ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN LỜI NÓI ĐẦU Bài tập tĩnh điện đa dạng phong phú, có nhiều phương pháp để giải, có nhiều tập cần đến tích phân để làm Dạng tốn tích phân dạng tập tương đối khó học sinh cấp ba, việc ứng dụng vào để giải tập vật lí khơng phải dễ Chính lí tơi viết chun đề “Ứng dụng tích phân để giải tập tĩnh điện” giúp học sinh làm quen với dạng tập tĩnh điện có sử dụng đến tích phân, ứng dụng rộng rãi tích phân vật lí, từ sở em học sinh làm quen với dạng tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân Trong chun đề này, tơi đưa ứng dụng tích phân để tính cường độ điện trường điện vật tích điện gây điểm Trong trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong góp ý thầy giáo em học sinh PHƯƠNG PHÁP CHUNG - Chia vật tích điện thành phần tử nhỏ mang điện tích dq (cách chia cịn tuỳ thuộc vào hình dạng vật tích điện) - Xét phần tử nhỏ mang điện tích dq bất kì, tìm cường độ điện trường d E ; điện dV phần tử dq gây điểm cần tính điện trường điện - Lấy tích phân tồn vật ta tìm cường độ điện trường điện tồn vật tích điện gây điểm xét Công thức xắc định cường độ điện trường điện tích dq gây điểm M cách đoạn r: dE  kdq r0 r2 (1) với r0 véc tơ đơn vị phương r ; r có gốc dq , M Công thức xắc định điện điện tích dq gây điểm M cách đoạn r: dV  kdq r (2) dV dr (3) Mối liên hệ cường độ điện trường điện thế: E  9.10 Nm / C 4 Mật độ điện tích: Mật độ điện tích mặt  Mật độ điện tích dài  dq dq    d dS dq điện tích chứa yếu tố dq điện tích chứa yếu tố d dS Chú ý: k  Mật độ điện tích khối  dq  dV dq điện tích chứa yếu tố dV A – BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TÍCH ĐIỆN Z DẠNG I: CUNG TRỊN TÍCH ĐIỆN ĐỀU M Bài 1: Một vịng trịn mảnh bán kính R, tích điện q  đặt nằm ngang khơng khí hình vẽ bên Lấy trục OZ thẳng đứng trùng với trục vòng dây Gốc O tâm vịng Tính cường độ điện trường E điện V điểm M nằm trục Oz với OM  z q R O Bài giải: q d R 2 R d - Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d  Rd O qd - Điện tích phần tử nhỏ có chiều dài d dq  d  2 Cách 1: Cách 2: * Tính điện M z - Điện phần tử dq gây điểm M là: dE kdq kqd dV   r 2 R  z dE dE - Điện V vịng trịn tích điện gây M M là: 2 2 kq kq V  dV  d     r 2 R  z R2  z2 * Tính cường độ điện trường M - Do tính chất đối xứng trục, cường độ điện trường O dq dq vòng gây điểm M có phương trùng với trục R OZ, độ lớn: dV kqz * Tính cường độ điện trường M E   dz ( R  z ) / - Xét cường độ điện trường phần tử dq gây - Mật độ điện tích dài vịng trịn mảnh là:    M d E1 có phương chiều hình vẽ, độ lớn kdq kqd dE1   r 2 ( R  z ) - Do ta ln tìm hai phần tử dq đối xứng qua O, phần tử dq gây M điện trường có thành phần điện trường vng góc với trục OZ triệt tiêu lẫn đơi điện trường M có phương trùng với trục OZ, độ lớn: 2 2 kq cos  d kq cos  E  dE1 cos     2 (R  z ) 0 2 ( R  z ) z kqz  E Với cos   2 (R  z )3 / R z * Tính điện M 2 2 2 kdq kq kq V  dV    d   2 r 2 R  z R  z2 0 Cũng tính V sau: kqz dV E  3/ dz (R  z ) kqz  dV  dz (R  z )3 / kqz kq  V dV  dz  C 2 3/ (R  z ) R2  z2 Khi z  V 0  C 0 kq V R2  z2 Nhận xét:  E 0 + Khi z  R   cường độ điện trường điện điện tích điểm gây M  V 0  E 0  + Khi z 0   kq cường độ điện trường tâm vịng trịn tích điện không  V  R + Nếu q  , ta thu kết tương tự chiều E ngược lại Bài 2: Một sợi dây có dạng cung trịn mảnh, bán kính R, góc tâm 2α, sợi dây tích điện q  đặt khơng khí Xắc định cường độ điện trường điện tâm cung tròn Bài giải: q - Mật độ điện tích dài cung trịn mảnh là:   2 R - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d R d  Rd dE dφ - Điện tích phần tử nhỏ d dq d Rd q * Tính cường độ điện trường O φ -α X - Xét cường độ điện trường phần tử dq gây M φ kdq k d O α d E1 có phương chiều hình vẽ, độ lớn dE1   R R - Chọn hệ trục toạ độ HV - Do ta ln tìm hai phần tử dq cung tròn đối xứng dE1 d qua trục OX, phần tử gây O cường độ điện trường có thành phần điện trường vng góc với trục OX triệt tiêu lẫn đơi cường độ điện trường O có phương trùng với trục OX, độ lớn:  k kq sin  E  dE1 cos   cos  d  R   R * Tính điện O kdq k d - Xét phần tử nhỏ dq Phần tử gây O điện thế: dV  R   kq  cung tròn gây O điện V  dV  kd 2 k   R   Nhận xét: + Véc tơ E cung tròn tích điện gây tâm có phương nằm trục đối xứng cung tròn (trục đối xứng nằm mặt phẳng chứa cung tròn) + Nếu 2 2 ứng với vòng tròn  E 0 phù hợp với kết phần cung trịn tích điện ứng với z 0 3 2kq ứng với vòng tròn  E  3 R 2kq + Nếu 2  ứng với nửa vòng tròn  E   R  2kq + Nếu 2  ứng với vòng tròn  E   R kq + V   điện cung trịn tích điện gây tâm khơng phụ thuộc vào  R + Nếu q  ta thu kết tương tự chiều E ngược lại Bài 3: Có hai cung trịn mảnh có bán kính, góc tâm 2 (2  2 ) Hai cung trịn tích điện với mật độ điện tích dài 1  0;   Ghép hai cung trịn nói lại với thành vịng trịn kín đặt khơng khí, giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép chúng lại với Tính cường độ điện trường điện vịng trịn nói gây tâm O Bài giải: Đặt (2  2 ) 2 Chọn hệ trục toạ độ OX HV R * Tính cường độ điện trường O 2 1 Áp dụng kết (phần cung tròn tích điện đều) E2 E1 - Cung trịn mảnh bán kính R tích điện với mật độ điện tích X 2 dài 1  gây O cường độ điện trường E1 có phương kq1 sin  2k1 sin   chiều HV, độ lớn E1  (1) R  R - Cung trịn mảnh bán kính R tích điện với mật độ điện tích dài   gây O cường độ điện trường E có phương chiều HV, độ lớn kq sin  2k2 sin  2k2 sin  E2  2   (2) R R  R q1 q2 (Với 1  ; 2  ; (2  2 ) 2 ) 2 R 2 R + Nếu 2  Theo nguyên lí chồng chất điện trường O ta có: E E1  E2 2k sin  1   E có phương trùng với trục OX có độ lớn E  E1  E  R * Tính điện O Dựa vào kết nhận xét 2: “điện cung trịn tích điện gây tâm O cung không phụ thuộc vào  ” ; mặt khác điện có tính cộng nên điện vịng trịn nói gây O cho công thức: kq kq V V1  V2   2k (    ) 2k[   (   )] R R Nhận xét:  E 0 + Nếu 1 2    phù hợp với kết phần cung trịn tích điện ứng với z 0  V 2.k . Z Bài 4: Có hai cung trịn mảnh giống bán kính R có dạng nửa vịng trịn, M cung trịn tích điện với mật độ điện tích dài   , cung trịn cịn lại tích điện với mật độ điện tích dài   Ghép hai cung trịn nói lại với thành vịng trịn kín đặt khơng khí Lấy trục OZ qua tâm vịng dây vng góc với mặt phẳng chứa vòng dây.Xắc định cường độ điện trường điện điểm M nằm trục   OZ, giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép hai cung tròn R lại với O Bài giải: - Chia vòng dây thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích dq d Rd Z Chọn hệ trục toạ độ OXYZ HV1 d E1 * Tính cường độ điện trường M - Xét cường độ điện trường phần tử dq gây M M d E1 có phương chiều hình vẽ, độ lớn dE kdq kRd dE1   d E2 r (R  z ) z - Do ta ln tìm hai phần tử dq đối xứng qua O,   y phần tử dq gây M điện trường có thành phần điện trường theo phương trục OZ triệt tiêu lẫn dq R O đôi điện trường M có phương vng góc với trục OZ tức nằm mặt phẳng XOY HV1 x - Nhận thấy dq di chuyển nửa đường trịn tâm O véc tơ d E quay mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn dE 2dE1 sin  không đổi, vẽ biểu diễn HV2 y - Trong trình véc tơ d E quay mặt phẳng XOY, dễ thấy thành phần theo phương trục OX bị triệt tiêu, thành phần theo phương OY      dE   - Nói khác E  EY  dEY dE sin  2dE1 sin  sin  0 R  2kR sin  4kR sin  E sin  d  2  R z R  z2 4k.R 4kqR  2 3/ 2 (R  z )  (R  z )3/ * Tính điện M  E Do tính đối xứng nên V 0 (V  với sin   HV2 R2  Z  x R2  z2 (q điện tích nửa vịng trịn   kq M kq R2  Z q  )  R 0) Nhận xét: - Véc tơ cường độ điện trường chiều dương với trục OY (tức hướng phía nửa âm vịng trịn) 4k - Khi z 0  E  phù hợp với kết phần cung trịn tích điện (khi sử dụng kết R với 2  nguyên lí chồng chất điện trường) Bài tập tự luyện B1: Có hai cung trịn mảnh giống bán kính R có dạng nửa vịng trịn, cung trịn tích điện với mật độ điện tích dài   , cung trịn cịn lại tích điện với mật độ điện tích dài   Ghép hai cung trịn nói lại với thành vịng trịn kín đặt khơng khí Xắc định cường độ điện trường điện vòng trịn nói gây tâm nó, giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép hai cung tròn lại với HD: Sử dụng kết phần cung trịn tích điện áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường 4k  E ; V 0 R B2: Một cung trịn mảnh bán kính R tích điện với mật độ điện tích dài 1  , góc tâm 2 Cung tròn mảnh thứ hai có bán kính R, góc tâm (2  2 ) tích điện với mật độ điện tích dài    Ghép hai cung trịn nói lại với thành vịng trịn kín đặt khơng khí, giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép chúng lại với nhau, tính cường độ điện trường điện vịng trịn nói gây tâm HD: Sử dụng kết phần cung trịn tích điện áp dụng ngun lí chồng chất điện trường 2k sin  E  E1  E  (1  2 ) R kq kq V   2k[    (   )] R R Bài 3: Một sợi dây có dạng cung trịn mảnh, bán kính R, góc tâm 3α, đặt khơng khí Gọi A,B,C,D bốn điểm cung tròn tuân theo thứ tự A,B,C,D thoả mãn cho độ dài cung AB độ dài cung BC độ dài cung CD Xắc định cường độ điện trường điện gây tâm cung tròn nếu: Cung BC nhiễm điện với mật độ điện tích dài   , cung AB CD nhiễm điện với mật độ điện tích dài   HD: Sử dụng kết phần cung trịn tích điện áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường 2k  E sin cos   R kq1 kq kq3 V    k[      ]  k R R R DẠNG II: CUNG TRỊN TÍCH ĐIỆN KHƠNG ĐỀU, Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc bậc hai, trường hợp bậc cao mật độ điện tích bất thường việc tính tốn phức tạp Bài 1: A Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc tâm 2 đặt khơng khí, G điểm cung trịn hình vẽ bên Xắc định cường R độ điện trường điện cung tròn gây tâm O cung mật độ điện tích cung trịn tăng dần từ phía G hai đầu A B cung theo quy luật  a.  với a const ;  biến số theo G 2 O chiều dài B Bài giải: - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d  Rd    R. - Điện tích phần tử nhỏ d A dq d a.Rd aR 2 d * Tính cường độ điện trường O d R - Xét cường độ điện trường phần tử dq gây M dφ d E1 có phương chiều hình vẽ, độ lớn q kdq dE1  k a. d φ α R G - Chọn hệ trục toạ độ HV -α - Do ta ln tìm hai phần tử dq cung tròn đối xứng qua trục OX, phần tử gây cường độ điện trường có thành phần điện trường vng góc với trục OX d triệt tiêu lẫn đơi một, cường độ điện trường O có phương trùng với trục OX, độ lớn: B dE X φ O dE1  E  2dE1 cos 2ka  cos d 2k a.( sin   cos  1) * Tính điện O ( VO ) GA - Do tính đối xứng, mà điện có tính cộng nên ta cần tính điện cung GA gây O nhân đôi ta điện cung AGB gây O - Xét phần tử nhỏ dq thuộc cung GA Phần tử gây O điện thế:  dV  kaR kdq k a.R d  V  dV k a.R  d   VO 2V kaR 2 R GA Bài 2: A Cho cung trịn mảnh AB bán kính R, góc tâm 2 đặt khơng khí, G điểm cung trịn hình vẽ bên Xắc định R cường độ điện trường điện cung tròn gây tâm O cung mật độ điện tích cung trịn tăng dần từ phía G hai đầu A B theo quy luật: từ G đên A  a.  ; từ G đến B G   với a const ;  biến số theo chiều dài 2 O Bài giải: * Tính cường độ điện trường O - Làm tương tự phần cung tròn tích điện khơng BA - Chọn hệ trục toạ độ HV - Do tính đối xứng nên ta ln tìm hai phần tử dq d R cung tròn đối xứng qua trục OX, phần tử gây dφ cường độ điện trường có thành phần điện trường theo q phương OX triệt tiêu lẫn đơi một) điện trường φ α O theo phương OY có độ lớn: O  G E  2dE1 sin  2ka  sin  d 2k a.(sin    cos  ) -αdE GA * Tính điện O  kaR V   AG   V V AG  V BG 0 Làm tương tự  kaR   V   BG dE d B Y X A Bài 3:  Cho cung trịn mảnh AB bán kính R, góc tâm đặt khơng khí Xắc định cường độ điện trường điện cung tròn gây tâm O cung mật độ điện tích cung trịn tăng dần từ phía A phía B cung theo quy luật  a.  với a const ;  biến số theo chiều dài Bài giải: - Chọn hệ trục toạ độ HV, có OX trùng với OA - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích B dq d a.Rd aR 2 d * Tính cường độ điện trường O - Xét cường độ điện trường phần tử dq gây O d E có A kdq dE   k a  d  phương chiều hình vẽ, độ lớn R R2 - Phân tích dE dE X i  dEY j dq R  Y d EY dE    E dE  dE X i  dEY j  E X i  EY j với O O d EX X B   E  dE  dE cos   ka  cos  d k a( sin   cos   1)  X  X    AB AB  E  E X2  EY2 ; E hợp với OX    E  dE  dE sin  ka  sin  d k a (sin    cos  )   Y  Y  AB AB  EY góc  thoả mãn: tg  EX * Tính điện O - Xét phần tử nhỏ dq Phần tử gây O điện thế:  kaR kdq dV  k a.R d  V  dV k a.R  d  R AB Bài tập tự luyện A B1: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc tâm 2 đặt khơng R khí, G điểm cung trịn hình vẽ bên Xắc định cường độ điện trường cung tròn gây tâm O cung mật độ điện tích cung trịn tăng dần từ phía G hai đầu A B G 2 O cung theo quy luật  a.2  với a const ;  biến số theo chiều dài HD: Làm tương tự phần cung trịn tích điện khơng đều, ta tìm B điện trường O có phương nằm đường GO, điểm đặt A O, chiều từ G  O độ lớn E 2k a.R( sin   2 cos   sin  ) B2: R Cho cung trịn mảnh AB bán kính R, góc tâm 2 đặt khơng khí, G điểm cung trịn hình vẽ bên Xắc định cường độ G điện trường cung tròn gây tâm O cung mật độ điện 2 O tích cung trịn tăng dần từ phía G hai đầu A B theo quy luật: từ G đên A  a.2  ; từ G đến B   với a const ;  biến số theo chiều dài B HD: Làm tương tự phần cung tròn tích điện khơng đều, ta tìm điện trường O có phương vng góc với đường GO, điểm đặt O, chiều từ phía dương phía A âm, độ lớn E 2k a.R (  cos   2 sin   cos   2) R B3:  Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc tâm đặt khơng khí Xắc định cường độ điện trường cung trịn gây tâm O cung mật độ điện tích cung trịn tăng dần từ phía A phía B cung theo quy luật O  a.2  với a const ;  biến số theo chiều dài HD: Làm tương tự phần cung trịn tích điện khơng B Chọn trục OX trùng với OA ta có  E X k a.R( sin   2 cos   sin  )   EY k a.R(   cos   2 sin   cos   2)  DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1: Một mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài   , đặt khơng khí A Xắc định cường độ điện trường điện gây điểm M nằm trục cách đầu A M đoạn AM a HV B  Bài giải: dE M A  B d  - Chia AB thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , phần tử mang điện tích dq .d * Tính cường độ điện trường M - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d vị trí cách A đoạn  hình vẽ, phần tử kdq kd gây M cường độ điện trường d E có phương chiều HV, độ lớn dE   r (a  ) L kd k.L  điện trường tổng hợp gây M E  dE    a ( a  L) AB ( a  ) * Tính điện M - Xét phần tử nhỏ dq vị trí cách A đoạn  hình vẽ Phần tử gây M kdq k .d  điện thế: dV  r a  L d L   điện gây M V  dV k   k  ln1   a  a  AB Bài 2: M Một mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài   , đặt khơng khí Xắc định cường độ điện trường gây điểm M a cách đầu A đoạn a HV A  B Bài giải: - Chia AB thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài dX , phần tử mang điện tích dq  dX * Tính cường độ điện trường M Chọn hệ toạ độ OXY hình vẽ: + Xét phần tử nhỏ có chiều dài dX , mang điện dq có toạ độ X bất kì, xác định góc  HV + Phần tử gây M cường độ điện trường dE có phương chiều hình vẽ, độ lớn: kdq kdX dE   (1) r r a   r  cos  + HV   (2)  X a.tg  dX  a d  cos  Y dE dEY M dE X θ a r  B X A O L dX X kd (3) a + Phân tích dE thành hai thành phần dE dE X i  dEY j Từ (1)(2)  dE   E dE  dE X i  dEY j  E X i  EY j    k k k  a sin  d  (cos   1)    1   E X  dE X   dE sin   a a a  a  L2  AB AB  - Với   k k k L  0  EY  dE Y  dE cos   a cos  d  a sin   a 2 a  L AB AB  EY  E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EX Nhận xét: Nếu   / ứng với bán vơ hạn hay L  M k k 2k E X  ; EY   E  a a a a Bài 3: Một mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện với mật A độ điện tích dài   , đặt khơng khí O Xắc định cường độ điện trường gây điểm M cách trục đoạn a HV B  Bài giải: - Coi cấu tạo từ hai phần AO BO, chiều dài phần tương ứng X ; X - Chọn hệ trục toạ độ OXY HV - Áp dụng kết phần đường thẳng tích điện  riêng AO gây M cường độ điện trường có thành phần theo phương OX OY là: Y M a B A O 10  X2 X    a 0  E AMX  k (1  cos  )  k 1  2  a a a  X     X1 k k  0  E AMY  a sin   a a  X 12  - Một cách tương tự  BO gây M cường độ điện trường có thành phần theo phương OX OY là:    a  E BMX  k (cos   1)  k   1   a a  a  X 22     X2 k k  0  E BMY  a sin   a a  X 22  - Áp dụng ngun lí chồng chất điện trường có E  E AM  E BM Với E AM ; E BM véc tơ cường độ điện trường AO BO gây M    1 0  E X  E AMX  E BMX k    2 2   a  X1 a  X        X1 X2 k  0   EY  E AMY  E BMY   2 2  a a  X2    a  X1 EY  E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EX Nhận xét: - Nếu X  X  ứng với AB dài vơ hạn E X 0  E  EY  2k phù hợp với thực tế a  E X 0  E 0 , lúc điểm M xa AB, - Nếu a  X ; a  X tức a  L   E  Y  coi điện tích điểm, phù hợp với thực tế  E X 0 L  2k.L - Nếu X  X  tức M nằm đường trung trực AB  phù  EY  E  2 a 4a  L  hợp với thực tế (do tính đối xứng nên E X 0 ) Bài 4: Có hai mảnh thẳng OA; OB chiều dài OA  X ; OB  X đặt khơng khí Hai tích điện với mật độ điện tích 1  0;   Ghép hai đầu O lại với thành thẳng AOB Giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép Xắc định cường độ điện trường gây điểm M nằm đường thẳng qua O vng góc với AB cách đoạn a Bài giải: - Chọn hệ trục toạ độ HV - Áp dụng kết phần đường thẳng tích điện  riêng AO gây M cường độ điện trường có thành phần theo phương OX OY là: 11   k k  a 0 Y  E AMX  (1  cos  )  1  2   a a a  X1     M k1 k1 X1  0  E AMY  a sin   a a  X 12  a - Một cách tương tự  BO gây M cường độ điện trường có thành phần theo phương A 1 OX OY là:  X1 O   k k  a   E BMX  (cos  1)   0  a a  a  X 22     k k X2  0  E BMY  a sin   a a  X 22  - Áp dụng ngun lí chồng chất điện trường có E  E AM  E BM 2 B X X2 Với E AM ; E BM véc tơ cường độ điện trường AO BO gây M   a1  E X  E AMX  E BMX  k  1     2  