Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 Hệ thống kiến thức Môn : Hình Học - THCS Website: http://quanghieu030778.violet.vn Điểm - Đờng thẳng - Ngời ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - Bất hình tập hợp điểm Một điểm hình - Ngời ta dùng chữ thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa dùng hai chữ thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ) - Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm đờng thẳng a đờng thẳng a qua điểm C), kí hiệu là: C a - Điểm M không thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm đờng thẳng a đờng thẳng a không qua điểm M), kí hiệu là: M a Ba điểm thẳng hàng - Ba điểm thuộc đờng thẳng ta nói chúng thẳng hàng - Ba điểm không thuộc đờng thẳng ta nói chúng không thẳng hàng Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng - Hai đờng thẳng AB BC nh hình vẽ bên hai đờng thẳng trùng - Hai đờng thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đợc gọi giao điểm (điểm E giao điểm) - Hai đờng thẳng ®iĨm chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiƯu xy//zt Kh¸i niƯm vỊ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng - H×nh gåm ®iĨm O phần đờng thẳng bị chia điểm O đợc gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy nh hình vẽ) - Hai tia chung gốc tạo thành đờng - Hai tia chung gốc tia nằm thẳng đợc gọi hai tia đối tia đợc gọi hai tia trùng (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) - Hai tia AB Ax hai tia trùng Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ - Hai điểm A B hai mút dài đoạn thẳng số dơng (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB Khi AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngợc lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Trung điểm đoạn thẳng - Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B (MA = MB) - Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm đoạn thẳng AB Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối Ngườ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vaờ n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục - Hình gồm đờng thẳng a phần mặt phẳng bị chia a đợc gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đợc gọi hai nửa mặt phẳng đối (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau) Góc, góc bẹt - Góc hình gồm hai tia chung gèc, gèc chung cña hai tia gäi đỉnh góc, hai tia hai cạnh gãc · µ - Gãc xOy kÝ hiƯu lµ xOy O xOy - Điểm O đỉnh gãc - Hai c¹nh cđa gãc : Ox, Oy - Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối 10 So sánh hai góc, góc vuông, góc nhän, gãc tï - So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so sánh số đo chúng - Hai góc xOy uIv đà à ợc kí hiệu là: xOy = uIv - Góc xOy nhỏ góc uIv, ta viÕt: · · · · xOy < uIv uIv > xOy - Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, góc vuông - Góc nhỏ góc vuông góc nhọn - Góc lớn góc vuông nhng nhỏ góc bẹt góc tù à à à 11 Khi xOy + yOz = xOz - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox à à à Oz xOy + yOz = xOz à à à - Ngợc lại, xOy + yOz = xOz tia Oy nằm hai tia Ox vµ Oz 12 Hai gãc kỊ nhau, phơ nhau, bù nhau, kề bù Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Năm học 2010 - 2011 Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng - Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung - Hai gãc phơ lµ hai gãc cã tỉng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï lµ hai gãc cã tỉng sè ®o b»ng 1800 - Hai gãc vừa kề nhau, vừa bù đợc gọi hai góc kề bù 13 Tia phân giác góc - Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai gãc b»ng · · · · · - Khi: xOz + zOy = xOy vµ xOz = zOy => tia Oz tia phân giác góc xOy - Đờng thẳng chứa tia phân giác góc đờng phân giác góc (đờng thẳng mn đờng phân giác góc xOy) 14 Đờng trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đợc gọi đờng trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a đờng trung trực AB a A I a ⊥ AB t¹i I   IA =IB 15 Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng Ngửụứ i vieỏ t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hiệ u B Vì nghiệp giáo dục a) Các cặp góc so le trong: µ µ µ µ A1 vµ B3 ; A B2 b) Các cặp góc đồng vị: à à A1 B1 ; A vµ B2 ; µ µ µ µ A vµ B3 ; A vµ B4 c) Khi a//b thì: à à A1 B2 ; A B3 gọi cặp góc phía bù 16 Hai đờng thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng Năm học 2010 - 2011 a A B 41 b c a b M c, Tính chất hai đờng thẳng song song - Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song th×:  Hai gãc so le b»ng nhau; Hai góc đồng vị nhau; Hai góc cïng phÝa bï d) Quan hƯ gi÷a tÝnh vuông góc với tính song song - Hai đờng thẳng phân biệt vuông c góc với đờng thẳng thứ ba th× chóng song song víi a ⊥ c  => a / / b b ⊥ c Tµi liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông b a b a Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – hải Dơng c - Một đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng b a c b  => c ⊥ a a / / b e) Ba đờng thẳng song song - Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba chúng song song với a//c b//c => a//b 17 Góc tam giác a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bï víi mét gãc cđa tam gi¸c Êy b) TÝnh chất: Mỗi góc tam giác tổng hai gãc kh«ng B kỊ víi nã a b c A 18 Hai tam giác a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tơng ứng nhau, góc tơng ứng b»ng ∆ABC = ∆A 'B 'C '  AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C '  ⇔ µ µ µ µ µ µ A = A '; B = B '; C = C'   x C · µ µ ACx = A + B A B A' B' b) Các trờng hợp hai tam giác Ngửụứ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hiệ u C C ' V× sù nghiƯp giáo dục Năm học 2010 - 2011 A *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác B NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B '  AC = A 'C '  => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.c.c ) BC = B 'C '   C A' C' B' A *) Trêng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam B giác Nếu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B '   µ µ B = B '  => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.g.c ) BC = B 'C'    C A' C' B' *) Trêng hỵp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g) A - NÕu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Nếu ABC vµ ∆A'B'C' cã: µ µ B = B'    BC = B 'C '  => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g )  µ µ C = C' B A' B' c) Các trờng hợp hai tam giác vuông Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông C C' Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C'  Trêng hỵp 2: Nếu cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông hai giác vuông B B' A C A' C'  Trêng hỵp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông ®ã b»ng B' B A C A' C'  Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông Ngửụứ i vieỏ t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 B B' A C A' C' A 19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn à ABC : NÕu AC > AB th× B > C B C Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn à ABC : Nếu B > C th× AC > AB 20 Quan hƯ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiên hình chiếu Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên - Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d B H Khi : - Đoạn thẳng AH gọi đờng vuông góc A kẻ từ A đến đờng thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đờng thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu B H đờng xiên AB đ.thẳng d Quan hệ đờng xiên đờng vuông góc: Trong đờng xiên đờng vuông góc kẻ từ điểm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc đờng ngắn Quan hệ đờng xiên hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì: Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, hai hình chiếu hai đờng xiên 21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - NhËn xÐt : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại VD: AB - AC < BC < AB + AC Ngườ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hiệ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 51 Dạng 13: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích c Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a 0, b ≠ => ®iỊu kiƯn cđa m  Bíc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần lợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành −b  A(0 ; b) vµ B( a ;0 ) Bớc 3: Xét tam giác vuông OAB có 1 −b SOAB = OA.OB = × b a = c => m = ? (kiÓm tra với điều kiện bớc 1) Dạng 14: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác cân Cách 1: Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a ≠ 0, b ≠ => ®iỊu kiƯn cđa m Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần lợt giao điểm đồ thị với trục tung vµ trơc hoµnh −b  A(0 ; b) vµ B( a ;0 ) −b  Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n OA = OB b = a (*) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị m (kiểm tra điều kiện bớc1) Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x song song với đờng thẳng y = - x Dạng 15: Xác định giá trị tham số để giao điểm hai đờng thẳng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ nằm góc phần t hệ trục tọa ®é  Bíc 1: T×m täa ®é giao ®iĨm A(x ; y) hai đờng thẳng, ax + by = c a 'x + b'y = c' nghiệm hệ phơng trình: Bớc 2: x > y > +) NÕu A n»m góc phần t thứ I điều kiện là: x < y > +) NÕu A n»m góc phần t thứ II điều kiện là: Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ 51 thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải D¬ng x < y < +) NÕu A nằm góc phần t thứ III điều kiện