nh´om unita U (n) Kˆe´t qua’ phˆan d¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆ loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o c tiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru c giao ) Theo kinh nghiˆe.m, ch´ ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`ay - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i `e D mˆo.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆ http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM `e vˆ `e da.ng chuˆa’n t˘ a´c ho.c, ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an C´ac chu’ d¯ˆ Jordan cu’ a tu d¯`ˆong cˆa´u, da.ng ch´ınh t˘ a´c cu’ a tu d¯`oˆng cˆa´u tru c giao, viˆe.c d¯u.a d¯`ˆong `e da.ng ch´ınh t˘ a´c, d¯a.i sˆ o´ tenxo., d¯a.i sˆ o´ d¯ˆo´i x´ u.ng v`a d¯a.i th`o.i hai da.ng to`an phu.o.ng vˆ sˆ o´ ngo`ai nˆen d` ung d¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´ac sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´ u.u sinh c´ac ng`anh To´an, Co ho.c v`a Vˆa.t l´ y Ch´ ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n y ´ ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’m `eu c´o phˆ `an b`ai tˆa.p, cu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o c tr`ınh b`ay Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆ - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a d¯u.o c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t` u cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D - ˆe’ n˘a´m v˜ `an l´ u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜ y phˆ y thuyˆe´t I V Proskuryakov D u.ng kiˆe´n th´ `eu c`ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng tru.´o.c l`am c`ang nhiˆ `an Viˆe.c su’ du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆ `an hai cu’a n´o l`a cuˆo´n -Da.i sˆ ung t´ac mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo s´ach m`a phˆ o´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c` gia’, Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999 `eu h`anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆan khoa T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ - `am Trung - a.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su D ho.c t`ai n˘ang, D - `ˆon v`a Gi´ao su Nguyˆ˜en Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆ `eu kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ng D da.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen co so’ nh˜ u.ng b`ai gia’ng d¯´o `ong nghiˆe.p vˆ `e nh˜ u.ng T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆ thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach H`a Nˆo.i, 12/1999 http://www.ebook.edu.vn Chu.o.ng ˆ´N THU ´.C CHUA ˆ’ N BI KIE Nhiˆe.m vu cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n `an c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho p, quan hˆe., ´anh xa., nh´om, th´ u.c chuˆa’n bi cho phˆ v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´ u.c Tru.`o.ng sˆo´ thu c s˜e d¯u.o c xˆay du ng ch˘a.t ch˜e o’ §5 Nhu.ng u.ng d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trung v`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜ ho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay c´ac v´ı du o’ c´ac tiˆe´t §1 - §4 Tˆ a.p ho p `e tˆa.p ho p theo quan d¯iˆe’m cu’a “L´y thuyˆe´t tˆa.p ung ta tr`ınh b`ay vˆ Trong tiˆe´t n`ay, ch´ ho p ngˆay tho.” Cu thˆe’, tˆa.p ho p l`a mˆo.t kh´ai niˆe.m “nguyˆen thuy’”, khˆong d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa, m`a `an tu c´ac d¯ˆo´i d¯u.o c hiˆe’u mˆo.t c´ach tru c gi´ac nhu sau: Mˆo.t tˆ a.p ho p l`a mˆo.t su quˆ `an tu.o ng c´o c` ung mˆo.t thuˆo.c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜ u.ng d¯ˆo´i tu.o ng n`ay d¯u.o c go.i l`a c´ac phˆ tu’ cu’a tˆa.p ho p d¯´o (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a `an g˜ tˆa.p ho p, n´o chı’ diˆ˜en d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆ ui ho.n `an tu.” Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆ `an tu la.i chu.a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.) l`a “quˆ ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho p l`a “tˆa.p” Ngu.`o.i ta c˜ - ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ D ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ng d¯a.i ho.c, tˆa.p ho p c´ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho p c´ac sˆo´ nguyˆen tˆo´ y hiˆe.u bo’.i c´ac ch˜ u in hoa: A, B, C, , X, Y, Z C´ac tˆa.p ho p thu.`o.ng d¯u.o c k´ `an tu’ cu’a mˆo.t tˆa.p ho p thu.`o.ng d¯u.o c k´ C´ac phˆ y hi.ˆeu bo’.i c´ac ch˜ u in thu.`o.ng: - ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a a, b, c, , x, y, z D http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM `an tu’ cu’a X, ta viˆe´t y ∈ X, v`a d¯o.c l`a “x thuˆo.c X” Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆ “y khˆong thuˆo.c X” - ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆ `an tu’ cu’a n´o D Ch˘a’ng ha.n, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p bo’.i mˆo.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao Ngu.`o.i ta c˜ `an tu’ cu’a n´o Tˆa.p ho p X c´ac phˆ `an tu’ x c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´ d¯´o cu’a c´ac phˆ y hiˆe.u l`a X = {x| P(x)}, ho˘a.c l`a X = {x : P(x)} V´ı du.: N = {x| x l`a sˆo´ tu nhiˆen}, Z = {x| x l`a sˆo´ nguyˆen }, Q = {x| x l`a sˆo´ h˜ u.u ty’}, R = {x| x l`a sˆo´ thu c} `an tu’ cu’a tˆa.p ho p A c˜ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p X th`ı ta n´oi Nˆe´u mo.i phˆ ung l`a mˆo.t phˆ `om c´ac phˆ `an tu’ x cu’a X A l`a mˆo.t tˆa.p ho p cu’a X, v`a viˆe´t A ⊂ X Tˆa.p A gˆ c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a A = {x ∈ X| P(x)} `a ng nˆe´u mˆo˜i phˆ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p n`ay Hai tˆa.p ho p X v`a Y d¯u.o c go.i l`a b˘ `an tu’ cu’a tˆa.p ho p v`a ngu.o c la.i, t´ c˜ ung l`a mˆo.t phˆ u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X Khi d¯´o ta viˆe´t X = Y `an tu’ n`ao ca’ d¯u.o c k´ Tˆa.p ho p khˆong ch´ u.a mˆo.t phˆ y hiˆe.u bo’.i ∅, v`a d¯u.o c go.i l`a tˆ a.p rˆ o˜ng Ta quy u.´o.c r˘`a ng ∅ l`a tˆa.p cu’a mo.i tˆa.p ho p Tˆa.p ho p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n lo i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu sˆo´ khˆong l`am to´an v´o.i c´ac tˆa.p ho p http://www.ebook.edu.vn C´ac ph´ep to´an ho p, giao v`a hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau Cho c´ac tˆa.p ho p A v`a B y hiˆe.u bo’.i A ∪ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau Ho p cu’a A v`a B d¯u.o c k´ A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a.c x ∈ B} Giao cu’a A v`a B d¯u.o c k´ y hiˆe.u bo’.i A ∩ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B} Hiˆe.u cu’a A v`a B d¯u.o c k´ y hiˆe.u bo’.i A \ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A \ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B} `an