Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn trình bày một số kết quả cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna vàứng dụng của nó đối với phương trình hàm P ( f ) = Q( g ) trong trường p adic .Nội dung luận văn gồm ba chương .Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về trường định chuẩn không Acsimet , trường số p adic , và một số tính chất đặc biệt về hàm phân hình trên trường không Acsimet áp dụng cho chương sau .Chương 2: Nêu định nghĩa , một số tính chất về các hàm đặc trưngNevanlinna , hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và một số kết quả vềbài toán xác định tập duy nhất của hàm phân hình trên trường p adic .Chương 3: Trình bày một số kết quả về phươ ng trình hàm P ( f ) = Q( g )trong trường p adic .Kết quả của luận văn:Cho P , Q là các đa thức thuộc K x vớif , g giải tích hoặc phân hình trong đĩa x a r PQ 0 . Xét hai hàm phân biệt( tương ứng trong K ), thoảmãn P ( f ) = Q( g ) . Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hìnhNevanlinna , đưa ra các điều kiện đủ về các không điểm củachặn trong đĩa x a r Q P ( K ( hoặc tương ứng là hằng số ) .Trường hợp đặc biệt khi deg P = 4, xét trường hợp riêng)phân biệt khác hằng f, g phân hình trong K thoả mãn P f và đưa ra một số điều kiện đặc trưng cho sự tồn tại của hai hàm( ) g P( ) .Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaGS . TSKH Hà Huy Khoái . Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kínhnhất đến Thầy , Thầy không chỉ hướ ng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt quá trình làm luậnvăn .Tôi xin chân thành cảm ơn khoa Toán , khoa sau Đại học trường đại họcsư phạm Thái Nguyên , Viện toán học Việt Nam đã giúp đỡ và tạo điều kiệnđể tôi hoàn thành luận văn này .Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường CĐCN ViệtĐức , đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB , gia đình và bạn bè tôi đãhết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học và hoàn thành luận văn .Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót . Rất mong nhận được sựgóp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
ĐẠI HỌ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TR ƯỜ ƯỜ NG ĐẠI HỌC SƯ PH PHẠM ĐÀO THỊ THỊ THANH THUỶ THUỶ LÝ THUYẾ NEVANLINNA VÀ Ứ TNG NG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI TH ÁI NGUYÊ N - 20 2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ƯỜ NG ĐẠI HỌC SƯ PH TR ƯỜ PHẠM ĐÀO THỊ THỊ THANH THUỶ THUỶ LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ NG DỤNG Ứ NG Chuyên ngành : GIẢ GIẢI TÍCH Mã số số : 60.46.01 LUẬN VĂ LUẬ VĂN THẠ THẠC SĨ SĨ KHOA HỌ HỌC TOÁN HỌ H Ọ C Ngƣờ Ng ƣờ i hƣớ hƣớ ng ng dẫ dẫn khoa họ học : GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN NGUYÊN - 2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC ỤC L LỤC ỤC trang Mở đầu 11 Chương 1 K iến iến thức thức cơ sở 3 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet .3 1.2 Trường số p - adic .4 1.3 Hàm chỉnh hình trường khơng Acsimet 7 Chương 2 Lý thuyết thuyết Nevanlinna ………… …… …… 14 Nevanlinna trƣờng trƣờng p p - adic ………… 14 2.1 Các hàm đặc trưng Nevanlinna 14 14 2.2 Các định lý cơ bản bản về phân phối giá trị hàm phân hình 20 20 2.3 Tập xác định duy nhất các hàm phân hình .25 25 Chương 3 Phƣơng Phƣơng trình f ) = Q g trƣờng p trình hàm P( f ( g ) trƣờng p - adic 30 adic 30 Kết luận Kết 54 54 Tài liệu liệu tham tham khảo 55 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU ĐẦU Luận văn trình bày một số kết quả cơ bản bản của Lý thuyết Nevanlinna ứng dụng của đối với phương phương trình hàm P hàm P ( f ) = Q( g ) trường p padic Nội dung luận văn gồm ba chương . Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về trường định chuẩn không Acsimet , trường số p p - adic , một số tính chất đặc biệt biệt về hàm phân hình trường không Acsimet áp dụng cho chương sau Chương 2: Nêu định nghĩa , một số tính chất về các hàm đặc trưng Nevanlinna , hai định lý cơ bản bản của lý thuyết Nevanlinna một số kết quả về bài tốn xác định tập duy nhất của hàm phân hình trường p p - adic Chương 3: Trình bày một số kết quả về phươ phươ ng ng trình hàm P hàm P ( f ) = Q( g ) trường p p - adic Kết quả của luận văn : Cho P Cho P , , Q là đa thức thuộc K K [ x] x] với P 'Q ' Xét hai hàm phân biệt f , g giải tích hoặc phân hình đĩa x a mãn P ( f ) = Q( g ) r ( tương ứng K ), thoả Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình ' ' Nevanlinna , đưa ra điều kiện đủ về các khơng điểm của P ,Q để f f và g và g bị chặn trong đĩa x a r ( hoặc tương ứng hằng số ) Trường hợp đặc biệt deg P = 4, ( K ) Q P xét trường hợp riêng đưa ra một số điều kiện đặc trưng cho sự tồn tại của hai hàm phân biệt khác hằng ff , g phân phân hình trong K trong K thoả mãn P ( f ) P ( g ) Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo bảo tận tình của GS TSKH TSKH Hà H Huy uy Khoái T Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và thành kính ng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy nhất đến Thầy , Thầy không chỉ hướ ng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn cịn thơng cảm tạo mọi điều kiện động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Toán , khoa sau Đại học trường đại học sư phạm Thái Nguyên , Viện toán học Việt Nam đã giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn này Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường CĐCN Việt Đức , đặc biệt là đồng nghiệp trong khoa KHCB , gia đình và bạn bè tơi đã hết sức quan tâm giúp đỡ tơi tơi thời gian học và hồn thành luận văn Trong trình viết luận văn cũng như việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hồn thiện hơn T há háii N g uyê uyênn , thá tháng ng năm 2007 Học viên Học viên Đào Thị Đào Thị Thanh Thanh Thuỷ Thuỷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1 Chƣơng 1 Kiến thức Kiến thức cơ sở 1.1.Trƣờng 1.1 Trƣờng định định chuẩn chuẩn không không Acsimet K là trường , chuẩn trên trên K K là là hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử K : K R R+ thoả mãn : i) x = 0 x = 0, ii) ii) xy = x y , x, x, y y K K , iii iii)) x y x + y , x, x, y K. K. Chuẩn được gọi là chuẩn không Acsimet nếu thoả mãn điều kiện iv) iv) x y max { x , y } , x, x, y K. K. Một chuẩn nghĩa bởi bởi K cảm sinh một hàm khoảng cách d được định d ( x, x y) , y) = x y , x, x, y Nếu chuẩn K K khơn khơng g Acsi Acsim met thì mêtri êtricc cảm sinh d thoả mãn: d ( x, x y) ,y) max {d ( x, x z ,z ) ,, d d ( z z , y)} y)} , x x,, y z ,z K K mêtric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu mêtric V í dụ 1.1.2. Xét hàm : K R+ 1 nÕu x x x = 0 nÕu x Khi đó , một chuẩn khơng Acsimet trên K trên K và và mêtric cảm sinh d : K K R+ 1 nÕu x y ( x,y) x,y) d ( x,y) x,y) = 0 nÕu x y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn một siêu mêtric Mêtric được gọi là mêtric tầm thưòng Ta xét một số đặc trưng của tơpơ sinh bởi chuẩn khơng Acsimet thơng qua hình cầu như sau: là : Với r R+ ta định nghĩa hình cầu mở ,, đóng tâm a , bán kính r là K (a;r ) = x K d ( x, x,a) < r K [a [a;r ] = x K d ( x, x,a) r đề 1.1.3 sủ K là trường định chuẩn khơng Acsimet Ta có : Mênh đề 1.1.3 Giả sủ i ) Nếu Nếu b K (a;r ) K (a;r ) = K (b;r ) ii ) Hình cầu K (a;r ) tập mở và và cũng là là tập đóng iii ) Hai hình cầu mở (hình cầu đóng ) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau nhau Trƣờng số p Trƣờng p - adic1 Với p p Z Z , , p p số ngun tố thì mọi số ngun a 0 có thể biểu biểu diễn nhất dưới dạng: ’ ’ ’ a = p a , với p p không chia hết a , a Z Z \ . Kí hiệu : = p (a) Vậy ta có hàm : p : Z \ N a Ta mở rộng hàm với x x = p (a). a Q như sau Đặt : b p (a ) p (b), nÕu x ( x) x ) = p , nÕu x Với mỗi số nguyên nguyên p p , , xét x p : Q R R + x p = p x) với = p ( x) , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó , p là một chuẩn không Acsimet Q và được gọi là chuẩn p - adic adic Mệnh đề Mệnh đề 1.2.1(Ostrowski). ). Mọi chuẩn không tầm thường Q đều trong hai chuẩn sau : tương đương với một trong 1) Chuẩn p - adic , với p số nguyên nguyên tố ; 2) Giá trị tuyệt đối thơng thường . Như vậy ta có hai hướng làm đầy trường các số hữu tỷ Q Q. + Làm đầy theo giá trị tuyệt đối thông thường ta thu được trường các số thực R R + Làm đầy theo chuẩn p p - adic ta thu được trường các số p p - adic adic Cụ thể là , có thể xây dựng Q p đầy đủ hoá của Q theo chuẩn p như sau Dãy x n được gọi dãy Cauchy theo p nếu , n0 N N sao cho m , n > n0 xm xn p Hai dãy Cauchy xn , y n được gọi tương đương nếu xn y n p Với xn là dãy Cauchy theo p , ta kí hiệu xn là tập các dãy Cauchy tương đương với xn Đặt Q p là tập tất cả các lớp tương đương theo chuẩn p Trên Q p trang bị các phép toán như sau Với xn , y n Q p , ta định nghĩa: xn + y n = xn y n ; xn yn = xn y n Ta thấy định nghĩa không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp tương đương Khi đó , Q p l làà mộ mộtt trường và trường định chuẩn vớ vớii chuẩn p Định nghĩa Định nghĩa 1.2.2 1.2.2. Với Q p và xn Q sao cho xn = thì ta xác định : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p = Chú ý lim x n p n rằng định nghĩa xác định theo tính chất sau của chuẩn p - adic Mệnh đề Mệnh đề 1.2.3 1.2.3. Q p là đầy đủ hoá của Q theo chuẩn của Q Q p theo p và tập giá trị n p , n Z 0 là trùng , là tập p Tương tự như q trình đầy đủ hố Q theo , ta nhận được một trường Q p đầy đủ nhưng khơng đóng đại số Người ta đã giải quyết vấn đề này bằng một mở rộng trường như sau Xét mở rộng chuẩn tắc Q p K K và nhóm Galois G( K / Q p ) Đặt: N K / Q p : K : K Q p N K / Q p ( ) = ( ) , G ( K / Q P ) với là tự đẳng cấu trên trên K K giữ nguyên các phần tử của Q p Chú ý rằng nếu N K / Q p ( ) = n , Q p bậc của mở rộng trường [ K K :: Q ] = n p Mệnh đề Mệnh đề 1.2.4 1.2.4. Giả sử sử K/ Q mở rộng chuẩn tắc bậc n Khi đó tồn p tại duy nhất một chuẩn khô hông ng Acsim csimeet trê K mở rộng chuẩn p - adic được xác định như sau sau : x n N K / Q p ( x) trường K K đầy đủ với chuẩn p , Đặt Q p trường đóng đại số của Q p Trên Q p ta trang bị một chuẩn không Acsimet như sau : Với mọi x x Q p , tồn tại một mở rộng chuẩn tắc bậc bậc n sao cho x cho x K K , đó : x n N ( x) K / Q p p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chuẩn x không phụ thuộc vào sự tồn tại của K K Ta có kết quả sau : Mệnh đề Mệnh đề 1.2.5 1.2.5. Hàm không Acsimet định như chuẩn nhất mở rộng chuẩn p - adic Q p Tuy nhiên, không đầy đủ theo chuẩn Ta : Q p R+ xác đầy đủ hoá Q p sau Q p theo mệnh đề sau Mệnh đề Mệnh đề 1.2.6 1.2.6. Tồn tại một trường C p với chuẩn kkhhông Acsimet sao cho: mật i) Q p trù chuẩn trên Q p ban C p chuẩn không Acsimet mở rộng của đầu; ii) C p đầy đủ với chuẩn C p một trường đóng đại số số chỉnh hình trƣờng khơng 1.3 Hàm chỉnh hình trƣờng khơng Acsimet Ta kí hiệu K trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn khơng Acsimet và có đặc số 0 Các khái niệm về dãy , về chuỗi sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như trong trường định chuẩn Acsimet Tuy nhiên với chuẩn khơng Acsimet ta có một số tính chất đặc biệt biệt sau Bổ đề Bổ đề 1.3.1 sử xn một dãy dãy K Dãy xn là dãy Cauchy 1.3.1 Giả sử nếu và chỉ nếu lim x n 1 x n = 0 n Chứng mi mi nh Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy Ta chứng minh điều kiện cần với mọi n , p N ta ta có : x n p x n = xn p xn p 1 xn p 1 xn p xn 1 xn max xn p xn p 1 , xn p 1 xn p2 , , xn1 xn max Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử kết luận trên sai , tức là hoặc f f hoặc g g không không bị chặn trong trong Kr Kr Theo mệnh đề 3.5, cả f f và g và g đều không bị chặn trong trong Kr Kr Theo mệnh đề 3.6, ta có : N ( , f ) 2.3 T ( , f ) O(1) T ( , f ) O(1) Vì f khơng bị chặn nên T Vì T ( , f ) khơng bị chặn Do đó : lim N ( , f ) lim T ( , f ) O(1) Nhưng vì vì f f A( K r ) nên N N ( , f ) = 0, suy điều trên vô lý Hệ Hệ quả 3.9 3.9. Cho P , Q K [ x] x] với P ' Q ' và deg P = deg Q = 4 Giả sử P thoả mãn Điều kiện ( F F ) tồn tại hai không điểm phân biệt cc1 , c2 của 2) P ' thoả mãn P (ci ) Q( d ) (i = , 2) với mọi không điểm d của Q ' Khii đó , nế Kh nếuu hai hàm f , g A( K r ) thoả mãn P ( f )= Q ( g ) f , g g Ab ( K r ) Chứng mi mi nh Vì P thoả mãn Điều kiện ( F ) c1 , c2 hai không điểm phân biệt của P ' nên P (c1 ) P (c2 ) Lập luận tương tự hệ quả 3.7 ta có điều phải phải chứng minh Hệ Hệ quả 3.10 3.10. Cho P , Q K [ x] x] với P ' Q ' và deg P < deg Q Giả sử sử tồn tại một không điểm c của P sao ' cho P (c ) Q(d ) với mọi không điểm d nếuu hai hàm f , g A( K r ) thoả mãn P ( f )= Q ( g ) f ,, gg của Q Khi đó , nế ' Ab ( K r ) Chứng mi mi nh Đặt p = deg deg P P , q = deg = deg Q Q và và giả sử f f hoặc g g không không bị chặn Theo mệnh đề 3.5 cả f và g g đều khơng bị chặn Theo mệnh đề 3.6 ta có: 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N ( , f ) q p T ( , f ) O(1) q Do p Do p < q suy q suy q - p > > 0 nên : lim N ( , f ) q p lim T ( , f ) O(1) q Nhưng vì f A( K r ) nên N N ( , f ) = 0, suy điều trên vô lý Hệ Hệ quả 3.11 3.11. Cho P , Q K [ x] x] với P ' Q ' và p = deg P , q = deg Q thoả mãn p q và 2 p < 3q Giả sử sử tồn tại hai không điểm c1 và c2 của P sao ' 2) với mọi không điểm d của Q ' cho P (c1 ) P (c2 ) và P (ci ) Q(d ) (i = , 2) Khii đó , nế Kh nếuu hai hàm f , g M ( K r ) thoả mãn P ( f ) = Q( g ) f , g g M b ( K r ) Chứng mi mi nh Đặt k số không (ii = , 2) P (ci ) Q ( d ) ( điểm ci ci của P ' cho P (ci ) P ( c j ) i j với mọi không điểm d của Q Vậy k Theo mệnh ' đề 3.5, nếu một trong hai hàm f hàm f và g g M u ( K r ) thì cả hai hàm đều M u ( K r ) p < < 3q 3q , ta có Vì vậy , nếu f f và g và g M u ( K r ) thì theo mệnh đề 3.6 giả thiết 2 p k = , mâu thuẫn Vậy ff , g M b ( K r ) Hệ quả Hệ quả 3.12 3.12. Cho P , Q K [ x] x] với P ' Q ' và deg P = , deg , deg Q > 3 3 Giả sử sử tồn tại hai không điểm c1 và v c 2 của P sao ' cho P (ci ) Q(d ) (i = , 2) 2) với mọi khơng điểm d của Q ' Khii đó , nế Kh nếuu hai hàm f , g M ( K r ) thoả mãn P ( f )= Q( g ) thì f , , g g M b ( K r ) Chứng mi mi nh = P ( c2 ).Vậy P P - P (c1 ) có hai khơng điểm c1 , c2 cấp 2, Giả sử P (c1) = P mâu thuẫn với giả thiết deg P = = Suy P (c1 ) P (c2 ) 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt q = deg deg Q Q và và giả sử f hoặc g g không không bị chặn trong trong Kr Kr .Theo hệ quả 3.5 cả f và g g đều khơng bị chặn trong trong Kr Kr Theo mệnh đề 3.6 , ta có : N ( , f ) 2q 3 T ( , f ) O(1) (2 )T ( , f ) O(1) q q Vì q > , nên N ( , f ) T ( , f ) O(1) ,suy điều trên vô lý x] với P 'Q ' và deg P = , 4 deg Q 3 3 Hệ quả Hệ quả 3.13 3.13. Cho P , Q K [ x] Giả sử sử P thoả mãn Điều kiện ( F) F) tồn tại hai không điểm phân biệt c1 , c2 của P ' thoả mãn 2) P (ci ) Q (d ) (i = , 2) với mọi khơng điểm d của Q ' Khii đó, nế Kh nếuu hai hàm f , g M ( K r ) thoả mãn P( f f ) = Q ( g g ) ) thì f , g M b ( K r ) Chứng mi mi nh là số khơng điểm ci ci của P ' sao cho P (c i ) P (c j ) , i j Vì c1 c2 Đặt k là và P P thoả mãn Điều kiện ( F F ) nên P (c1 ) P (c2 ) , đó k Giả sử f hoặc g g khơng không bị chặn .Theo mệnh đề 3.5, cả f và g và g đều không bị chặn Đặt q = deg deg Q Q , , deg P deg P = = , deg Q deg Q nên 2 p p < < 3q 3q , theo mệnh đề 3.6 ta có k 2 Vậy k = = Vì q 4 nên theo mệnh đề 3.6 suy k = = 1, mâu thuẫn, tức là điều giả sử trên vô lý x] với P ' Q ' và p = deg P , q = deg Q Hệ Hệ quả 3.14 3.14. Cho P , Q K [ x] thoả mãn q p ( p , q) và p < q Giả sử tồn tại hai không điểm c1 c2 của P sao ' cho P (ci ) Q(d ) (i = , 2) 2) với mọi khơng điểm d của Q ' Khii đó , nế Kh nếuu hai hàm f , g M ( K r ) thoả mãn P( P( f )= Q( Q( g ) th thìì f , , g g M b ( K r ) Chứng mi mi nh Giả sử f hoặc gg khơng bị chặn Theo mệnh đề 3.5, cả f f và g và g đều khơng bị chặn .Vì p < q nên 2 p p < < 3q , theo mệnh đề 3.6 ta có hoặc q <