Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội dạy dỗ bảo tận tình thầy cô, em tiếp thu nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy, khoa Tốn – người ln chăm lo, dìu dắt chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, người tận tình hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Phạm Thị Kim Anh Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Kim Anh Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Chương I: Một số kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.1.1 Ánh xạ 1.1.2 Không gian Metric 1.1.3 Không gian định chuẩn 1.1.4 Không gian Hilbert 1.1.5 Điều kiện Lipschits 1.1.6 Không gian Ca;b 1.1.7 Không gian £ p  a; b  1.2 Tổng quan phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 11 1.2.1 Phương trình tốn tử 1.2.2 Phương trình tích phân Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2.1 Phương pháp ánh xạ co 14 2.1.1 Ánh xạ co 2.1.2 Phương pháp giải 2.2 Phương pháp cầu phương 21 Chương III: Một số ví dụ ứng dụng 3.1 Phương pháp ánh xạ co 25 3.2 Phương pháp cầu phương 33 3.3 Ứng dụng giải số lập trình Maple 12 40 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán 3.3.1 Phương pháp ánh xạ co 3.3.2 Phương pháp cầu phương Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Tốn LỜI NĨI ĐẦU Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn, toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp nhiều tốn có liên quan đến việc giải phương trình tích phân Nó xem cơng cụ tốn học có ứng dụng rộng rãi khơng tốn học mà cịn nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với điều kiện biên xác định để giải số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền, ….Vì việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trị quan trọng lý thuyết tốn học Được hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh với lòng say mê nghiên cứu khoa học, sinh viên sư phạm chuyên ngành toán, em mạnh dạn chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: “ Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại ” Có nhiều phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu cịn nên khn khổ khóa luận em xin bày tỏ số vấn đề sau: Chương I: Một số kiến thức sở Chương gồm số kiến thức ánh xạ, không gian ( Metric, Banach, không gian định chuẩn,….), điều kiện Lipschits, tổng quan phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Trong chương em tập trung vào hai phương pháp là: Phương pháp ánh xạ co phương pháp cầu phương vào giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Chương III: Một số ví dụ ứng dụng Trong chương em trình bày số ví dụ minh họa áp dụng hai phương pháp số tập áp dụng để bạn đọc tìm hiểu thêm Mặc dù cố gắng lần đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn sinh viên để em thực thành cơng khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu đề tài mức độ sâu Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Kim Anh Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán Chương I Một số kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa1.1 Cho hai tập hợp khác rỗng  Y Gọi ánh xạ từ tập  đến tập Y quy tắc từ tập  đến tập Y cho với x   có phần tử y  Y tương ứng, thường kí hiệu là: f : Y x y Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f từ  vào Y Nếu ánh xạ g từ Y vào  cho gf  1X fg  1Y g gọi ánh xạ ngược f f 1 1 Ta có:  f 1   f 1.1.2 Khơng gian Metric Định