I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Chủ đề tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nội dung chương I đại số nôi dung chương trình Tốn Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh mắc những sai lầm giải dạng toán tỉ lệ thức Dạng toán xuất nhiều cac đê thi hoc sinh giỏi Toan Hiện kiến thức tập sách giáo khoa sách tập chưa có tài liệu bàn sâu vấn đề cách đầy đủ nên day phân giáo viên dạy ôn đội tuyển gặp không khó khăn để biên soạn cho hết nội dung chủ đề Trong trình giảng dạy thân nghiên cứu thấy phần hay, tâm đắc muốn trình bày mơt sơ kinh nghiêm vê nội dung kiến thức chủ đề để giáo viên dễ dang ap dụng việc giảng dạy cho học sinh Đôi với hoc sinh, thông qua hướớ́ng dẫn giải tập giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tính tích cực, trí thơng minh sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú học tập, nâng cao mức độ tư duy, khả phân tích phán đốn, khái qt đồng thời rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo lam bai tâp Trường THCS Xuân Vinh trường có tỉ lệ học sinh mũi nhọn hạn chế so vớớ́i mặt chung tồn huyện, có nhiều học sinh u thích mơn Tốn dự thi học sinh giỏỏ̉i cấp huyện Là người giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏỏ̉i mơn Tốn nhiều năm vớớ́i mong muốn giúp học trị học tốt mơn Tốn đạt điểm cao kì thi HSG cấp huyện mơn Tốn 7, nghiên cứu viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Kinh nghiệm sử dụng tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để giải số dạng tốn mơn Đại số lớp 7” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh đại trà hiêu kiên thưc va vân dụng kiên thưc môt cach linh hoat vao giai bai tâp; Giúp học sinh giỏỏ̉i tiếp cận vớớ́i nhiều dạng nhiều cách giải để khơng cịn thấy khó khăn găp phai dang bai tâp nay; Muốn thân, đồng nghiệp trường tham khảo để giảng dạy tốt dạng tốn tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau; Muốn cho học sinh học sinh Trung học sở có tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo có lực tự học, khả thực hành, lịng say mê học tập ý chí vươn lên địi hỏỏ̉i người giáo viên phải có phương pháp dạy học đạt hiệu cao đối vớớ́i dạy 1.3 Đối tượng nghiên cưu: Đề tài nghiên cứu việc hướớ́ng dẫn học sinh sử dụụ̣ng tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để giải số dạng tốn chương trình Đại số 1.4 Phương pháp nghiên cưu: - Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo, tài liệu mạng… - Phương pháp điều tra; - Phương pháp đối chứng; - Phương pháp thực nghiệm; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm… NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Kiến thức a c a Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d ( b 0; d ) Ta viết: a : b = c : d a d số hạng hay ngoại tỉ; b c số hạng hay trung tỉ b Tíí́nh chất t ỉ lệ thức: a c Tíí́nh chất 1: Nếu b d a.d = b.c Tíí́nh chất 2: (Đao lai) Nếu a.d = b.c vớớ́i a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: a c ; a b ;d c ; d b b d c d b a c a Như vậy, vớớ́i a, b, c, d từ năm đẳng thức sau ta suy đẳng thức lại: a.d = b.c a c a b d c d b b d c d b a c a c Tíí́nh chất dãy tỉ sớí́ nhau: Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c suy b d Tính chất 2: Từ dãy tỉ số a c b d e a c e a c e f b d f b d f a b c d a b c d e f a c b d a c b d ta suy ra: (giả thiết tỉ số có nghĩa) Tính chất 3: Nếu có n tỉ số (n 2): a a b b 1 a1 b a a2 b b a b , (b ≠ ± d) a1 a2 a3 an b b n b b n a n b bn n a a1 a2 a3 an b b b b n (giả thiết tỉ số có nghĩa) d Nâng cao k 1a k c k e a c Nếu b d Từ a c => a b b Nếu a Nếu a b e f k k b k d k f d c c d c d ; a b a d b a2 e f c2 b2 ac b d d bd a c e b d f a.c.e b.d f k c d (Tính chất tổng hiệu tỉ lệ) c 2.1.2 Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c xyzabc Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trướớ́c số hạng tỉ số đặt dấu “ - ” trướớ́c số hạng dướớ́i tỉ số Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ số tỉ số cho trướớ́c, ta lập nhữữ̃ng tỉ số mớớ́i tỉ số cho, số hạng số hạng dướớ́i có dạng thuận lợi để sử dụụ̣ng dữữ̃ kiện toán 2.2 Thực trạng vân đề trước áí́p dụụ̣ng sáí́ng kiến Qua q trình cơng tác giảng dạy bồi dưỡng phần kiến thức tỉ lệ thức, dãy tỉ số thấy: - Học sinh ( giáo viên) gặp nhiều sai sót q trình giải tốn Các em hay sai cách trình bày lời giải, nhầm lẫn giữữ̃a dấu “=” vớớ́i dấu “=>”; giữữ̃a “=” vớớ́i dấu “+”, sử dụụ̣ng thiếu dữữ̃ kiện toán vận dụụ̣ng tính chất cách tương tự - Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khn, lười suy nghĩ, lười tư dẫn đến tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân; - Một số giáo viên chưa thực quan tâm tìm tịi, phân dạng để tìm hiểu chun sâu dạng tốn; - Học sinh sau tìm lời giải em hài lịng dừng lại mà khơng tìm cách giải khác, khơng sáng tạo thêm nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân; - Tài liệu viết dạng tốn cịn ít, đề cập đến dạng nhỏỏ̉ chưa đưa phương pháp giải cụụ̣ thể phương pháp giải đơn giản chưa đưa nhiều cách giải để phát triển tốn… Trướớ́c thực trạng địi hỏỏ̉i giáo viên phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp Năm học 2016 – 2017 tơi giao nhiệm vụụ̣ dạy Tốn Khối có 02 lớớ́p vớớ́i 56 học sinh Giữữ̃a học kì I năm học, đề khảo sát học sinh sau: Thời gian 45 phút Bàà̀i (3 điểm): Tìm x, y biết a x y x + y = 16 b 3x = 7y x – y = 20 c x y 2x – 3y = -12 Bàà̀i 2(3 điểm): Tìm x , y, z biết x y z x y y ;5 z a x + 2y – z = 10 b 2x + 3y –z = 186 Bàà̀i (3 điểm): Có 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ 10000đ Trị giá loại tiền Hỏỏ̉i loại có tờ? a Bàà̀i (1 điểm): Cho ba tỉ số nhau: b b ; c c c ; a a b Kết ban đầu chưa áp dụụ̣ng sáng kiến kinh nghiệm này: Giỏi Khá Trung Yếu Kém bình SL 56 % 5,4 SL % 14, SL 27 % 48, SL 15 % 26, SL % 5,4 Đứng trướớ́c thực trạng đưa số dạng toán cách giải giúp em khơng cịn sai sót trình bày lời giải Các dạng tốn là: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức dãy tỉ số Tốn chia tỉ lệ Tính giá trị biểu thức 2.3 Giải pháí́p vàà̀ tổ chức thựụ̣c Để học sinh vận dụụ̣ng kiến thức giải tập cách xác, nhanh nhất, ngắn giáo viên cần giúp em xác định kiến thức, phương pháp cần dùng để giải dạng toán cụụ̣ thể Muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh, giáo viên cần chọn nhữữ̃ng tập có tính chất mang tính phát triển kiến thức khía cạnh, hướớ́ng dẫn học sinh giải tập theo nhiều cách khác Qua giúp học sinh vừa nắm kiến thức vừa phát triển tư duy, sáng tạo linh hoạt làm bài, tạo hứng thú yêu thích môn học 2.3.1 Dạụ̣ng 1: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Phương pháí́p giải: Tìm cách biến đổi tỉ lệ thức ban đầu để trở đẳng thức cần chứng minh đặt tỉ số cho trướớ́c số k biến đổi vế đẳng thức cần chứng minh theo số k Bàà̀i 1.1 (Bài 102a/ tr50/ SGK): Cho a c (a, b, c, d 0, ab, cd ) Chứng minh rằng: a b c d b d b d Hướớ́ng dẫn: Đối vớớ́i tốn ta biến đổi tỉ lệ thức cho trướớ́c để a c trở thành đẳng thức cần chứng minh đặt b d k biến đổi hai vế đẳng thức cần chứng minh theo k - Giao viên trinh bay ki cho hoc sinh bôn cach giai sau: Giải: a c a b a b a b c d Cách 1: b d (đpcm) b d c d c d Cách 2: ( cách áp dụụ̣ng vào nhiều toán dạng này) Đặt: a c k suy a bk ; c dk d b a b Khi ta được: b c d d Từ (1) (2) suy : Cách 3: a c b d ad = bc a b c d b d bk b b(k 1) k b b dk d d (k 1) k d d a b c d (đpcm) b d (1) (2) ad + bd = bc + bd ( a + b)d = ( c + d)b (đpcm) Cách 4: b a b d a c a d b c d 1 a b b c d d (đpcm) abcdabc d c a c Giao viên kêt luân: Như vây đê chưng minh ti lê thưc dạng: b d , ta thương dung hai phương phap chinh: Phương phap 1: Chưng tỏ tich ad