lµ:  x > y < +) NÕu A nằm góc phần t thứ IV điều kiện là: Bớc 3: Tìm m = ? Dạng 16: Xác định giá trị tham số để đa thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc A = B =  Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc Bớc 2: Giải hệ tìm đợc giá trị tham số V - Các dạng toán hệ ph ơng trình Lí thuyết chung Định nghĩa: Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát là: ax + by = c (I)  (trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè) a' x + b ' y = c ' Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm - NghiƯm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) lµ nghiƯm chung hai phơng trình hệ - Nếu hai phơng trình hệ nghiệm chung hệ phơng trình vô nghiệm - Giải hệ phơng trình tìm tất nghiệm (tìm tập nghiệm) *) Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc hai Èn cã nghiƯm nhÊt, cã v« sè nghiƯm, v« nghiƯm ax + by = c (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)  a' x + b' y = c ' a b c = = + HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu a' b' c ' a b c = ≠ + HƯ v« nghiƯm nÕu a' b' c ' a b ≠ + HÖ cã mét nghiƯm nhÊt nÕu a' b' + §iỊu kiƯn cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm ab ab = Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn Ngửụứ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vaờ n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục 53 Năm học 2010 - 2011 ax + by = c  a' x + b ' y = c ' a) Phơng pháp cộng đại số *) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số Bớc1: Nhân hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình hệ đối Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình mà hệ số hai ẩn (tức phơng trình ẩn) Bớc 3: Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc, suy nghiệm hệ ®· cho *) Tỉng qu¸t:  ax + by = c (b + b')y = c + c ' ⇔  + NÕu cã  −ax + b ' y = c ' −ax + b' y = c ' ax + by = c (b − b')y = c − c ' ⇔  + NÕu cã  ax + b ' y = c ' ax + b' y = c ' ax + by = c k.ax + kby = kc (kb − b')y = k.c − c ' ⇔ ⇔ + NÕu cã  k.ax + b ' y = c ' k.ax + b' y = c ' ax + by = c b) Ph¬ng pháp *) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp Bớc 1: Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình đà cho để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình ẩn Bớc 2: Giải phơng trình ẩn vừa cã, råi suy nghiƯm cđa hƯ ®· cho *) Tỉng qu¸t: a c  y=− x+ a c   ax + by = c b b y = − x +  ⇔ b b ⇔  a' x + b ' y = c ' a' x + b' y = c ' a ' x + b '  − a x + c  = c '   b  b÷    c) Phơng pháp đồ thị - Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm hai phơng trình hệ - Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng ®èi cđa hai dêng th¼ng +) NÕu hai ®êng th¼ng cắt hệ có nghiệm nhất, dựa vào đồ thị đoán nhận nghiệm đó, sau thử lại kết luận nghiệm hệ +) Nếu hai đờng thẳng song song hệ vô nghiệm +) Nếu hai đờng thẳng trùng hệ có vô số nghiệm Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ 53 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – hải Dơng Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc áp dụng phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho hệ phơng trình chứa ẩn mẫu, dới dấu bậc hai.) Phân dạng tập chi tiết Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số Dạng 2: Giải hệ phơng trình biết giá trị tham số Phơng pháp: Bớc 1: Thay giá trị tham số vào hệ phơng trình Bớc 2: Giải hệ phơng trình không chứa tham số vừa thu đợc Dạng 3: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số - Dùng phơng pháp cộng để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m), làm xuất phơng trình có dạng : Ax = B (1) (hoặc Ay = B) Nếu A = phơng trình (1) có dạng 0x = B +) Khi B = phơng trình (1) có dạng 0x = phơng trình có vô số nghiệm => hệ phơng trình có vô số nghiệm +) Khi B phơng trình (1) vô nghiệm => hệ phơng trình vô nghiệm Nếu A phơng trình (1) có nghiÖm nhÊt B A  x= B  A => hệ phơng trình có nghiệm y = y(m ) Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm *) Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhÊt, cã v« sè nghiƯm, v« nghiƯm ax + by = c (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)  a' x + b' y = c ' a b c = = a' b' c ' a b c = ≠ + HƯ v« nghiƯm nÕu a' b ' c ' a b + HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu ≠ a' b' + HÖ cã vô số nghiệm Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ phơng trình Ngườ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vaờ n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 55 Dạng 6: Tìm giá tham số biết nghiệm hệ phơng trình 6.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình ax + by = c ax + by = c Cho hệ phơng trình : (1) (2) x = x0 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm y = y C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số 6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình ax + by = c a′x + b′y = c′ Cho hƯ ph¬ng tr×nh:  x = x0 cã nghiƯm  y = y0  Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình hệ phơng ax + by = c a′x + b′y0 = c trình ta đợc Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y ax + by = c ax + by = c Cho hệ phơng trình :  (1) (I) (2) Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)  Bíc 1: Tríc hết cần tìm điều kiện tham số để hệ (I) cã nghiƯm nhÊt  Bíc 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả mÃn (3) ⇒ (x; y) lµ nghiƯm cđa (1), (2), (3) KÕt hợp phơng trình đơn giản để đợc hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trình lại Bớc 3: Giải phơng trình chứa ẩn tham số Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm (x0 ; y0) số nguyên Bớc 1: Tìm điều kiện tham số m để hệ cã nghiƯm nhÊt  Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng b víi a, b ∈ Z A(m ) d y0 = c + víi c, d ∈ Z B(m ) x0 = a + Tµi liƯu Ôn thi vào Trung học Phổ 55 thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng b x ∈ Z ∈ Z A(m ) ∈¦ ( b)  A(m ) => m = ?  d ∈ Z B(m ) ∈¦ (d ) y0 Z B(m ) *) Đặc biệt nÕu : b víi a, b ∈ Z A(m ) d y0 = c + víi c, d ∈ Z A(m ) => x0 ,y0 ∈ Z A(m ) ∈¦ C( b,d ) => m = ? x0 = a + Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ Cách 1: Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình có nghiƯm nhÊt  Bíc 2: BiÕn ®ỉi biĨu thøc liên hệ x y là: P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè)  k < ⇒ kA2(x) ≤ ⇒ kA2(x) + d ≤ d P(x,y) d Giá trị lớn P(x,y) d đạt đợc A(x) = k > ⇒ kA2(x) ≥ ⇒ kA2(x) + d d P(x,y) d Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt đợc A(x) = C¸ch 2: P(x,y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x,y) =  Bíc 1: TÝnh ∆ hc ∆ '  Bíc 2: Đặt điều kiện ( ' 0) Giải bất phơng trình chứa ẩn P(x,y) P(x,y) e Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt đợc =' = ⇔ x = −b −b ' = a 2a P(x,y) e Giá trị lớn P(x,y) e đạt đợc =' = ⇔ x = −b −b' = 2a a D¹ng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số Phơng pháp: ax + by = c ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham a ' x + b ' y = c ' Cho hệ phơng trình: số m Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m? *) Cách 1: Ngườ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vaờ n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 57 Bớc 1: Từ phơng trình hệ ta rút m theo x vµ y lµ m = A(x,y)  Bíc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m *) Cách 2: Sử dụng hệ phơng trình có tham số m díi d¹ng bËc nhÊt  ax + by = c m = A( x, y ) =>  a ' x + b ' y = c '  m = B( x, y )  Bíc 1: Tõ hệ phơng trình Bớc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m Lu ý: Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng - Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng chóng cã cïng mét tËp nghiƯm (tøc lµ mäi nghiƯm hệ nghiệm hệ ngợc lại) Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ giải số hệ phơng trình không dạng hệ hai phơng trình bậc hai ẩn (hệ đặc biệt) VI Phơng trình bậc hai ẩn Phần I: Phơng trình không chứa tham số I Định nghĩa: Phơng trình bậc hai ẩn (nói gọn phơng trình bậc hai) phơng trình cã d¹ng ax2 + bx + c = ( a 0) Trong đó: x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số II Phân loại Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = (a 0) Phơng pháp giải: ax2 + bx = (a, b ≠ 0) x = ⇔ x(ax + b) = ⇔   x = −b  a −b a 2 Phơng trình khuyết b: ax + c = (a, c 0) Phơng pháp giải: ax2 + c = (a 0) Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ 57 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Lộc hải Dơng x2 = c a c < Phơng trình vô nghiệm a c +) Nếu a > Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: +) NÕu x1 = −c −c ; x2 = a a Phơng trình bậc hai đầy ®ñ: ax2 + bx + c = (a , b, c ≠ 0) *) C«ng thøc nghiƯm: ∆ = b2 - 4ac +) < Phơng trình vô nghiệm +) > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a +) ∆ = Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a * ) C«ng thøc nghiƯm thu gän b NÕu b = 2b’ (b’ = )→ ta cã : ∆’ = b’2 - ac + NÕu ∆’ > phơng trình có hai nghiệm phân biệt lµ : x1 = −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' ; x2 = a a + NÕu ∆’ = phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = −b ' a + NÕu ∆’ < phơng trình vô nghiệm Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng trình Dạng 2: Giải biện phơng trình theo tham số Tổng quát: Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc bx + c = + Nếu b phơng trình có nghiệm x = −c b + NÕu b = vµ c phơng trình vô nghiệm + Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm Với a phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt số: ∆ = b2 – 4ac ( hay ∆ ’ = b’2 – ac) + NÕu ∆ < ( ∆ < 0) phơng trình vô nghiệm Ngửụứ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục 59 Năm häc 2010 - 2011 + NÕu ∆ = ( = 0) phơng trình có nghiệm kép : b b' x1 = x2 = = − 2a a + NÕu ∆ > ( ∆ ’ > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ −b'+ ∆ ' −b − ∆ −b'− ∆ ' = ; x2 = = 2a a 2a a Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm - Xét hai trờng hợp cđa hƯ sè a:  Trêng hỵp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm Trờng hợp 2: a à 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm ( ' 0) Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Phơng trình bậc hai ẩn có hai nghiƯm ph©n biƯt  a≠0  ∆ > 0( ' > 0) Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép a0 Phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm kép  ∆ = 0( ∆ ' = 0) D¹ng 6: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vô nghiệm - Xét hai trờng hợp hệ số a: Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vô nghiệm Trờng hợp 2: a à 0, phơng trình bậc hai mét Èn v« nghiƯm ∆ < ( ' < ) Dạng 7: Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt: a0  C¸ch 1: Chøng minh:   ac < a ≠  C¸ch 2: Chøng minh:  ∆ > Chó ý: Cho tam thøc bËc hai ∆ = am2 + bm + c Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ 59 thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng a>0 > 0, m ta cần chứng minh Để chứng minh ∆m = b − 4ac <  D¹ng 8: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo Cho phơng trình ax2 + bx + c = ; ®ã a, b, c chøa tham sè S = x + x = − b a Theo định lí Vi - Ðt, ta cã :   P = x1 x2 = c a  a ≠ a≠0   a) Phơng trình có hai nghiệm dấu ∆ ≥ hc  ∆ ≥ P >  ac >   a ≠ a0 b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu  hc  P <  ac < a c) Phơng trình cã hai nghiƯm d¬ng  P > S >  a ≠ ∆ ≥  d) Phơng trình có hai nghiệm âm P > S <  a ≠ ∆ > e) Phơng trình có hai nghiệm dơng ph©n biƯt  P > S >  a ≠ ∆ >  f) Ph¬ng trình có hai nghiệm âm phân biệt P > S < g) Phơng trình có hai nghiệm hai số đối Ngửụứ i vieỏ t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 61   a≠0   ∆ ≥  b =0  S = x1 + x2 = a h) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo a0   ∆ ≥  c =1  P = x1 x2 = a  D¹ng 9: TÝnh giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiƯm  Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = −b c vµ x1.x1 = a a  Bíc 3: BiĨu thị đợc biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x1 + x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thøc Chó ý: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab ( a + b)2 = (a + b) + a.b a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2b2 (a,b ≥ 0) a3 + b3 = a a + b b = ( a + b)(a ab + b) (a,b 0) Dạng 10: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mÃn điều kiện sau: 1 a) α x1 + β x2 = γ b) x + x = n c) x12 + x22 = k d) x13 + x23 = t , Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm a x1, x2 Giải hệ ĐK: => m = ? ∆ ≥ S = x + x = − b  a  Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:   P = x1 x2 = c a  Tµi liƯu Ôn thi vào Trung học Phổ 61 thông Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng Bớc 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc bớc vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phơng trình bất phơng trình với biến tham số để tìm giá trị cđa tham sè TiÕp theo kiĨm tra xem c¸c gi¸ trị tham số tìm đợc có thỏa mÃn hệ điều kiện bớc hay không ? Hoặc có toán ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn x1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi ét lại để tìm tham số Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm lại Bớc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta có: ax12 + bx1 + c = => m = ? Bớc 2: Để tìm nghiệm lại x2 ta thùc hiƯn theo hai c¸ch: C¸ch 1: Thay gi¸ trị m vào phơng trình ban đầu Từ có phơng trình bậc hai giải phơng trình ta tìm đợc x2 Cách 2: Tính x2 nhờ định lÝ Vi - Ðt: x2 = S − x1 hc x2 = P : x1 Dạng 12: Tìm phơng trình bËc hai biÕt tríc hai nghiƯm sè  Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 Ta cã phơng trình với ẩn x : ( x x1 ) ( x − x2 ) = x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng Bớc 1: Tìm S = x1 + x2 P = x1 x2 Bớc 2: Phơng trình với ẩn x x2 Sx + P = Phơng trình có nghiệm S2 P Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phơng trình cần lập với hai nghiệm phơng trình cho trớc Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phơng trình Bớc 2: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình đà cho x1 + x = −b c , x1.x = a a  Bíc 3: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình cần lập x3 x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2 Bớc 4: Lập phơng trình Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ngửụứ i vieỏ t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hiệ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 63 Cách 1: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 a Giải hệ điều kiện −b  S = x1 + x = a   Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt:  P = x x = c  a   Bíc 3: Khư tham sè hƯ thức Vi ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phơng trình Cách 2: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình cã hai nghiƯm x1, x2 a ≠ Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn  ∆ ≥  Bíc 2: Gi¶i phơng trình tìm x1, x2 Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số) Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai y = ax + bx + c (a ≠ ) Cách 1: Biến đổi y = kA2(x) + m (m lµ h»ng sè)  k < ⇒ kA2(x) ≤ ⇒ kA2(x) + m ≤ m ⇒ y ≤ m Giá trị lớn y m đạt ®ỵc A(x) =  k > ⇒ kA2(x) ≥ ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒ y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc A(x) = Cách 2: y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = + Bíc 1: TÝnh ' + Bớc 2: Đặt điều kiÖn ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ 0) ⇒ Giải bất phơng trình chứa ẩn y y m Giá trị nhỏ y m đạt đợc =' = x = −b −b ' = a 2a  y ≤ m Giá trị lớn y m đạt đợc =' = x = b b' = 2a a Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiƯm  Bíc 1: KiĨm tra sù cã nghiƯm phơng trình Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phỉ 63 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc hải Dơng Bớc 2: Tính x1 + x = −b c , x1.x = a a Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) dạng có chứa x1+ x2 vµ x1.x2  Bíc 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thµnh tam thøc bËc hai Èn lµ tham sè  Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiÖm x1 , x2 −b   x1 + x = a   Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt:   x x = c  a Bớc 3: Tính giá trị biĨu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thỏa mÃn bất đẳng thức đà cho Dạng 19: Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số u v thoả m·n u + v = S (S2 ≥ 4P) Th× u vµ v lµ  u.v = P nghiƯm cđa phơng trình x2 - Sx + P = (*) - Nếu phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Do x, y cã vai trß u = x1 u = x   hc   v = x2  v = x1  - Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép x1 = x2 = a => u = v = a nh nên có hai cặp số thỏa mÃn - Nếu phơng trình (*) vô nghiệm => Không tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa mÃn yêu cầu đề Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm chung Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vµ a ' x2 + b' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè m *) C¸ch 1: Ngườ i viế t : Giá o viê n Phạ m Vă n Hieọ u Vì nghiệp giáo dục Năm học 2010 - 2011 65 Hai phơng trình có nghiệm chung hệ phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0)  cã nghiÖm  a ' x + b ' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình dạng: A(m).x = B(m) +) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay kh«ng ? B(m ) (chøa tham sè) Thay vµo mét A(m ) +) NÕu A(m ) ≠ => x = hai phơng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiƯm chung hay kh«ng ? +) NÕu A(m ) ≠ => x = B(m ) (kh«ng chøa tham sè), kết luận A(m ) nghiệm chung hai phơng trình Thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta rút giá trị m Kết luận: ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ? *) Cách 2: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng tr×nh ax + bx + c = => m = A(x) a ' x + b' x + c ' = => m = B(x) Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra Cách 3: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào phơng trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ? Dạng 21: Chứng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có phơng trình có nghiệm Cho hai phơng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vµ a ' x2 + b' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè Chøng minh Ýt hai phơng trình có nghiệm Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ 65 thông ... tuyến đờng tròn u) Phơng pháp chứng minh hệ thức liên hệ đoạn thẳng, cạnh hai tam giác, đoạn thẳng với bán kính đờng tròn , Phơng pháp 1: áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông Phơng pháp 2: Chứng... phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau Còn biểu thức có dấu ngoặc thực theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn - Với toán tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện biến để phân thức. .. thi vào Trung häc Phỉ 17 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Lộc hải Dơng 30 Hệ thức lợng tam giác vuông (lớp 9) a) Một số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông     b = ab'' c = ac '' 2 a = b + c