nghĩa 1.3 Ta gọi không gian Metric tập hợp    với ánh xạ d từ tích Descartes   vào tập hợp số thực tiên đề sau: M1:  x, y    d  x , y   , d  x, y    x  y ( tiên đề đồng nhất) M2:  x, y    d  x, y   d  y , x  ( tiên đề đối xứng) M3:  x, y, z    d  x, y   d  x , z   d  z , y  ( tiên đề tam giác) M1, M2,M3 gọi hệ tiên đề Metric Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại thỏa mãn Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán Ánh xạ d gọi Metric  , số d  x, y  gọi khoảng cách hai phần tử x y Không gian Metric thường kí hiệu là:  ,d     ,d  Định nghĩa 1.4 Cho không gian Metric    ,d  Dãy điểm   xn n1   gọi dãy nếu: Với   , n0 không âm cho với m, n  n0 Ta có: d  xn , xm    lim  xn , xm   hay n m Định nghĩa1.5 Cho không gian Metric    ,d  gọi không gian đầy (hay đủ) dãy không gian  hội tụ không gian  1.1.3 Không gian định chuẩn Định nghĩa1.6 Cho khơng gian tuyến tính  xác định trường  (    ) Ta gọi  không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn )nếu khơng gian tuyến tính  với ánh xạ từ  vào tập số thực , kí hiệu , đọc chuẩn thỏa mãn tiên đề sau: 1)  x    x 0, x   x   (  kí hiệu phần tử khơng) 2)  x    ,      3)  x, y    x    x x y  x  y Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Số x gọi chuẩn ( hay độ dài ) vectơ x   , khơng gian định chuẩn  kí hiệu  ,  Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Tốn Định lý 1.1 Giả sử  khơng gian định chuẩn Với x, y   ,đặt: d  x, y   x  y Khi đó, d Metric  Định nghĩa 1.7 Dãy  xn  không gian định chuẩn  gọi hội tụ đến x0   lim xn  x0  n Khi đó, ta kí hiệu: lim xn  x0 xn  x0 n   n Định nghĩa  xn  , n  1;2; 1.8 Trong không gian định chuẩn  , dãy gọi dãy Cauchy ( dãy ) với   , tồn số n0    cho m, n  n0    ta có: un  um   hay lim xn  xm  n m Mệnh đề: Trong không gian định chuẩn dãy hội tụ dãy Cauchy Định nghĩa1.9 Giả sử không gian định chuẩn  không gian Metric đầy đủ ( với khoảng cách d  x, y   x  y ) Khi  gọi khơng gian định chuẩn đầy đủ, hay cịn gọi không gian Banach Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn  trường  gọi không gian Banach dãy không gian hội tụ Định nghĩa 1.11 Cho hai không gian tuyến tính  Y trường  Ánh xạ  từ không gian  vào không gian Y gọi tuyến tính  thỏa mãn: 1)   x  y   x  y , với x, y   2)   x   x , với x  ,  Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán  gọi tốn tử tuyến tính Khi đó,  thỏa mãn 1)  gọi tốn tử cộng tính,  thỏa mãn 2)  gọi toán tử Khi Y   tốn tử tuyến tính  gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa1.12 Cho khơng gian định chuẩn  Y Tốn tử tuyến tính  từ không gian  vào không gian Y gọi bị chặn tồn số c  cho: x  c x , với x   Định nghĩa1.13 Cho hai không gian định chuẩn  Y Kí hiệu £  , Y  tập tất toán tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian  vào khơng gian Y Ta đưa vào £  , Y  hai phép toán:  Tổng hai toán tử ,  £  ,Y  tốn tử, kí hiệu    , xác định biểu thức:      x   x  x ,  với x   Tích vô hướng   (     ) với toán tử  £  ,Y  tốn tử kí hiệu  , xác định biểu thức:   x     x  Dễ kiểm tra   £  ,Y  ,   £  ,Y  hai phép toán thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập £  , Y  trở thành khơng gian tuyến tính trường  Định lý 1.2 Nếu Y khơng gian Banach £  , Y  khơng gian Banach Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán t 4) x  t     t  s  x  s  ds 20  5) x  t     cos  t  s  x  s  ds  3.2 Phương pháp cầu phương 3.2.1 Ví dụ Giải phương trình: x  t    tets x  s  ds  f  t  (1) Áp dụng công thức Simpson với 2n  Lời giải: Ta có: 2n   n  ,  a; b   0;1 , h  b  a 1   2n 4 s0  Do đó, si  s0  ih  s1  , i  0;1;2;3;4 s2  , s3  , s4  Khi đó, tích phân    tets x  s  ds tính gần theo cơng thức Simpson là: 1 t t t   t    te x  s  ds   t  e  x0   t  e  x1   t  e  x2   t  e  x3  t  et  x4  12   ts t t t  1   t  x0   t  e  x1   t  e  x2   t  e  x3  t  et  x4  12   Với xi  x  ti  , i  0;1;2;3;4 Vậy (1) viết dạng: Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán t t t  1 4 x  t    t  x0   t  e  x1   t  e  x2   t  e  x3  t  et  x4   et 12   Có 0  4  Với t  ti 4h 1 2h 1 ; 1  3    ; 2    12 3 3  i  0;1;2;3;4  ta có hệ: 0   1 4 x  x  4.0 e x  2.0 e x  4.0 e x3  0.e0 x4   e0   12     1 1    x1   x0  e16 x1  e x2  e x3  e x4   e  12  4   1 1 12  12   x2   x0  2.e x1  e x2  2.e x3  e x4   e 12  2    3    x3   x0  3.e16 x1  e x2  3.e16 x3  e x4   e  12  4   1  1  4 x  x  e x  e x  e x  e x  e 4  12     x0  1,0887.x  0,0472.x  0,1005.x  0,0268.x  1,2632   0,1889.x1  1,107.x2  0,3246.x3  0,0687.x4  1,6071 0,3016.x  0,1819.x  1,6796.x  0,1323.x  2,0545   x4  0,1847.x1  0,224.x2  0,5753.x3  2,1483  x0  1,0838.x  0,0412.x  0,0851.x  1,2056   0,1762.x1  1,0916.x2  0,2851.x3  1,4595 0,2772.x  0,1523.x  1,6008.x  1,7703   x4  0,1847.x1  0,224.x2  0,5753.x3  2,1483 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán  x0   x  1,0101    x2  0,9546  x  0,8402   x4  1,2645 Vậy nghiệm (1) x  t   Nghiệm gần (1) là: x  t   et  t t t  1 4 t  4,0404 t e  1,9092 t e  3,3608 t e  1,2645.t.et   12   x  t   et  t t t  t  4  4,0404 e  1,9092 e  3,3608 e  1,2645.et   12   3.2.2 Ví dụ Giải phương trình: x  t    t s x  s  ds  1 t 10 10 (2) Áp dụng cơng thức hình thang với n  Lời giải: Ta có: n  ,  a; b   0;1 , h  Do đó, b  a 1   n 4 s0  si  s0  ih i  0;1;2;3;4 1  s1  , s2  , s3  , s4  4 Khi đó, tích phân    t s x  s  ds theo cơng thức hình thang là:    t s x  s ds  t2  1   0.x0    x1    x2   x3  x4  24  16 16  Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán    t   x1   x2   x3   x4  16 64  64  Vậy (2) viết dạng: 1   x  t   t   x1   x2   x3   x4     t  16 64 10 10  64  Với t  ti , xi  x  ti  , i  0;1;2;3;4 ta có:  1    x0    64  x1  16  x2  64  x3   x4    10   10     1 1 1    x1       x1   x2   x3   x4      16 64 10 10    64    1 1  1    x2       x1   x2   x3   x4      16 64 10 10    64    3  1 1   x3       x1   x2   x3   x4      16 64 10 10     64   1 1  x4  12    x1   x2   x3   x4      16 64 10 10   64    x  0,1   1 1 1   x1  16  64  x1  16  x2  64  x3   x4        1 1    x2    x1   x2   x3   x4     64 16 64 20    9 1   x3    x1   x2   x3   x4    16  64 16 64 40    1    x4    x1   x2   x3   x4    16 64  64   Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán   x0  0,1  x    x   x   x   x     16  64 16 64   1 1     x2    x1   x2   x3   x4     64 16 64 20    9 1   x3    x1   x2   x3   x4    16  64 16 64 40   9 1  x4    x1   x2   x3  64 16 64 8   x0  0,1   x    x   x   x    89  16  72 18  720  1 1 13     x2    x1   x2   x3     72 18 90    9 1 13   x3    x1   x2   x3    16  72 18 80   1 1  x1   x2   x3   x4   576 144 576 45 8  x0  0,1  x  0,121    x2  0,137  x  0,148   x4  0,149 Vậy nghiệm (2) là: x  t   0,1 Nghiệm gần (2) là: 1   x  t   t    0,121    0,137     0,148     0,149     t  16 64 10  64  10 