băng tich bc Phương phap 2: Chưng tỏ hai ti sô co cung gia tri Nêu đê bai đa cho trước môt ti lê thưc khac, ta co thê đăt gia tri cua môi ti sô ti lê thưc đa cho băng k, rôi tinh gia tri cua môi ti sô ti lê thưc phai chưng minh theo k (cach 2) cung co thê dung cac tinh chât cua ti lê thưc hoan vi cac sô hang, tinh chât day ti sô băng nhau, tinh chât cua đăng thưc… đê biên đôi ti lê thưc đa cho đên ti lê thưc phai chưng minh (cach 1, 3) Kinh nghiêm day bai tâp dạng 1.1 giao viên nên đưa ca cach giai đê hoc sinh đươc biêt, nhiên giao viên nên cho hoc sinh nhân xét tưng cach giai, phân tich cach giai, chon cach giai ưu cho bai toán va chon cach giai phu hơp với cac bai tâp dang tương tư bai tâp 1.1 Giao viên kêt luân: Cach có thê ap dung được cho nhiều bai toán chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước Bàà̀i 1.2 (Bài 63/ Tr31/ SGK): Chứng minh từ tỉ lệ thức: (a b 0) , 0, c d ta suy tỉ lệ thức Giáo viên định hướớ́ng cho hoc sinh lam theo cach 1, cách va cach 1.1 Giải: Cách 1: Từ a c b d Cách 2: Đặta c d b a c k b a b a b d c d c d suy a bk ; c dk a b bk b b.( k 1) k a b c d a b c d Khi đó: a b bk b c d dk d d Và c d dk d Từ (1) (2) suy ra: Cách 3: Ta có: a c b d a b Từ (1) (2) => c a d b a b a b c d c d 1c d a b a b b c d a b c d c d d a b c d b d (đpcm) Bàà̀i 1.3 (Bài 84/ Tr 14/ SBT): Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc (vớớ́i a b, a c) thì: a) a b c a b) c a c a b c a b b a2 (1) (2) Hướớ́ng dẫn: Từ a2 = bc ta suy tỉ lệ thức nào? ( ac ab ca ) ba Giải: a) Giáo viên hướớ́ng dẫn học sinh giải theo cách sau: a c Đặt a c k a bk , c ak Cách 1: Từ a bc bk b k a b bk b b k ak a ak k k b Khi đó: a b a bk b c a a , b (1) a , (2) c a ak a a k k c a (đpcm) Từ (1) (2) suy ra: a b a b c a Cách 2: Ta có a b a.(a a.(a a b b.(c = Do đó: a) c a) b.(c a b a ab a ab b) b) bc ab bc ab (do a2 = bc) a c ( a, b 0) a c a (đpcm) c b a b Cách 3: Từ a2 = bc a b a b a b a b c a c a c a Nhận xét: Ngược lại từ a b c a (đpcm) a b c a c a c b ta suy a2 = bc (Bài 60/ Tr 35/ a b Sách Tuyển chọn 400 tập Toán - Phan Văn Đức) a b Từ ta có tốn: Cho a b c a c b chứng minh số a, b, c khác từ số a, b, c có số dùng lần, lập thành tỉ lệ thức c a c a c (1) b) Từ a 2bc a c a c b a a b a b a b a Ta lại có c a a2 b a b c c b a c b2 b2 (đpcm) b (vì a bc ) (2) Từ (1) (2) suy ra: b b a2 Bàà̀i 1.4 (Bài 54/ Tr 21/ Sách Nâng cao chuyên đề Đại số 7): Chứng minh a c b d a) 5a 3b 5c 3d 5a 3b 5c 3d thì: b) a 3ab c 3cd 11a 8b 11c 8d Hướớ́ng dẫn: - Ở câu a làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? a - Ở câu b từ b c 2 d làm để xuất a , b ? - Tính chất nâng cao dãy tỉ số cho ta biết gì? Giải: a) Cách 1: Từ: a c a b b d c a Cách 2: Đặt b d d 5c 3d 5a 3b 5a 3b 5a 3b 5c 3d 5c 3d 5a 3b 5c 3d 5c 3d suy ra: a = kb; c = kd k b.(5k 3) b.(5k 3) d.(5k 3) 5k 5k 5k 5c 3d 5kd 3d d.(5k 3) suy ra: 5a 3b 5c 3d 5k Khi đó: Từ (1) (2) c 5a 3b 5a 3b 5a 3b 5c 3d 5kb 3b 5kb 3b 5kd 3d 5a 3b (1) (2) 5c 3d b) Cách 1: a c a b b d c d a2 b2 c2 d2 a 3ab a Khi đó: 7a 8b2 3ab 11a2 7a 3ab 11a 8b2 7c2 8d 3cd 11c2 7c 3cd 11c 8d 11a 8b2 Vậy: c 3cd Cách 2: Đặt b d a b c d 11c 8d (đpcm) c suy ra: a = kb; c = kd k 7a 3ab 11a 8b 7c 3cd 7(kb)2 3kb.b 11(kb) 8b 7(kd )2 3kd.d 7k 2b2 3kb2 11k b 8b 7k d 3kd 11c 8d 11(kd ) 8d 11k d 7a 3ab 11a 8b 8d b2 (7k 3k) b (11k 8) d (7k 3k) d (11k 8) 7k 3k 11k 7k 3k 11k (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: c 3cd 11c 8d Nhận xét: Trong câu a b cách ngắn gọn nhiên khó hơn, cịn cách dài dễữ̃ Bàà̀i 1.5: (Nguồn internet, hệ tập 55/ tr21/ Sách nâng cao chuyên đề Đại số 7) Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b + d) (2) a (đk: b;d ≠ 0) b Hướớ́ng dẫn: Ở bai toan đê bai cho cac đăng thưc, tư cac đăng thưc ta phải chưng minh ti lê thưc, giao viên co thê hướng dân hoc