b` Nˆe´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o c go.i l`a phˆ u cu’a B A, v`a d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a CA (B) C´ac ph´ep to´an ho p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so cˆa´p sau d¯ˆay: Kˆe´t ho p: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A Phˆan phˆo´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Cˆong th´ u.c De Morgan: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B), X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B) Gia’ su’ Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho p v´o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜ u.u ha.n hay vˆo ha.n) Khi d¯´o, ho p v`a giao cu’a ho tˆa.p ho p {Ai }i∈I d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau: Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mˆo.t i n`ao d¯´o I}, i∈I Ai = {x| x ∈ Ai v´o.i mo.i i ∈ I} i∈I Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´ u.c De Morgan: X \( X \( (X \ Ai ), Ai ) = i∈I i∈I (X \ Ai ) Ai ) = i∈I i∈I http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM y Mˆo.t Viˆe.c su’ du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´ sˆo´ d¯´o l`a nghi.ch l´ y Cantor sau d¯ˆay Ta n´oi tˆa.p ho p X l`a b`ınh thu.`o.ng nˆe´u X ∈ X X´et tˆa.p ho p X = {X| X l`a tˆa.p b`ınh thu.`o.ng} Nˆe´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng Do d¯´o, theo d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X ∈ X Tr´ai la.i, nˆe´u X ∈ X , th`ı X l`a mˆo.t tˆa.p khˆong `eu dˆa˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n b`ınh thu.`o.ng, v`a d¯´o X ∈ X Ca’ hai tru.`o.ng ho p d¯ˆ - ˆe’ tr´anh nh˜ D u.ng nghi.ch l´ y loa.i nhu vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d` ung kh´ai niˆe.m tˆa.p a´t ca’ c´ac tˆ a.p ho p”, ch´ ho p d¯ˆe’ chı’ “nh˜ u.ng thu c thˆe’ qu´a l´o.n” Ta s˜e n´oi “l´o.p tˆ u u khˆong n´oi “tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac tˆ a.p ho p” Theo quan niˆe.m n`ay X chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´ khˆong l`a mˆo.t tˆa.p ho p V`ı thˆe´, ta tr´anh d¯u.o c nghi.ch l´ y n´oi trˆen `an c`on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o c d`anh cho viˆe.c tr`ınh b`ay so lu.o c vˆ `e lu.o ng t` Phˆ u phˆo’ `on ta.i biˆe´n v`a lu.o ng t` u tˆ `an pha’i ph´at biˆe’u nh˜ `e c´o da.ng: “Mo.i phˆ `an tu’ x cu’ a tˆ u.ng mˆe.nh d¯ˆ a.p Ta thu.`o.ng cˆ `e d¯´o nhu sau: ho p X d¯`ˆeu c´o t´ınh chˆ y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆ a´t P(x)” Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´ ∀x ∈ X, P(x) D˜ay k´ y hiˆe.u trˆen d¯u.o c d¯o.c l`a “V´o.i mo.i x thuˆo.c X, P(x)” K´ y hiˆe.u ∀ d¯u.o c go.i l`a lu.o ng t` o’ biˆe´n u phˆ `e c´o da.ng: “Tˆ `on ta.i mˆ `an tu’ x cu’ a Tu.o.ng tu , ta c˜ ung hay g˘a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆ o.t phˆ `e n`ay d¯u.o c quy u.´o.c k´ a´t P(x)” Mˆe.nh d¯ˆ y hiˆe.u nhu sau: X c´o t´ınh chˆ ∃x ∈ X, P(x) `on ta.i mˆ D˜ay k´ y hiˆe.u d¯´o d¯u.o c d¯o.c l`a “Tˆ o.t x thuˆ o.c X, P(x)” `on ta.i K´ y hiˆe.u ∃ d¯u.o c go.i l`a lu.o ng t` u tˆ `e “Tˆ `on ta.i nhˆa´t mˆ `an tu’ x cu’a X c´o t´ınh chˆ a´t P(x)” d¯u.o c viˆe´t Mˆe.nh d¯ˆ o.t phˆ nhu sau: ∃!x ∈ X, P(x) 10 http://www.ebook.edu.vn u.c ϕ(α1 ) := π(α1 ) = α1 d¯u.o c suy tru c tiˆe´p t` V´o.i q = 1, d¯˘a’ng th´ u d¯i.nh ngh˜ıa `e trˆen ta c´o cu’a ϕ Gia’ su’ hˆe qua’ d¯˜a d¯u.o c ch´ u.ng minh cho q − Theo mˆe.nh d¯ˆ ϕ(α1 , , αq ) = ϕ(α1 , , αq−1 ) · ϕ(αq ) = (α1 · · · αq−1 ) · αq = α1 · · · αq Nhu vˆa.y, hˆe qua’ c˜ ung d¯´ ung d¯ˆo´i v´o.i q ✷ `e 4.6 xy = yx v´o.i mo.i x ∈ S q (L), y ∈ S r (L) Mˆ e.nh d ¯ˆ Ch´ u.ng minh: Tru.´o.c hˆe´t x´et tru.`o.ng ho p x = α ∈ S (L) = L, y = β ∈ S (L) = L Theo d¯i.nh ngh˜ıa, α ⊗ β − β ⊗ α ∈ A2 Do d¯´o αβ − βα = ϕ((α, β) − (β, α)) = πt((α, β) − (β, α)) = π(α ⊗ β − β ⊗ α) = ∈ S (L) - ˆe’ ch´ `an ch´ D u.ng minh xy = yx ta chı’ cˆ u.ng to’ r˘`a ng (α1 · · · αq )(β1 · · · βr ) = (β1 · · · βr )(α1 · · · αq ), `e 4.4 v`a phˆ `an d¯ˆ `au cu’a ch´ v´o.i mo.i α1 , , αq , β1 , , βr ∈ L Theo Mˆe.nh d¯ˆ u.ng minh `e n`ay, ta c´o thˆe’ tr´ao d¯ˆo’i th´ mˆe.nh d¯ˆ u tu t` u.ng βj m`a t´ıch khˆong thay u.ng αi v´o.i t` `e d¯u.o c ch´ d¯ˆo’i Mˆe.nh d¯ˆ ✷ u.ng minh - i.nh l´ D y 4.7 Gia’ su’ (e1 , , en ) l`a mˆ o hˆe o.t co so’ cu’a K-khˆong gian v´ecto L Khi d¯´ v´ecto sau d¯ˆay lˆa.p nˆen mˆo.t co so’ cu’a khˆ ong gian v´ecto S(L): (ei11 · · · einn : i1 , , in ≥ 0) `an tu’ e1 , , en , ngh˜ıa Ho.n n˜ u.a, d¯a.i sˆo´ S(L) d¯˘a’ ng cˆa´u v´ o.i d¯a.i sˆ o´ d¯a th´ u.c trˆen n phˆ l` a S(L) ∼ = K[e1 , , en ] 277 http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM Ch´ u.ng minh: Go.i K[X1 , , Xn ] l`a d¯a.i sˆo´ d¯a th´ u.c cu’a n ˆa’n, v`a (K[X1 , , Xn ])q `an nhˆa´t bˆa.c q Ta x´et ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh l`a khˆong gian c´ac d¯a th´ u.c thuˆ u.c η(ej1 , , ejq ) = Xj1 · · · Xjq V`ı d¯a.i η : L(q) → (K[X1 , , Xn ])q x´ac d¯i.nh bo’.i hˆe th´ `on ta.i ´anh sˆo´ K[X1 , , Xn ] giao ho´an, nˆen η d¯ˆo´i x´ u.ng Do t´ınh phˆo’ du.ng cu’a S (q) , tˆ xa tuyˆe´n t´ınh hq : S (q) → (K[X1 , , Xn ])q cho hq (ej1 · · · ejq ) = Xj1 · · · Xjq `eu giao ho´an, nˆen hˆe th´ V`ı c´ac d¯a.i sˆo´ S(L) v`a K[X1 , , Xn ] d¯ˆ u.c trˆen c´o thˆe’ viˆe´t la.i th`anh hq (ei11 · · · einn ) = X1i1 · · · Xnin , d¯´o i1 + · · · + in = q u.c bˆa.c q cu’a c´ac hq l`a mˆo.t to`an cˆa´u, bo’.i v`ı theo cˆong th´ u.c trˆen mo.i d¯o.n th´ `eu thuˆo.c a’nh cu’a hq M˘a.t kh´ac, theo Hˆe qua’ 2.5 v`a Mˆe.nh d¯ˆ `e 4.6, biˆe´n X1 , , Xn d¯ˆ khˆong gian S (q) (L) d¯u.o c sinh bo’.i hˆe v´ecto (ei11 · · · einn : i1 + · · · + in = q) Do d¯´o, dim S (q) (L) ≤ dim(K[X1 , , Xn ])q V`ı thˆe´, to`an cˆa´u hq l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u Hˆe qua’ l`a h = ⊕hq : S(L) → K[X1 , , Xn ] c˜ ung l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh `e 4.4 suy r˘`a ng h(xy) = h(x)h(y) Vˆa.y h l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u d¯a.i sˆo´ T` u Mˆe.nh d¯ˆ - i.nh l´ D y d¯u.o c ch´ ✷ u.ng minh `ong cˆa´u d¯a.i sˆo´ S(f ) : S(L) → Mˆo˜i ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M ca’m sinh mˆo.t d¯ˆ - ´o l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a c´ac d¯ˆ `ong cˆa´u th`anh phˆ `an S q (f ) : S q (L) → S q (M ), S(M ) D (0 ≤ q < ∞), d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau X´et ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng S˜q (f ) : L(q) → S q (M ), S˜q (f )(α1 , , αq ) = f (α1 ) · · · f (αq ) `on ta.i nhˆa´t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh S q (f ) : S q (L) → Do t´ınh phˆo’ du.ng cu’a S q (L), tˆ S q (M ) cho S˜q (f ) = S q (f ) ◦ ϕ, d¯´o ϕ : L(q) → S q (L) l`a ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh d¯ˆo´i x´ u.ng ch´ınh t˘a´c Ta thu d¯u.o c biˆe’u th´ u.c tu.`o.ng minh cho S q (f ) : S q (f )(α1 · · · αq ) = S q (f )(ϕ(α1 , , αq )) = S˜q (f )(α1 , , αq ) 278 http://www.ebook.edu.vn = f (α1 ) · · · f (αq ), v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L Dˆ˜e d`ang kiˆe’m tra la.i r˘`a ng S(gf ) = S(g)S(f ), v´o.i mo.i c˘a.p ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M, g : M → N Ho.n n˜ u.a S(id ) = id L S(L) Nhˆ a.n x´ et 4.8 Nˆe´u Char(K) = 0, ngu.`o.i ta c´o mˆo.t c´ach kh´ac d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa lu˜ y u.ng S q (L) nhu sau th` u.a d¯ˆo´i x´ To´an tu’ d¯ˆo´i x´ u.ng ho´a S : T q (L) → T q (L) l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa bo’.i hˆe th´ u.c S(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) := ασ(1) ⊗ · · · ⊗ ασ(q) q! σ∈Sq V`ı Char(K) = cho nˆen q! kha’ nghi.ch tru.`o.ng K, v´o.i mo.i q ∈ N Dˆ˜e d`ang ch´ u.ng minh r˘`a ng S = S X´et khˆong gian a’nh cu’a to´an tu’ thay phiˆen ho´a S˜q (L) := Im(S) ⊂ T q (L) `an tu’ cu’a S˜q (L) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x = S(x) Nhu vˆa.y, x ∈ T q (L) l`a mˆo.t phˆ u.ng minh d¯u.o c r˘`a ng, nˆe´u Char(K) = th`ı ph´ep ho p th`anh Ngu.`o.i ta ch´ π S˜q (L) ⊂ T q (L) → S q (L) = T q (L)/Aq - ˘a’ng cˆa´u n`ay chuyˆe’n S(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) th`anh α1 · · · αq l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh D Do d¯´o, nh˜ u.ng l˜ınh vu c m`a tru.`o.ng K luˆon luˆon l`a tru.`o.ng sˆo´ thu c ho˘a.c u.c, ngu.`o.i ta thu.`o.ng d` ung d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay: tru.`o.ng sˆo´ ph´ S q (L) := Im(S) ⊂ T q (L), α1 · · · αq := S(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) 279 http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM - a.i sˆ D o´ ngo` C˜ ung giˆo´ng nhu o’ tiˆe´t tru.´o.c, c´ac c´ach d¯i.nh ngh˜ıa kh´ac cu’a kh´ai niˆe.m l˜ uy th` u.a ngo`ai v`a d¯a.i sˆo´ ngo`ai, ch´ ung ta cho.n c´ach khˆong phu thuˆo.c v`ao d¯˘a.c sˆo´ cu’a tru.`o.ng K `an tu’ c´o da.ng α1 ⊗ Go.i Bq l`a khˆong gian v´ecto cu’a T q (L) sinh bo’.i c´ac phˆ · · · ⊗ α d¯´o α = α v´o.i c´ac chı’ sˆo´ i = j n`ao d¯´o q i j - i.nh ngh˜ıa 5.1 Khˆong gian thu.o.ng D Λq (L) := T q (L)/Bq d¯u.o c go.i l`a lu˜y th` u.a ngo`ai bˆa.c q cu’a L ´ - i.nh ngh˜ıa 5.2 Gia’ su’ M l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto Anh D xa d¯a tuyˆe´n t´ınh η : L(q) → M d¯u.o c go.i l`a thay phiˆen nˆe´u η(α1 , , αq ) = 0, v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L d¯´o αi = αj v´o.i c´ac chı’ sˆo´ i = j n`ao d¯´o Ho p th`anh cu’a ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh ch´ınh t˘a´c t = tq : L(q) → T q (L), t(α1 , , αq ) = α1 ⊗ · · · ⊗ αq v`a ph´ep chiˆe´u tuyˆe´n t´ınh π = πq : T q (L) → Λq (L) l`a ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh ξ = ξq : L(q) → Λq (L), ξ(α1 , , αq ) = π(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a lu˜ y th` u.a ngo`ai, ξ l`a mˆo.t ´anh xa thay phiˆen u.a, c˘a.p (ξ, Λq (L)) c´o t´ınh phˆ o’ du.ng sau d¯ˆay: V´o.i mo.i ´anh xa d¯a tuyˆe´n Ho.n n˜ `on y, tˆ t´ınh thay phiˆen η : L(q) → M , d¯´o M l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto bˆa´t k` `o ta.i nhˆa´t mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh h : Λq (L) → M l`am giao ho´an biˆe’u d¯ˆ 280 http://www.ebook.edu.vn ξ ✲ L(q) Λq (L)         ✠ ❅ ❅η ❅ ❘ ❅ h M, t´ u.c l`a η = h ◦ ξ Dˆ˜e thˆa´y r˘`a ng B = ⊕∞ a mˆo.t id¯ˆean cu’a d¯a.i sˆo´ T ∗ (L) Do d¯´o q=0 Bq l` q ∞ q Λ(L) := T ∗ (L)/B = ⊕∞ q=0 T (L)/Bq = ⊕q=0 Λ (L) l`a mˆo.t d¯a.i sˆo´ trˆen K - inh ngh˜ıa 5.3 Λ(L) d¯u.o c go.i l`a d¯a.i sˆ D o´ ngo`ai cu’a khˆong gian v´ecto L T´ıch Λ(L) cu’a ω ∈ Λq (L) v`a η ∈ Λr (L) d¯u.o c k´ y hiˆe.u l`a ω ∧ η ∈ Λq+r (L), v`a d¯u.o c go.i l`a t´ıch ngo`ai cu’a ω v`a η `e 5.4 Mˆ e.nh d ¯ˆ ξ(α1 , , αq ) ∧ ξ(αq+1 , , αq+r ) = ξ(α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ), v´ o.i mo.i α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ∈ L Ch´ u.ng minh: Go.i ∧ : Λq (L) × Λr (L) → Λq+r (L) l`a (ha.n chˆe´ cu’a) t´ıch d¯a.i `o giao ho´an sˆo´ Λ(L) Ta c´o biˆe’u d¯ˆ L(q) × L(r) × tq ×tr L(q+r) tq+r ❄ T (L) × T (L) q r ⊗ πq ×πr ❄ ✲ T q+r (L) πq+r ❄ Λ (L) × Λ (L) q ✲ r ∧ 281 ❄ ✲ Λq+r (L) , http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM T` u d¯´o ∧(πq × πr )(tq × tr ) = πq+r tq+r × Mˆo.t m˘a.t, ta c´o ∧(πq × πr )(tq × tr )((α1 , , αq ), (αq+1 , , αq+r )) = ∧(πq × πr )(α1 ⊗ · · · ⊗ αq , αq+1 ⊗ · · · ⊗ αq+r ) = ∧(ξ(α1 , , αq ), ξ(αq+1 , , αq+r )) = ξ(α1 , , αq ) ∧ ξ(αq+1 , , αq+r ) M˘a.t kh´ac πq+r tq+r × ((α1 , , αq ), (αq+1 , , αq+r )) = πq+r tq+r (α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ) = πq+r (α1 ⊗ · · · ⊗ αq ⊗ αq+1 ⊗ · · · ⊗ αq+r ) = ξ(α1 , , αq , αq+1 , , αq+r ) `e d¯u.o c ch´ Mˆe.nh d¯ˆ u.ng minh ✷ Hˆ e qua’ 5.5 ξ(α1 , , αq ) := π(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) = α1 ∧ · · · ∧ αq , v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L Ch´ u.ng minh: Hˆe qua’ d¯u.o c ch´ u.ng minh b˘`a ng quy na.p theo q V´o.i q = 1, d¯˘a’ng th´ u.c ξ(α1 ) := π(α1 ) = α1 d¯u.o c suy tru c tiˆe´p t` u d¯i.nh ngh˜ıa cu’a `e trˆen ta c´o ξ Gia’ su’ hˆe qua’ d¯˜a d¯u.o c ch´ u.ng minh cho q − Theo mˆe.nh d¯ˆ ξ(α1 , , αq ) = ξ(α1 , , αq−1 ) ∧ ξ(αq ) = (α1 ∧ · · · ∧ αq−1 ) ∧ αq = α1 ∧ · · · ∧ αq Nhu thˆe´, hˆe qua’ c˜ ung d¯´ ung d¯ˆo´i v´o.i q ✷ 282 http://www.ebook.edu.vn `e 5.6 ω ∧ η = (−1)qr η ∧ ω v´o.i mo.i ω ∈ Λq (L), η ∈ Λr (L) Mˆ e.nh d ¯ˆ Ch´ u.ng minh: Tru.´o.c hˆe´t x´et tru.`o.ng ho p ω = α ∈ Λ1 (L) = L, η = β ∈ Λ1 (L) = L Ta s˜e ch´ u.ng minh r˘`a ng α ∧ β = −β ∧ α, Thˆa.t vˆa.y, theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a Λ2 (L) ta c´o α ∧ α = β ∧ β = Do d¯´o = (α + β) ∧ (α + β) = α ∧ α + α ∧ β + β ∧ α + β ∧ β = α ∧ β + β ∧ α - ˆe’ ch´ `an ch´ D u.ng minh ω ∧ η = (−1)qr η ∧ ω ta chı’ cˆ u.ng to’ r˘`a ng (α1 ∧ · · · ∧ αq ) ∧ (β1 ∧ · · · ∧ βr ) = (−1)qr (β1 ∧ · · · ∧ βr ) ∧ (α1 ∧ · · · ∧ αq ), `e 5.4 v`a phˆ `an d¯ˆ `au cu’a ch´ v´o.i mo.i α1 , , αq , β1 , , βr ∈ L Theo Mˆe.nh d¯ˆ u.ng minh `e n`ay, mˆo˜i lˆ `an tr´ao d¯ˆo’i th´ u.ng βj d¯´ u.ng s´at n´o th`ı t´ıch ngo`ai u.ng αi v´o.i t` mˆe.nh d¯ˆ u tu t` - ˆe’ biˆe´n d¯ˆo’i α1 ∧ · · · ∧ αq ∧ β1 ∧ · · · ∧ βr th`anh β1 ∧ · · · ∧ βr ∧ α1 ∧ · · · ∧ αq d¯ˆo’i dˆa´u D `an thu c hiˆe.n qr lˆ `e d¯u.o c ch´ `an tr´ao d¯ˆo’i nhu thˆe´ Mˆe.nh d¯ˆ ta cˆ ✷ u.ng minh `e trˆen l`a Mˆo.t hˆe qua’ hiˆe’n nhiˆen cu’a mˆe.nh d¯ˆ ασ(1) ∧ · · · ∧ ασ(q) = sgn(σ)α1 ∧ · · · ∧ αq , v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L, σ ∈ Sq Trˆen co so’ d¯´o, ta c´o d¯i.nh l´ y sau d¯ˆay - i.nh l´ D y 5.7 (i) Λq (L) = v´ o.i mo.i q > n = dimK L (ii) Gia’ su’ (e1 , , en ) l`a mˆo.t co so’ cu’ a khˆ o, v´ o.i ≤ q ≤ n, ong gian v´ecto L Khi d¯´ hˆe v´ecto sau d¯ˆay lˆa.p th`anh mˆ ong gian v´ecto Λq (L): o.t co so’ cu’a khˆ (ei1 ∧ · · · ∧ eiq : ≤ i1 < · · · < iq ≤ n)    n   N´oi riˆeng, dimK Λq (L) =  