VẤN ĐỀ 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP - Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng - Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến hai mặt phẳng Chú ý: Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng nằm hai mặt phẳng Giao điểm, có, hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy tứ giác ABCD, AB cắt CD E, AC cắt BD F a Tìm giao tuyến mặt (SAB) (SCD); (SAC) (SBD) b Tìm giao tuyến (SEF) với mặt phẳng (SAD) (SBC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O M, N, P trung điểm BC, CD, SO Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) (SCD) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC BC K điểm cạnh BD cho KD < KB Tìm giao tuyến mặt phẳng (IJK) với mặt phẳng (ACD) (ABD) Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (JAD) b M điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) Bài Cho tứ diện ABCD, M điểm bên tam giác ABD, N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC) Bài 5: Cho tứ diện ABCD, O điểm bên tam giác BCD, M điểm AO a Tìm giao tuyến mặt phẳng (MCD) với mặt phẳng (ABC) (ABD) b I, J hai điểm BC BD Tìm giao tuyến (ỊM) (ACD) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm SB, SD P điểm trên SC SP > PC Tìm giao tuyến (MNP) với mặt (SAC), (SAB), (SAD) (ABCD) Bài 7: Cho tứ diện ABCD, O điểm bên tam giác BCD, M điểm AB a Dựng đường thẳng qua M cắt AO CD b N điểm BC ON không song song với BD Dựng đường thẳng qua N cắt AO DM VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP: Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P), ta tìm (P) đường thẳng c cắt a điểm A (P) Chú ý: Nếu c chưa có sẵn ta chọn mặt phẳng (Q) qua a lấy c giao tuyến (P) (Q) Bài 1: Cho tứ diện ABCD, AC AD lấy điểm M, N cho MN không song song với CD Gọi O điểm nên tam giác BCD a Tìm giao tuyến (OMN) (BCD) b Tìm giao tuyến BC BD với mặt phẳng (OMN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh bên SC a Tìm giao điểm AM (SBD) b Gọi N điểm cạnh BC, tìm giao điểm SD (AMN) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC, K điểm cạnh cạnh BD khong trùng với trung điểm BD Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng (MNK) Bài 4: Cho tứ diện ABCD, M N hai điểm AC AD O điểm bên tam giác BCD Tìm giao điểm của: a MN (ABO) b AO (BMN) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K ba điểm SA, AB, BC theo thứ tự a Tìm giao điểm IK với (SBD) b Tìm giao điểm mặt phẳng (IJK) với SD SC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình hành Gọi M trung điểm SC a Tìm giao điểm I AM với (SBD) Chứng minh: IA = 2IM b Tìm giao điểm F SD với (ABM) Chứng minh F trung điểm SD c Gọi N điểm tùy ý cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB, G trọng tâm tam giác SAD a Tìm giao điểm I GM với (ABCD) Chứng minh I đường thẳng CD IC = 2ID JA b Tìm giao điểm J (OMG) với AD Tính JD KA c Tìm giao điểm K (OMG) với SA Tính KS Bài 8: Cho I, J điểm bên tam giác ABC ABD tứ diện ABCD M điểm tùy ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (ABM) VẤN ĐỀ 4: - CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG - CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY PHƯƠNG PHÁP - Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm điểm chung mặt phẳng phân biệt Khi chúng thẳng hàng giao tuyến mặt phẳng - Muốn chứng minh ba đường thẳng ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J hai điểm cố định SA SC với CI > IA SJ < JC Một mặt phẳng   quay quanh IJ cắt SB M, SD N a Chứng minh IJ, MN SO đồng quy (O giao QUAN HỆ SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo Talet …) Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ 3 Áp dụng định lý giao tuyến Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh: IJ // CD Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB > CD) Gọi M, N trung điểm SA, SB a Chứng minh: MN // CD b Tìm giao điểm P SC mặt phẳng (AND) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI // AB // CD Tứ giác SABI hình gì? BÀI TẬP: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD a Chứng minh MNPQ hình bình hành b Từ suy đoạn MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn Cho tam giác ABC nằm mặt phẳng ∝ Gọi Bx, Cy nửa đường thẳng song song nằm phía mặt phẳng ∝, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG BÀI TẬP Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD a Chứng minh MM song song với mặt phẳng (SBC) (SAD) b Gọi P trung điểm SA Chứng minh SB, SC song song với (MNP) c Gọi G1, G2 trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh G1G2 song song với (SAB) Cho tứ diện ABCD trọng tâm tam giác ABD M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: MG // (ACD) Cho tứ diện ABCD Gọi O, O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh rằng: BC AB  AC  a Điều cần đủ để OO’ song song với (BCD) BD AB  AD a điều kiện cần đủ OO’ song song với hai mặt phẳng (BCD) (ACD) BC BD AC AD VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách 2/ dạng 2) - Tìm thiết diện song song với đường thẳng cho trước PHƯƠNG PHÁP: Tìm giao tuyến hệ định lý Từ xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng theo phương pháp biết Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD M, N điểm AB, CD, ∝ mặt phẳng qua MN song song với SA a Tìm giao tuyến ∝ với (SAB) (SAC) b Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ∝ c Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang ˆ ˆ o Ví dụ 2: Trong mặt phẳng ∝ cho tam giác ABC vuông A, B 60 , AB a Gọi ˆ ˆ O trung điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm BC Lấy điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm S ∝, cho SB a SB  OA Gọi M điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm cạnh AB, mặt phẳng β qua M song song với SB OA, cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x BM (  x  a ) a Chứng minh: MNPQ hình thang vng b Tính theo a x diện tích hình thang Tính x điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ể diện tisch lớn BÀI TẬP Cho hình chóp S ABCD M, N hai điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm SB CD ∝ mặt phẳng qua MN song song với SC a Tìm giao tuyến ∝ với mặt phẳng (SBC), (SCD) (SAC) b Xác điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ịnh thiết diện S ABCD với mặt phẳng ∝ Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b Đoạn IJ nối trung điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm I AB trung điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm J CD Giả sử AB vng góc với CD ∝ mặt phẳng qua M điểm BC Lấy điểm S ∝, cho oạn IJ song song với AB CD a Tìm giao tuyến ∝ với mặt phẳng (ICD) b Xác điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ịnh thiết diện S ABCD với mặt phẳng ∝ Chứng minh thiết diện hình chữ nhật IM  IJ c Tính diện tích hình chữ nhật biết Cho hình chóp S ABCD điểm BC Lấy điểm S ∝, cho áy hình bình hành Gọi C’ trung điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm SC, M điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm di điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ộng cạnh SA, ∝ mặt phẳng di điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ộng qua C’M song song với BC a Chứng minh ∝ chứa điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ường thẳng cố điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ịnh b Xác điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ịnh thiết diện mà ∝ cắt hình chóp S ABCD Định M điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ể thiết dieejnlaf hình bình hành c Tìm tập hợp giao điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm hai cạnh điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ối thiết diện M chuyển điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ộng cạnh SA Cho hình chóp S ABCD điểm BC Lấy điểm S ngồi ∝, cho áy hình thang ABCD có điểm BC Lấy điểm S ∝, cho áy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b Mặt bên SAD tam giác điểm BC Lấy điểm S ∝, cho ều ∝ mặt phẳng qua điểm BC Lấy điểm S ∝, cho iểm M cạnh AB song song với SA BC, ∝ cắt CD, SC, SB N, P, Q a Chứng minh MNPQ hình thang cân b Tính thể tích thiết diện theo a x = AM (0