sinh suy luân ngươc sau: d a c c Muôn co b d a.d = b.c ………… (a + c)d = c(b + d) Căn cư vào (1) va (2) ta đưa ca hai vê (1) cung băng 2bd Vây tư a + c = 2b ta nhân ca hai vê với d Ta co thê trinh bay giai sau: Giải: Ta có: a c 2b a c d 2bd Từ (2) (3) suy ra: c( b+ d) = ( a+c)d cb + cd = ad + cd a c cb = ad b d (đpcm) Bàà̀i 1.6 (Bài 88/ Tr29/ Sách Nâng cao chuyên đề Đại số 7): cx az ay bx (vớớ́i a, b, c 0) Chứng minh rằng: x Biết: bz cy a b c a y b z c Hướớ́ng dẫn: Giáo viên hướớ́ng dẫn học sinh suy luận ngược: Để có x y z ay = bx, cx = az, bz = cy ay – bx =0, cx – az = 0, bz – cy=0 Giải: Ta có: a b c bz cy cx az ay bx = abz acy bcx abz acy bcx a b c abz acy bcx abz acy bcx a2 b c bzcy S uy ra: a2 a a aybx cx az b b2 c c2 aybx0 bzcy0 b cxaz0 c y bzcy z c b z c x cxaz a aybx x y Suy x y z a b c a b (đpcm) Bài 1.7: (Nguồn internet) Cho: x1 y1 2004 x2 y 2004 x3 y3 2004 x2005 y2005 Chưng minh răng: x1 x2 x3 x2005 1,5 y y y y Hướng dân: 2x1 3y1 2004 2005 2004 ? ( 2x1 3y1 2004 - Có nhận xéớ́t 0) 2004 2004 2004 - Khi đó: 2x1 3y1 + 2x2 3y2 + .+ 2x2005 3y2005 nào? ( 0) - Từ đề suy điều gì: 2x1 3y1 2004 + 2x2 3y2 2004 + .+ 2x2005 3y2005 2004 =0 - Vận dụụ̣ng 1.6 giải tiếp tốn Giải: Ta có: 2x1 3y1 2004 ; 2x2 3y2 2004 ;… 2x2005 3y2005 2004 đó: 2x1 3y1 2004 + 2x2 3y2 2004 + .+ 2x2005 3y2005 2004 2004 2004 2004 Mà: 2x1 3y1 + 2x2 3y2 + .+ 2x2005 3y2005 2004 2004 2004 Nên: 2x1 3y1 + 2x2 3y2 + .+ 2x2005 3y2005 =0 Hay: 2x1 3y1 2004 ; 2x2 3y2 2004 ;…; 2x2005 3y2005 2004 ; 3y Suy ra: 2x1 3y1 ; 2x2 3y2 ;…; 2x 2x 3y 2x1 3y1 ; 2x2 3y2 ;…; xx x x 2005 2005 y y y 2005 2005 y 2005 2005 Áp dụng tinh chât cua day ti sô ta co: x y1 x y2 x3 x y3 y 2005 x1 x x3 x2005 1,5 y1 y y3 y2005 (đpcm) 2005 Nhận xét: Từ 1.7 ta đưa toán tổng quát sau: Cho: ax1 by1 2k + ax2 by2 2k + .+ axn byn 2k b Chứng minh rằng: x1 x2 xn y y y n a 2.3.2 Dạụ̣ng 2: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức dãy tỉ số Phương pháí́p giải: Đối vớớ́i có phương pháp giải riêng nhiên chủ yếu dùng phương pháp sau: Phương pháp 1: Vận dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số Phương pháp 2: Đặt ẩn phụụ̣ Phương pháp 3: Dùng phương pháp Bàà̀i 2.1 (Bài 74/ Tr14/ SBT): Tìm hai số x, y biết: xy x + y = -21 để giải, nhiên yêu cầu đối vớớ́i giáo viên cần hướớ́ng dẫn, trình bày cụụ̣ thể nêu nhữữ̃ng ý mà học sinh dẫn đến sai đặt mụụ̣c thực trạng vấn đề Ví dụụ̣: 21 Áớ́p dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x y 5 Điềà̀u nàà̀y làà̀ thiếu sót áí́p dụụ̣ng tíí́nh chất dãy tỉ sớí́ cho ta đến x y x y Cần có thêm điềà̀u kiện x + y = -21 ta đượụ̣c x y x y 5 21 Giải: Cách 1: Áớ́p dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số x + y = -21 ta có: x Suy : 6; x y x y 21 25257 y 3y x = -3.2 = - = -3.5 = -15 Vậy x = -6 ; y = -15 Lưu ý: Ngồi cách giải giáo viên cịn hướớ́ng dẫn học sinh theo cách sau: x y Cách 2: Đặt ẩn phụụ̣: Đặt k , suy ra: x = 2k, y = 5k Theo giả thiết: x + y = -21 nên: 2k + 5k = -21 7k = -21 hay k = -3 Do đó: x = - y = -15 x Cách 3: Phương pháp thế: Từ: y x y y mà x + y = - 21 suy ra: = -21 nên y = -15 Do đó: x = - Nhận xét: Trong ba cách giải cách 1, hay dùng cịn cách sử dụụ̣ng kĩ biến đổi theo phương pháp học sinh lớớ́p hạn chế Đặt a x y k suy ra: x = k.a, y = k.b b đó: x.y = (k.a).(k.b) = ab.k2 Chú ý: P ab Từ tìm k tính x y k2 P ab - Cân lưu y cho hoc sinh vớớ́i k P ab k có hai giá trị k k P ab - Cần tránh sai lầm áp dụụ̣ng “tương tự” tính chất dãy tỉ số nhau: x y xy a b ab (sai) Giai: Cách 1: Đặt x y k , suy ra: x = 2k, y = 5k Vì x.y =10 nên 2k.5k = 10 10k2 = 10 k = k= -1 + Vớớ́i k = x = 2.1 = ; y = 5.1 = + Vớớ́i k = -1 x = 2.(-1) = -2 ; y = 5.(-1)= -5 Vậy: x = 2; y = x = - 2; y = - xx y x x2 xy 10 Cách 2: Từ x y 2 5.2 10 10 Suy ra: x2 = 4.1 = x = x = -2 Vớớ́i x = y = 10 : = Vớớ́i x = -2 y = 10 : (-2) = -5 Lưu ý: vớớ́i học sinh mắc sai lầm sau: - Vớớ́i cách 1: Khi k2=1 k ( nhiều học sinh suy k = 1) x y x y 10 10 Vớớ́i cách 2: Học sinh sai lầm áp dụụ̣ng tương tự: 5 từ x = suy y = dẫn đến kết luận sai toán Bàà̀i 2.9 (Bài 61g/ Tr20/ Sách Nâng cao phát triển Tốn 7): - Tìm số x, y, z biết rằng: Giải: Cách 1: Đặt x y z xyz xyz = 810 235 = k, suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 5k Vì xyz = 810 nên 2k.3k.5k = 810 30k3 = 810 k = vớớ́i k = x = 2.3 = ; y = 3.3 = ; z = 5.3 = 15 Vậy: x = ; y = ; z = 15 x3 y3 z3 x.y.z 810 Cách 2: x y z 23 33 53 2.3.5 30 27 Suy : x3 = 23.27 =216 ; y3 = 33.27 = 729 ; z3 = 53.27 = 3375 x=6 y=9 z = 15 Vậy: x = ; y = ; z = 15 Nhận xét : Dạng tốn 2.8; 2.9 khơng khó ta nắm bướớ́c giải mở rộng cho nhiều biến Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh trường hợp số mũ k số chẵn phải xéớ́t đủ trường hợp k 2.3.3 Dạụ̣ng 3: Toán chia tỉ lệ 13 Phương pháp giải Bước 1: Biểu diễữ̃n đại lượng cần tìm (hoặc đại lượng liên quan) chữữ̃ (gọi ẩn) Chú ý điều kiện đơn vị ẩn Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số điều kiện ràng buộc ẩn Bước 3: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức dãy tỉ số Bước 4: Đối chiếu điều kiện kết luận Bàà̀i 3.1 (Bài 77/ Tr13/ Sách 500 toán chọn lọc): Ba lớớ́p 7A, 7B, 7C trồng tất 1020 Số lớớ́p 7B trồng số lớớ́p 7A trồng được, số lớớ́p 7C trồng 17 16 số lớớ́p 7B trồng Hỏỏ̉i lớớ́p trồng cây? Hương dẫn: Nêu gọi số trông ba lớớ́p 7A, 7B, 7C theo thứ tự 17 x, y, z thi ta có điều gì? ( x + y + z = 1020, y = x , z 16 y ) Giải: Gọi số trồng ba lớớ́p 7A, 7B, 7C theo thứ tự x, y, z 17 Đk: x; y; z N , x; y; z 1020 y Theo đề ta có: x + y + z = 1020, y = x , z * Do: z Do: y = 17 y 16 x nên nên z 17 z y y 16 17 16 y x y x x 18 y 16 y z 17 16 16 (1) x 18 (2) Từ (1) (2) suy ra: Áớ́p dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số x + y + z = 1020 ta có: x 18 y 16 z 17 x y z 18 16 17 1020 20 51 Từ tìm được: x= 360; y = 320; z = 340 ( TMĐK) Vậy số trồng ba lớớ́p 7A, 7B, 7C 360; 320; 340 Bàà̀i 3.2 (Bài 64/ Tr31/ SGK): Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ vớớ́i số 9; 8; 7; Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số học sinh khối? Hướng dân: giai tương tư bai 3.2 Giải: Gọi số học sinh khối 6, 7, 8, a, b, c, d ( học sinh) Đk: a, b, c, d N*, b > 70 Theo ta có: a : b : c : d = : : : b – d = 70 a b cd Hay b – d = 70 Áớ́p dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số b – d = 70, ta có: a b c d b d 70 35 9876862 Do đó: a = 35.9 = 315; b = 35.8 = 280; c = 35.7 = 245; d = 35.6 = 210 (TM) Vậy số học sinh khối 6, 7, 8, 315; 280; 245; 210 học sinh Bàà̀i 3.3 (Bài 120/ Tr39/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7): 14 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ 10 vớớ́i số thứ , số thứ vớớ́i số thứ ba Hướng dân: - Gọi ba số cần tìm là: x; y; z, chúng tỉ lệ vớớ́i ba số nào? - Tim môi quan giữữ̃a ba sô với BCNN cua chung Giải: Gọi ba số nguyên dương cần tìm là: x; y; z ( Đk: x; y; z N) Theo ta có: BCNN (x , y , z) = 3150 Theo ta có: x x y x y (1) ; x 10 x z (2) y x Từ (1) (2) suy ra: 10 x y y 18 10 18 z 10 z z Đặt 10 18 = k , suy ra: x = 10.k = 2.5.k; y = 18.k = 2.32.k; z = 7.k Suy ra: BCNN (x, y, z) = 2.32 5.7.k Mà: BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.32 5.7.k = 2.32.52.7 Từ suy ra: k = Vớớ́i k = Suy x =10 = 50; y = 18 = 90; z = 7.5 = 35 ( TMĐK) Vậy số nguyên dương cần tìm 50; 90; 35 Bàà̀i 3.4 (Bài 49b/ Tr40/ Sách Đại số nâng cao THCS): Một hình chữữ̃ nhật có cạnh tỉ lệ vớớ́i theo : có diện tích 112 m2 Tính cạnh hình chữữ̃ nhật Hướng dẫn: - Gọi chiều rộng chiều dài hình chữữ̃ nhật x, y ta có điều ? (x y = 112 x hay x y ) y 7 - Đây dạng toán tương tự 2.8 Giải: Gọi chiều rộng chiều dài hình chữữ̃ nhật x (m), y(m) (Đk x, y > 0) Theo cho ta có: x y = 112 x hay x y y Đặt x y 7 = k, suy x = 4k ; y = 7k 28k2 = 112 k2 = k = k = -2 + Vớớ́i k = x = 4.2 = ; y = = 14 + Vớớ́i k = -2 x = 4.(-2) = -8; y = (-2) = -14 Do x, y chiều rộng chiều dài hình chữữ̃ nhật nên x = y = 14 Vậy chiều rộng hình chữữ̃ nhật: 8(m); chiều dài hình chữữ̃ nhật: 14(m) Bài 3.5 (Bài 24/ Tr 32/ Sách Một số vấn đề phát triển Đại số 7): Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội theo tỉ lệ : : Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ vớớ́i : : Như có đội làm nhiều so vớớ́i dự định 6m Tính số đất phân chia cho đội 15 Hướng dẫn: Ở bai toan ta phải tìm đội làm nhiêu dự định 6m3 cách tìì̀m số đất đội phảả̉i làm so với số đất dựự̣ địự̣nh ba đội Giai: Gọi tổng số đất ba đội x (m3 ) ( x > 0) Số đất dự định chia cho đội lúc đầu là: a, b, c x a 7x ; b 6x ; c 5x (1) Ta có: a b c a b c 7 18 18 18 18 Số đất sau chia cho đội a’, b’, c’ ta có: , , , x a, 6x ; b, 5x ; c, a, b, c, a b c 6 4 15 15 4x 15 (2) 15 So sánh (1) (2) ta có: a’ > a; b = b’; c’< c nên đội làm nhiều lúc đầu 6x 7x Vây: a’ – a = hay =6 x = 540 (TMĐK) Vớớ́i x = 540 15 540 15 a, 18 216 ; 5.540 b, 15 180 ; c, 4.540 15 144 Vậy số đất chia cho đội 216(m3 ); 180(m3 ); 144(m3 ) 2.3.4 Dạụ̣ng 4: Tính giá trị biểu thức: Phương pháp giải: Vận dụụ̣ng kiến thức tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số để tìm giá trị biến từ tính giá trị biểu thức Bàà̀i 4.1 (Bai 54/ Tr18 / Sach nâng cao va phat triên toan 7): Cho tỉ lệ thức x y Tính giá trị tỉ số x x y y Hướớ́ng dẫn: Dùng tính chất tỉ lệ thức biến đổi giả thiết dạng ax = by x b để suy y a Giải: Từ x y 4( 3x – y) = 3(x + y) x y 12x – 4y = 3x + 3y x 12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y y = Vậy x y= 3x y 3x y x1 y Cách 2: Từ: x y 4.( 3a – 1) = 3.( a + x Đặt =a y 3a a =3 1) 12a – = 3a + 39a = 7 x a = hay y Bàà̀i 4.2: (Nguồn internet) y z x trị biểu thức P = x y z Cho Tính giá x y z Hướng dẫn: Đặt tỉ số k, biểu diễn x, y, z theo k thay vào P Cách 1: Đặt x y z =k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0) 16 3k 4k 2k Khi đó: P = = 2k 3k 4k Cách 2: Ta có x y 5k 3k Vậy P = z = y z x 4 y z x x y z x y z y z x x y zy z x Vậy P = 53x y z 33 Nhận xét: Với hai cách thìì̀ cách học sinh dễ phát hiện, dễ hiểu cách Bàà̀i 4.3: (Đề thi HSG Tốn lớớ́p Huyện Hoằng Hóa năm học 2011 – 2012) a b c d Cho dãy tỉ số Tính giá trị biểu thức M b c d a c d a b d a b b c c d d a = c d a d a b b c a b c Phương pháp: Ta nhận thấy: Tử + mẫu = tử + mẫu = tử + mẫu 3, từ ta biến đổi tỉ số ban đầu dạng tỉ số có tử xéớ́t trường hợp xảy Giải: a b c d Từ: b c d a c d a b d b c a a b c d 1 b c d a c d a b d b c a a b c d a b c d a b c d a b c d (*) b c d a c d a b d b c a M=-4 +) Nếu: a b c d a b ( c d ); b c ( a d ) +) Nếu: a b c d Từ (*) ta có: b c d a c d a b d b c a a b c d M Lưu ý: Với bai giao viên yêu cầu hoc sinh xét hêt cac trương hơp co thê xay Bai tâp tươngCho tự: dãy tỉ số 2012 a b c d 2011a a 2012b c d a b 2012c d 2011b 2011c b c c d Tính giá trị biểu thức M a b c d a d a b c 2012d 2011d d a a b b c ( Đê thi hsg Toan huyên Ngoc Lăc năm hoc 2013-2014) Hướớ́ng dẫn: Tử - mẫu = tử - mẫu = tử - mẫu 3, biến đổi 4.3 Bàà̀i 4.4: ( Nguồn internet) Cho a, b, c đôi khác thỏỏ̉a mãn a b b c c a Tính giá trị biểu thức P a a b c a c c a b Hướớ́ng dẫn: Thực tương tự 4.2 Giải: a b b c Từ: a b b c c a c c b a c a b b 17 a b c c a b c a b c (*) b a +) Nếu: a b c a b c; a c b; b c P a b b c a c c a b abc b c a b c a abc +) Nếu: a b c Từ (*) ta có: a b b c c a a a c b P=8 Lưu ý: Trong qua trình day va hoc nhiêu thầy cô va hoc sinh không xét từng trường hợp ma chi đưa được trường hợp P = -1 từì̀ a b c = a b c = a b c học sinh suy a = b = c từì̀ tính c a b đượự̣c P = Vì vậy day cho hoc sinh giao viên cần lưu ý cho hoc sinh xét đầy đu hai trường hợp Bàà̀i 4.5: (Đề thi HSG Toán lớớ́p Huyện Hậu Lộc năm học 2013 – 2014) bc ca Cho số a; b; c khác thỏỏ̉a mãn: ab a b Tính giá trị biểu thức P b c c a ab bc ca2 a b c3 Hướớ́ng dẫn: Sử dụụ̣ng tính chất dãy tỉ số tìm mối liên hệ giữữ̃a a, b, c vào P Giải: a b b c c a bc ca Vớớ́i a , b , c ta có: ab c a a b b c b 1 a c b 1 a c 1 a b c ab bc ca a =b = c Thay a =b = c vào P ta P = a3 a3 a3 a3 a a BÀI TẬP Áí́P DỤNG Bàà̀i Tìm số x, y, z biết a) 2x 4x b) x 5x 10x y z 4x – 3y + 2z = 36 c) 2x = 3y; 5y = 7z; 3x–7y+5z =30 d) x: y: z= 3: 4: (-2) xyz = 124 x 16 f) y 25 16 z 15 25 x e) x y z xyz =12 Bàà̀i Tìm số x, y, z biết rằng: a x : y : z : : 2x2 + 2y2 – 3z2 = -100 b x y ; y z x y z 50 c 12 x 15 y 20 z 12 y 15 y 20z x y z 48 7911 18 x y z x y z d 49 Bàà̀i Tìm số x, y, z biết: a x ; y x y z y 2z c x b, y y 8y 19 5x 13 2x 3y 6x Bàà̀i Cho tỉ lệ thức a y z d, x z y x xy 6y x y z z c Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( vớớ́i giả d b thiết tỉ số có nghĩa ) a a 7b c 7d 3a 4b c a b 3c 4d a b2 c d c d b, 2015a 2016b 2015c 2016d 2016c 2017 d d, ab a 3b 2016 a 2017b e, a 5ac c d 2c 3d Bàà̀i Cho dãy tỉ số nhau: a1 a a2 thức: a2 a3 a2014 a3 a4 a2015 a1 a 2015 a a a a a a a1 7a 2014 5ac 7b 5bd b 5bd chứng minh đẳng c x,y,z,t ax yb zc td d số thỏỏ̉a mãn xc yd Chứng minh rằng: xa yb za tb zc td a 13b 2c 13d Chứng minh rằng: a c Bàà̀i Cho tỉ lệ thức 3a 7b 3c 7d b d a b c d Bàà̀i Cho dãy tỉ số b c d a c d a b d b c a Chưng minh biêu thưc M a b b c c d d a co gia tri nguyên Bàà̀i a Cho b c d a d a b b c Bàà̀i Tìm số tự nhiên có ba chữữ̃ số, biết số bội 72 chữữ̃ số xếp từ nhỏỏ̉ đến lớớ́n tỉ lệ vớớ́i 1; 2; Bàà̀i 10 Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4, 12, x biết x số tự nhiên Tìm x 2.4 Kết nghiên cứu: Sau thời gian áp dụụ̣ng sáng kiến kinh nghiệm thấy kết mang lại khả quan Cuối học kì I năm học 2016 – 2017 đề khảo sát: Đề khảo sát ( Thời gian: 45 phút) Bàà̀i (3 điểm): Tìm x, y biết a x y x + y = 15 b 7x = 3y x – y = 16 c x 3 y 3x – 2y = -10 Bàà̀i 2(3 điểm) : Tìm x , y, z biết x y z a 4x - 3y +2z = 36 b 3x = 2y, 75 = 5z x - y + z = 32 19 Bàà̀i (3 điểm) Tính độ dài cạnh tam giác, biết chu vi 22cm cạnh tam giác tỉ lệ vói số 2; 3; 4? c Bàà̀i (1 điểm): Cho ba tỉ số nhau: a b b c d a b c Chứng minh rằng: a d b c d Kết thu sau: TSHS 56 Gioûi SL % 14, Khaù SL 15 % 26, Trung bình SL % 44, 25 Yếu SL % 14, Kém SL % KẾT LUAÄN, KIẾN NGHI 3.1 Bàà̀i họụ̣c kinh nghiệm: Qua kết nghiên cứu áp dụụ̣ng sáng kiến kinh nghiệm tơi nhận thấy học sinh khơng cịn sợ dạng tốn liên quan đến tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nữữ̃a Khi đưa toán em nhận dạng nhanh tốn dạng Các em có kỹ tính tốn nhanh nhẹn, em biết cách biến đổi từ nhữữ̃ng dạng toán phức tạp dạng biết cách giải Qua nhữữ̃ng tập rèn luyện tư sáng tạo, linh hoạt đối vớớ́i nhữữ̃ng tập phù hợp kiến thức chương trình Ngoai cach giai cua giao viên tơi thây cac em cịn co nhiêu cach giai rât hay thê hiên những điêm thông minh cac phép biên đơi Nhờ mà tăng số lượng học sinh khá, giỏỏ̉i, tăng chất lượng mũi nhọn nhà trường Do thời gian hạn chế nên muốn thực giải pháp phải đưa vào dạy tự chọn va bồi dưỡng học sinh giỏỏ̉i khơng khơng có thời gian để luyện tập cho học sinh Toán chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trướớ́c, ta nghiên cứu sâu đối vớớ́i đẳng thức phức tạp cịn nhiều dạng tốn phức tạp mà chưa đưa sáng kiến kinh nghiệm này, dạng tốn dựa vào tính chất tỉ lệ thức áp dụụ̣ng bất đẳng thức chưa đưa Do thân tơi cịn phải tiếp tụụ̣c nghiên cứu, phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến 3.2 Kiến nghị Tuy có nhữữ̃ng hạn chế nhìn chung giải pháp “Kinh nghiệm sử dụụ̣ng tỉ lệ thức, tíí́nh chất dãy tỉ sớí́ để giải sớí́ dạụ̣ng toáí́n mơn Đạụ̣i sớí́ lớp 7” Trang bị cho học sinh