Khóa luận tốt nghiệp đại học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  -VŨ THỊ VUI [ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN  BÀI TOÁN QUỸ TÍCH  BÀI TỐN ĐỊNH LƯỢNG  BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH TĨM TẮT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI - 2012 SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên VŨ THỊ VUI SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Bùi Văn Bình với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên VŨ THỊ VUI SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài tốn quỹ tích” tốn hay gặp đề thi học sinh giỏi hay thi tuyển vào trường chuyên, trường ĐH, CĐ,…một đề tài làm say mê bao người, góp phần khơng nhỏ làm cho người học u thích mơn hình học Khơng thể phủ nhận ý nghĩa tác dụng tốn quỹ tích việc rèn luyện tư tốn học nói riêng việc rèn luyện tư linh hoạt nói chung, phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo người Đây phần kiến thức khó học sinh việc tiếp nhận kiến thức phương pháp, khó việc vận dụng kiến thức phương pháp việc giải tập Có nhiều phương pháp để giải tốn hình học phương pháp vectơ phương pháp có hiệu Nó cho ta lời giải cách xác tránh yếu tố trực quan, suy diễn phức tạp phương pháp tổng hợp phương tiện hiệu để giải tốn hình học Xuất phát từ say mê giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình em chọ đề tài: “Vectơ mặt phẳng tốn” Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức vectơ Chương Phương pháp vectơ để giải tốn quỹ tích Chương Sử dụng tích vơ hướng giải toán định lượng-định SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học tính Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng tốn thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa Giúp học sinh bước đầu thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ giải tốn, coi cơng cụ nhằm giải tốn cách có hiệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với khuôn khổ, phạm vi khóa luận, tác giả tập trung sâu tìm hiểu phương pháp vectơ để giải tốn quỹ tích sử dụng tích vơ hướng giải tốn định lượng- định tính SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 VECTƠ 1.1.1 Định nghĩa Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng Vectơ đoạn thẳng có hướng  Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B kí hiệu AB đọc “vectơ AB ” B A   Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng AA , BB ,… gọi vectơ-không 1.1.2 Hai vectơ phương, hướng Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng   Hai vectơ phương AB CD gọi hướng, chiều   từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu AB  CD SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học   Hai vectơ phương AB RS gọi ngược hướng,   chiều từ A đến B ngược với chiều từ R đến S Kí hiệu AB  RS Như vậy, hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng B A R S D C Chú ý : + Ta quy ước vectơ-không hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ-khơng hướng + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm   cuối vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB   Như vậy, vectơ AB , PQ ,… ta có:   AB  AB  BA , PQ  PQ  QP ,… Theo đó, độ dài vectơ-khơng 1.1.4 Hai vectơ Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học     Nếu hai vectơ AB CD ta viết AB  CD Chú ý: + Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương   kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu như: a , b ,…  + Mọi vectơ-không kí hiệu chung  + Khi cho trước vectơ a điểm O , ta ln tìm điểm A   cho OA  a 1.1.5 Góc hai vectơ    Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O đó, ta vẽ     vectơ OA  a OB  b Khi góc AOB với số đo từ 00 đến 1800   gọi góc hai vectơ a b     Ta kí hiệu góc hai vectơ a b là: a, b   A  a  b O B     Nếu a, b  900 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu     a  b b  a   Nhận xét :     + a, b  00  a b hướng     +  a, b   180    a b ngược hướng SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học 1.2 Các phép toán vectơ 1.2.1 Phép cộng vectơ 1.2.1.1 Định nghĩa   Cho hai vectơ a b Lấy điểm A xác định điểm      B C cho AB  a , BC  b Khi vectơ AC gọi tổng hai   vectơ a b    Kí hiệu : AC  a  b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ  a B  b C A Chú ý :    + Nếu tổng hai vectơ a b vec tơ khơng ta nói a vectơ    đối b b vectơ đối a   Vectơ đối vectơ a kí hiệu a   + Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng với vectơ a có    độ dài với vectơ a Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ 1.2.1.2 Các tính chất    Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có:     Tính chất giao hốn : a  b  b  a       Tính chất kết hợp : a  b  c  a  b  c  SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán    Khóa luận tốt nghiệp đại học     Tính chất vectơ khơng : a    a 1.2.1.3 Các quy tắc cần nhớ Từ định nghĩa tổng hai vectơ ta suy hai quy tắc sau : a Quy tắc ba điểm    Với ba điểm M , N , P ta có : MN  NP  MP M N b Quy tắc hình bình hành P    Nếu OABC hình bình hành ta có: OA  OC  OB O A B C 1.2.2 Hiệu hai vectơ 1.2.2.1 Định nghĩa      Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a  b tổng vectơ a      vectơ đối vectơ b , tức : a  b  a  b   Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ  b   a b  a  a  b SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 10 Khóa luận tốt nghiệp đại học  Nếu m  quỹ tích điểm M đường trịn tâm O bán kính 1  m với m   k   OA2  OB  OC   3  2.2.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm M cho:     MA.MB  MA.MC  a  MB  MC với a  BC Hướng dẫn:     - Gọi G trọng tâm ABC , ta có MA  MB  MC  3MG   a - Biến đổi biểu thức ban đầu dạng MG.CB  - Gọi M , G0 hình chiếu vng góc điểm M , G lên BC - Quỹ tích điểm M đường thẳng vng góc với BC M Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:     a MA  MB MA  MC         b MA  MB  CA  CB  Hướng dẫn: a - Gọi E , F theo thứ tư trung điểm AB , AC - M thuộc đường trịn đường kính EF b - Gọi I trung điểm AB   - Dựng IJ  CI - M thuộc đường thẳng qua J vng góc với AB SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 29 Khóa luận tốt nghiệp đại học Bài tập 3: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho:     MA.MC  AC MB  Bài tập 4: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: MA2  MB  k , k số cho trước Hướng dẫn: - Gọi I trung điểm AB - Gọi M hình chiếu vng góc M lên AB - Điểm M thuộc đường thẳng vng góc với AB M 2.3 Lớp toán tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức độ dài 2.3.1 Phương pháp chung Ở dạng sử dụng kết quả: 2    a  a.a  a 2.3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh 2a Tìm tập hợp điểm M cho: MA2  MB  MC  8a Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi ta có: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 30 Khóa luận tốt nghiệp đại học MA2  MB  MC  8a     MA  MB  MC  8a      MG  GA  MG  GB       MG  GC     8a       3MG  MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC  8a      3MG  3GA  8a (vì ABC nên GA  GB  GC )   3MG  ma2  8a   MG  a   MG  a Ta thấy vế phải số dương, không đổi nên M thuộc đường trịn tâm G bán kính R  a Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm G bán kính R  a Ví dụ Cho tam giác ABC có góc A nhọn trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho AB AH  AC AK  AI (trong H , K theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên AB AC ) Lời giải Từ giả thiết ta có:       AB AM  AB AM cos AB, AM  AB AM cos BAM  AB AH         AB AH  AB AH cos  AB, AH   AB AH cos    AB AH SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 31 Khóa luận tốt nghiệp đại học     Suy ra: AB AM  AB AH  AB AH Kết hợp với giả thiết ta có:           AI  AB AM  AC AM  AM AB  AC  AM AI   Gọi M hình chiếu vng góc M AI tương tự ta có:     AM AI  AM AI  AM AI Khi ta có: AI  AI AM  AM  AI  M trung điểm AI Vậy quỹ tích điểm M đoạn trung trực AI nằm góc BAC Ví dụ 3: Cho điểm cố định A , B Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:  MA2   MB  k 1 ( k số không đổi cho trước) trường hợp sau: i     ii     Lời giải i     SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 32 Khóa luận tốt nghiệp đại học M A M0 I B Gọi I trung điểm AB ta biến đổi 1 dạng:     k   MA   MB   MA  MB        MA  MB MA  MB        2 BA.MI (vì     )   k  BA.MI  2 Đặt m  k Gọi M hình chiếu vng góc M AB ta có: 2     m m  MI BA  M I BA  M I BA  M I  BA Ta thấy vế phải số không đổi, I cố định nên M xác định Vậy quỹ tích M đường thẳng vng góc với AB M ii     Gọi I điểm thỏa mãn hệ thức:     IA   IB        IB  BA   IB    SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 33 Khóa luận tốt nghiệp đại học         IB   BA    IB      AB Khi ta ln tìm điểm I ln tồn       Từ 1 ta có k   MA   MB   MI  IA   MI  IB                MI   IA   IB  2MI  IA   IB        MI   IA2   IB  MI  Đặt m   k   IA2   IB        k   IA2   IB   ta có kết luận sau:      Nếu m  quỹ tích điểm M tập rỗng  Nếu m  quỹ tích điểm M điểm điểm M  Nếu m  quỹ tích điểm M đường trịn tâm I bán kính m Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:  MA2   MB   MC  k 1 ( k số không đổi cho trước) trường hợp sau: i       ii       Lời giải i       Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 34 Khóa luận tốt nghiệp đại học      MA2  MA  MO  OA  MO  OA2  2MO.OA      MB  MB  MO  OB      MC  MC  MO  OC      MO  OB  MO.OB    MO  OC  MO.OC Thay lên 1 ta có:     k        MO2  .OA2   OB2   OC  2MO  OA   OB   OC               R  2MO  OA    OA  AB     OA  AC        2MO  OA         AB   AC      2MO   AB   AC      Dựng vectơ v   AB   AC gọi M , O0 theo thứ tự hình chiếu  vng góc M , O lên đường thẳng chứa vectơ v ta được:   k k  2MO.v  M 0O0 v  M 0O0  2v Do A , B , C cố định nên vế phải có giá trị khơng đổi O0 cố định nên M SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 35 Khóa luận tốt nghiệp đại học cố định  Vậy M thuộc đường thẳng qua M vng góc với v ii       Gọi I điểm thỏa mãn:      IA   IB   IC          IA   IA  IB   IA  AC            IA   BA   CA     BA   CA  IA          Do A , B , C cố định  ,  ,  số cho trước nên ta ln tìm I Ta biến đổi 1 dạng:    k   MA   MB   MC       MI  IA   MI  IB         MI  IC                  MI   IA   IB   IC  2MI  IA   IB   IC          MI   IA2   IB   IC  MI  Đặt m   k   IA2   IB   IC          k   IA2   IB   IC   ta có nhận xét sau:        Nếu m  quỹ tích điểm M tập rỗng  Nếu m  quỹ tích điểm M điểm I  Nếu m  quỹ tích điểm M đường trịn tâm I bán kính SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 36 Khóa luận tốt nghiệp đại học m 2.3.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a 3MA2  2MB  MC  2l b MA2  MB  MC  AB  BC Hướng dẫn: a - Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC    - Dựng vectơ v  AB  AC - Gọi M , O0 theo thứ tự hình chiếu vng góc M , O lên  đường thẳng chứa vectơ v  - M thuộc đường thẳng qua M vng góc với v Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho: AB AK  AC AH  AI với K , H hình chiếu M lên AB AC SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 37 Khóa luận tốt nghiệp đại học CHƯƠNG SỬ DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐỊNH LƯỢNG – ĐỊNH TÍNH 3.1 Phương pháp chung a, với toán định lượng, ta sử dụng kết sau:   - Gọi  góc a b , ta có:  a.b cos    a.b    - Để tính độ dài đoạn AB , ta thực hiện: AB  AB  AB AB thực  phép phân tích vectơ AB thành tổ hợp vectơ sở Lưu ý: + Việc tính góc hai đường thẳng ta quy tính góc hai vectơ phương hai đường thẳng + Việc tính góc hai mặt phẳng ta quy tính góc hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng + Việc tính góc đường thẳng mặt phẳng ta quy tính góc hai vectơ vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng b, Với tốn định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu   a  b thức tích vơ hướng, từ dẫn tới:     a / / b từ đưa lời kết luận cho toán 3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng cân A Tính góc trung tuyến BE , SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 38 Khóa luận tốt nghiệp đại học CF Giải Gọi  ( 00    900 ) góc BE CF , ta có:   BE.CF cos    BE CF 1 A E F B C Trong đó:               BE.CF  BA  AE CA  AF  BA.CA  BA.AF  AE.CA  AE.AF        AB AC  AC   AB  BA.AF  AE.CA   AB 2   AB BE  CF  AB  AE  AB   AB 4  2  3 Thay   ,  3 vào 1 , ta được: AB cos   AB Vậy góc hai đường trung tuyến BE CF  ( 00    900 ) thỏa mãn: cos  Ví dụ 2: SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 39 Khóa luận tốt nghiệp đại học Cho hình bình hành ABCD , biết với điểm M ln có: MA2  MC  MB  MD 1 Chứng minh rằng: ABCD hình chữ nhật Giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo AB BD , ta được:      MO  MA  MC  MB  MD  2 Bình phương vế   ta được:      MA  MC    MB  MD           MA  MC  2MA.MC  MB  MD  2MB.MD      MA.MC  MB.MD          MO  OA MO  OC  MO  OB MO  OD                 MO  OA  MO  OA    MO  OB  MO  OB   OA2  OB  OA  OB  AC  BD  ABCD hình chữ nhật 3.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC vuông, có cạnh huyền BC  a , M trung điểm BC ,   a biết rằng: AM BC  Tính độ dài AB AC Hướng dẫn: - Từ giả thiết, ta SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán AB  AC  a 40 (1) Khóa luận tốt nghiệp đại học - Theo định lý Pitago ta AB  AC  3a - (2) Giải phương trình (1) (2) ta độ dài AB AC Bài tập 2:   Cho hình thang vng ABCD , đường cao AB Biết rằng: AB AC  ,     CA.CB  , CB.CD  a Tính độ dài cạnh hình thang b Gọi EF đường trung bình hình thang Tính độ dài hình chiếu EF lên BD Hướng dẫn: b Gọi E1 , F1 hình chiếu E , F lên BD E1F1  Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD , biết:        AB AD  BA.BC  CB.CD  DC.DA  Chứng minh ABCD hình bình hành Hướng dẫn:     - Ta biến đổi đẳng thức dạng AB  DC AD  BC   - Từ suy ABCD hình bình hành SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 41   Khóa luận tốt nghiệp đại học KẾT LUẬN Việc sử dụng vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh số kiến thức mới, cách nhìn Tốn học Nó giúp phát triển tư toàn diện cho học sinh, tạo cho học sinh đứng trước tốn hình thành cho hướng tư đắn phù hợp để giải tốn Nhằm góp phần hồn thiện cho học sinh cách nhìn hình học nói chung vectơ nói riêng Luận văn đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng tốn thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa dạng toán bước đầu thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ, coi cơng cụ nhằm giải tốn cách có hiệu SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Tốn 42 Khóa luận tốt nghiệp đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2002), Các phương pháp giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, NXBHN Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải tốn vectơ, NXBHN Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXBGD Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2007), Hình học 10, NXBGD Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (2006), Hình học 11, NXBGD SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 43 ...   Vectơ đối vectơ a kí hiệu a   + Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng với vectơ a có    độ dài với vectơ a Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ 1.2.1.2 Các tính chất    Với ba vectơ. .. Ta quy ước vectơ- không hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ- khơng hướng + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ... thầy Bùi Văn Bình em chọ đề tài: ? ?Vectơ mặt phẳng tốn” Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức vectơ Chương Phương pháp vectơ để giải toán quỹ tích Chương Sử dụng tích vơ hướng giải toán định