Sở GD-ĐT Đăk Lăk Trường THPT chuyên Nguyễn Du ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÍ CON NHÍM VÀ ỨNG DỤNG 1. Định lí con nhím : Phát biểu: cho đa giác lồi A 1 A 2 …A n và các vectơ đơn vị e i ( 1 i n≤ ≤ ) theo thứ tự vuông góc với 1i i A A + uuuuur (xem A n+1 ≡ A 1 ), hướng ra phía ngoài đa giác. Lúc đó ta có: 1 2 1 2 3 2 1 . 0 n n A A e A A e A A e+ + + = ur uur uur r Chứng minh: + xét trường hợp n=3, đa giác chính là tam giác, đặt là ABCV Gọi (I) là đường tròn nội tiếp ABCV , lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, AC, AB tại D; E; F. Đặt AE=AF=x; BF=BD=y; CD=CE=z. Như vậy ta có: y+z=a; z+x=b; x+y=z. Vì D ∈ BC, DB=y; CD=z nên y DB DC z − = uuur uuur Hay D chia vectơ BC uuur theo tỉ số y z − . Với I bất kì thì 1 . y IB IC zIB y IC z ID y a z a ID zIB yIC + + = = + ⇒ = + uur uur uur uur uur uur uur uur Tương tự ta có: bIE xIC zIA cIF yIA xIB = + = + uur uur uur uur uur uur ( ) ( ) ( )aID bIE cIF IA y z IB x z IC x y aIA bIB cIC⇒ + + = + + + + + = + + uur uur uur uur uur uur uur uur uur Trong một tam giác nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì 0aIA bIB cIC+ + = uur uur uur r 1 0aID bIE cIF⇒ + + = uur uur uur r Lấy các vectơ ; ;ID IE IF uur uur uur lần lượt bằng các vectơ ≥ thì suy ra được định lí con nhím đúng với n=3. + giả sử định lí con nhím đúng với (n-1)- giác lồi( n ≥ 4) (2) Dựng vectơ đơn vị vuông góc với a n a n-1 , hướng ra phía ngoài tam giác A 1 A n-1 A n . Vì định lí con nhím đúng với tam giác và (n-1) - giác nên áp dụng tương ứng cho V A 1 A n-1 A n và (n-1) - giác A 1 A 2 … A n-1 , ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 1 1 0 . ( ) 0 n n n n n n n A A e A A e A A e A A e A A e A A e − − − −  + + =   + + + − =   uuur uur r r ur uur uuuur r ⇒ A 1 A 2 + A 2 A 3 + …+ a n a 1 = Như vậy định lí con nhím đúng với n-giác lồi. Vậy theo nguyên lí quy nạp định lí con nhím đúng với mọi đa giác lồi. Cách phát biểu khác của định lí con nhím: cho đa giác lồi A 1 A 2 …A n . Gọi vectơ ( 1 ≤ i ≤ n) là vectơ vuông góc với cạnh a i a i+1 ( xem A n+1 ≡ A 1 ), hướng ra ngoài đa giác và = a i a i+1 thì : + +…+ = .( người ta còn gọi các vectơ là các lông nhím). 2. Một số bài tập ứng dụng: Bài 1: cho ABCV . I là tâm đường tròn bàng tiếp · ACB của tam giác. Gọi M; N; P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên BC; CA; AB. Chứng minh rằng: A/ a + b - c = B/ a + b - c = Chứng minh: Xét ABCV có Và hường vào ABCV nên ta chọn -. Áp dụng định lí con nhím cho ABCV ta có: A + b+ c(-)= hay a.+ b.- c.= (đpcm) B/ ta có a + b - c = a.( + )+ b.( + )- c.( + ) 2 = ( a. + b. - c. ) + (a. + b. - c. ) = a. + b. - c. ( vì c/m (a) a + b - c = ) Lại có = 1 MB AB AC MC MB MC − − uuur uuur = .MC AB MB AC a − uuur uuur ( vì M chia theo tỉ số ) ⇒ a. = - ( MC. - MB. ) Tương tự : b. = - ( NC. - NA. ) Và c. = - ( PA. + PB. ) ( vì P chia theo tỉ số ) ⇒ a + b - c = - ( MC. - MB. ) - ( NC. - NA. )+ ( PA. + PB. ) = .( NC - MC) + .( NA - PA) + .(PB - MB) = .0 + .0 + .0= (đpcm) Bài 2: cho ABCV có góc · BAC nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là ABE và ACD. M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE Chứng minh: Xét AEDV có AB AE AC AD ⊥   ⊥  Gọi vectơ là vectơ đơn vị vuông góc với ED và hướng ra ngoài AEDV . Áp dụng định lí con nhím vào AEDV ta có: . + . + ED.= Lại có AD=AC và AB=AE V ABE, V ACD vuông cân tại A) ⇒ + + ED.= ⇔ 2 + ED.= ⇔ = ED. ⇒ và cùng phương ⇒ AM ⊥ DE (đpcm). 3 Bài 3:cho V ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm AB và G là trọng tâm của V ACD. Chứng minh rằng: OG ⊥ CD. Chứng minh: xét V ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O nên: Gọi vectơ là vectơ vuông góc với DC, hướng ra ngoài miền V ACD và có độ lớn bằng OD=OE. Áp dụng định lí con nhím ta có: AD. + AC. + CD. = ⇔ AB. + AC.( + ) + CD. = ⇔ AC + AC.( + ) + CD.= ⇔ AC.( + + ) + CD .= ⇔ AC. = - CD. ⇔ = ⇒ cùng phương với ⇒ OG ⊥ DC. (đpcm) Bài 4: cho V ABC không đều. BC là cạnh nhỏ nhât.đường tròn nội tiếp (I) của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại X,Y,Z. Gọi G là trọng tâm của V XYZ. Trên tia BA, CA theo thứ tự lấy các diểm E, F sao cho BE=CF=BC. Chứng minh rằng: IG ⊥ EF. Chứng minh: không mất tính tổng quát , giả sư r (I) =1. Dựng vectơ đơn vị vuông góc với EF. Áp dụng định lí con nhím cho tứ giác ◊ EBCF ta có: EB. + BC. + CE. + EF. = ⇒ BC( + + )= -EF. ⇒ 3BC. = -EF. 4 ⇒ = ⇒ cùng phương với . ⇒ IG ⊥ EF Bài 5: cho ABCV vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B 1, C 1 trên AB, AC sao cho AB.AB 1 =AC.AC 1 . Chứng minh rằng: AM ⊥ B 1 C 1. Chứng minh: Gọi N 1 , N 2 lần lượt là trung điểm AB, AC. ⇒ MN 1 ⊥ AB, MN 2 ⊥ AC. Gọi là vectơ đơn vị vuông góc với B 1 C 1 và hướng ra phía ngoài B 1 AC 1 . Áp dụng định lí con nhím vào B 1 AC 1 ta có: + + B 1 C 1 = ⇔ . + . + B 1 C 1 . = Lại có AB.AB 1 = AC.AC 1 ⇒ = ⇒ ( + ) + B 1 C 1 . = ⇒ . + B 1 C 1 . = ⇒ cùng phương với ⇒ MA ⊥ B 1 C 1 . (đpcm) Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD. K là hình chiếu vuông góc của B trên AC. M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Chứng minh rằng: BM MN ⊥ . Chứng minh: Gọi là vectơ đơn vị vuông góc vơi MN và hướng ra ngoài MNC. Áp dụng định lí con nhím vào MNC ta có: . 0 MC NC BK BC MN e BK BC − + + = uuur uuur r r Lại có = + ⇒ - - + + MN.= Mà = = tan · ABK = tan · CAD = = = 5 ⇒ - + MN.= ⇒ cùng phương với ⇒ BM ⊥ MN. (đpcm) Bài 7: Cho ABCV vuông tại A có ,AB c AC b= = . Tìm điểm D AC ∈ sao cho BD AM⊥ với AM là trung tuyến của ABCV . Gọi N là hình chiếu của M trên AC, kẻ BP ⊥ MN (P∈ MN). Trong AMNV có BP MN BD AM BA AN ⊥   ⊥   ⊥  Áp dụng định lý Con nhím trong AMNV ta có: 0 MN AN AM BP BA BD BP BA BD + − = uuur uuur uuur r (1) Bên cạnh đó, nếu D nằm giữa A và N thì: DN AD BD BN BA AN AN = + uuur uuur uuur Nên từ (1) ta có 0 0 2 2 0 2 2 2 MN AN AM DN AM AD BP BA BN BA BP BA BD AN BD AN MN AN AM AD AM DN BP BA BN BP BA BD AN BD AN c b a AD a DN BP BA BN b c BD b BD b + − − =   ⇔ + − − =  ÷     ⇔ + − − =  ÷   uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r Do ta có: BN BP BA= + uuur uuur uuur nên ta suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a AD a DN b c BD b BD b a BD DN c ac BD AD b c c DN AD b c   = − =  ÷    =   ⇔   =  −  ⇒ = − Trường hợp nếu 2 2 2 0b c− < thì N nằm ngoài A và N, ta là tương tự. Bài toán được giải quyết. 6 Bài 8:Tìm tất cả những điểm N trong ABCV thỏa mãn: 1 1 1 0NA NB NC+ + = uuur uuuur uuuur r , trong đó 1 1 1 , ,A B C lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BC, CA, AB. Gọi 1 2 3 , ,e e e ur uur ur lần lượt là các vecto đơn vị vuông góc với các cạnh BC, CA, AB và hướng ra phía ngoài ABCV . Áp dụng định lý Con nhím cho ABCV , ta có 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 0 ae be ce a b c NA NB NC NA NB NC + + = ⇔ + = ur uur uur r uuur uuuur uuuur r Do N thỏa mãn 1 1 1 0NA NB NC+ + = uuur uuuur uuuur r nên ta có: 1 1 1 a b c NA NB NC = = Lấy 1 N đối xứng với N qua đường phân giác góc A, khi đó ta có Khoảng cách từ 1 N đến AC bằng 1 NC , Khoảng cách từ 1 N đến AB bằng 1 NB . Suy ra 1 1 AN B AN C S S = V V Gọi 'A là giao của đường phân giác góc A với BC. Từ 1 1 AN B AN C S S = V V · · 1 1 1 1 . .sin . .sinc NA BAN b NA CAN⇒ = · · · · 1 1 .sin .sin .AA'.sin ' .AA'.sin ' c BAN b CAN c BAA b CAA ⇔ = ⇔ = AA' AA'B C S S ⇔ = V V Suy ra 'A là trung điểm của BC. Hay AA’ là đường trung tuyến của ABCV , vậy N thuộc đường thẳng đối xứng với AA’ qua đường phân giác góc A. Tương tự ta sẽ có: N là giao của 3 đường đối xứng với 3 đường trung tuyến lần lượt qua 3 đường phân giác của mỗi góc. Bài toán được giải quyết. 7  Điểm N như trên được gọi là điểm đối trung của ABC hoặc điểm Lemoine thoả mãn hệ thức vectơ: A 2 + b 2 + c 2 = ( a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác)  Tổng quát hơn: cho M là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} với các hệ số {x, y, z} thì các đường thẳng đối xứng với MA, MB, MC lần lượt qua các đường phân giác của các góc A, B, C đồng quy tại điểm M’ thoả mãn: + + = . M’ được gọi là điểm liên hợp đẳng giác của diểm M đối với ABC Bài 9: cho ABCV và điểm O nằm trong tam giác. Gọi A 1 ; B 1 ; C 1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O lên BC;CA;AB. Trên các tia OA 1 ;OB 1 ;OC 1 theo thứ tự lấy các điểm A 2 ;B 2 ;C 2 sao cho OA 2 =BC; OB 2 =AC; OC 2 =AB. Chứng minh rằng O là trọng tâm của V A 2 B 2 C 2 . Chứng minh: đặt a e uur = 2 2 OA OA uuuur ; 2 2 b OB e OB = uuuur uur ; 2 2 c OC e OC = uuuur ur . Suy ra: = OA 2 . a e uur = BC. a e uur = OB 2 . b e uur = CA b e uur OC 2 = OC 2 . c e ur = AB. c e ur Áp dụng định lí con nhím cho ABCV ta lại có: BC. a e uur + CA b e uur + AB. c e ur = ⇒ + + = ⇒ O là trọng tâm của V A 2 B 2 C 2 (đpcm). Ta có thể mở rộng bài toán trên cho một đa giác lồi bất kì: Cho đa giác lồi 1 2 . n A A A , điểm O ở trong miền đa giác. Các điểm 1 2 ', ', ., ' n A A A lần 8 lượt là hình chiếu vuông góc của O trên . Lấy các điểm 1 2 '', '', ., '' n A A A lần lượt thuộc các tia 1 2 ', ', ., ' n OA OA OA sao cho 1 1 2 2 2 3 1 '' , '' , ., '' n n OA A A OA A A OA A A= = = . Khi đó ta có O là trọng tâm của đa giác 1 2 . n A A A . Bài 10: cho V ABC và V XYZ. Đoạn BC theo thứ tự cắt các đoạn XZ, XY tại M, N; đoạn CA theo thứ tự cắt các đoạn YX, YZ tại P, Q; đoạn AB theo thứ tự cắt các đoạn ZY, ZX tại R, S. Giả sử MN = NP = PQ = QR= RS = SM. Chứng minh rằng V ABC đều ⇔ V XYZ đều. Chứng minh:  Điều kiện cần Gọi a e uur , z e uur , b e uur , x e uur , c e ur , y e uur lần lượt là các vectơ đơn vị hướng ra ngoài lục giác MNPQRS và lần lượt vuông góc với các canh MN, NP, PQ, QR, RS, SM. Áp dụng định lí con nhím cho lục giác MNPQRS ta có: MN . a e uur + NP. z e uur +PQ. b e uur +QR. x e uur +RS. c e ur +SM. y e uur = Lại có MN = NP = PQ = QR = RS = SM nên: a e uur + z e uur + b e uur + x e uur + c e ur + y e uur = . (1) Mặt khác áp dụng định lí con nhím cho V ABC đều ta có: BC. a e uur + AC. b e uur + AB. c e ur = ⇔ BC.( a e uur + b e uur + c e ur ) = ⇔ a e uur + b e uur + c e ur = (2) Từ (1) và (2) ta có: x e uur + y e uur + z e uur = (3) Áp dụng định lí con nhím vào V XYZ ta có: YZ. x e uur + ZX. y e uur + XY. z e uur = (4) Từ (3) và (4) nên: XY = YZ = XZ Hay V XYZ đều.  Điều kiện đủ: chứng minh tương tự như điều kiện cần. Như vậy điều kiện cần và đủ để V ABC đều là V XYZ đều. Bài 11: ◊ ABCD ngoại tiếp đường tròn ( I ). Hai điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng I, E, F thẳng hàng. 9 Chứng minh: gọi M, N, P, Q theo thứ tự là hình chiếu vuong góc của I trên AB, BC,CD; x, y, z, t là khoảng cách từ A, B, C, D tới các tiếp điểm tương ứng. Tức là AM = AQ = x; BM = BN = y; CN = CP = z; DP = DQ = t. Áp dụng định lí con nhím cho ◊ ABCD ta có: (x+y) + (y+z) + (z+t) + (t+x) = Lại có: = + ⇒ (x+y) = y . + x. Tương tự: (y+z) = y. + y. (z+t) = t. + z. (t+x) = x. + t. ⇒ Y . + x. + z. + y. + t. + z. + x. + t. = ⇒ (y+t) ( + ) + (x+z) ( + ) = ⇒ (y+t).2 + (x+z). 2 = ⇒ = - ⇒ cùng phương với ⇒ I, E, F thẳng hàng. (đpcm) Bài 12: về phía ngoài ABC dựng các tam giác đồng dạng XBC, YCA, ZAB.chứng minh rằng các tam giác ABC và XYZ có cùng trọng tâm. Chứng minh: Gọi H, K, L theo thứ tự là hình chiếu của X, Y, Z trên BC, CA, AB. Gọi a e uur , b e uur , c e ur là các vectơ đơn vị, hướng ra ngoài ABC và theo thứ tự cuông góc với BC, CA, AB. 10 [...]... khác áp dụng định lí con nhím vào ABC ta có : BC ea +CA eb +AB ec = ⇒ + + = Gọi G là trong tâm của ABC, ta có: + + = ⇔ - + - + - = ⇔ ( + + )-( + + )= ⇔ + + = ( vì + + = ) ⇒ G là trọng tâm của XYZ Như vậy các tam giác ABC và XYZ có cùng trọng tâm Bài 13: cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O;R) và AB = CD = EF Về phía ngoài lục giác ta dựng các tam giác đồng dạng MAB, NBC, PCD, QDE, REF, SFA theo... REF, SFA theo thứ tự cân tại M, N, P, Q, R ,S Gọi O1, O2 theo thứ tự là trọng tâmcác tam giác MPR, NQS Chứng minh rằng O, O1, O2 thẳng hàng Chứng minh: Gọi M’, N’, P’, Q’, R’,S’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA 11 Gọi G là trọng tâm của M’R’P’ ⇒ + + = ⇔ ( + + + + + )= ⇔()+(+)+(+)= ⇔ + + = ⇔ G là trọng tâm của S’N’Q’ Mà G là trọng tâm của M’P’R’ ⇒ M’P’R’ và lục giác M’N’P’Q’R’S’ có cùng... PCD, REF đồng dạng nên: = = =k ⇒ 3 + k.( + + ) = ⇔ 3 + 3k = ( vì O1 là trọng tâm của MPR) ⇒ cùng phương với hay G, O, O1 thẳng hàng (1) Mặt khác áp dụng định lí con nhím vào lục giác M’N’P’Q’R’S’ ta có: + + + + + = Mà các tam giác MAB, NBC, PCD, QDE, REF, SFA đồng dạng nên: = = = = = ⇒ + + + + + = Từ (*) ta cũng có: + + + + + = ⇒ + + + + + = ⇔( + + )+( + + )= ⇔ 3 + 3 = ( Vì O1, O2 là trọng tâm của các . vậy định lí con nhím đúng với n-giác lồi. Vậy theo nguyên lí quy nạp định lí con nhím đúng với mọi đa giác lồi. Cách phát biểu khác của định lí con nhím:. uur uur lần lượt bằng các vectơ ≥ thì suy ra được định lí con nhím đúng với n=3. + giả sử định lí con nhím đúng với (n-1)- giác lồi( n ≥ 4) (2) Dựng vectơ