TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ CÁC BÀI TỐN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – 2012 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - NGUYỄN THỊ LIỄU VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ CÁC BÀI TOÁN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH Hà Nội – 2012 Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em khơng khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Để có khố luận hồn thiện em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Tốn thầy trường ĐHSPHN2 đặc biệt tân tình bảo đóng góp ý kiến quý báu thầy Bùi Văn Bình thời gian qua Do điều kiện thời gian với vốn kiến thức chắn không tránh khỏi sai sót Em mong nhận bảo, đóng góp thầy bạn sinh viên để tìm ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa luận hồn thiện tài liệu tham khảo thật bổ ích cho tất độc giả có niềm đam mê mơn Tốn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy tổ Hình học, thầy khoa Tốn đặc biệt thầy Bùi Văn Bình hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình Bản khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Rất mong đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Sinh viên Nguyễn Thị Liễu Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I Vectơ II Các phép toán vectơ III Tích vơ hướng IV Ba vectơ đồng phẳng V Các toán Chƣơng II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 13 I Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 13 II Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng 17 III Chứng minh vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng 27 IV Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng ba vectơ 32 V Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng 39 PHẦN III: KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học phận quan trọng cấu thành tốn học Hình học ln ln mơn học khó học sinh mơn học có tính chặt chẽ, tính lơgic tính trừu tượng cao ngành học khác tốn học Trong chương trình mơn tốn trung học sở em làm quen với khái niệm đại lượng vô hướng Khi lên bậc trung học phổ thơng khái niệm tiếp tục mở rộng, có khái niệm mới, vectơ ví dụ Khi mở rộng đoạn thẳng vơ hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ theo suốt em trình học tập trường trung học phổ thông Thông thường mở rộng khái niệm đồng thời ta có phương pháp mới, công cụ để giải toán Khái niệm vectơ đời cho ta phương pháp để giải toán cách hiệu Nhờ có phương pháp này, tốn chứng minh tính song song, vng góc, thẳng hàng… nói chung giải cách dễ dàng ngắn gọn Với mong muốn trên, giúp đỡ thầy Bùi Văn Bình, em mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ khơng gian tốn” Mục đích nhiệm vụ nghên cứu Qua dạng tốn, ví dụ tham khảo mẫu… cho học sinh thấy phần quan trọng việc sử dụng vectơ lời giải tập hình học Tạo cho học sinh coi phương pháp để giải toán hiệu quả, cách suy nghĩ mẻ hình học Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu vectơ vấn đề áp dụng vào giải tập hình học khơng gian Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Do thời gian có hạn, đề tài đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải số dạng tập Hình học khơng gian, với đối tượng học sinh THPT, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN Nhiệm vụ nghiên cứu +) Hệ thống khái niệm tính chất vectơ hình học khơng gian +) Hệ thống dạng tập hình học khơng gian Phƣơng pháp nghiên cứu +) Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan +) Tổng kết kinh nghiệm Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội PHẦN 2: NỘI DUNG Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I Vectơ I.1 Định nghĩa vectơ: Vectơ không gian đoạn thẳng có hướng Cho đoạn thẳng AB không gian Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc) A điểm cuối (điểm ngọn) B ta có vectơ  Kí hiệu là: AB A B Chú ý:   +) Cho điểm A, B phân biệt ta có vectơ AB BA khác   +) Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA,BB, gọi vectơ - không I.2 Hai vectơ phƣơng, hƣớng   Hai vectơ AB CD gọi phương chúng nằm hai đường thẳng song song với trùng   Hai vectơ phương AB CD gọi hướng, chiều   từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB ­ ­ CD   Hai vectơ phương AB CD gọi ngược hướng, chiều   từ A đến B ngược với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB ­ ¯ CD Chú ý: Khi ta có kết sau: +) Vectơ không xem hướng với vectơ +) Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ khơng hai vectơ hướng với +) Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương I.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội  Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB, kí hiệu là:   AB Như vậy: AB = AB = BA Theo đó, độ dài vectơ - khơng có độ dài O Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị I.4 Hai vectơ Định nghĩa:   Hai vectơ AB CD gọi chúng hướng độ dài   Kí hiệu là: AB = CD Chú ý từ định nghĩa: +) Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu như:  +) Hiển nhiên, vectơ - khơng Kí hiệu:  +) Khi cho trước vectơ a điểm O có điểm A cho:   OA = a I.5 Góc hai vectơ Định nghĩa:      Cho hai vectơ a,b khác Từ điểm O đó, ta vẽ OA = a    OB = b Khi số đo góc AOB gọi số đo góc hai     vectơ a,b Kí hiệu: (a,b) A a a O b  B b Nhận xét: Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội   +) Hiển nhiên a,b Ỵ éêë00 ,1800 ù ú û     +) a,b = 00 Û a b hướng ( ) ( )     +) (a,b)= 180 Û a b ngược hướng     +) a,b = 900 ta nói hai vectơ a b vng góc với Kí   hiệu: a ^ b    Quy ƣớc: Nếu hai vectơ a b ta xem góc   a,b có giá trị tùy ý đoạn éëê00 ;1800 ù ú û ( ) ( ) II Các phép toán vectơ II.1 Phép cộng vectơ a) Định nghĩa   Cho hai vectơ a b Lấy điểm A tùy ý, sau xác định điểm     B C cho: AB  a ; BC  b    Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b     Ta kí hiệu tổng hai vectơ a b là: a + b    Hay AC = a + b Phép tốn tìm tổng hai vectơ cịn gọi phép cộng vectơ B a b a A C b Chú ý:       Nếu a + b = vectơ b gọi vectơ đối vectơ a kí hiệu - a Nguyễn Thị Liễu K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD A1,B1,C1,D1 tương ứng thuộc AB, BC, CD, DA Chứng minh điều kiện cần đủ để A1,B1,C1,D1 thuộc mặt phẳng là: A1A B1B C1C D1D = (định lý Menelaus không gian) A B B1C C1D D1A Giải:       Đặt: AB = b,AC = c,AD = d Và đặt: A1A BB CC DD = k1; = k ; = k ; = k A1B B1C C1D D1A A1,B1,C1,D1 tương ứng chia AB, BC, CD, DA theo tỉ số k1,k ,k3 ,k A D1 A1 D B C1 B1 C Suy ra:    AA - k AB k1  AA1 = =.b; - k1 - k1      AB - k AC b - k c 2 AB1 = = ; 1- k 1- k      AC - k AD c - k d 3 AC1 = = ; 1- k 1- k     AD - k AA d AD1 = = ; 1- k 1- k Nguyễn Thị Liễu 34 K34 – CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội     A1,B1,C1,D1 đồng phẳng Û AA1 = m.AB1 + n.AC1 + p.AD1 (1) (Với m + n + p = )      k1  b - k c c - k 3.d d (1) Û ­ b = m + n + p 1- k1 1- k 1- k 1- k  æ n  æ p   æ m k1 ö m.k ö n.k ö ữ ữ ữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ữ ỗỗ + b + + c + + d =0 ÷ ữ ữ ữ ữ ốỗ1- k 1- k ứ ữ ỗố1- k 1- k1 ứ ỗố1- k 1- k ø Û m k1 n m.k p n.k + = + = + =0 1- k 1- k1 1- k 1- k 1- k 1- k Û m= - k1.(1 - k ) - k1.k (1 - k ) - k1.k k 3.(1 - k ) ;n = ;p = 1- k1 1- k1 - k1 Mà: m + n + p = Þ ­ k1.(1­ k )­ k1.k (1 ­ k )­ k1.k k 3.(1 ­ k )­ k1.k k 3.(1 ­ k )= ­ k1 Û k1.k k 3.k = Û A1A B1B C1C D1D = (đpcm) A B B1C C1D D1A     Nhận xét: Sử dụng tính đồng phẳng ba vectơ AA1 ,AB1 ,AC1 AD1 với m + n + p = ta chứng minh tốn thơng qua việc đặt       AB = b,AC = c,AD = d Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC , G tâm tam giác ABC , mặt phẳng (P ) cắt tia SA,SB,SC,SG theo thứ tự A1,B1,C1,G1 Chứng minh: SA SB SC SG + + = SA1 SB1 SC1 SG1 Giải: Nguyễn Thị Liễu 35 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội S C1 A1 B1 G1 A C G B Đặt: SA SB SC SG = a; = b; = c; = d SA1 SB1 SC1 SG1 Ta cần chứng minh: a + b + c = 3d     Ta có: G tâm tam giác ABC nên: SA + SB + SC = 3.SG     Hay: a.SA1 + b.SB1 + c.SC1 = 3.d.SG1 (1) Bốn điểm S,A1,B1,C1 không đồng phẳng nên suy ra:    SA1 ,SB1 ,SC1 không đồng phẳng     Do đó: SG1 = p.SA1 + q.SB1 + r.SC1 (2), với p + q + r =       Từ (1) (2) có: a.SA1 + b.SB1 + c.SC1 = 3.d.(p.SA1 + q.SB1 + r.SC1 )     Þ (a ­ 3dp).SA1 + (b ­ 3dq).SB1 + (c ­ 3dr ).SC1 =    Do SA1 ,SB1 ,SC1 độc lập tuyến tính íï a - 3dp = ïï Þ ì b ­ 3dq = Û ïï ïỵï c - 3dr = íï a = 3dp ïï ì b = 3dq Û a + b + c = 3.d (p + q + r )= 3.d ïï ïỵï c = 3dr Vậy: a + b + c = 3.d Hay: SA SB SC SG (đpcm) + + = SA1 SB1 SC1 SG1 Nguyễn Thị Liễu 36 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội IV.2 Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC , điểm M thuộc đáy ABC Các đường thẳng qua M song song với SA,SB,SC cắt mặt bên SBC,SCA,SAB A1, B1,C1 G trọng tâm D ABC Tính SG1 SN Bài 2: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình bình hành, mặt phẳng cắt cạnh SA,SB,SC,SD K,L,M, N Chứng minh rằng: SA SC SB SD + = + SK SM SL SN Bài 3: Cho tứ diện ABCD M, N,P,Q điểm theo thứ tự       AB, BC, CD DA cho: AM = k.AB; BN = k.BC; CP = k.CD;   DQ = k.DA Xác định k cho bốn điểm M, N,P,Q mặt phẳng HƢỚNG DẪN GIẢI:       Bài 1: Đặt SA = a;SB = b;SC = c   Sử dụng điều kiện không đồng phẳng vectơ a,b,c biểu diễn        SM qua vectơ a,b,c thông qua hệ thức 3SG1 = SA1 + SB1 + SC1 Biểu      diễn SG1 qua vectơ a,b,c Từ ta có hệ thức 3SG1 = 2SM Từ hệ thức ta dễ dàng suy kết tốn Bài 2: Sử dụng điều kiện khơng đồng phẳng vectơ          D1A1 = a,D1D = b, D1C1 = c biểu diễn D1M qua vectơ a,b,c thơng   qua kiện đầu Từ ta có hệ thức liên hệ vectơ a,b,c ta       SK SL SM SN = k, = n = l, = m, Bài 3: Đặt SA = a , SB = b , SC = c , SA SD SB SC có kết k = Nguyễn Thị Liễu 37 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Do K,L,M, N đồng phẳng nên ta có biểu diễn:        SN = pSK + qSL + rSM = pka + qlb + rmc (1) (với p + q + r = )       SD = a + c - b (2); (3) SN = nSD     Từ (1), (2) (3) ta có hệ thức: a (pk - n )+ b(pl + n )+ c(rm - n )=   Sử dụng điều kiện không đồng phẳng vectơ a,b,c ta suy kết cần chứng minh       Bài 4: Đặt AB = a , AC = b , AD = c Để chứng minh bốn điểm M, N,P,Q thuộc mặt phẳng, ta cần chứng minh     tồn ba số p,q,r cho: AP = pAM + qAN + rAQ , ( p + q + r = ) (*)         Ta có: AP = AC + CP = b + kCD = b + k c - b      Nên AP = (1- k )b + kc (1) ; (2); AM = ka           (3); AN = AB + BN = a + kBC = a + k b - a = (1- k )a + kb       (4) AQ = c - QD = c + kDA = (1- k )c ( ( ) ) Thay (1), (2), (3), (4) vào (*) ta được:       (1- k)b + kc = pka + q (1- k )a + qkb + r (1- k )c      Û (1­ k)b + kc = (pk + q ­ qk )a + qkc + r (1­ k )c íï pk + q - qk = ïíï p = - ïï ïï ïï qk = - k ïq= ï Do ta có hệ sau: ì Þ ìr= ïï r (1 - k )= k ïï ïï ïï ïïỵ p + q + r = ïïỵ k = Vậy M, N,P,Q trung điểm cạnh AB, BC, CD DA bốn điểm đồng phẳng Nguyễn Thị Liễu 38 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội V CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU, ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG V.1 CHÚNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU V.1.1 Phƣơng pháp chung Gọi A,B hai điểm phân biệt đường thẳng a Gọi C,D hai điểm phân biệt đường thẳng b   Điều kiện cần đủ để a // b là: $ m Î  : AB = m.CD,A Ï b V.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi G G ' tâm D ABC D A'B'C' , I giao điểm hai đường thẳng AB' A'B Chứng minh rằng: GI CG' song song với Giải: Gọi M,M' theo thứ tự trung điểm AB A'B' Khi đó, ta có:        CG ' = CC' + C'G = 2.MI + CG = 2.MI + 2.GM    = 2.(GM + MI)= 2.GI Suy ra: CG'/ /GI (đpcm) Chú ý: Thông thường, để chuẩn hóa thực sau:       +) Đặt a = AA',b = AB,c = AC     +) Tìm cách biểu diễn CG ' GI theo ba vectơ a,b,c   +) Từ suy ra: CG' = m.GI Þ CG'/ /GI , đpcm Cụ thể, tốn ta có:         CG ' = (3.a + b - 2.c) GI = (3.a + b - 2.c)   Þ CG' = 2.GI Þ CG'/ /GI (đpcm) Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi P,Q hai điểm chia đoạn CA DC1 theo tỷ số: Nguyễn Thị Liễu Chứng minh: PQ / /BD1 39 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Giải:      Biểu thị BA,BB1 ,BC theo a,b,c Do P,Q chia đoạn CA, DC1 theo tỷ số:     nên có: CP = CA,DQ = DC1 3 A D a P B c C Q b Áp dụng quy tắc hình hộp ta có:        BD1 = BA + BB1 + BC = a + b + c A1 B1 D1           a + 2.c BP = BC + CP = BC + CA = c + (- c + a )= 3 C1              2a + b + 3c BQ = BD + DQ = BA + BC + DC1 = a + c + (b - a )= 3             2a + b + 3c a + 2.c a + b + c BD Do đó: PQ = BQ - BP = = = 3 3 Vậy PQ BD1 trùng cắt mặt phẳng (ABCD) P B phân biệt Vậy PQ / /BD1   Nhận xét: Thông qua việc sử dụng vectơ biểu diễn PQ theo BD1 thông     qua vectơ a,b,c ta dễ dàng chứng minh PQ // BD1 Khi sử dụng vectơ lời giải trở nên đơn giản V.1.3 Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho tứ giác ABCD , đường thẳng vẽ qua đỉnh A song song với BC cắt BD M , đường thẳng vẽ qua đỉnh B song song với AD , cắt AC N Chứng minh: MN / /DC Bài 2: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Tìm M Ỵ AC N Ỵ C1D cho: MN / /BD1 Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 Nguyễn Thị Liễu 40 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội       Đặt B1A1 = a,B1B = b,B1C1 = c Gọi M điểm chia đoạn thẳng AC1 theo tỷ số m , N điểm chia đoạn C1D1 theo tỷ số n , tức là:   MA NC  = m,  = n MC1 ND     a) Hãy biểu thị vectơ B1M,B1N theo a,b,c m, n b) Xác định m, n để đường thẳng MN song song với đường thẳng B1D HƢỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: Trong trường hợp ABCD không hình bình hành M ¹ D , nên M Ï CD Do để chứng minh MN / /DC ta chứng tỏ:   DC = a MN , vi a ẻ Sử dụng giả thiết song song đầu ta biểu diễn vectơ       DC , MN theo OA , OB Từ tìm mối liên hệ DC MN Do M Ï CD nên suy MN / /DC       Bài 2: Đặt BA = a,BB1 = b,BC = c M ẻ AC ị MC = nAC ; N ẻ C1D ị C1N = mC1D      Theo giả thiết MN  BD1 nên MN = kBD1 = ka + kb + kc (1)        Mặt khác: MN = MC + CC1 + C1N = nAC + b + mC1D         (2) = n c - a + b + m a - b = (m - n )a + (1- m)b + nc ( ) ( )     Từ (1) (2) ta suy ra: k = n = ,m = Vậy MC = AC , C1N = C1D 3 3    MA Bài 3: a) Từ  = m Þ MA = mMC1 MC1       Ta lại có: MA = MB1 + B1A ; MC1 = MB1 + B1C1     Suy ra: MB1 + B1A = m MB1 + B1C1 ( Nguyễn Thị Liễu ) 41 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội        Þ MB1 + B1A = mMB1 + mB1C1 Þ MB1 (1­ m)= ­ B1A + mB1C1    B A - mB C    1 ,(m 1) ị B1M(1ư m)= B1A mB1C1 Þ B1M = 1- m    Mặt khác: B1A = B1A1 + A1A Vì ABCDA1B1C1D1 hình hộp nên:     a + b - mc       ,(m ¹ 1) A1A = B1B = b Þ B1A = a + b Vậy B1M = 1- m     - na + b - (1 - n )c ,(n ¹ 1) Giải tương tự ta có: B1N = 1- n         - na + b - (1- n )c a + b - mc b) Ta có: MN = B1N - B1M = 1- n 1- m  æ  ỉ  ỉ- n ư m ữ ữ ữ ỗ ỗ = ỗỗ a + b + + c ÷ ÷ ÷ ÷ ốỗỗ1- n 1- m ứ ữ ỗỗố 1- m ứ ữ (1) ỗố1- n 1- m ứ MN / /B1D hai vectơ MN B1D phải phương, nghĩa ta phải   có: MN = kB1D (2)     Ta lại có: B1D = B1C1 + C1D1 + D1D Vì ABCDA1B1C1D1 hình hộp nên:           C1D1 = B1A1 = a , D1D = B1B = b Do đó: B1D = a + b + c (3) ïíï - n íï ïï - n - - m = k ïï ïï ïï m = - ïï Từ (1), (2), (3) ta suy ra, để MN / /B1D ì = k Þ ïì n = ­ ïï - n - m ïï ïï ïï ïï = k ïï k = ỵ ïïỵ - m V.2 CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG V.2.1 Phƣơng pháp chung Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) nằm mặt phẳng (P) ta làm sau: Nguyễn Thị Liễu 42 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội    Lấy (P) hai vectơ a b khơng cộng tuyến     Sau chứng minh ba vectơ a,b,AB đồng phẳng Đặc biệt, A Ï mp(P) suy AB / /mp(P) Thực chất việc chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chứng minh ba vectơ đồng phẳng V.2.2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 Gọi M, N     điểm thuộc AD1 DB cho: MA = kMD1, ND = kNB,(k ¹ 0,k ¹ 1) Chứng minh rằng: MN song song với mặt phẳng (A1BC) Giải:       Cách 1: Đặt: a = AA1 ,b = AB,c = AD Sử dụng tích vơ hướng có:    íï a.b = b.c = c.a = ï ì   2 ïï a = b = c ïỵ C B Từ giả thiết:     MA = kMD1 = k.(MA + AD1 )    = k.(MA + AD + AA1 )  Û AM = k   (a + c) k- D N A M C1 D1 B1 A1  Chứng minh tương tự ta có: AN = - k   b c k- k-    k   k   b c Suy ra: MN = AN - AM = (a + c) k- k- k-  + k  1+ k  k   k  = c + (a - b) Þ MN = 1- k BC + 1- k BA1 1- k 1- k    Û MN,BC,BA1 đồng phẳng Nguyễn Thị Liễu 43 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội Ngồi ra: M Ỵ AD1 N Ỵ BD nên MN Ï (A1BC) Vậy ta MN song song với mặt phẳng (A1BC)     Cách 2: Từ giả thiết: MA = kMD1, ND = kNB,(k ¹ 0,k ¹ 1) Suy ra: AM DN = Û AD,MN,D1B theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song MD1 NB song Þ MN / / (A1BCD1 ) Suy ra: MN / / (A1BC) Đpcm V.2.3 Các tập đề nghị: Bài 1: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Điểm M chia đoạn AD theo tỷ số , điểm N chia đoạn A1C theo tỷ số Chứng minh: MN / / (BC1D) 5 Bài 2: Hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD ABE Chứng minh: đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF) Bài 3: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có điểm M, N,P trung điểm AD,BB1,C1D1 Chứng minh: C1D / / (MNP) HƢỚNG DẪN GIẢI:      Bài 1: Biểu thị BC,BA,BB1 a,b,c    Để chứng minh MN / / (BC1D), ta phải chứng minh ba vectơ MN,BC1 ,BD đồng phẳng C Theo quy tắc hình bình hành ta có:      BC1 = BC + CC1 = a + c ;      BD = BC + CD = a + b ;     MN = MA + AA1 + A1N B M D D1 44 b A C1 Theo giả thiết ta có: Nguyễn Thị Liễu a c B1 N A1 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp   MA = - AD =   A1N = A1C = 5    = a - b- c  Do đó: MN = - ( 1 a;    AA + AB + BC ( Trƣờng ĐHSP Hà Nội ) )   1      a + c + (a - b - c)= (a - 2b + 3c) 5       = éê3(a + c)- 2(a + b)ù = BC - BD ú û 5 5ë    Vậy ba vectơ MN,BC1 ,BD đồng phẳng Suy ra: MN / / (BC1D)      Bài 2: Biểu thị AB,AD,AF a,b,c      Ta có: CE = CB + BE = - b + c ; F        CF = CB + BA + AF = - b - a - c ;     MN = MA + AB + BN N Theo giả thiết ta suy ra: A B     MA = - AC = - (a + b); M 3     BN = BF = (- a + c) D 3       Suy ra: MN = - (a + b)+ a + (- a + c) 3         Þ MN = ­ (­ a ­ b + c)+ (­ b + c)= ­ CF + CE 3 3    Suy ba vectơ CE,CF,MN đồng phẳng Hiển nhiên M Ï (CEF) E C Suy ra: MN / / (BC1D)       Bài 3: Hiển nhiên C1 Ï (MNP) Đặt AB = a,AD = b,AA1 = c Nguyễn Thị Liễu 45 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội    Ta cần phải chứng minh ba vectơ C1D,MN,MP đồng phẳng Dựa vào M, P trung điểm cặp cạnh đối AD CC1 tứ diện ADC1D1 ta biểu         diễn vectơ MP,MN qua a,b,c Suy ra: MP + MN = (a + c) Theo quy tắc hình bình hành, ta có:        C1D = ­ (a + c)= ­ × (a + c)= ­ MP ­ MN Suy đpcm 3 Nguyễn Thị Liễu 46 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội PHẦN 3: KẾT LUẬN Việc sử dụng vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh số kiến thức mới, cách nhìn Tốn học Nó giúp phát triển tư tồn diện cho học sinh, tạo cho học sinh đứng trước tốn hình thành cho hướng tư đắn, phù hợp để giải tốn Nhằm góp phần hồn thiện cho học sinh cách nhìn hình học nói chung vectơ nói riêng Khóa luận đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng tốn thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa dạng tốn, bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng vectơ giải tập hình học, coi cơng cụ nhằm giải tốn cách có hiệu Do đề tài “Vectơ khơng gian tốn” hồn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu Nguyễn Thị Liễu 47 K34 – CN Tốn Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vectơ giải toán hình học khơng gian, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán vectơ, NXB Hà Nội Phan Huy Khải – Hàn Liên Hải (1997), Toán bồi dưỡng Hình học 10, NXB Hà Nội Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mân (1996), Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập 3, NXB Giáo dục Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ - NXB Giáo dục Trần Phương (2001), Hình học giải tích, NXB Hà Nội Nguyễn Gia Cốc (1996), Ơn luyện giải tốn Hình học vectơ, NXB Đà Nẵng Các sách giáo khoa Hình học 10, 12 Nguyễn Thị Liễu 48 K34 – CN Toán ... VÀ CÁC BÀI TỐN:  ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU  CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG  QUAN HỆ SONG SONG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình. .. II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 13 I Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 13 II Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng 17 III Chứng minh vectơ... ( ) ( ) ( ) II CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU II.1 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG II.1.1 Phƣơng pháp chung Để chứng minh ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng ta chọn hướng sau: