Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs th i x Sầm Sơnã năm học 2010-2011 môn thi :Toán Ng y thi : 21 / 10/ 2010 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đ thi ) Đ này gồm 01 trang Cõu 1 : ( 5 im ) a) Rỳt gn biu thc A = ( ) + + yx yyxx yx yx yyxx yx . 2 b) Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l : a , b, c tho món 4.( a 2 + b 2 + c 2 ab - bc- ca) =(a-b) 2 + (b-c) 2 + ( c-a) 2 Chng minh rng tam giỏc ABC l tam giỏc u Cõu 2 : ( 5 im ) a) Tỡm nghim nguyờn ca phng tỡnh sau : xy y -3x = 2 b) Gii phng trỡnh : xx 21 ++ + xx 69 + = 4 Cõu 3 : ( 4 im ) a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P = ( ) ( ) 22 20112010 + xx b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : Q = -x 2 - y 2 + xy -3x + 3y + 2008 Cõu 4 : ( 4 im ) Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh l a . Hai ũng chộo AC v BD ct nhau ti O . Gi M ; N ln lt l trung im ca OB v CD a) Tớnh gúc AMN b) Gi P l trung im ca AN . Tớnh di on thng MP theo a Cõu 5 : ( 2 im ) cho t giỏc li ABCD .Gi O l im trờn cnh BC v E l im i xng ca D qua O mt im M di ng trờn cnh AD ( M A ; M D) ng thng EM ct OA ti I. T I k ng thng song song vi BC ct AB v AC ln lt ti K v H Chng minh rng 1 =+ AM AD AH AC AK AB Ht . chớnh thức Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs th i x Sầm Sơnã năm học 2010-2011 LI GII Cõu1: a) A = ( ) + + yx yyxx yx yx yyxx yx . 2 A = ( ) + ++ + + + ))(( ).)(())(( . 2 yxyx yyxxyx yx yxyx yyxx yx A = yyxx yx + + . + ++ + yx yyxx yx . = yyxx yx + + . . ( ) yx yxyxyx + +++ )( 2 A = yyxx yx + + . . yx yxyxyxyx + ++ )2 A = ))(.( ).( yxyyxx xyyx ++ + = ).( . yyxx xy + b) vộ trỏi 4 (a 2 + b 2 +c 2 ab -ac bc ) = 2( 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 2ab 2ac 2bc ) = 2 [ ] )c bc 2 -b ()c ac 2 - a ()b ab 2 - a .( 222222 +++++ = 2 [ ] 222 ) c -b ()c- a ()b - a .( ++ vy ta cú : 2 [ ] 222 ) c -b ()c- a ()b - a .( ++ = 222 ) c -b ()c- a ()b - a ( ++ 222 ) c -b ()c- a ()b - a ( ++ = 0 = = = 0)c - b ( 0)c - a ( 0)b - a ( 2 2 2 = = = 0c - b 0c - a 0b - a = = = c b c a b a a = b = c nờn tam giỏc ABC u Cõu 2 : a) Tỡm nghim nguyờn ca phng tỡnh sau : xy y -3x = 2 xy y -3x + 3 = 2 +2 (x-1)(y-3) =5 (x;y) = ( ) ( ) ( )( ){ } 2;42;0;8;2;4;6 b) Gii phng trỡnh : xx 21 ++ + xx 69 + = 4 ( ) 2 1 + x + 2 )3( x = 4 | x+1| + | x+ 3| = 4 0 x 3 Cõu 3 : a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P = ( ) ( ) 22 20112010 + xx P = | x-2010| + | x 2011| P = | x-2010| + | 2011-x| | x-2010 +2011-x | =1 Khi 2010 x 2011 b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : Q = -x 2 - y 2 + xy -3x + 3y + 2008 2Q = -(2x 2 + 2 y 2 - 2xy+ 6x - 6y 4016) 2Q = - [ ] 4022)12()12()442( 22222 +++++++++ yyxxyxxyzyx 2Q = - [ ] 4022)1()1()2( 222 ++++ yxyx 2Q = 4022 - [ ] 222 )1()1()2( ++++ yxyx 4022 Q = 2011 - 2 1 [ ] 222 )1()1()2( ++++ yxyx 2011 Max Q = 2011 khi x = -1 ; y = 1 Câu 4 : O A D C B I M N P Gọi I là trung điểm của BC Ta có M là trung điểm cảu OB ⇒ MI là đường tung bình của ttam giác OBC ⇒ MI //OC và MI = 2 1 OC (1) Hoàn toàn tương tự NI là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ NI //BD (1) và NI = 2 1 BD (2) Vì BD ⊥ AC tại O ⇒ ∠ BOC = 1V (3) từ (1) ; (2) và (3) ta có MI ⊥ NI ⇒ ∠ MIN = 1V Mà ta có OB= CO mà OM = 2 1 OB nên OM = 2 1 OC ; kết hợp (1) ta có MI = OM (*) Ta có OA = 2 1 AC mà AC = BD nên OA = 2 1 BD kết hợp với (2) ta có NI =OA (**) Và ∠ MOA = ∠ MIN = 1V (***) Xét ∆ MOA và ∆ MIN từ (*) ; (**) và (***) ta có ∆ MOA = ∆ MIN ( cgc) ⇒ ∠ AMO = ∠ NMI ta có MI// OC mà OC ⊥ BD ; MI ⊥ OB ⇒ ∠ IMO = 1V Hay ∠ OMN + ∠ AMO = 1V mà ∠ NMI = ∠ AMO ( chứng minh trên ) nên ∠ OMN + ∠ AMO = 1V hay ∠ AMN = 1V b) áp dụng định lý pi ta go cho tam giác ADN vuông tại D ta có AD 2 + DN 2 = AN 2 AN 2 = a 2 + 2 2       a = 4 5 2 a ⇒ AN = 2 5a Theo câu a ta có ∆ MOA = ∆ MIN ⇒ MA = MN lại có ∠ AMN = 1V ∆ MAN vuông cân tại M vì P là trung điểm của AN nên MP là trung tuyến ứng với cạnh huyền AN vậy MP = 2 1 AN suy ra MP = 2 1 . 2 5a = 4 5a Câu 5 : H I B A D C E O M K . kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs th i x Sầm Sơn năm học 2010-2011 môn thi :Toán Ng y thi : 21 / 10/ 2010 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đ thi. . chớnh thức Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs th i x Sầm Sơn năm học 2010-2011 LI GII Cõu1: a) A = ( )