TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN        NGUYỄN THỊ HẢI HƯỜNG       PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH       KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC   Chuyên nghành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THUỶ               HÀ NỘI – 2012                                                                                                                                                1  LỜI CẢM ƠN   Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo Đinh Văn Thủy  đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hồn thành khóa luận này.  Em cũng xin bày tỏ lịng cảm ơn những ý kiến đóng góp q báu của  các thầy cơ trong khoa Tốn, đặc biệt các thầy cơ trong tổ Hình Học đã góp  phần làm cho khóa luận thêm hồn thiện.  Trong q trình nghiên cứu, với sự hạn chế về mặt thời gian cũng như  về mặt kiến thức của bản thân, khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, kính  mong được sự chỉ bảo của các thầy cơ cùng những ý kiến đóng góp của các  bạn sinh viên.    Em xin chân thành cảm ơn!   Sinh viên    Nguyễn Thị Hải Hường   2  LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam  đoan  khóa luận này  hồn thành do sự cố gắng, tìm hiểu,  nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo  Đinh Văn Thủy cũng như các thầy cơ trong tổ Hình Học khoa Tốn trường  ĐHSP Hà Nội 2.  Một lần nữa tơi xin cam đoan rằng khóa luận này chưa từng được cơng  bố tại bất kì khóa luận nào khác.  Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên    Nguyễn Thị Hải Hường   3    4  MỤC LỤC Mở đầu 5  Nội dung 7  Chương 1: Cơ sở lý luận 7  §1: Bổ túc về vấn đề định hướng 7  Mặt phẳng định hướng 7  Góc định hướng giữa hai tia 7  Góc định hướng giữa hai đường thẳng 7  Định hướng trong không gian 8  §2: Đại cương về phép biến hình trong En (n=2, 3) 9  Phép biến hình và một số khái niệm liên quan 9  Phép biến hình afin 9  Phép biến hình đẳng cự 10  Phép vị tự  13  Phép đồng dạng 13  Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài tốn quỹ tích 16  §1: Bài tốn quỹ tích 16  Định nghĩa  16  Chứng minh quỹ tích 16  Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích 16  §2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài tốn quỹ tích và ví dụ 17  Phương pháp chung 17  Phát triển bài tốn quỹ tích nhờ phép đồng dạng 18  Ví dụ  18  §3: Một số bài tốn luyện tập 36  Hướng dẫn 38  Kết luận 46  Tài liệu tham khảo 47    5    MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình  học  là  một  mơn  học  có  vị  trí  quan  trọng  trong  tốn  học.  Theo  quan điểm  của  tốn học  hiện đại hình học  nghiên cứu các  tính chất của  các  hình bất biến đối với nhóm biến hình nào đó của khơng gian hình học. Học  hình  học  giúp  học  sinh  rèn  luyện  tư  duy,  nâng  cao  khả  năng  tưởng  tượng  không gian.  Tuy  vậy  trong  trường  phổ  thơng  hình  học  chưa  được quan tâm  xứng đáng với vai trị của nó.  Phép biến hình là nội dung khá quan trọng trong chương trình tốn phổ  thơng. Đây là cơng cụ khá mạnh để giải các bài tốn đồng thời cịn nâng cao,  phát  triển  năng  lực  trí tuệ  chung  cho học  sinh.  Nhưng  trên thực tế  việc  vận  dụng phép biến hình vào giải tốn trong mặt phẳng và trong khơng gian học  sinh mới chỉ làm quen bước đầu.  Với mục đích làm sáng tỏ hơn việc vận dụng phép biến hình trong việc  giải tốn tơi chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn quỹ tích ” Mục đích nghiên cứu Nghiên  cứu  phép  đồng  dạng  trong  phẳng  và  trong  không  gian.  Ứng  dụng giải bài tốn quỹ tích trong phẳng và trong khơng gian.  Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Phép đồng dạng, bài tốn quỹ tích.  Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 và trong E3.  Nhiệm vụ Trình bày cơ sở lý thuyết.  Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép đồng dạng.    6  Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập về ứng dụng phép đồng dạng giải  bài bài tốn quỹ tích.  Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và tài liệu có liên quan.  Tổng kết từ kinh nghiệm giải tốn.    7  NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN §1: BỔ TÚC VỀ VẤN ĐỀ ĐỊNH HƯỚNG  Mặt phẳng định hướng Định nghĩa Xung  quanh  mỗi  điểm  của  mặt  phẳng  có  hai  chiều  quay:  Chiều  kim  đồng hồ và chiều ngược lại. Nếu gọi một trong hai chiều đó là chiều thuận thì  chiều kia sẽ là chiều nghịch, và như thế ta nói rằng mặt phẳng đã được định  hướng. Thơng thường người ta gọi chiều ngược kim đồng hồ là chiều thuận.  Góc định hướng hai tia Định nghĩa Trong  mặt  phẳng  định  hướng  cho  hai  tia  Ox  và  Oy,  góc  định  hướng  giữa hai tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được ký hiệu là (Ox, Oy) là góc thu được  khi quay Ox xung quanh O tới trùng với Oy.  Hệ thức Chales Nếu trong mặt phẳng định hướng cho các tia OA1,…, OAn. Khi đó:  (OA1, OA2) + (OA2, OA3) +…+ (OAn-1, OAn) = (OA1, OAn) + K2Π  K Z  Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa Trong  mặt  phẳng được  định hướng, cho hai đường  thẳng  a và b. Nếu  a∩b = {O} thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: Góc  định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữa hai tia ai và bi  (i=1, 2). Kí hiệu: ( a, b )     8  a1 b2 O b1 a2   Hệ thức Chales: Trong  mặt  phẳng  định  hướng  cho  các  đường  thẳng  a1,  a2,  …,  an.  Khi  đó:  ( a1 , a2 ) + ( a2 , a3 ) +… + ( an1 , an ) = ( a1 , an ) + KΠ  ,   K Z  Định hướng không gian a) Không gian định hướng theo trục Trong  không  gian  cho  trục  a.  Khi  đó  xung  quanh  trục  a  có  hai  chiều  quay.  Đặt  vặn  nút  chai  theo trục  a  sao  cho  mũi  của  vặn nút  chai  chỉ  hướng  dương. Chiều quay của vặn nút chai tiến theo chiều dương của a được gọi là  chiều dương của khơng gian cịn chiều ngược lại gọi là chiều âm của khơng  gian. Khi đó khơng gian được gọi là định hướng theo trục a.  b) Nhị diện định hướng Cho nhị diện [α, a, β]. Nhị diện định hướng có diện đầu α, diện cuối β,  [ a ,  ] là nhị diện thu được khi quay diện đầu α quanh a tới trùng diện cuối β.  c) Định hướng góc tam diện Cho góc tam diện O.ABC đỉnh O. Nếu nhìn từ O chiều quay từ A đến  B, từ B đến C là ngược chiều kim đồng hồ thì ta nói góc tam diện O.ABC có  hướng dương, ngược lại được gọi là góc tam diện có hướng âm.        9  §2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG En (n=2, 3) Phép biến hình số khái niệm liên quan Định nghĩa Một song ánh từ khơng gian En vào chính nó là một phép biến hình của En.  Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f: En  En. Khi đó ánh xạ ngược f-1  của f cũng là  một song ánh nên cũng là một phép biến hình của En. Ta gọi phép biến hình  đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f.  Phép biến hình tích Cho f và g là hai phép biến hình của En. Dễ thấy ánh xạ tích của f và g  cũng là  một song ánh của En  nên nó cũng là một phép biến hình của En. Ta  gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g.  Phép biến hình đối hợp Phép biến hình f : En  En được gọi là phép biến hình đối hợp nếu  f2 =  IdEn   Điểm bất động, hình kép, hình bất động phép biến hình Cho phép biến hình f: En  En ta có:  Điểm  MEn  được  gọi  là  điểm  bất  động  của  phép  biến  hình  f  nếu  f(M)=M.  Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H)= H.  Hình  H  được  gọi  là  hình  bất  động  đối  với  phép  biến  hình  f  nếu  mọi  điểm của hình H đều bất động đối với f.  Phép biến hình afin a) Định nghĩa Phép biến hình của khơng gian En biến đường thẳng thành đường thẳng  được gọi là phép biến hình afin (gọi tắt là phép afin).    10  Gọi  M  và  M’  theo  thứ  tự  là  trung  điểm  BC  và  B’C’  ta  có  MM’//BB’//CC’   MM’//AA’  Trong mặt phẳng xác định bởi AA’ và MM’  Gọi I là giao điểm của AM và A’M’.  Khi đó I cũng là giao điểm của AM và a. G là trọng tâm của ∆ABC.    GM G ' M '        GA G ' A ' GG’//AA’    IG ' IG        (hằng số)  IA ' IA Vậy xét :  VI : A '  G '   Bây giờ ta đi tìm quỹ tích điểm A.  C A B A' A1 C a B' C1 B1   Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu vng góc của A, B, C trên a.  Ta có : AA’//BB’//CC’   Góc giữa AA’, BB’, CC’ và mặt phẳng (a) là bằng nhau.  Vậy  AA ' A1  BB ' B1  CC ' C1    ∆AA’A1 ~ ∆BB’B1 ~ ∆CC’C1    34   AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC '    (1)   AA1 BB1 CC1 AA1  BB1  CC Do A, B, C và (a) cố định nên AA1+BB1+CC1=h - hằng số (*).  Từ (1) và (2)   AA ' k   - hằng số  AA1 h  AA '  k AA   h Xét trên mặt phẳng (a)  A1 A '  AA '2  AA12  AA12 ( k2  AA1 1 h k2  1) h2   Vậy quỹ tích điểm A là đường trịn tâm A bán kính  AA1 k2 1   h2 Theo trên  VI : A '  G '   Vậy quỹ tích điểm  G’  là vịng trịn (C) có bán kính   AA1 k2 1   với  h2  IG IA     và tâm A2 :  VI : A1  A2   Ví dụ 10 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng ABCD cạnh bên SA vng góc với (ABCD) M điểm thuộc đường tròn nội tiếp tam giác SBC Gọi N giao điểm mặt phẳng qua M vng góc với BC M’ điểm thuộc ABCD cho tam giác MNM’ cân N Tìm quỹ tích trung điểm AM’ M di động đường tròn nội tiếp tam giác SBC.    35  Lời giải  S M A B I N M' D C   Theo cách dựng M, N ta có : MNBC  MN//SB  M’NBC  M’N//AB   (NM, NM’)=(BS, BA)=a  Mà MN=M’N  a Vậy  QBC : M  M ' (1)   Theo giả thiết I là trung điểm của AM’  Vậy  VA2 : M '  I (2)   a Từ (1) và (2) ta có  VA2 QBC :M  I   Vậy  I  di  chuyển  trên  (O’)  là  ảnh  của  (O)  qua  phép  đồng  dạng  Z a  VA2 QBC       36  §3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1:  Cho  một điểm  M chuyển  động  trên  nửa vịng trịn  đường kính  AB. Dựng ra ngồi ∆AMB một hình vng MBCD. Tìm quỹ tích điểm D.  Bài 2: Cho một đường thẳng d và một điểm A cố định khơng thuộc d.  Với  mỗi  điểm B   d, ta  dựng  tam giác  ABC  vng  cân tại B.  Tìm  tập hợp  điểm C khi B thay đổi.  Bài 3: Tam giác ABC biến đổi ln ln đồng dạng và cùng hướng với  chính nó sao cho trực tâm K cố định và đỉnh A di động trên đường thẳng d đã  cho. Tìm quỹ tích các điểm B, C Bài 4: Cho đường trịn (O, R) và điểm A cố định khơng nằm trên (O).  Với  mỗi  điểm  B  thuộc  đường  tròn  ta  dựng  điểm  C  sao  cho  tam  giác ABC  vng cân tại B. Tìm tập hợp các điểm C khi B thay đổi trên (O).  Bài 5: Lục giác đều ABCDEG biến đổi sao cho điểm A cố định, điểm  B di động trên đường trịn (O, R) đã cho và  hướng của lục giác khơng thay  đổi. Tìm tập hợp điểm C, D, E và G khi B di động trên đường trịn (O, R).  Bài 6: Cho đường trịn (O) và tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn,  có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và  dựng hình bình hành GBCF. Tìm tập hợp điểm F khi A biến thiên trên đường  trịn (O).  Bài 7:  Cho  đường  trịn  (O)  và  một  đường  thẳng  d.  Với  mỗi  điểm  A  thuộc (O) và điểm B thuộc d ta dựng tam giác vuông cân ABC (  A = 1v ).  Tìm tập hợp điểm C khi các đỉnh A và B cùng thay đổi.  Bài 8:  Một  hình  vng  ABCD  có  đỉnh  D  cố  định  và  đỉnh  A  chuyển  động trên một đường () khơng đi qua D. Tìm quỹ tích các điểm B, C và tâm  O hình vng ABCD trong các trường hợp sau đây:  a) () là một đường thẳng.  b) () là một đường tròn (S, R).    37  Bài 9:  Một điểm P  chuyển  động trên đường  thẳng  chứa  cạnh BC của  một tam giác ABC khơng vng đã cho. Các đường thẳng đi qua P vng góc  với AC và AB theo thứ tự cắt các đường thẳng AB và AC ở M và N. Tìm quỹ  tích của điểm Q đối xứng với P qua trung điểm của MN.  Bài 10: Cho  S(I,  R)  và điểm O cố định sao  cho  OI=2R. Một điểm  N  chuyển động trên S, phân giác  NIO  cắt ON tại M. Tìm quỹ tích điểm M.  Bài 11: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, một đường trịn (O) thay  đổi  qua  A  không  tiếp  xúc  với  các  đường  thẳng  AB,  AC  và  có  tâm  chuyển  động trên  BC.  Đường trịn này  cắt AB, AC lần lượt tại  M, N. Tìm quỹ tích  trực tâm H của tam giác AMN.  Bài 12: Cho ba tia Ox, Oy, Oz và một đường thẳng d. A, B, C lần lượt  là  ba  điểm  trên  ba  tia  Ox,  Oy,  Oz  thay  đổi  sao  cho  mặt  phẳng  (ABC)  luôn  vng góc với d. Tìm tập hợp:  a) Trọng tâm G của tam giác ABC.  b) Trực tâm H của tam giác ABC.  Bài 13: Cho đường trịn (O) và một đường thẳng d vng góc với mặt  phẳng  chứa  đường trịn tại  A,  vng  góc  với  OA  và  M  là  một  điểm  trên  d.  Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MBC khi:  a) BC cố định, M di động trên d.  b) M cố định, BC di động và ln vng góc với OA.          38  HƯỚNG DẪN Bài 1:  Do  BD   và  MBD  450  ta xét phép đồng dạng  BM Z(B,  2,  ) : M   D  Mặt khác do M chạy trên nửa đường trịn đường kính AB nên D chạy  trên nửa đường trịn đường kính BA’ đồng dạng với nửa đường trịn đã cho.  Bài 2: Xét phép đồng dạng Z(A,  2, 450 ) : B    C  Do B chạy trên đường thẳng d nên C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh  của đường thẳng d qua phép đồng dạng  Z(A,  2, 450 ).  Bài 3:  d' B' d B A a A' K C D d'' C'   Gọi A’B’C’ là một vị trí của tam giác ABC khi A’K  d    39  Đặt a= A ' KB '  và  k  KB'   KA' Khi đó xét phép đồng dạng : Z(K, k, -a): A’    B’  Do d đi qua A’ và d  KA’ nên ảnh d’ của d phải qua B’ và vng góc  với KB’.  Lại có ∆ABC ~∆A’B’C’ suy ra  AKB  A ' KB '  a KB KB '  k  KA KA ' Hơn nữa hai tam giác đó cùng hướng nên : Z(K, k, -a) : A    B  Mà tập hợp các điểm A là đường thẳng d nên tập hợp điểm B là đường  thẳng d’.  Chứng minh tương tự ta có tập hợp các điểm C là đường thẳng d’’ với  d’’ là đường thẳng đi qua C’ và vng góc với KC’.  Bài 4: A O" C' O C B O' Ta có  AC  2  AB Xét phép đồng dạng Z(A,  , 450) và Z(A,  , -450)    40  Khi đó điểm C là ảnh của B qua phép đồng dạng  Z(A,  , 450) hoặc  Z(A,  , -450).  Gọi  (O’)  là  ảnh  của  (O)  qua  phép  đồng  dạng  Z(A,  ,  450)  và  gọi  (O’’) là ảnh của (O) qua phép đồng dạng Z(A,  , -450).  Khi điểm B di động trên (O) thì tập hợp điểm C là hai đường trịn (O’)  và (O”) thứ tự là ảnh của (O) qua các phép đồng dạng Z(A,  , 450) và Z(A,  , -450).  Bài 5:  Do ABCDEG là lục giác đều nên  BAC  300  và  AC  AB   Xét Z = Z(A,  3,  300 ) : B   C  O   O1  ∆AOO1 ~ ∆ABC và cùng hướng và Z(OB)=O1C hay  O1C  3OB  3R   Vậy tập hợp các điểm C là đường tròn (O,  3R )  Tương tự     Z(A, 2, -600) : (O, R)   (O2, 2R), B   D  Z(A,  , -900) : (O, R)    (O3,  R), B    E  Z(A, 1, -1200) : (O, R)   (O4, R), B    G  Vậy tập hợp các điểm C, D, G lần lượt là các đường tròn  (O2, 2R), (O3,  R), (O4, R)  Bài 6: A H F G O C B O' O1   41  Gọi H là trực tâm tam giác ABC    Khi đó  OH  3OG    G  VO3 ( H )   Mà quỹ tích điểm H là đường trịn (O1) đối xứng (O) qua BC    BGFC là hình bình hành   BC  GF    F  T (G ) BC F    TBCVO ( H )  Vậy  quỹ  tích  F  là  ảnh  của  đường  trịn  (O)  qua  phép  đồng  dạng   Z= T V 3S   BC O BC Bài 7: d' d B A O C O'   Xem B là điểm cố định  Xét phép đồng dạng  Z  Z ( B, 450 , 2)  : A   C   Đường tròn (O) biến thành đường tròn (O’) chứa C    42  Tam giác BOO’ vng cân tại O   QO90 : B  O '   đường thẳng d  biến thành đường thẳng d’ vng góc với d tại O’  Khi B thay đổi trên d thì O’ thay đổi trên d’.  Vậy tập hợp điểm C là hợp các đường trịn tâm (O’) với tâm O’ thuộc  đường thẳng d’.  Bài 8:  Giả  sử  hình  vng  ABCD  có  hướng  thuận.  Thế  thì  Z ( D,  , 2) : A  B     QD2 : A  C  và  VD2 : B  O   a) Gọi H là hình chiếu của D trên A rồi dựng hình vng DHH’K  có hướng thuận. Thế thì ta được tập hợp điểm B là đường thẳng b vng góc  với  DH’  ở  H’;  Tập  hợp điểm  C  là đường  thẳng  c  vng  góc với  DK tại  K;  Tập hợp điểm O là đường trịn đường kính HK.  b) Dựng  hình  vng  DSS1S2  có  hướng  thuận  (cùng  hướng  với  ABCD)  Gọi  I  là  trung  điểm  của  DS1.  Khi  đó  quỹ  tích  điểm  B  là  đường  trịn  ( S , R 2) ;  Quỹ  tích  của  C  là  đường  trịn  ( S2 , R 2)   và  quỹ  tích  của  O  là  đường tròn  ( I , R )   Bài 9: Chứng minh P là trực tâm của ∆AMN và do đó, Q là điểm xun tâm  đối với điểm A trên đường trịn (O) ngoại tiếp ∆AMN.  Quỹ  tích  của  Q là  đường  thẳng  q,  nhận được  từ đường  thẳng  a=(BC)  bởi phép vị tự - đối xứng  Z(A, ∆=Ap, k), trong đó Ap là phân góc  BAC  và  k     cos A 43  Bài 10:  O I M N t   Dựa vào tính chất đường phân giác  Z ( A, k , ):M  I   MO IO     MN IM VO2 :(O)  (O ')   Quỹ tích điểm M là (O’) với  VO2 :(O)  (O ')   Bài 11: A H B O N C M D     44  Dễ thấy  A  900  thì HA với mọi (O)  Xét khi A nhọn  Ta gọi D là điểm xun tâm đối của A trên (O). Thế thì  M, N theo thứ  tự chính là hình chiếu vng góc của D trên [AC], [AB]  ∆AHM’ ~ ∆ADM   MAD  HAM '   AH AM '    cos BAC  k AD AM Vậy Z(A, pA, K) : O    H , pA là phân giác góc A  Bài 12: O B0 G0 A0 C0 B G A x C z y a) Gọi A0, B0, C0 lần lượt là ba điểm cố định thuộc Ox, Oy, Oz sao cho  mặt phẳng (A0B0C0) thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Gọi A, B, C lần lượt là ba điểm di động thuộc Ox, Oy, Oz sao cho mặt  phẳng (ABC) thỏa mãn yêu cầu bài toán.  Dễ thấy (A0B0C0)//(ABC)  Tồn tại một số k (k  0) sao cho  OA0 OB0 OC0   k  OA OB OC VOk : A  A0 ; B  B0 ; C  C0     45  VOk :  ∆ABC     ∆A0B0C0;  G     G0  (G,  G0  lần  lượt  là  trọng  tâm  tam  giác ABC và tam giác A0B0C0)  Vậy quỹ tích điểm G thuộc tia OG0  b) Tương tự a) quỹ tích trực tâm H thuộc tia OH0 với H0 là trực tâm của  tam giác A0B0C0.  Bài 13: d M A C I B O   a)   VI3 : M  G   Ta có (MHO)  BC  60 QBC : G  G0   Vậy  quỹ  tích  điểm  G  là  d’  với  d’  là  ảnh  của  d  qua  phép  đồng  dạng  60 QBC VI3   b)   VI3 :I G  Gọi A’ là điểm xuyên tâm đối của A  Ta kết luận khi I di động trên [AA’] trừ hai điểm A, A’ thì G di động  trên [MM’] trừ hai điểm M, M’ với M’ là ảnh của A’ qua phép vị tự  VI3     46  KẾT LUẬN Bài tốn quỹ tích là bài tốn khó đối với học sinh phổ thơng. Phép biến  hình là cơng cụ khá hữu ích để giải lớp bài tốn này. Nó khơng những giúp  học  sinh  có  được  lời  giải  đẹp  mà  cịn  cho  học  sinh  thấy  được  mối  quan  hệ  giữa các hình nhờ ánh xạ 1-1. Nhờ đó mà phát triển tư duy cho học sinh.  Nhằm góp phần đạt được mục tiêu trên, khóa luận đã đưa ra hệ thống lí  thuyết  và  các  ví  dụ  minh  họa  nhằm  làm  cho  người  đọc  thấy  được  phương  pháp tư duy để giải bài tốn quỹ tích nhờ phép đồng dạng, cách trình bày lời  giải,  sáng tạo bài  tốn  để từ  đó  thấy  được  tính  ưu việt  của  phép  đồng dạng  trong bài tốn quỹ tích.  Do là một sinh viên mới bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học,  cịn  nhiều  hạn  chế  về  thời  gian  và  khả  năng  nên  chắc  chắn  luận  văn  khơng  tránh khỏi thiếu sót. Tơi kính mong thầy cơ cùng các bạn sinh viên đóng góp,  trao đổi ý kiến để luận văn hồn thiện hơn.  Qua đây tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới q thầy  Đinh Văn Thủy, người hướng dẫn và chỉ bảo tận tình tơi nghiên cứu đề tài  này. Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn tới q thầy cơ trong tổ Hình học  đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn.                    47  TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Thanh Sơn  Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông (phép biến hình phẳng) – NXBGD – 2005  Đỗ Thanh Sơn  Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng (phép biến hình khơng gian) – NXBGD – 2005  Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn  Giáo trình hình học sơ cấp tập 1 – ĐHSPHN 2 – 1993  Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn  Giáo trình hình học sơ cấp tập 2 – ĐHSPHN 2 – 1993  Bùi Văn Bình  Bài tập hình học sơ cấp tập 2 – ĐHSPHN 2 – 1993  Nguyễn Mộng Hy  Các phép biến hình mặt phẳng – NXBGD – 1996        48  ... Giới hạn? ?quỹ? ?tích? ?và biện? ?luận? ?quỹ? ?tích 16  §2: Ứng dụng? ?phép? ?đồng? ?dạng? ?để giải? ?bài? ?tốn? ?quỹ? ?tích? ?và ví dụ 17  Phương pháp chung 17  Phát triển? ?bài? ?tốn? ?quỹ? ?tích? ?nhờ? ?phép? ?đồng? ?dạng. .. Trong E2,? ?tích? ?của? ?một? ?phép? ?vị tự và một? ?phép? ?dời hình là? ?phép? ?đồng? ? dạng? ?thuận.  Tích? ? của? ? một  phép? ?vị  tự  và  một  phép? ?phản  chiếu  là  phép? ? đồng? ? dạng? ?nghịch.  Định lý Trong E3, một? ?phép? ?đồng? ?dạng? ?Zk đều có thể phân? ?tích? ?thành? ?tích? ?của? ?... hoặc là? ?tích? ?giao hốn được? ?của? ?một? ?phép? ?vị tự và một? ?phép? ?quay quanh trục.                            16  CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH §1: BÀI TỐN QUỸ TÍCH Định nghĩa Bài? ?tốn? ?quỹ? ?tích? ?là? ?bài? ?tốn tìm  một tập hợp những điểm (cịn gọi là