SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang I Mở đầu… …………………………………………… ………3 Lí chọn đề tài…… ……………………………… ……….3 Mục đích đối tượng nghiên cứu…………………… … ….3 Phương pháp nghiên cứu………………… ………… ………4 II Nội dung……… …………………………………………….4 Cơ sở lí luận…………………………………………… Thực trạng………………………………………………… .4 Giải pháp……………………………………………….………5 3.1Kiến thức chương số phức …………….…………… 3.2Các phương pháp………………… ………… ….…………… 3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …… ………………… 3.2.2 Phương pháp xét hàm…… …………………… 10 3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học…………… 14 3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai…………………….………… 21 3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……………… ……………….22 3.3Bài tập tự luyện…………………………………………… 25 III Kết luận…………………………………………… …………26 Kết nghiên cứu……………………………….….……… 26 Kết luận kiến nghị…………………………………… … 26 Tài liệu tham khảo………………………………………….… 26 I MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Trong năm trước đây, toán max, số phức nằm phần lớn chương trình đại học Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn toán max, số phức coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ GD& ĐT Sự đổi đoán làm thay đổi toàn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm yêu cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng toán Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, toán max, số phức nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề viết đa phần kí hiệu tốn, học sinh khơng nắm kiến thức đọc khó hiểu đề; yếu tố thứ hai sử dụng tư bất đẳng thức, tư hình học, tư hàm số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn địi hỏi biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Đây tốn mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo cịn ít, cịn hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học nhu cầu cấp thiết cho thầy học sinh MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt toán max, số phức - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: “Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp toán max, số phức có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với toán hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khuôn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán max, số phức đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương số phức, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng toán khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày khơng mặn mà với tốn max, số phức Lí bạn đưa tốn khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi phức tạp, sử dụng nhiều đơn vị kiến thức chương hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phần khó cịn yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm toán bỏ qua hoàn toàn khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, toán mấu chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” GIẢI PHÁP 3.1 Kiến thức chương số phức có liên quan Đơn vị ảo i2 x yi (x; y Mỗi biểu thức dạng phần thực, y phần ảo Hai số phức nhau: yi x Mỗi số phức x yi M (x; y) Môđun số phức: x Số phức z x yi R) x' gọi số phức; x y' i x x' y y' biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm x2 y yi OM có số phức liên hợp z x yi Phép cộng: (x yi) (x' y'i) (x x') ( y y')i Phép trừ: (x yi) (x' y'i) (x x') ( y y')i Phép nhân: (x yi).