a  a  X      2 X k  1 X E  E  E    Y AMY BMY a  a  X 12 a  X 22     2  a  X2  a   0   EY  E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EX Nhận xét:    1 0  E X k    2 2   a  X1 a  X    + Nếu 1 2    phù hợp với kết phần đường    X1 X2 k  0   EY   2 2  a a  X2    a  X1 tích điện 2k + Nếu 1 2  dài bán vô hạn tức X ; X   E X 0  E  EY  phù hợp a với thực tế k   E X  a (1   ) + Nếu dài bán vô hạn tức X ; X     E  k (   ) Y a  Bài tập tự luyện B1: Hai OA; OB mảnh thẳng OA OB  L , tích điện với mật độ điện tích dài    Ghép hai đầu O lại với thành thẳng AOB Giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép Xắc định cường độ điện trường gây điểm M nằm đường thẳng qua O vng góc với AB cách đoạn a HD: 12 - Áp dụng kết phần đường thẳng tích điện nguyên lí chồng chất điện trường tính đối  2k  a 1   xứng  E // AB , hướng từ A  B (hướng phía nhiễm điện tích âm), độ lớn E    2 a  a L  - Nếu L  tức hai OA;OB dài bán vơ hạn E  2k a B2: Hai mảnh OA OB dài bán vơ hạn tích điện với mật độ điện tích dài 1     Ghép hai đầu O lại với thành thẳng AOB dài vơ hạn Giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép Xắc định cường độ điện trường gây điểm M nằm đường thẳng qua O vng góc với AB cách đoạn a HD: Chọn trục OX trùng với trục AOB Áp dụng kết phần đường tích điện nguyên lí chồng chất điện trường k   E X  a (1  2 )    E  k (   )  Y a (kết tương tự kết phần nhận xét phần đường thẳng tích điện đều) DẠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc bậc hai, trường hợp bậc cao mật độ điện tích bất thường việc tính tốn phức tạp Bài 1: Một mảnh thẳng AB đặt khơng khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo A quy luật  b.  , với b const ;  biến số theo chiều dài Xắc định cường độ điện trường điện M gây điểm M nằm trục cách đầu A đoạn AM a HV Bài giải: B  A  dE d  M - Chia AB thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , phần tử mang điện tích dq  d b..d * Tính cường độ điện trường M - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d vị trí cách A đoạn  hình vẽ, phần tử kdq k b..d gây M cường độ điện trường d E có phương chiều HV, độ lớn dE   r (a  ) L k b..d  điện trường tổng hợp gây M là: E  dE   AB ( a  ) Chú ý: L L d d T1     a  ( a  ) L a.d (a  )   L L L L   ln1     E k b ln1    a aL a  a  L     * Tính điện M 13 B - Xét phần tử nhỏ dq vị trí cách A đoạn  hình vẽ Phần tử gây M L kdq k b..d d   điện gây M V  dV k b  điện thế: dV  r ( a  ) a  AB Chú ý: L L d T2   d  a   0 L ad  L   L  a    L  a ln1  a   V k.b  L  a ln1  a  14 Bài 2: Một mảnh thẳng AB đặt khơng khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo quy luật  b.2  , với b const ;  biến số theo chiều dài Xắc định cường độ điện trường điện gây điểm M nằm trục cách đầu A đoạn AM a HV Bài giải: dE A M  A  B d M - Chia AB thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , phần tử mang điện tích dq  d b.2 d * Tính cường độ điện trường M - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d vị trí cách A đoạn  hình vẽ, phần tử kdq k b.2 d dE   gây M cường độ điện trường d E có phương chiều HV, độ lớn r2 (a  )  L k b.2 d  điện trường tổng hợp gây M là: E  dE  AB ( a  ) Chú ý: 2 a  2a a2 2a J      2 (a  ) (a  ) ( a  ) (a  ) L L L L 2 d d d a2 J   d   a  a  L   a  2a.T1 2    a  L ( a   ) ( a   ) ( a   ) 0 0 L L  Với T1 ln1    tính phần đường thẳng tích điện khơng a aL  L( L  2a ) L   J1   2a ln1   aL a   L( L  2a ) L    E k b   2a ln 1    a    aL * Tính điện M - Xét phần tử nhỏ dq vị trí cách A đoạn  hình vẽ Phần tử gây M kdq k b.2 d  điện thế: dV  r (a  ) L 2 d  điện gây M V  dV k b  a  AB Chú ý: L L L  d d L2 L  J   (  a )d  a    a.L  a ln1   a a a  0  L2 L    V kb   a.L  a ln 1    a   2 15 B Bài tập tự luyện Y B1: Một mảnh thẳng AB đặt khơng khí, chiều dài L tích điện M với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật  b X  , với b const ; X biến số theo chiều dài a Xắc định cường độ điện trường gây điểm M cách đầu đoạn a HV HD: A O Làm tương tự dạng III dạng IV ta kết sau: L   sin      sin    sin    E X k b ln a  L2   sin  với     a   cos   E  k b (  cos  )  Y  Y a  L2 B2: M Một mảnh thẳng AB đặt khơng khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật a  b X  , với b const ; X biến số theo chiều dài Xắc định cường độ điện trường gây điểm M cách đầu A đoạn a HV A O HD: Làm tương tự dạng III dạng IV ta kết sau: L   E X k b.a (tg sin   cos   cos   2) sin     a  L2    với    sin  a  EY k b.a ln  sin   sin    cos       a  L2 A  B X  B X Z M B – BÀI TẬP VỀ MẶT TÍCH ĐIỆN Bài 1: Xác định cường độ điện trường điện điểm M nằm trục đĩa trịn bán kính R, tích điện với mật độ điện tích mặt   Bài giải: - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng vịng trịn hình vẽ - Xét phần tử diện tích ds bất kì, ds d ( r ) 2 r.dr , phần tử tích điện dq  ds  2 r.dr (*) Nhận xét: Do ta chia đĩa thành phần tử có diện tích nhỏ, nhỏ tới mức coi vịng dây mảnh, áp dụng kết dE phần cung trịn tích điện * Tính cường độ điện trường M - Phần tử điện tích dq xét gây M cường độ điện ds trường dE chiều với chiều dương trục OZ (theo dạng I (phần cung tròn tích điện đều) nói trên), độ lớn: k Z dq 2kZ r dE dE Z   r.dr 3/ R (r  Z ) (r  Z ) / 16 q R O z M Z O  Cường độ điện trường đĩa gây có chiều với chiều dương trục OZ, độ     R   r dr  k     lớn: E dE 2kZ  2 3/ 2  S (r  Z )  R  1     Z   * Tính điện M kdq k 2 r.dr  - Phần tử điện tích dq xét gây M điện dV  2 r z r2  z2 R k 2 r.dr  Điện đĩa gây M V dV   2k  [ R  Z  Z ] 2 r z S Nhận xét:  1/ 2   R 2  1 R 1     1    k ( R ) kq  2 Z   E  - Nếu Z  R   đĩa có vai trị  Z  R Z Z 1   Z điện tích điểm so với điểm M (với q điện tích đĩa tròn)    E 2k   đĩa trường hợp coi - Nếu R  Z ta có:  R 2 1   Z mặt phẳng rộng vơ hạn, tích điện - Nếu Z  R  R  Z  Z  V 0 (điểm xét xa đĩa nên điện đĩa gây 0) - Nếu R  Z  R  Z  Z  R  V 2k R M Bài 2: Một đĩa mỏng hình trịn bán kính R đặt ngồi khơng khí, Z tích điện với mật độ điện tích mặt   Đĩa bị khoét phần bên trong, phần bị khoét hình O trịn bán kính R / đồng tâm với đĩa tròn ban đầu Xắc định R/ R cường độ điện trường điện M cách tâm O đĩa tròn đoạn Z Bài giải: * Tính cường độ điện trường M Sử dụng kết phần mặt tích điện áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường Coi vật bị khoét hệ gồm đĩa trịn bán kính R tích điện với mật độ điện tích mặt   ghép sát đồng trục với đĩa trịn bán kính R / tích điện với mật độ điện tích mặt   Gọi E  ; E  độ lớn cường độ điện trường đĩa gây M          E  k          R  1      Z    Áp dụng kết phần mặt tích điện ta có:           E 2k 1      /  R           Z     17 Áp dụng ngun lí chồng chất điện trường ta có: E  E   E  Do hai véc tơ E  ; E  phương ngược chiều nên độ lớn cường độ điện trường M là:       1  E  E   E  2k     / R    R  1       Z    Z   * Tính điện M - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình trịn phần mặt tích điện kdq k 2 r.dr  - Phần tử điện tích dq xét gây M điện dV  r  z2 r2  z2 Điện đĩa gây M  R k 2 r.dr V dV   2k  [ R  Z  R /  Z ] 2 r z S R/ Bài 3: Có hai mặt phẳng có dạng bán nguyệt giống hệt bán kính R đặt khơng khí Hai mặt tích điện với mật độ điện tích mặt     Ghép hai mặt bán nguyệt lại với thành mặt tròn tâm O bán kính R Lấy trục OZ qua tâm mặt trịn vng góc với mặt trịn Xắc định cường độ điện trường điện điểm M nằm trục OZ, giả sử O khơng có phân bố lại điện tích sau ghép hai mặt bán nguyệt lại với Bài giải: - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình trịn hình vẽ (*) Nhận xét: Do ta chia đĩa thành phần tử có diện tích nhỏ, nhỏ tới mức coi vịng dây mảnh, áp dụng kết dạng I (phần cung trịn tích điện đều) * Tính cường độ điện trường M M - Xét phần tử mang điện có diện tích ds gây M cường độ điện trường dE có chiều vng góc với trục OZ, dq chiều hướng phía mặt nhiễm điện tích âm (theo dạng I ds (phần cung trịn tích điện đều) nói trên), độ lớn: 4kr.dq  dE  (1)  (r  z ) /   Z M  R z dE O  q  r  q   dq   r.dr - Với (2)  r 4k  r dr - Từ (1)(2)  dE  (r  z ) /  Cường độ điện trường đĩa gây M vng góc với trục OZ, chiều hướng phía R r2 E  dE  k  dr mặt nhiễm điện tích âm, độ lớn: 2 3/   ( r  Z ) S  r2 r2  Z Z2 I   (r  Z ) / (r  Z ) / (r  Z ) / 18 R R r2  Z dr I1  dr  ln( 3/ r2  Z (r  Z ) R Z2 I  dr 3/ (r  Z ) 2 R r  Z r ) R2  Z  R Z ln Z dt Đặt r Z tgt  dr   I  cos t arctg R Z R cos t.dt sin(arctg Z )  R Z R R   E 4k  ln  sin( arctg )   Z Z   * Tính điện M Do tính đối xứng nên V 0 Bài 4: Một chỏm cầu rỗng kim loại bán kính R, góc đỉnh chỏm cầu 2 HV Chỏm cầu tích điện với mật độ điện tích mặt   đặt ngồi khơng khí Xắc định cường độ điện trường tâm O chỏm cầu Bài giải: 2 O 2 + Chia chỏm cầu thành nhiều phần tử nhỏ có chiều dài dL HV R  + Xét phần tử nhỏ có diện tích dS bất kì, phần tử cách O đoạn z, vị trí phần tử xác dịnh góc φ hình vẽ z R dφ z φ N dE O O r dS R φ r dL N + Do dL nhỏ nên: dS 2 r.dL (1)  r  R sin   Theo hình vẽ có:  dL  R.d (2)  z  R cos   Từ (1)(2)  dS 2 R sin  d (3)  đện tích phần tử là: dq  dS 2  R sin  d (4) + Theo phần cung trịn tích điện  cường độ điện trường phần tử điện tích gây O k dq.z k   sin 2 d (5) là: dE dE Z  (r  z ) /  Cường độ điện trường chỏm cầu gây O là:   k k (1  cos 2 ) E  dE k sin 2 d  cos 2  2 S 19 z Nhận xét: + E nằm trục đối xứng chỏm cầu, điểm đặt O, chiều hướng từ O xa Nếu   ta thu kết tương tự chiều E ngược lại + Nếu 2 2 ứng với cầu rỗng tích điện  E 0 phù hợp với thực tế (cường độ điện trường bên vật dẫn 0) + Nếu 2  ứng với bán cầu rỗng  E k Bài tập tự luyện Bài 1: Mặt phẳng rộng vơ hạn tích điện với mật độ điện tích mặt  đặt ngồi khơng khí Mặt phẳng bị khoét phần, phần bị khoét có dạng hình trịn bán kính R Gọi OZ trục qua tâm hình trịn bị kht, OZ vng với mặt phẳng tích điện rộng vơ hạn Xắc định cường độ điện trường M nằm trục OZ cách O đoạn Z HD: Sử dụng kết phần nhận xét phần mặt tích điện nguyên lí chồng chất điện trường cách làm giống phần mặt tích điện     2k   E 2k  2k 1    R2  R2      Z2  Z2  Bài 2: Có hai chỏm cầu rỗng có bán kính R đặt ngồi khơng khí, góc đỉnh chỏm cầu 2 2  2 Các chỏm cầu tích điện với mật độ điện tích mặt   0;   Ghép hai chỏm cầu lại với thành cầu, giả sử khơng có phân bố lại điện tích sau ghép Xắc định cường độ điện trường tâm O cầu nói HD: Sử dụng kết phần mặt tích điện nguyên lí chồng chất điện trường k E  E1  E   (1  cos 2 )   (1  cos 2 ) ; với 2 2  2 Nếu     E 0 phù hợp với thực tế 20 ... E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EX Nhận xét: Nếu   / ứng với bán vô hạn hay L  M k k 2k E X  ; EY   E  a a a a Bài 3: Một mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện