PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Trong thời cấp hai khi đọc lời giải của khá nhiều bài toán đặc biệt là bất đẳng thức tôi không thể hiểu nổi tại sao lại có thể nghĩ ra nó nên hay cho rằng đấy là những lời giải không đẹp thiếu tự nhiên.Đến cấp ba khi được học những kiến thức mới tôi mới bắt đầu có tư tưởng đi sâu vào bản chất mỗi bài toán và lời giải của chúng.Như anh Hatucdao đã nói :khi gặp một bài toán thì điều quan trọng là "nhận ra đâu là kĩ thuật chính,qua đó giải thích được vi sao lại giải như vậy và cao hơn cả là vì sao lại nghĩ ra bài toán"Trong quá trình học toán với lối suy nghĩ đó tôi đã rút ra và hiểu được khá nhiều cái hay trong mỗi bài toán và lời giải của chúng.Và cũng từ đó cộng thêm một sự tổng hợp nhất định tôi đã rút ra được một phương pháp chứng minh bất đẳng thức:"Phương pháp hệ số bất định". Đây là một phương pháp khá hay và mạnh đi kèm với những lời giải đẹp,ngắn và ấn tượng. Bây giờ ta đi xét một vài ví dụ Ví dụ 1 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Nháp Nhận thấy dấu bằng xảy ra Giả sử thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là phải tìm các số thực sao cho bất đẳng thức : Đúng với mọi Giả sử tồn tại để đúng với mọi .Ta có: Đăt Vì với mọi và nên ttheo định lí Fermat ta có Với các bạn THCS chưa được học đạo hàm thì phải phát biểu nhiệm vụ trên như sau: Tìm các số thực sao cho phương trình: Có nghiệm kép . (Tương tự với những phần ở bên dưới.) Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minh : Thật vậy Vậy là số duy nhất sao cho đúng với mọi Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: Quá trình trên đã giúp ta biết rằng chỉ tồn tại duy nhất một số sao cho đúng với mọi và điều đó vượt qua cả điều ta mong muốn la chỉ cần tìm một giá trị của sao đúng với mọi .Riêng trong bài này còn có một cách xác định cực nhanh là : Nhưng đường lối này không thể tổng quát được.Để khẳng định điều đó hãy thử chứng minh bất đẳng thức: Với các số dương thỏa mãn Ở phía trên ta đã chứng minh bất đẳng thức này sau khi đã chuẩn hóa và từ ta thấy ngay rằng bất đẳng thức : Đúng với mọi số dương .Ta thấy rằng là bất đẳng thức thuần nhất con thì không nên cũng có cách khác tìm ra mà không cần chuyển về (qua chuẩn hóa). Bây giờ chúng ta phải tìm sao cho bất đẳng thức : Đúng với mọi số dương Ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức thuần nhất với điều kiện xảy ra dấu bằng nghiêm ngặt.Do đó khi áp dụng Côsi có trọng số ta sẽ tìm ra những hệ sô thích hợp với một bất đẳng thức mới xác định được một vế. Áp dụng Côsi ta có: Đồng nhất hệ số ta có: .Chú ý rằng việc áp dụng Côsi ở trên dẫn đến việc tìm các hệ số thành công có được là từ nhận xét về dấu bằng,qua đó ta áp dụng Côsi có trọng số như ở trên. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh : Thật vậy ta có: Mà: Vậy đúng hay là một bộ số sao cho đúng với mọi số dương .Theo kiểu này thì không thể khẳng định đây là bộ số duy nhất được. Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: Ví dụ 2 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Nháp Đây là một bài toán hay và khá khó với không dưới ba cách giải.