q 283 http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM Ch´ u.ng minh: Do t´ınh d¯a tuyˆe´n t´ınh cu’a t´ıch ∧, khˆong gian v´ecto Λq (L) d¯u.o c sinh bo’.i c´ac v´ecto ei1 ∧ · · · ∧ eiq , v´o.i ≤ i1 , , iq ≤ n `an tu’ nhu vˆa.y c´o ´ıt nhˆa´t hai chı’ sˆo´ n`ao d¯´o b˘`a ng (i) Nˆe´u q > n th`ı mˆo˜i phˆ `an tu’ n´oi trˆen d¯ˆ `eu b˘`a ng Do d¯´o nhau: i = i v´o.i s = t V`ı thˆe´, tˆa´t ca’ c´ac phˆ s t Λq (L) = (ii) Nˆe´u q = n, theo l´ y thuyˆe´t d¯i.nh th´ u.c, c´o nhˆa´t mˆo.t ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh, `on ta.i nhˆa´t ´anh thay phiˆen det : L(q) → K cho det(e1 , , en ) = Do d¯´o, tˆ xa tuyˆe´n t´ınh det : Λq (L) → K `om mˆo.t v´ecto e1 ∧ · · · ∧ en l`a cho det(e1 ∧ · · · ∧ en ) = T` u d¯´o suy hˆe chı’ gˆ mˆo.t co’ so’ cu’a khˆong gian v´ecto Λq (L) Nhu thˆe´ dim Λq (L) = Bˆay gi`o x´et tru.`o.ng ho p ≤ q ≤ n Gia’ su’ c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh a(i) ei1 ∧ · · · ∧ eiq = 0, (i) d¯´o (i) = (i1 , , iq ), ≤ i1 < · · · < iq ≤ n, a(i) ∈ K V´o.i mˆo˜i bˆo chı’ sˆo´ cˆo´ d¯i.nh (j) = (j1 , , jq ) tho˜a m˜an j1 < · · · < jq , ta cho.n jq+1 , , jn cho (j1 , , jq , jq+1 , , jn ) l`a mˆo.t ho´an vi n`ao d¯´o cu’a (1, 2, , n) Nhˆan ngo`ai hai vˆe´ cu’a `au hˆe´t c´ac sˆo´ ha.ng d¯˘a’ng th´ u.c trˆen v´o.i ejq+1 ∧ · · · ∧ ejn ta thu d¯u.o c mˆo.t tˆo’ng v´o.i hˆ ei1 ∧ · · · ∧ eiq ∧ ejq+1 ∧ · · · ∧ ejn b˘`a ng 0, v`ı c´o c´ac chı’ sˆo´ tr` ung l˘a.p, loa.i tr` u mˆo.t sˆo´ ha.ng nhˆa´t v´o.i c´ac chı’ sˆo´ khˆong tr` ung l˘a.p a(j) ej1 ∧ · · · ∧ ejq ∧ ejq+1 ∧ · · · ∧ ejn = Hay l`a ±a(j) e1 ∧ · · · ∧ en = Do d¯´o a(j) = Nhu vˆa.y, hˆe v´ecto (ei1 ∧ · · · ∧ eiq : ≤ i1 < · · · < iq ≤ n) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh - inh l´ ✷ u.ng minh Λq (L) D y d¯u.o c ch´ `ong cˆa´u d¯a.i sˆo´ Λ(f ) : Λ(L) → Mˆo˜i ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M ca’m sinh mˆo.t d¯ˆ - ´o l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a c´ac d¯ˆ `ong cˆa´u th`anh phˆ `an Λq (f ) : Λq (L) → Λq (M ), Λ(M ) D 284 http://www.ebook.edu.vn (0 ≤ q < ∞), d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau X´et ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen ˜ q (f ) : L(q) → Λq (M ), Λ ˜ q (f )(α1 , , αq ) = f (α1 ) ∧ · · · ∧ f (αq ) Λ `on ta.i nhˆa´t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Λq (f ) : Λq (L) → Do t´ınh phˆo’ du.ng cu’a Λq (L), tˆ ˜ q (f ) = Λq (f ) ◦ ξ, d¯´o ξ : L(q) → Λq (L) l`a ´anh xa d¯a tuyˆe´n Λq (M ) cho Λ t´ınh thay phiˆen ch´ınh t˘a´c Ta thu d¯u.o c biˆe’u th´ u.c tu.`o.ng minh cho Λq (f ) : Λq (f )(α1 ∧ · · · ∧ αq ) = Λq (f )(ξ(α1 , , αq )) ˜ q (f )(α1 , , αq ) = Λ = f (α1 ) ∧ · · · ∧ f (αq ), v´o.i mo.i α1 , , αq ∈ L Dˆ˜e kiˆe’m tra la.i r˘`a ng Λ(gf ) = Λ(g)Λ(f ), v´o.i mo.i c˘a.p ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : L → M, g : M → N Ho.n n˜ u.a Λ(id ) = id L Λ(L) Nhˆ a.n x´ et 5.8 Nˆe´u Char(K) = 0, ngu.`o.i ta c´o mˆo.t c´ach kh´ac d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa lu˜ y th` u.a ngo`ai Λq (L) nhu tr`ınh b`ay du.´o.i d¯ˆay C´ach n`ay thu.`o.ng d¯u.o c c´ac nh`a gia’i t´ıch ung v`a h`ınh ho.c vi phˆan u.a d` To´an tu’ thay phiˆen ho´a Alt : T q (L) → T q (L) l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa bo’.i hˆe th´ u.c Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) := (sgnσ)ασ(1) ⊗ · · · ⊗ ασ(q) q! σ∈Sq - iˆ `eu kiˆe.n Char(K) = d¯a’m ba’o cho q! kha’ nghi.ch tru.`o.ng K Dˆ˜e d`ang thu’ D la.i r˘`a ng Alt2 = Alt X´et khˆong gian a’nh cu’a to´an tu’ thay phiˆen ho´a ˜ q (L) := Im(Alt) ⊂ T q (L) Λ 285 http://www.ebook.edu.vn ToanDHSP.COM ˜ q (L) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ω = Alt(ω) `an tu’ cu’a Λ Nhu thˆe´, ω ∈ T q (L) l`a mˆo.t phˆ Ngu.`o.i ta ch´ u.ng minh d¯u.o c r˘`a ng, nˆe´u Char(K) = th`ı ph´ep ho p th`anh π ˜ q (L) ⊂ T q (L) → Λ Λq (L) = T q (L)/Bq - ˘a’ng cˆa´u n`ay chuyˆe’n Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) th`anh α1 ∧ l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh D · · · ∧ αq V`ı thˆe´, Gia’i t´ıch ho˘a.c H`ınh ho.c vi phˆan (l`a l˜ınh vu c m`a tru.`o.ng K luˆon ung d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay: luˆon l`a R ho˘a.c C), ngu.`o.i ta thu.`o.ng d` Λq (L) := Im(Alt) ⊂ T q (L), α1 ∧ · · · ∧ αq := Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αq ) - i.nh ngh˜ıa 5.9 Go.i L∗ l`a khˆong gian d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a L Khi d¯´o mˆo˜i phˆ `an tu’ cu’a D Λq (L∗ ) d¯u.o c go.i l`a mˆo.t q-da.ng (ngo`ai) trˆen L `e sau d¯ˆay gia’i th´ıch cˆa´u tr´ Mˆe.nh d¯ˆ uc cu’a khˆong gian c´ac q-da.ng ngo`ai `e 5.10 Nˆe´u L l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto h˜ `eu th`ı Mˆ e.nh d ¯ˆ u.u ha.n chiˆ Λq (L∗ ) ∼ = Λq (L)∗ , d¯o´ vˆe´ pha’i l`a khˆ ong gian d¯oˆ´i ngˆ a˜u cu’ a Λq (L) Ch´ u.ng minh: Nhˆa.n x´et r˘`a ng ´anh xa Lq × (L∗ )q → K ((α1 , , αq ), (ϕ1 , , ϕq ) → det( αi , ϕj ) `ong th`o.i c˜ l`a d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen d¯ˆo´i v´o.i c´ac biˆe´n α1 , , αq , d¯ˆ ung d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen d¯ˆo´i v´o.i c´ac biˆe´n ϕ1 , , ϕq (O’ d¯ˆay αi , ϕj l`a gi´a tri cu’a ϕj trˆen v´ecto αi ) V`ı thˆe´, n´o ca’m sinh ´anh xa song tuyˆe´n t´ınh Λq (L) × Λq (L∗ ) → K (α1 ∧ · · · ∧ αq , ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕq ) → det( αi , ϕj ) 286 http://www.ebook.edu.vn ´ `an tu’ cu’a Λq (L∗ ) nhu mˆo.t da.ng tuyˆe´n t´ınh trˆen Anh xa n`ay cho ph´ep xem mˆo˜i phˆ `an tu’ cu’a Λq (L)∗ Λq (L), t´ u.c l`a nhu mˆo.t phˆ Go.i e1 , , en l`a mˆo.t co so’ cu’a L v`a e1 , , en l`a co so’ d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a L∗ Su’ du.ng `ong nhˆa´t n´oi trˆen ta thˆa´y co so’ (ej1 ∧ · · · ∧ ejq | j < · · · < j ) ch´ınh l`a d¯ˆo´i ph´ep d¯ˆ q ngˆa˜u cu’a co so’ (ei1 ∧ · · · ∧ eiq | i1 < · · · < iq ) Thˆa.t vˆa.y, (ei1 ∧ · · · ∧ eiq , ej1 ∧ · · · ∧ ejq ) → det( eik , ej ) Vˆe´ pha’i b˘`a ng v`a chı’ i1 = j1 , , iq = jq v`a b˘`a ng c´ac tru.`o.ng ho p ✷ kh´ac Nhu thˆe´ Λq (L∗ ) ∼ = Λq (L)∗ V´ı du 5.11 X´et khˆong gian v´ecto thu c L = Rn v´o.i co so’ ch´ınh t˘a´c (e1 , , en ):    e1        e2          e n = (1, 0, , 0)t , = (0, 1, , 0)t , = (0, 0, , 1)t `eu kiˆe.n sau Go.i (dx1 , , dxn ) l`a co so’ d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a (Rn )∗ d¯u.o c x´ac d¯i.nh bo’.i hˆe d¯iˆ dxi (ej ) = δji , (1 ≤ i, j ≤ n) `eu biˆe´n.) (C´ach k´ y hiˆe.u n`ay c´o co so’ t` y thuyˆe´t vi phˆan cu’a h`am nhiˆ u L´ Ta x´et khˆong gian Λq (Rn ∗ ) ∼ = Λq (Rn )∗ c´ac q-da.ng trˆen Rn N´o c´o mˆo.t co so’ l`a hˆe v´ecto sau d¯ˆay (dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq |1 ≤ i1 < < iq ≤ n) Mˆo˜i v´ecto ω ∈ Λq (Rn ∗ ) c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua co so’ d¯´o: ai1 , ,iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , ω= 1≤i1 <