kiến thức chuyên sâu nhằm vận dụụ̣ng để giải tập nâng cao tỉ lệ thức toán dãy tỉ số cách có hiệu Vì vậy, để thực có hiệu quả, chúng tơi xin đưa số đề xuất: + Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức phần mở rộng, nhữữ̃ng phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót; 20 + Trong q trình giảng dạy ý rèn kĩ phân tích đề bài: Cho điều yêu cầu chứng minh tìm Bài tập sau có khác so vớớ́i tập trướớ́c, rèn cho em cách nhìn phân tích toán thật nhanh; + Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn tập có nội dung lồng ghéớ́p nhữữ̃ng tốn thực tế, có kiến thức liên mơn để kích thích tính tị mị, muốn khám phá nhữữ̃ng điều chưa biết chương trình Tốn 7; + Phần kiến thức sử dụụ̣ng nhiều chương trình tốn học lớớ́p số môn học khác nên tài liệu tốt để giáo viên khác tham khảo Sau thực đề tài “Kinh nghiệm sử dụụ̣ng tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để giải số dạng toán môn Đại số lớớ́p 7” Tôi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết học tốt Tuy nhiên cịn nhiều dạng tốn nữữ̃a mà chưa đưa đề tài Bởi tiếp tụụ̣c nghiên cứu thêm vào năm học sau Vớớ́i lực hạn chế việc nghiên cứu đầu tư, ghi lại nhữữ̃ng kinh nghiệm thân, nhữữ̃ng vấn đề tiếp thu tham khảo sách tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm tơi khơng tránh khỏỏ̉i nhữữ̃ng sai sót Rất mong góp ý chân thành Hội đồng khoa học cấp Thọ Xuân, ngày tháng năm 2018 XÁớ́C NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hiệu trưởng Hàà̀ Sỹ Sơn Tôi xin cam kết sáng kiến tự làm, không chéớ́p người khác Người viết Hoàà̀ng Sỹ Tiến TÀI LIỆụ̣U THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập toán tập I Sách nâng cao phát triển Toán - tác giả Vũ Hữữ̃u Bình Sách nâng cao chuyên đề Toán –tác giả: Bùi Văn Tuyên Các chủ đề nâng cao toán tác giả Huỳnh Quang Lâu Các đề thi học sinh giỏỏ̉i toán huyện, tỉnh mạng intenet 500 Toán chọ lọc tác giả Nguyễữ̃n Ngọc Đạm… 21 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chon đề tài 1.2 Mụụ̣c đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 1 1 22 Nội dung sáí́ng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị 20 20 DANH MỤC CÁí́C ĐỀ TÀI SÁí́NG KIẾí́N KINH NGHIỆụ̣M ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁí́NH GIÁí́ XẾí́P LOẠI CẤP PHỊNG GD&ĐT, CẤP SỞỞ̉ GD&ĐT VÀ CÁí́C CẤP CAO HƠN XẾí́P LOẠI TỪ C TRỞỞ̉ LÊN Họ tên tác giả: HOÀNG SỸ TIẾN Chức vụụ̣ đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Xuân Vinh - Thọ Xuân – Thanh Hóa, TT Tên đềà̀ tàà̀i SKKN Cấp đáí́nh giáí́ Kết xếp loạụ̣i đáí́nh giáí́ Năm họụ̣c đáí́nh giáí́ 23 xếp loạụ̣i (A, B, Tỉnh ) C) Phòng GDĐT C Phòng GDĐT C 2009 -2010 2010 -2011 Phòng GDĐT C 2014 -2015 UBND Huyện 2017 -2018 (Phòng, Sở, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức dùng cho bồi dưỡng học sinh giỏỏ̉i Toán THCS Hướớ́ng dẫn học sinh giải Toán cực trị đại số dạng phân thức nhằm nâng caao chất lượng học sinh khá, giỏỏ̉i lớớ́p trường THCS Kinh nghiệm sử dụụ̣ng tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để giải số dạng tốn mơn Đại số lớớ́p B xếp loạụ̣i * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụụ̣ng vào Ngành thời điểm 24 ... tài ? ?Kinh nghiệm sử dụụ̣ng tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để giải số dạng tốn mơn Đại số lớớ́p 7? ?? Tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết học tốt Tuy nhiên nhiều dạng. .. SGK): Tìm ba số x, y, z biết rằng: ; x + y – z = 10 Hướng dẫn: Ở toán chưa có dãy tỉ số Vậy để xuất y y dãy tỉ số ta làm nào? Ta thấy tỉ số có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng dướớ́i... (Tính chất tổng hiệu tỉ lệ) c 2.1.2 Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c xyzabc Lưu ý: Nếu đặt dấu “ – ” trướớ́c số hạng tỉ số đặt dấu “ - ” trướớ́c số hạng dướớ́i tỉ số Tính chất dãy