Ở đây chỉ xin trình bày cách làm phù hợp với bài viết. Nhận thấy dấu bằng xảy ra Nhiệm vụ bây giờ là phải đi tìm số thực sao cho bất đẳng thức : Đúng với mọi số thực dương Giả sử tồn tại sap cho đúng với mọi số thực dương Cho thì với mọi dương ta có: Đặt Vì với mọi và nên Việc còn lại là phải chứng minh : Thật vậy: Mà : Vậy đúng tức là giá trị duy nhất sao cho đúng với mọi số dương Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: Cũng giống như bài 1 quá trình tìm này cũng đã giúp ta khẳng định chỉ có duy nhất một số thực thỏa mãn.Bây giờ ta sẽ đi theo một con đường khác có tính chất dự đoán . Áp dụng Côsi ta có: Đồng nhất hệ số ta có Nhận xét: Cách giải ở hai bài trên đã sử dụng đẳng thức: Và lúc nào phải đi tìm và lúc nào phải đi tìm thì có thể nói là nhìn thì biết ngay.Ví dụ như xét bất đẳng thức: Thì khi cố định cho thì nên bất đẳng thức không thể đúng với mọi số dương .Biểu diễn số dưới hai dạng trên giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán dạng này,nhưng liệu còn cách biểu diễn nào nữa không? Ví dụ 3 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Nháp Nhận thấy dấu bằng xảy ra Với các số thực không âm áp dụng Côsi Ta có: Từ đó chọn: Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có: Đây là một bài toán trong báo toán tuổi thơ với rất nhiều lời giải khác (không có cách này).Tôi nghĩ nếu đưa lời giải này lên đó chắc chắn sẽ có nhiều bạn THCS thắc mắc . Ví dụ 4 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Nháp Nhận thấy ở cả ba phần dấu bằng xảy ra a, Áp dụng Côsi ta có: Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: b,Ở phần này thì không thể có đoạn dùng Côsi như phần a nhưng ta cũng sẽ thiết lập một bất đẳng thức tương tự như ở phần a bằng cách tìm số thực sao cho bất đẳng thức : Đúng với mọi số dương Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số dương Cho thì với mọi dương ta có: Đặt Vì với mọi a dương và nên Ta chỉ còn phải chứng minh: Thật vậy: Vậy đúng hay là số duy nhất thỏa mãn đúng với mọi số dương Cũng như các bài trước cũng có cách dùng Côsi để dự đoán như sau.Dễ thấy vì nếu ngược lại tức thì khi cố định dương và cho thì nên không thể đúng với mọi số dương được.Với thì viết lại dưới dạng: Rồi áp dụng Côsi ta có: Đồng nhất hệ số ta có ngay Thực ra thì việc lý luận là để áp dụng Côsi với các số dương.Nhưng cái này cũng không cần thiết mà có thể áp dụng luôn như sau: Đồng nhất hệ số ta cũng có Rõ ràng với vừa tìm được thì ta đã sử dụng Côsi với số âm nhưng điều này cũng không sao vì đây chỉ là nháp Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: c,Tương tự như phần b ta dự đoán được bất đẳng thức : đúng với mọi số dương . Nhưng điều này là không đúng vì khi cho thì .Như vậy phương pháp này không hiệu quả với phần này. Tuy rằng không đúng nhưng nó vẫn có một tác dụng không hề nhỏ đó vì ta có: Cùng các đẳng thức tương tự ta có: Tức là đã quy bất đẳng thức về dạng SOS Cách giải của dạng này khá hay nhưng không thuộc phạm vi của bài viết này. Cũng từ việc không đúng với mọi số dương thì ta nghĩ ngay đến bài toán:Tìm tất cả các số thực sao cho tồn tại số thực thỏa mãn bất đẳng thức: Đúng với mọi số thực dương Đây là một bài toán không khó nhưng nó thể hiện một ý tưởng.Và với mỗi tìm được ta sẽ có được một bài toán mới. Phía trên ta đã đi xét các ví dụ là các bất đẳng thức thuần nhất .Và câu hỏi đặt ra là khi nào thì sử dụng được phương pháp này trong các bất đẳng thức thuần nhất?Bằng kinh nghiệm của bản thân thì tôi cho rằng điều kiện cần để có thể sử dụng phương pháp này với các bất đẳng thức thuần nhất là: 1,Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các biến số bằng các giá trị trong một tập hữu hạn nào đó (thường thì tập đó chỉ có một số cùng lắm là hai) 2,Bất đẳng thức là tổng của một dãy các biểu thức đối xứng nhau và tồn tại một cách chuẩn hóa để mỗi biểu thức chỉ còn phụ thuộc vào một biến số hoặc các biểu thức là hoán vị liên tiếp của nhau. Đây chỉ là điều kiện cần còn chứ còn điều kiện đủ thì tôi chỉ biết thử cho từng bài toán. Bây giờ ta đi xét ví dụ về bất đẳng thức có điều kiện. Ví dụ 5 Cho các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Nháp Nhận thấy dấu bằng xảy ra Ta có: Rõ ràng khi nhìn bài này ta có ngay tư tưởng ban đầu là phải tìm số thực sao cho bất đẳng thức: Đúng với mọi số thực Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số dương . Ta có: Đặt Vì với mọi và nên Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minh: Thật vậy: Vậy đúng hay là giá trị cần tìm. Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: Từ bài toán trên ta đi đến cách giải cho một lớp các bài toán bất đẳng thức có điều kiện dạng sau: Cho các số thực thỏa mãn : Chứng minh rằng: Vì bất đẳng thức cần chứng minh và cả biểu thức ở điều kiện của bài toán đều mang tính đối xứng với các biến nên dấu bằng thường đạt được khi các biến bằng nhau.Việc ta phải làm là tìm số thực sao cho bât đẳng thức : Đúng với mọi số thực thỏa mãn đề bài.Đây là một đường lối cơ bản để giải quyết dạng toán này.Đồng thời với các bất đẳng thức thuần nhất thì sau khi chuẩn hóa ta sẽ chuyển ngay bài toán về dạng này. Ví dụ 6 Cho các số thực không âm thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Nháp Khác với những bài toán trước là các bất đẳng thức xác định được ngay dấu bằng ,đây là một bài toán cực trị có điều kiện chưa xác định được điểm cực trị. Ta có: Bây giờ theo đường lối chung ta tìm số thực sao cho bất đẳng thức: Đúng với mọi số thực Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số thực Ta có: Đặt Ta có: với mọi .Vì nên theo định lí Rolle tồn tại cho .Xét hệ phương trình: Bây giờ ta phải chứng minh: Thật vậy : Mà ta có: Vậy đúng hay là giá trị duy nhất cần tìm. Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có: Dấu bằng xảy ra là một hoán vị của Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là Ở bài bày cũng có thể dùng Côsi như sau: Và đây cũng chính là cách trình bày lời giải này của chúng ta.Tôi đưa ví dụ này lên để thể hiện rằng không phải lúc nào khi sử dụng phương pháp này ta cũng cần phải có dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến số bằng nhau Có một điều chú ý rằng hầu hết các bài toán khi sử dụng phương pháp này đều có thể mở rộng cho biến số.Tuy vậy ở trên tôi chỉ lấy các ví dụ các bất đẳng thức có ba biến số vì tôi nghĩ nó hay nhất khi chỉ có ba biến. Hy vọng qua bài viết này các bạn đã hiểu được phần nào nội dung của phương pháp này.Sau đây là một số bài tập áp dụng (có rất nhiều trên diễn đàn) Bài 1 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Bài 2 Cho các số thực dương .Chứng minh rằng: Bài 3 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Bài 4 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Bài 5 Cho các số dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: Bài 6 Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng: Bài 7 Cho các số dương .Chứng minh rằng: Bài 8 Cho các số dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: Bài 9 Cho các số dương thỏa mãn .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Bài 10 Cho các số thực dương .Chứng minh rằng: . Phụ lục 1, Bất đẳng thức Côsi mở rộng Cho các biến số dương và các số thực dương cho trước .Khi đó đặt ta có: Dấu bằng xảy ra 2, Định lí Fermat Cho hàm số liên tục trên .Khi đó nếu hàm số đạt cực trị tại thì 3,Định lý Rolle Cho hàm số liên tục trên khoảng thỏa mãn thì tồn tại sao cho . Đúng với mọi Giả sử tồn tại để đúng với mọi .Ta có: Đăt Vì với mọi và nên ttheo định lí Fermat ta có Với các bạn THCS chưa được học đạo hàm thì phải phát. Thật vậy ta có: Mà: Vậy đúng hay là một bộ số sao cho đúng với mọi số dương .Theo kiểu này thì không thể khẳng định đây là bộ số duy nhất được. Cùng các bất