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán x  t   t   0,0499   0,1  t  0,1 x  t   0,0499  t  0,1  t  0.1 3.2.3 Ví dụ Giải phương trình: x  t    t 1  ets  x  s  ds  et  t (3) Áp dụng công thức Simpson với 2n  Lời giải:  a; b  0;1 , Ta có: 2n   n  1, Do đó, h b  a 1   2n 2 s0  si  s0  ih  s1  , i  0;1;2 s2  Khi đó, tích phân    t  1  ets  x  s  ds tính gần theo cơng thức Simpson là: 1  t   1 t 0    t 1  e  x  s  ds  t  1  e   x0   t  1  e   x1  t  1  et1   x2  6    ts  t      t   1  e   x1  1  et   x2      Với xi  x  ti  , i  0;1;2 Vậy (3) viết dạng: t     x  t    t   1  e   x1  1  et   x2   et  t     Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Có 0  2  Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán h 4h  , 1     3 Với t  ti  i  0;1;2  ta có hệ:     t  x      e      x1  1  e   x2   e        11 1      1    22  x1      1  e   x1  1  e   x2   e           x      1  e 1   x  1  e1   x   e1   2         x0    1,0946  x1  0,0540  x2  1,1487 0,4324  x  1,2863  x  1,7182   x0     x1  1,0001  x  0.9995  Vậy nghiệm (3) là: x  t   1.Nghiệm (3) là:  t    x  t    t    1  e   1,001  1  et   0,9995  et  t     t   x  t    t  5,0035  4,004  e  0,9995  et   et  t   t   x  t    t  5,0035  4,004  e  0,9995  et   et  t   3.2.4 Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: 0,5 1) x  t    cos t  s  x  s  ds  sin  t Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Tốn (Áp dụng cơng thức hình thang với 2n  ) 0,96 2) x  t    t  s 1 x  s  ds  e  t 2 2t s (Áp dụng công thức Simpson với 2n  ) 3) x  t    e  t s p x  s  ds  cos t  p  5; ;10  (Áp dụng cơng thức hình thang với n  ) 3.3 Ứng dụng giải số lập trình Maple 12 3.3.1 Phương pháp ánh xạ co Ví dụ : Giải phương trình:  x t   12 sin  t  cos  s  x  s  ds  t  20 Lập trình:  a : a :  b :  b :   :  2  :  f : t  t ;  :  t , s   sin  t  cos  s  ; f : t  t  :  t , s   sin  t  cos  s  Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán  F : proc  n, t , s  ; local x; if n  then   t , s  else normal (int (   t , g  F  n  1, g , s  , g  a b )); fi; end:  tong1: 0; tong : 100 ;  : ; 100 tong1: tong : 100  : 100  i : 1; i :  while evalb (min (maximize (abs ( tong1  tong ), t  a b ),  )   ) tong : tong1; tong1: tong1   i int (F  i, t , s   f  s  , s  a b ); i : i  ; maximize (abs ( tong1  tong ), t  a b ); od;  x  t  : normal ( f  t   tong1 ); x  t  : t  85 85  sin  t    sin  t    64 512 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Tốn 3.3.2 Phương pháp cầu phương Ví dụ: Giải phương trình: b  x  t     t  t s  x  s  ds  2010  t 2a  Lập trình:  n : 50; n : 50  for i from to n t i  : i od: n  for i from to n  i  : od: n  for i from to n f i  : 2010  t i   t i  od: for i from to n  for j from to n  i, j  : t i   t i   t  j  : od: od:   11,10; 2871 12500  i : ' i '; i : i  j : ' j '; j : j for i from to n  eqn i  : x i   sum (   j    i, j   x  j  , j  1;2; n )  f i  : Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán od:  sols : evalf (solve ( eqn 1 , eqn  2 , eqn 3 , eqn  4 , eqn 5 , eqn  6 , eqn   , eqn 8 , eqn 9 , eqn 10 , eqn 11 , eqn 1 , eqn 12 , eqn 13 , eqn 14 , eqn 15 , eqn 16 , eqn 17  , eqn 18 , eqn 19 , eqn  20 , eqn  21 , eqn  22 , eqn  23 , eqn  24 , eqn  25 , eqn  26 , eqn  27  , eqn  28 , eqn  29 , eqn 30 , eqn 31 , eqn 32 , eqn 33 , eqn 34 , eqn 35, eqn 36 , eqn 37 , eqn 38 , eqn 39 , eqn  4 , eqn  40 , eqn  41 , eqn  42 , eqn  43 , eqn  44 , eqn  45, eqn  46 , eqn  47  , eqn  48 , eqn  49 , eqn 50 )):  for i from to n lprint ( x i   subs (sols, x i  )):od; x 1  58, 04189424 x  26   2555,881057 x  2  119,3046863 x  27   2697, 666296 x 3  183, 7883763 x  28  2842, 672433 x    251, 4929642 x  29   2990,899467 x 5  322, 4184499 x 30   3142, 347400 x    396,5648334 x 31  3297, 016230 x    473, 9321149 x 32   3454, 905958 x 8  554, 5202942 x 33  3616, 016584 x 9  638, 3293714 x 34   3780, 348108 x 10   725, 3593464 x 35  3947, 900530 x 11  815, 6102194 x 36   4118, 673850 x 12   909, 0819901 x 37   4292, 668067 x 13  1005, 774659 x 38  4469,883182 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán x 14  1105, 688225 x 39   4650, 319196 x 15  1208,822690 x  40   4833, 976107 x 16  1315,178052 x  41  5020,853916 x 17   1424, 754312 x  42   5210,952622 x 18  1537,551470 x  43  5404, 272227 x 19  1653,569526 x  44   5600,812730 x  20   1772,808480 x  45  5800,574130 x  21  1895, 268331 x  46   6003,556429 x  22   2020,949081 x  47   6209, 759625 x  23  2149,850728 x  48  6419,183719 x  24   2281,973273 x  49   6631,828711 x  25  2417, 316716 x 50   6847, 694600 Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán Kết luận Chúng ta sống thời đại khoa học công nghệ, ngành khoa học phát triển vô mạnh mẽ đáp ứng nhu cầu sử dụng rộng rãi thực tiễn Chính lẽ đó, mà việc giải gần phương trình tích phân tuyến tính dạng phương trình tuyến tính khác từ giải tốn thực tiễn lại trở nên cần thiết Khóa luận tốt nghiệp tóm tắt số kiến thức có liên quan, trình bày số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2, giới thiệu số ví dụ giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại phương pháp ánh xạ co phương pháp cầu phương Vấn đề nghiên cứu cịn nhiều điều lý thú bổ ích.Tuy nhiên lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận cịn nhiều điều thiếu sót cần bổ sung, góp ý Em mong nhận bảo tận tình, đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, khoa tốn, thầy, tổ giải tích, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh-người tận tình giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Toán Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2002), Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Ngơ Xn Sơn (2001), Giải tích số, Nxb Giáo Dục [3] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, Nxb Giáo Dục [4] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nxb Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội [5] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nxb Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội [6] Nguyễn Phụ Hy (2002), Giải tích hàm, Nxb Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Kim Anh – K34B SP Tốn Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại ... phân tuyến tính Fredholm loại 11 1 .2. 1 Phương trình tốn tử 1 .2. 2 Phương trình tích phân Chương II: Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2. 1 Phương pháp... gọi nhân toán tử tích phân ii) Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại phương trình dạng: x  x  f ( 2. 3 ) Giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Khóa luận tốt nghiệp... phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2, giới thiệu số ví dụ giải gần phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại phương pháp ánh xạ co phương pháp cầu phương Vấn