(x' y'i) (xx' yy') (x' y xy')i x' y'i x yi Phép chia: z Dạng lượng giác * Chú ý: z z z z' z z xx' yy' x 2y r(cos xy' x' y x 2y isin ) i z z z'.z' z' z z z z' z' z' z' z' z' z' 2 2z ' z' z" z z z' z' " z2 z2 3.2 Các phương pháp 3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức * Phương pháp R) + Gọi số phức z x yi (x; y + Biến đổi biểu thức cho giả thiết theo x y + Biến đổi yêu cầu toán theo giả thiết + Quan sát nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất biểu thức để đánh giá max, + Giải dấu = bất đẳng thức để số phức thỏa mãn * Chú ý: Nếu đề khơng u cầu tìm số phức z để q trình làm tốn ngắn gọn ta khơng cần biểu diễn số phức z thông qua x, y không cần giải dấu Ta cần làm hai bước: + Biến đổi yêu cầu toán theo giả thiết + Quan sát nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất biểu thức để đánh giá max, * Các bất đẳng thức thường sử dụng: (x y)2 x; y xy (x y)2 k k x; y Dấu x y = xảy = xảy Bất đẳng thức Côsi: x x y xy x; y y z x y z k (x y)2 k x; y Dấu = xảy Dấu x y x; y; z x y x2 y2 2xy x; y Dấu = xảy Bất đẳng thức Bunhia: (a2 b2 )(c2 d ) (ac bd)2 Dấu = xảy ad bc Bất đẳng thức số phức: z' z' z' z' z' z' Bất đẳng thức vectơ: a b a b * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z i Tìm số phức z có mơđun lớn nhỏ Hướng dẫn: +, Gọi z x yi (x; y R) +, z i (x 1) ( y 1)i 1 +, z x yi (x 1) ( y 1)i i (x 1) ( y 1)i i 2 z max Dấu = xảy x1 y1 x 1 y 2 +, z 2 Dấu = xảy i 1 i (x 1) ( y 1)i z x1 y1 z1 2 x1 2 y 2 z1 1 i Nhận xét: Vì tốn cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức i (x 1) ( y 1)i cần đưa số phức có mơ đun mơ đun số phức cho giả thiết Ví dụ : Tìm z ; z biết (1 i)z 2i Hướng dẫn: +, Gọi z x yi (x; y R) z 3i 1 z 2i +, (1 i)z 2i max i 2 2 x y 2 +, i z x yi x z max 2 10 z i 2 i x y 2 i 2 i 10 2 10 2 +, z y i x y 10 i 2 Theo ý, ví dụ ta làm gọn sau: z 2i z 3i +, (1 i)z 2i 1 i +, z z z max 3i 10 z 3i z 3i 2 3i 2 10 10 2 +, z 3i 2 z 3i 10 2 Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN Hướng dẫn: +, i z 4i 5i z z max 34 +, i z 34 5i z 4i 34 i 4i biết z 5i 4i 34 5 Ví dụ : Cho số phức z thỏa mãn B z 4i A z 4i z 4i Số phức z có z D z 2i 2i C z Hướng dẫn: +, Gọi z x yi +, z z 4i (x; y R) z x y 8y 25 y y x 3z z Ví dụ z z z 2 z 10y 36 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn A B Hướng dẫn: z 8y 25 06x 8y 25 x Dấu = xảy là: 2 +, 2i 20 225 Đáp án D z z 2 C z 1z ? Khi z D Đáp án B : Cho số phức z số thực GTLN z 15 z2 số thực Tìm i A Hướng dẫn: z B z z z z ( z)(2 z z z1iz1i C 2 z 2 ) z z D 2 2(z z) (z z) 2 2 z i max 2 z 4i z x yi (x; y R) Ví dụ 7: Cho số phức thoả mãn w m (x y)i m z Tính môđun số phức A w B w C w 10 Hướng dẫn: z 2i x y +, z 4i x y2 +, z 22 x2 y z 2 +, Dấu = xảy x y x2 w w 2 4i Amax z 2z 12 22 D w z 2 26 z Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm GTLN A A B C D Hướng dẫn: z' 2z Áp dụng bất đẳng thức Bunhia đẳng thức z' A Chọn A y2 xy z 2i 22 z 22 z z 2.22 2 z' ta có 5 Chọn B Ví dụ : Cho số phức nhỏ biểu thức P z1 A B Hướng dẫn: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: z2 z3 +, P z1 z1 z2 2 +, z3 z i z2 z3 i Tính giá trị D z3 1 2 z3 C 3 thỏa mãn z ; z2 ; z3 z2 z P 2 Dấu = xảy z1 z2 Ví dụ 10: Cho số phức nhỏ biểu thức A Hướng dẫn: z1 z2 z z2 z3 z2 z3 P z3 z1 Theo bất đẳng thức z3 x z3 z2 Tính giá trị z2 z3 z3 z3 z2 D z1 z2 z3 z1 z2 z2 C z1 z z2 z z B thỏa mãn z1 ; z2 ; z3 z2 z1 z3 z2 z1 1 z x y z z2 z3 z3 z2 z3 z1 z3 z1 x; y; z Cơsi ta có: y P z1 z2 z1 z3 z1 z3 z2 z2 z2 z3 z3 z3 z2 M (x; y); A(0; 1) ; B(2;1) z z z 3z z C (y 1)2 2)2 P i z i Tính D Theo bất đẳng thức vectơ ta có (x x)2 ( y 1 y)2 P MA MB MA MB 2 Chọn C Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn w P iP môđun số phức max A B Hướng dẫn: (x; y R) +, Gọi z x yi +, z (x 1)2 y2 2 +, P i z i x ( y 1)2 (x Đặt z1 z 2 Pmin 2 +, Theo bất đẳng thức Bunhia: P x2 ( y 1)2 (x 2)2 ( y 1)2 2.2 x y2 Pmax Chọn A III.2.2 Phương pháp xét hàm * Phương pháp + Gọi số phức z x yi (x; y R) + Biến đổi biểu thức cho giả thiết theo x y (1) + Biến đổi yêu cầu toán theo x y (2) + Rút x y (1) vào (2) + Xét hàm số, kết luận * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Gọi M, m GTLN, GTNN phần thực số phức , z số phức có z Tính P M m2 w z3 w z3 A.P Hướng dẫn: +, Gọi số phức +, w z z B.P z x yi z z D.P 10 2x z 3z z +, Từ z x2 y2 +, Xét hàm số f (x) (x; y R) z C.P 29 8x 6x x1;1 8x3 6x (x1;1 ) (t / m) 11 f ( 1) 2; f (1) 2; f ( 4) M 2;m P Chọn A f '(x) 24x2 6x x Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 4(z số phức z biết z 3i z) 15i i(z z 1)2 Tìm mơđun 41 64 A B 241 64 Hướng dẫn: z x yi +, Gọi số phức C +, z 1) z) 15i i(z z 3i 2 +, Xét hàm số 12 x 21 y2 8y f ( y) y D 41 (x; y R) +, 4(z 241 8y 21 y 2y 15 2y 15 y 15 11 +, Xét hàm số f (t) 8t 16t (t 0; ; f (0) 0; f ( f '(t) 32t t 4 ) Pmax 0; Pmin Chọn A z Giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn P z z 4i bao nhiêu? A.4 B C 14 15 D 15 15 Hướng dẫn: +, Gọi số phức x; y2;2 z x yi (x; y R) Từ 2 z x y +,P z z z z 4i (x 1) y (1 x)2 +, Áp dụng bất dẳng thức a2 b2 c2 d (a c)2 b d y;c x tính chất giá trị tuyệt đối ta có: P x 1 x ( y y) +, Xét hàm số f (2) ; f 10 3 y y y ( y2;2 ) ta y2 f ( y) 2 ;f y y2 với a (b d)2 x 1; 2y (tm) f '( y) y có ; f ( 2) f ( y) 3 Chọn A x 0; y Dầu = xảy Ví dụ : Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện z2 10 i z1 z Tìm GTNN biểu thức A B C 101 10 Hướng dẫn: z x yi (x; y R) +, Gọi số phức y x2 (P) +, z1 i z z1 2i i z1 D.3 10 z1 2i 1 +, z2 10 i (x 10)2 ( y 1)2 (C) Đường trịn (C) có tâm I (10;1) Đặt z0 10 i (số phức có điểm biểu diễn I) z1 z z1 z +, Ta có z1 z2 z1 z0 +, Xét hàm số f (x) x4 x2 20x 101 x3 16 20x 101 f '(x) x 20 x 4 16 x f (x) f (4) 45 x4 x2 Suy f(x) đạt cực tiểu Dấu = xảy z1 4i z2 giao điểm IM đường tròn (C) (với M điểm biểu diễn số phức z1 ) z 4i Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M, m z i Mô đun số phức GTLN, GTNN biểu thức P w M mi là? A 137 B 1258 C 309 D 314 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi (x; y R) z1 z 2 12 +, z 4i z max y (x (y 4)2 OI R cos t sin t x +, P 3)2 OI R z +, Đặt z 2 i +, Xét hàm số (t0; 4x y f (t) sin t sin t cos t 23 cost 23 (t 0; ) Ta tìm Max f (t) 33 f (t) 13 Chọn B 3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học * Phương pháp +, Gọi số phức z x yi (x; y R) +, Biến đổi giả thiết u cầu tốn phương trình theo x y Nhận biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình để biểu diễn mặt phẳng tọa độ +, Từ hình vẽ tính chất hình học giải tích biện luận max, * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn: w 1258 O M” I -4 M’ +, z 4i (x 3)2 (y 4)2 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn tâm Phương trình đường thẳng OI: 4x 3y +, I (3; 4); R +, +, Tọa độ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn nghiệm hệ (x 4x 3) 3y (y 4) Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z Hướng dẫn: 2i z i Tìm GTNN z 2i I M 13 z x yi (x; y R) +, Gọi số phức có điểm biểu diễn M +, z 2i z i 3x y Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d: 3x y +, Đặt R z 2i (x 3)2 ( y 2)2 R2 (x 3)2 ( y 2)2 (C) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm Suy M giao điểm d (C) M ( 3;2) , bán kính R R M M d(M , d) +, z 2i đạt giá trị nhỏ d(M Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 3i A 5 B Hướng dẫn: 10 z i C , d) z 3i 10 D Giá trị lớn +, Gọi số phức z x yi (x; y R) +, z i z 3i (x 1)2 ( y 1)2 (x 1)2 ( y 3)2 Đặt M (x; y) biểu diễn số phức z; A(1;1) biểu diễn số phức i ; B( 1; 3) biểu diễn số phức 3i Ta có MA MB Khi điểm M nằm elip tâm I có độ dài trục lớn A, B hai tiêu điểm (x 2)2 ( y 3)2 +, z 3i MC với C(2;3) biểu diễn số phức 3i +, AB( 2; 4) AB ; AC(1;2) AC Ta có AB 2AC AB 2AC +, Gọi M’ điểm elip cho A, B, M’ thẳng hàng M’ khác phía A AB so với B Khi BM ' 25 Ta thấy MC M 'C với điểm M nằm elip Do MC lớn M trùng M’ Suy MC M'C CA AB BM' Chọn A Ví dụ : Cho số phức z1 ; z2 thỏa mãn giá trị lớn biểu thức T 3iz1 2z2 A 554 B 558 C Hướng dẫn: z1 3i 322 3; iz2 2i D 554 Tìm 13 14 +, z1 3i +, iz2 2i 3iz1 15i i 3i 3iz1 15i 2z2 8i 2z2 8i +, Gọi A, B điểm biểu diễn 3iz1 2z2 , A, B thuộc O(9;15) I (4; 8) đường trịn tâm bán kính đường trịn tâm bán kính Ta tính OI 554 T 3iz1 2z2 3iz1 ( 2z2 ) AB Do IO 554 nên hai đường tròn Suy ABmax AO OI IB 554 13 Chọn D z 3i Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn GTNN z 2i A 30 B 30 34 34 z 2i C 34 Tìm tổng GTLN D 34 34 30 34 Hướng dẫn: +, Gọi số phức z x yi (x; y R) có điểm biểu diễn A(2;3); B(5; 2) ;C( 1; 2) +, Từ giả thiết ta có phức 3i ;5 2i ; 2i Ta có AB +, Theo giả thiết AI BI 5x 3y 19 Phương trình AB: +, CImin CI 34 ; z 2i CI 34 AB điểm biểu diễn số I thuộc đoạn thẳng AB 30 d(C; AB) 34 I trùng với điểm đầu mút đoạn AB 34 ;CB CI Do CA Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện +, I (x; y) max max z 1z 2 A 2i Tìm GTNN biểu thức B P z C z z z1 i z z1 i; D Hướng dẫn: +, Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 +, a bi; z2 c di (a,b,c, d R) z1 i 2a 4b z1 i Suy M di động đường thẳng d1 : 2x 4y +, z2 z2 2i 2c 4d Suy (a N di động đường thẳng d : 2x 4y +, P z1 z2 z1 z2 c)2 (b d)2 3)2 (a b2 (c 3)2 d2 MN MA NA; A(3;0) +, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1 ; A2 đối xứng với A qua đường thẳng d2 Ta có MN MA NA MN MA1 NA2 A1 A2 Đẳng thức xảy điểm M , N, A1 , A2 thẳng hàng +, Gọi đường thẳng qua điểm A vng góc với d1 , phương trình H1 A1 (2;2) d1 : 2x y , H1 ;1 Gọi 2 đường thẳng qua điểm A vng góc với d2 , phương trình : 2x y , H 219618 d 22 H 10 ; A ( ; ) 5 Chọn D Vậy Pmin A1 A2 Ví dụ : Cho z1 ; z2 hai số phức thỏa mãn hệ thức z z z1 z Tìm GTNN biểu thức P A -10 B -5 C -3 D Hướng dẫn: z 4i +, Gọi số phức z z 4i (x 3)2 ( y 4)2 x yi (x; y R) Gọi M, N lần Ilượt (3;4);là R 2điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 , M, N thuộc đường tròn tâm MN 16 +, P z1 z2 2NM OJ (với OM ON2 (OM ON)(OM ON) NM(OM ON) J trung điểm MN) 2NM (OI IJ ) 2NM OI (MN IJ ) 2MN.OI.cos(NM ,OI) 2MN.OI.( 1) Chọn A Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn 2 z i z 2i biết P z 2i A B Hướng dẫn: +, Gọi số phức z z 3i x yi (x; y R) (x 4)2 ( y 3)2 25 Tìm mơđun số phức z đạt GTLN C D z 3i 10 Tập hợp điểm M (x; y) I (4;3); R phức z đường tròn tâm +, Với A( 2;2); B(4; 1);C(0; 2) P MA2 2MB2 +, Gọi H (x; y) thỏa mãn HA 2HB 3HC +, P MH HA2 2MH HB2 3MH HC2 6MH HA2 2HB2 3HC2 biểu diễn số 3MC2 H (1; 1) 2MH HA 2HB 3HC 6MH HA2 2HB2 3HC2 Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn MH lớn Suy M, HM IM I, H thẳng hàng HM IM Ta có Chọn A Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn z 8i P z 9i A z 2i B z 6i Hướng dẫn: HI 5HM HI MI 10HM 2IM +, Gọi số phức z x yi (x; y z i x 2( x 4) x y 2( y 3) y biểu thức sau đạt giá trị nhỏ C z i D z 5i R) 17 (x 1)2 z i ( y 1)2 25 I (1;1) ; R đường tròn tâm +, Xét điểm A(7;9); B(0;8) Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z IA 10 2IM Gọi K điểm tia IA cho IK IA K +, Do IM IK , góc MIK chung IKM IA IM MK IK MA IM MA 2MK +, P Pmin z 9i 5 z 8i ;3 đồng dạng với IMA MA 2MB 2(MK MB) 2BK M BK (C) , M nằm B K 5 x +, Phương trình đường thẳng BK : 2x y Ta tìm M (1;6) Chọn B Ví dụ 10: Cho số phức z x yi (x; y R) thỏa mãn y2 Gọi M, m GTLN, GTNN P x A 156 20 10 B 60 20 C 10 z i 2 3i 8x y Tính M 156 20 10 m D 60 210 Hướng dẫn: +, z 3i y ( x2) ( y 1) i 2)2 (x (y 3)2 2)2 (x (y 1)2 2x 25 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền phẳng (T) tơ đậm (hình vẽ) A(2; 6) ; B( 2;2) +, Gọi giao điểm đường thẳng 2x y đường tròn (C') : (x 2) ( y 1) 25 Ta có P x2 y2 8x 6y (x 4)2 (y 3)2 P 25 Gọi (C) đường tròn tâm J ( 4; 3); R P 25 +, Đường tròn (C) cắt miền (T) khi: JK R JA IJ IK R IA 10 25 P 40 20 10 P 20 M 20; m 40 20 10 Chọn B 3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai 18 * Phương pháp + Gọi số phức z x yi (x; y R) + Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x y (1) + Đặt biểu thức yêu cầu toán P, biến đổi biểu thức theo x y (2) + Từ phương trình (1) (2) đưa phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y) P tham số +, Sử dụng điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai để biện luận * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3i Gọi M, m GTLN, i Tính giá trị biểu thức M m2 GTNN z 2 A M m 20 B M m2 26 C M m2 28 D M m2 Hướng dẫn: (x; y R) +, Gọi z x yi z 3i (x 2) ( y 3)2 (1) (x 1) ( y 1) +, Đặt P z i P (P 0) (2) Lấy (1) trừ (2) ta y P 6x 10 thay vào (1) ta được: 2 52x2 (40 12P2 )x P4 4P2 52 +, Để phương trình có nghiệm 14 13 P m 4.52(P4 4P2 52) (40 12P2 )2 14 13 14 13 ; M 14 13 M2 m2 28 Chọn C Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Gọi M, m GTLN, i GTNN biểu thức P z Tính mô đun số phức wM mi A w B w C w D w 128 1558 314 1258 Hướng dẫn: +, Gọi z x yi (x; y R) z 4i ( y 4)2 5 (1) (x 3)2 P z i +, 4a 2b (2) +, Từ (1) (2) ta có: 2 20x2 (64 8P)x P2 22P 137 Phương trình có nghiệm ' w 33 13i w 4P2 184P 1716 Chọn D Ví dụ : Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 m tham số (m R) Giá trị m để ta ln có m m C m A B m 13 P 33 1258 Hướng dẫn: +, z1 z2 m i +, Gọi z2 x yi z1 2i z2 z2 là? D m z1 m i , m3 z2 m i (x; y R) Ta z2 m 3i có (x m 1) ( y 1)i (x m 3) ( y 3)i 19 (x m 1)2 ( y 1)2 2 (x m 3)2 ( y 3)2 +, z2 x Để z2 y x (2x 2m 4) y 2x 2m 5x 5(4m2 16m 4) m m Chọn B Ví dụ 4: Cho số phức z x yi (x; y R) mơđun z lớn Tính A B Hướng dẫn: t +, Đặt t z 4i x y +, x z y 6x 8y x2 y2 100 z C 2 x x x z 4i 1 z 4i y2 6x 8y 6x 8y 100 x2 y2 0 z 2100 z 10 z z max 100 z 10 y8 100 y2 y D z 4i x2 1t y Với thỏa mãn ? 3t 8(2 m)x 4m2 16m 16 8(2 m)x 4m2 16m x 5x2 ' 16(2 m)2 x6 x8 y Chọn C 3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa * Phương pháp R) + Gọi z x yi (x; y + Biến đổi giả thiết yêu cầu toán phương trình theo x, y + Quan sát phương trình giả thiết đặt x f (sin t ) y g (cos t ) + Chuyển yêu cầu toán biểu thức theo lượng giác biện luận max, Chú ý + Nếu giả thiết cho tập hợp điểm đường trịn x a y b2 R2 đặt x a R sin t + Nếu giả thiết cho tập hợp điểm đường elip x2 a xa sin t yb cos t + Nếu giả thiết cho tập hợp điểm đường elip * Phương pháp 2 (x x )2 (y y a xx0a sin t yy0b cos t y2 b2 b2 )2 đặt đặt z r(cos x i sin x) + Gọi số phức dạng lượng giác + Chuyển giả thiết yêu cầu bái toán cosx sinx để biện luận max, theo lượng giác * Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z i z GTNN biểu thức P A -3 B -2 Hướng dẫn: +, Gọi z x yi (x; y R) Gọi M, m GTLN, Tính M+m C D 10 3i 2 20 +, z +,P x 2 3i i Đặt y y 32 z 4x y cost sint x 2 (t R) P sint cost sin t cost 24 (P 1) 52 sin t cos2 t 100 10 P 1011 P M 9; m 11 M m Chọn B Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z 2)i lượt GTLN, GTNN z Tính M m A B C Hướng dẫn: (x; y R) +, Gọi z x yi (z 2)i (z +, Gọi 2)i 10 z ( i) (z 2)i 10 Gọi M, m lần D 21 21 z (2 i) 10 M, N điểm biểu diễn số phức z A( 2;1) ; B(2; 1) ;C(2;1) Ta thấy MC NB X2 Y2 +, Từ giả thiết có MA MC 10 Quỹ tích điểm M elip (E): z ; 25 21 (Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) trung điểm đoạn AC) +, Áp dụng công thức đổi trục Y y (E) : 21 25 X x +,Đặt (t 0;2 ) y 21cost OM x 5sint 4cos2 t 4a2 x x2 (y 1) y 2 21cost 26 21a 26 (với a hàm số f (a) 4a2 cos t ; a 1;1 ) 21a 26 (a 1;1 ) +, Xét M 21;m 21 Chọn A Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M, m GTLN, GTNN biểu thức P z z z Khi tích M.m ? A 13 B 13 C D 3 Hướng dẫn: +, z r(cos x i sin x) Do r z z x2 x yi y2 1 P 2 cos x cos x 2t +, Đặt t cos x (t 1;1 ) P Sử dụng phương pháp xét hàm ta Chọn A Ví dụ 4: Cho hai số phức P GTNN biểu thức 2017 2017 2 z1 z2 z 20172 13 ; Pmin max z A 2017 B Hướng dẫn: 2017(cos2x isin 2x) ; z2 +, Đặt z1 P thỏa mãn điều kiện z1 ; z2 z z 2t 13 M.m z1 z2 2017 Tìm z z 2017 z 2 C 20172 D 20172 2017(cos2y isin 2y) cos2x isin 2x cos2y isin 2y cos(x y) 20171 cos(2x 2y) isin(2x 2y) 2017cos(x y) 21 Tương tự z 20172 2017sin(y x) 2 cos(x y) P sin(y x) z1 z2 cos2 (x y) x) 2017 cos (x y) sin( y x) 2017cos(x y) 2017sin( y cos2 (x y) sin2 (x y) 20172 sin ( y x) 2 2 2017 sin ( y x) 20172 Chọn D 3.3 Bài tập tự luyện iz z1 i 2; z2 Câu 1: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện z1 z GTNN biểu thức P A B 2 C D 2 Câu 2: Cho z x yi (x; y R) thỏa mãn điều kiện 4(z z ) 15i i(z z 3i Tính y x biểu thức đạt GTNN Tìm z 1)2 A B C D Câu 3: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện z 2i z 5z1 (2 i)(z2 4) Tìm GTLN biểu thức P z1 i ; 5 2i 13 A B.4 C 53 D 13 ; z1 5i z2 ; z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện Câu 4: Cho số phức 4i z 4i z1 z2 biểu thức P z z1 z z2 Tính đạt GTNN A 41 B C D Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z 2)i (z 2)i 10 Gọi M, m GTLN, GTNN z Tính tổng M m A B C 21 D 21 z z2 6i Câu 6: Cho z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện z2 3i Tìm GTNN z1 z2 5 10 C Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện A B P 2z A.4 z 4i B Câu 8: Cho iz A 313 16 z C hai số phức 2i 10 D Tìm GTNN biểu thức 14 D 15 z1 ; z2 15 thỏa mãn điều kiện Tìm GTLN biểu thức B 313 P 2iz z1 3i 3z C D 313 313 25 Câu 9: Cho hai z z số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều P z biểu thức P i iz i z Tìm GTLN biểu thức A B C Câu 10: Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện kiện D z z 3i Tìm GTLN z 7i 22 A.8 B.10 C.2 D.4 III KẾT LUẬN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách phân loại dạng toán tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư lí luận với thực tiễn Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ôn tập dạng toán phương pháp, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi thử trường THPT Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi lớp12 trường lớp 12A, 12B, 12D năm học 2018- 2019 Với 10 toán hệ thống tập tự luyện trên, lớp chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết, thời gian làm 25 phút Kết thu cụ thể thể bảng sau: Nhóm Số học sinh có lời Số học sinh có lời Số học giải 0-5 câu giải 6-10 câu sinh 0-2 câu 3-5 câu 6-8 câu 9-10 câu NHÓM I Lớp 12A 15 Lớp 12D 20 11 Lớp 12K 15 NHÓM II Lớp 12A 15 Lớp 12D 20 Lớp 12K 15 10 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh 23 Đề tài tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng chất lượng, nội dung hình thức, mong hội đồng KH nghành xét duyệt phổ biến rộng rãi giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy học tập Bài viết không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hồn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25/ 05/ 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Nguyễn Văn Vương TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thức thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017, 2018 Bộ GD & ĐT Tuyển tập tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019 Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn tốn 2018-2019, thầy Mẫn Ngọc Quang Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019 thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đồn Trí Dũng Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn tốn năm 2017, 2018, 2019 trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, trường THPT tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang Chánh,… Tổng ôn chuyên đề cực trị số phức thầy Phạm Minh Tuấn Chuyên đề giải toán cực trị số phức phương pháp hình học giải tích Tạ Đức Huy 24 ... tài: ? ?Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp. .. chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán max, số phức mức độ vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia ” GIẢI PHÁP 3.1 Kiến thức chương số phức. .. tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán max, số phức đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương số phức, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức