ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI VỀ MỘT MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI VỀ MỘT MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2016 Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm 1.2 Cực trị hàm lồi 1.3 Toán tử đơn điệu 1.4 Bất đẳng thức biến phân 4 11 14 Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm 2.1 Mơ hình Nash - Cournot cổ điển 2.1.1 Khái niệm mơ hình 2.1.2 Chuyển mơ hình tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh 2.2 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.2 Thuật giải 18 18 18 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 22 27 27 33 Lời mở đầu Mơ hình cân thị trường bán độc quyền A Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập chung nghiên cứu Mơ hình Cournot có vai trò quan trọng thực tiễn sống, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Một tiếp cận thường dùng mơ hình Cournot sử dụng khái niệm cân Nash Một hướng nghiên cứu quan trọng mơ hình giải tốn với mơ hình cước phí lõm Trong tốn thực tế, số lượng hàng hóa sản xuất tăng lên cước phí để sản xuất đơn vị sản phẩm giảm Do cước phí lõm Nội dung luận văn trình bày cách tiếp cận mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm, nghiên cứu thuật tốn để tìm điểm cân mơ hình có cước phí lõm Bản luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương tìm hiểu kiến thức tập lồi, hàm lồi, hàm lõm, toán tử đơn điệu, cực trị hàm lồi Sau tìm hiểu bất đẳng thức biến phân Chương 2: Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Giới thiệu mơ hình Nash - Cournot cổ điển cách chuyển mơ hình dạng tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh Sau đó, nghiên cứu mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm giới thiệu phương pháp giải mơ hình trường hợp hàm chi phí lõm tuyến tính khúc Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin kính gửi lời cảm ơn tới tồn thể thầy tham gia giảng dạy khóa học cao học 2014 - 2016, người tâm huyết giảng dạy MỤC LỤC trang bị cho kiến thức sở Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập trường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K8A ln quan tâm, động viên, giúp đỡ thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 05 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Mai Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu kiến thức tập lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu Tiếp trình bày tốn bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [7] Trong luận văn kí hiệu Rn không gian Euclide thực n chiều Một phần tử x = (x1 , , xn )T ∈ Rn vectơ cột Ta nhắc lại với hai véctơ x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ Rn , n x, y := xi yi , i=1 gọi tích vơ hướng hai vectơ Chuẩn Euclide phẩn tử x khoảng cách Euclide hai phẩn tử x, y định nghĩa sau: x := x, y , d (x, y) := x − y 1.1 Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi với ∀x, y ∈ C , ≤ λ ≤ 1, ta có: λx + (1 − λ) y ∈ C Một số ví dụ tập lồi: Các tập afin (các siêu phẳng), hình trịn, hình vng Tuy nhiên, hình vành khăn, đường trịn khơng phải tập lồi Định nghĩa 1.2 Hàm f : Rn → R ∪ (+∞) gọi là: (i) Lồi C với λ ∈ (0, 1), x, y ∈ C ta có: f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) Chương Kiến thức chuẩn bị (ii) Lồi chặt C λ ∈ (0, 1), x, y ∈ C , x = y ta có: f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) (iii) Lồi mạnh rên C với λ ∈ (0, 1), x, y ∈ C , tồn η ∈ R, η > ta có: f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) η x − y (iv) Lõm C −f hàm lồi C Định nghĩa 1.3 Cho hàm bất kỳ: f : S → (−∞, +∞] với S ⊆ Rn , tập domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} , epif = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} gọi miền hữu dụng tập lồi đồ thị hàm f Nếu domf = φ; f (x) > −∞ ∀x ∈ S ta nói f thường Nói cách khác f thường domf = φ Định lý 1.1 Hàm f (x), x ∈ Rn hàm lồi hàm biến số ϕ (λ) ≡ f (x + λd) hàm lồi theo λ với x, d ∈ Rn Chứng minh Ta thấy điều kiện cần rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử ϕ (λ) hàm lồi với x, d ∈ Rn Lấy x, y ∈ Rn đặt d = x − y Khi đó, với λ ∈ [0, 1] ta có: f ((1 − λ) x + λy) = f (x + λd) = ϕ (λ) = ϕ ((1 − λ) + λ.1) ≤ (1 − λ) ϕ (0) + λϕ (1) = (1 − λ) f (x) + λf (y) Định nghĩa 1.4 Một hàm a-phin hàm số có dạng f (x) = c, x + α c ∈ Rn , α ∈ R cho trước tùy ý Nếu f (x) hàm a-phin với x, y ∈ Rn số λ, β cho λ + β = ta có: f (λx + βy) = λf (x) + βf (y) Một hàm a-phin f (x) = c, x + α không lấy giá trị âm phải đồng với số (véctơ c phải 0), c = ta có: f (λx) = c, x + α → −∞, λ → −∞ Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.5 Một tập M Rn gọi nón (mũi 0) x ∈ M, λ > λx ∈ M Nón M gọi nón lồi M tập lồi Điểm gốc thuộc khơng thuộc M Nón M khơng chứa đường thẳng gọi nón nhọn Trong trường hợp này, gốc gọi đỉnh M Mỗi nửa không gian (đóng hay mở) nón, khơng phải nón nhọn Định lý 1.2 Tập M Rn nón lồi có đỉnh gốc λM ⊂ M, ∀λ > M + M ⊂ M Nghĩa với x, y thuộc M với số λ > ta có x + y ∈ M λx ∈ M Chứng minh Nếu M nón lồi thì λM ⊂ M, ∀λ > theo định nghĩa nón Hơn nữa, lấy x, y ∈ M M lồi nên 21 (x + y) ∈ M , theo x + y ∈ M Vì M + M ⊂ M Ngược lại, có λM ⊂ M, ∀λ > M + M ⊂ M M nón với x, y ∈ M , λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x ∈ M, λy ∈ M Từ đó, (1 − λ) x + λy ∈ M , nghĩa M tập lồi Tập M ∈ C nón lồi chứa tổ hợp tuyến tính khơng âm (cịn gọi tổ hợp nón) phần tử thuộc Nhận xét 1.1 * Có thể chứng minh hàm f lồi S khi: +) Tập đồ thị epif tập lồi m +) f k=1 λk xk m ≤ λk f xk , ∀xk ∈ S, k=1 m λk = 1, λk ≥ với k=1 k , m số nguyên ≥ ( Bất đẳng thức Jensen) * Hàm lồi f : S → (−∞, +∞] mở rộng thành lồi xác định tồn khơng gian Rn cách đặt f (x) = +∞ ∀x ∈ / S Vì vậy, để n đơn giản ta thường xét hàm lồi toàn R Định nghĩa 1.6 Bao đóng tập C, kí hiệu C giao tất tập đóng chứa C Định nghĩa 1.7 Một điểm a ∈ C gọi điểm tương đối C điểm C theo tô-pô cảm sinh af f C (tập a-phin nhỏ chứa C) Kí hiệu tập điểm tương đối C riC Theo định nghĩa ta có: riC := {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} Chương Kiến thức chuẩn bị B lân cận mở gốc Hiển nhiên riC = {a ∈ affC|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} Định lý 1.3 Bao đóng phần tương đối tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử C tập lồi a, b ∈ C Chẳng hạn a = lim xk , b = lim y k , xk , y k ∈ C với k Với k→∞ k→∞ k λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x + λy k ∈ C Từ đó: (1 − λ) a + λb = lim (1 − λ) xk + λy k ∈ C k→∞ Như vậy, a, b ∈ C [a, b] ⊂ C chứng tỏ C lồi Bây giờ, giả sử a, b ∈ riC Khi tìm hình cầu B tâm O cho: (a + B) ∩ af f C (b + B) ∩ af f C nằm trọn C Với ∀x = (1 − λ) a + λb, λ ∈ [0, 1] , Ta có: (x + B) ∩ af f C = (1 − λ) (a + B) ∩ af f C + λ (b + B) ∩ af f C ⊂ C Như x ∈ riC , nghĩa riC lồi Tính chất 1.1 a) Giao họ tâp lồi tập lồi; b) Nếu C, D ∈ Rn tập lồi thì: C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D} , αC = {αx : x ∈ C, α ∈ R} , C − D = C + (−1) D c) Bao đóng tập hợp lồi tập lồi; d) Tập hợp tất tổ hợp lồi số hữu hạn điểm Rn tập hợp lồi Tập C ∈ Rn gọi lồi chặt với x, y ∈ C, x = y , điểm λx + (1 − λ) y với < λ < điểm C Mệnh đề 1.1 (i) Cho f g hàm lồi tập lồi A B, với A ∩ B = φ Khi đó, hàm (λf ) + (βg) lồi trên, với λ, β ≥ 0; (ii) Giới hạn theo điểm dãy hàm lồi hàm lồi Tức là: fi : C → R (i ∈ N ) dãy số {fi (x)} hội tụ với x ∈ C Chương Kiến thức chuẩn bị hàm f (x) := lim fi (x) lồi C; i→∞ (iii) Nếu f : C → R lồi C hàm biến ϕ : I → R không giảm khoảng I, cho f (C) ⊆ I ,thì hàm hợp ϕ0 f lồi C 1.2 Cực trị hàm lồi Định nghĩa 1.8 Cho C ⊆ Rn khác rỗng f : Rn → (−∞, +∞] Một điểm x∗ ∈ C gọi cực tiểu địa phương f C tồn lân cận U x∗ cho: f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ C; Điểm x∗ ∈ C gọi cực đại địa phương nếu: f (x) ≤ f (x∗ ) ∀x ∈ U ∩ C; Nếu f (x) ≥ f (x∗ ) ∀x ∈ C; x∗ gọi cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối f C Và nếu: f (x) ≤ f (x∗ ) ∀x ∈ C; x∗ gọi cực đại tồn cục hay cực đại tuyệt đối f C Mệnh đề 1.2 Cho f : Rn → Rn ∪ {+∞} lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f tập lồi cực tiểu toàn cục Hơn tập hợp điểm cực tiểu f tập lồi Nếu f lồi chặt, điểm cực tiểu tồn Chứng minh Cho C ⊆ Rn Giả sử x∗ điểm cực tiểu địa phương f C Khi tồn lân cận U x∗ cho: f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩ C với x ∈ C , < λ < C lồi U lân cận x∗ ∈ C , nên điểm xλ := (1 − λ) x∗ + λx ∈ C ∩ U λ đủ nhỏ Do f (x∗ ) ≤ f (xλ ) f lồi, ta có: f (x∗ ) ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ) f (x∗ ) + λf (x) Từ suy ra: f (x∗ ) ≤ f (x) Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Theo định lý Kuhn – Tucker, hệ (2.13) điều kiện cần đủ để x nghiệm tối ưu quy hoạch toàn phương lồi mạnh: x∈U T x Bx + q T x ; (2.14) đó:   B :=   1 1  1   ; qT = (q1 , q2 , , qn )  Bài tốn có nghiệm tối ưu điểm cân mơ hình cân thị trường kinh tế Nash – Cournot cổ điển Hiển nhiên nghiệm tối ưu tốn quy hoạch lồi tồn phương nghiệm tối ưu toán sau: max αT x − µT x − xT Qx ; x∈U Điều có nghĩa điểm cân Nash công ty lớn với ma trận hệ số giá:  2β β β  β 2β β Q :=   β β β (2.15) điểm có tổng lợi ích  β β  ,  2β Theo (2.1) (2.6) tổng lợi ích cơng ty là: n fi (x) = αT x − µT x − xT Gx; f (x) := i=1 Ta giải tốn quy hoạch tồn phương lồi mạnh: max αT x − µT x − xT Gx ; x∈U theo phương pháp có quy  β β  β β G=  β β hoạch tốn học Trong đó:  β β β β  ,  β β gọi ma trận hệ số giá 25 (2.16) Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Ví dụ 2.1 Có hai cơng ty Gọi U1 = [0, 10] tập chiến lược công ty thứ nhất, U2 = [0, 5] tập chiến lược công ty thứ hai Giả sử: Hàm chi phí cơng ty thứ sản xuất x1 đơn vị hàng hóa là: h1 (x1 ) = 2x1 + 1, Hàm chi phí cơng ty thứ hai sản xuất x2 đơn vị hàng hóa là: h2 (x2 ) = 5x2 + 2, Hàm giá hai công ty chung: p (σ) = 10 − 0.5 (x1 + x2 ) Vậy hàm lợi nhuận công ty là: f1 (x1 , x2 ) = x1 p (x1 + x2 ) − h1 (x1 ) , f2 (x1 , x2 ) = x2 p (x1 + x2 ) − h2 (x2 ) , Để chuyển tốn tồn phương (2.10) ta có: 0.5 ; µ = (µ1 , µ2 ) = (2, 5); α = (α1 , α2 ) = (10, 10) Q= 0.5 Từ suy ra: −8 ⇒ q T = (−8, −5) , q= −5 Do ta có: (x1 , x2 ) 0.5 x1 x1 + (−8, −5) 0.5 x2 x2 1 = x21 + x22 + x1 x2 − 8x1 − 5x2 2 Suy ra, tốn tồn phương lồi mạnh là: 2 x + x + x1 x2 − 8x1 − 5x2 , x1 ∈U1 2 2 x2 ∈U2 Sử dụng cơng cụ tính tốn MALAB với hàm quadprog gói optimoization toolbox ta giải nghiệm toán là: x1 = 7.3 x2 = 1.3 Từ suy hàm giá hai công ty là: p (δ) = 5.7 giá trị hàm lợi nhuận công ty : f1 (x1 , x2 ) = 26.01 f2 (x1 , x2 ) = −1.09 26 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm Trong chương này, giới thiệu hai cách tiếp cận cho mơ hình cân Nash - Cournot Cách tiếp cận thứ tiếp cận thông qua tốn quy hoạch tồn phương lồi mạnh cho mơ hình cổ điển, tức mơ hình với cước phí tuyến tính Đối với mơ hình với cước phí lõm giới thiệu việc chuyển mơ hình toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC trình bày thuật tốn tìm điểm cân cho loại mơ hình Những kiến thức chương lấy từ tài liệu [5], [6] 2.2.1 Mô hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm Trong mơ hình cân kinh tế Nash - Cournot cổ điển, hàm chi phí giả thiết hàm tăng, a-phin theo số lượng sản xuất Tuy nhiên thực tế, chi phí để sản xuất đơn vị hàng hóa thường giảm số lượng hàng hóa sản xuất tăng Hơn nữa, giá sản xuất cơng ty khơng giống Do phần xét mơ hình cân Nash - Cournot với chi phí sản xuất hàm lõm giá thành sản xuất công ty khác Cụ thể ta cho hàm giá pi (σ) xác định sau: n pi (σ) := p n xj j=1 = αi − βj xj , αi ≥ 0, βj ≥ 0, (i = 1, , n) j=1 hàm chi phí hãng thứ i hi (xi ) hàm lõm Khi ta có: 27 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm n Φ (x, y) := ψ(x, y) − ψ (x, x) = n fi (x) − i=1 n = i=1   xp  i i i=1  n i=1   (xj [yi ]) + h (y)   n − hi (xi ) − yi pi  xi j=i,j=1 n n n xi αi − βi = fi (x [yi ]) i=1 xi − h (x) − yi αi − βi i=1 (xj [yi ]) j=i,j=1 +h (y)} n n (yi − xi ) βi = i=1 n x j − αi + βi i=1 j=i,j=1 yi2 − βi n i=1 x2i +h (y) − h (x) = Bx − α, y − x + y T By − xT Bx + h (y) − h (x) , đó:  β1  B=  0 β2 0   0 β1    ; B =  β2   βn βn βn β1 β2 βn  β1 β2  ,  n h (x) := hi (xi ), i=1 với hi (i = 1, 2, , n) hàm lõm Rõ ràng B ma trận đối xứng xác định dương Cho F (x) := Bx − α, (2.17) ϕ (x) := xT Bx + h (x) (2.18) Vậy toán cân trở thành toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp sau: Tìm x∗ ∈ C cho: Φ (x∗ , y) := F (x∗ ) , y − x∗ + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C (2.19) đó, F (.) tốn tử a-phin ϕ (.) hàm D.C cho theo cơng thức (2.17) (2.18) Chú ý ϕ không lồi nên (2.19) không tương 28 Chương Mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm đương với tốn: Tìm x∗ ∈ C cho: Φ (x∗ , y) := F (x∗ ) , y − x∗ + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U ∩ C (2.20) U lân cận x∗ Điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (2.20) gọi nghiệm địa phương Chú ý βi = với công ty i đó, tức giá sản phẩm cơng ty i đồng số αi Trong trường hợp chiến lược cân cơng ty i thực cách tối đa hóa lợi nhuận thông qua bổ đề sau Cho U −i := Uj toán thứ nguyên (n − 1) chiều tính j=i thơng qua tốn n chiều cách xóa mục i Cụ thể ta có định nghĩa sau: Tìm x−i0 ∈ U −i0 cho: F −i0 (x−i0 ), y −i0 − x−i0 + ϕ−i0 (y −i0 ) − ϕ−i0 (x−i0 ) ≥ 0, ∀y −i0 ∈ U −i0 , (2.21) đó:  −i −i  F (x ) := B −i0 x−i0 − α−i0  ϕ−i0 (x−i0 ) := n ϕi (xi ) i=i0 với B −i0 ma trận cấp (n − 1) × (n − 1) nhận từ ma trận B cách xóa hàng i0 cột j0 Định lý 2.1 (Định lý Kakutani điểm bất động) Cho U tập lồi, compact Rn H : U → 2U ánh xạ nửa liên tục điểm U Giả sử H(x) tập khác rỗng, lồi, compact với x ∈ U Khi đó, H có điểm cố định Với x ∈ U , ta định nghĩa: θ (x) := {Φ (x, y) := F (x) , y − x + ϕ (y) − ϕ (x)} , y∈U H (x) := arg { F (x) , y + ϕ (y)} (2.22) (2.23) y∈U Trong đó, U compact, ϕ ánh xạ liên tục, θ hữu hạn, H (x) = φ với x Mệnh đề 2.2 Cho U tập lồi, đóng, khác rỗng Rn Khi ta có: 29 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm (i) θ (x) ≤ 0, ∀x ∈ U ; (ii) x∗ ∈ U nghiệm toán (2.19) θ (x∗ ) = Chứng minh (i) Hiển nhiên Φ (x, x) = 0, ∀x ∈ U Từ kết hợp với (2.22) ta suy θ (x) ≤ 0, ∀x ∈ U (ii) Giả sử x∗ ∈ U nghiệm toán (2.19) theo định nghĩa ta có x∗ ∈ U và: F (x∗ ) , y − x∗ + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U Điều chứng tỏ θ (x∗ ) ≥ Kết hợp với (i) ta suy ra: θ (x∗ ) = Ngược lại, giả sử θ (x∗ ) = Điều từ (2.22) ta suy ra: Φ (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ U Theo định nghĩa hàm Φ ta suy ra: F (x∗ ) , y − x∗ + ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U Điều chứng tỏ x∗ nghiệm toán (2.19) Mệnh đề 2.3 Giả sử βi0 = Đặt xi0 nghiệm tối ưu toán: {hi0 (yi0 ) − αi0 yi0 |yi0 ∈ Ui0 } , (2.24) đặt x−i0 nghiệm toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp P −i0 Khi đó, x := x−i0 , xi0 nghiệm toán (2.19) Ngược lại, nghiệm x tốn (2.19) có dạng x := x−i0 , xi0 với x−i0 xi0 nghiệm tương ứng toán (2.24) (2.21) Chứng minh Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.19) viết lại tương đương với tốn: Tìm x ∈ U cho: n n xj − αi (yi − xi ) + βi i=1 n βi y i − x2 i i=1 j=i (2.25) n (hi (yi ) − hi (xi )), ∀y ∈ U + i=1 30 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Giả sử x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ U nghiệm toán Cố định i lấy yj = xj với i = j Khi đó, vì: U = U1 × U2 × × Un , Từ (2.25) có: n n βi y i − x2 i xj − αi (yi − xi ) + βi i=1 j=i (2.26) +hi (yi ) − hi (xi ) ≥ 0, ∀yi ∈ Ui với i(i = 1, 2, , n) Ngược lại, (2.26) với i(i = 1, 2, , n) hiển nhiên (2.25) Thay βi0 = vào (2.24) ta có: αi0 (yi0 − xi0 ) + hi0 (yi0 ) − hi0 (xi0 ) ≥ 0, ∀yi0 ∈ Ui0 Điều chứng tỏ xi0 nghiệm tối ưu toán (2.24) Với i = i0 xi0 = xi0 (2.26) rút gọn thành: n xj − αi + βi xˆi0 βi (yi − xi ) j=i,i0 (2.27) +βi yi2 − x2i + hi (yi ) − hi (xi ) ≥ Điều với yi ∈ Ui , (i = 1, 2, , n), i = i0 Bằng cách tương tự, ta thấy x−i0 thỏa mãn (2.27) x−i0 nghiệm toán (2.21) Tóm lại, x = x ˆ−i0 , xˆi0 nghiệm tốn (2.19) Từ mệnh đề trên, khơng tính tổng quát, ta giả sử βi > với i Với Ui = η0i , ηnni với i = (1, 2, , n), ta có: U = η01 , ηn1 × η02 , ηn2 × × η0n , ηnnn , Đặt Γi họ gồm tất đoạn đoạn Ui (i = 1, 2, , n), nghĩa là: Γi = i ηj−1 , ηji |j = 1, , ni , Đặt: := {I|I = I1 × I2 × × In : Ii ∈ Γi , i = 1, , n} 31 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Hiển nhiên với (i = 1, , n) ta có: Ui = Ii U = Ii ∈Γi I I∈ Với hộp I ∈ giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp có dạng: Tìm điểm xI ∈ I cho: Φ xI , y := F xI , y − xI + ϕ(y) − ϕ(xI ) ≥ 0∀y ∈ I (2.28) Chú ý tốn phụ (2.28) viết lại thành: Tìm điểm xI ∈ I cho: QxI + q, y − xI ≥ 0∀y ∈ I (2.29) Trong đó:  2β1 β1  β2 2β2 Q=  βn βn β1 β2 βn  β1 β2  ,  2βn (2.30) q T = (q1 , , qn ) với qi = aiji −1 − αi (i = 1, , n) (2.31) Định lý 2.2 (i) Với I ∈ tốn phụ (2.28) có nghiệm; (ii) Bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.19) có nghiệm tồn I∗ ∈ cho θ xI∗ = 0, θ định nghĩa theo (2.22) Chứng minh (i) Do từ toán (2.28) đưa dạng tốn (2.29) Và toán (2.29) tương đương với toán quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh (2.14) Do tốn phụ (2.28) có nghiệm (ii) Giả sử tồn xI∗ ∈ U cho θ xI∗ = Theo mệnh đề (2.2) xI∗ nghiệm toán (2.19) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ U nghiệm toán (2.19) Với U= I, I∈ nên tồn hộp I∗ ∈ cho x∗ ∈ I∗ Theo phần (i), x∗ phải xI∗ Lại theo mệnh đề (2.2) xI∗ có θ (x∗ ) = 32 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.2 Thuật giải Trong phần đưa phương pháp giải mơ hình kinh tế Nash - Cournot trường hợp hàm chi phí lõm, tuyến tính khúc Một dạng hàm chi phí hi sát với thực tiễn dạng hàm lõm tuyến tính khúc Một cách cụ thể, giả sử tập chiến lược công ty i (i = 1, 2, , n) Ui := η0i , ηni i chia thành ni khoảng: ≤ η0i < η1i < < ηni i < +∞, (ni ≥ 1) , Trên đoạn nhỏ hi hàm affine, cụ thể có dạng sau:  ai0 xi + bi0 η0i ≤ xi ≤ η1i ,    ai1 xi + bi1 η1i ≤ xi ≤ η2i , hi (xi ) :=    i i i ani −1 xi + bni −1 ηni −1 ≤ xi ≤ ηni i (2.32) Trong đó, < aini < < ai1 < ai0 < +∞, αi > ai0 ∀i, (2.33) ≤ bi0 < bi1 < < bini , (i = 1, 2, , n) (2.34) Các giả thiết (2.20) (2.21) hoàn toàn tự nhiên, sản lượng xi công ty i vượt qua giá trị định hệ số chi phí biến đổi giảm Nếu ni = hi affine đoạn Ui Một cách tổng quát hi (i = 1, 2, , n) viết dạng sau: hi (xi ) = 0≤j≤ni −1 aij xi + bij Trong thuật tốn mơ tả đây, với I ∈ ta phải giải tốn tốn quy hoạch tồn phương lồi mạnh (2.10) Giả sử I = I1 × × In với: Ii := ηjii −1 , ηjii (i = 1, 2, , n) Để tính vectơ cT = (c1 , , cn ) hàm mục tiêu tốn (2.10), trước hết cần tính: aI = a1ji −1 , , anjn −1 , Sau lấy: ci = 1 a , , αi (i = 1, 2, , n) βi ji −1 33 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Đặt xI nghiệm tối ưu toán (2.10) Sử dụng nghiệm thu xI , tính θ xI giá trị tối ưu toán: y∈U BxI − α, y − xI + ϕ (y) − ϕ xI , (2.35) n đó, h tách được, từ (2.17) (2.18), ϕ (y) := ϕi (yi ) Từ hàm i=1 mục tiêu toán (2.35) tách được, tốn rút gọn thành n tốn tối ưu biến, tốn có dạng sau: fi∗ := {fi (yi )} (i = 1, 2, , n) , yi ∈Ui Từ định nghĩa, ta có θ xI = n i=1 (2.36) fi∗ Dưới nội dung cụ thể thuật toán THUẬT TOÁN Chọn sai số ε ≥ Bước 1: Chọn hộp I ∈ Bước 2: Giải tốn quy hoạch hàm tồn phương lồi mạnh (2.10) để nhận nghiệm lồi tối ưu xI Bước 3: Giải n toán tối ưu chiều (2.36) nhận fi∗ (i = 1, , n) Lấy: n θ x I fi∗ = i=1 (a) Nếu θ xI ≥ −ε dừng, lấy xI điểm ε cân bằng; (b)Nếu θ xI < −ε = φ dừng Trường hợp tốn khơng có điểm cân Mặt khác, thay ( \ {I}) quay lại bước Tính hiệu thuật toán khằng Định định lý 2.2 Vì tập hữu hạn nên thuật toán phải kết thúc trường hợp (a) trường hợp (b) Trong trường hợp xấu nhất, thuật toán phải tìm kiếm tồn số hộp Ví dụ 2.2 Có hai cơng ty Gọi U1 = [0, 10] tập chiến lược công ty thứ nhất, U2 = [0, 5] tập chiến lược cơng ty thứ hai Giả sử: Hàm chi phí công ty thứ sản xuất x1 đơn vị hàng hóa là: h1 (x1 ) = {2x1 + 1, 3x1 } , 34 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Hàm chi phí công ty thứ hai sản xuất x2 đơn vị hàng hóa là: h2 (x2 ) = 2x2 + Hàm giá hai công ty chung: p (σ) = 10 − 0.5 (x1 + x2 ) Vậy hàm lợi nhuận công ty là: f1 (x1 , x2 ) = x1 p (x1 + x2 ) − {2x1 + 1, 3x1 } , f2 (x1 , x2 ) = x2 p (x1 + x2 ) − (2x2 + 1) Áp dụng thuật giải ta có: Do hàm chi phí cơng ty thứ lõm tuyến tính hai đoạn [0, 1] [1, 10], cịn hàm chi phí công ty thứ hai affine nên tập chiến lược mơ hình chia thành hai tập Tập chiến lược thứ nhất: Chiến lược công ty thứ nhất: U1 = [0, 1], chiến lược công ty thứ hai: U2 = U2 = [0, 5] Với hàm chi phí tương ứng cơng ty là: h1 (x1 ) = 3x1 , h2 (x2 ) = h2 (x2 ) = 2x2 + Hàm giá hai công ty chung không thay đổi: p (σ) = 10 − 0.5 (x1 + x2 ) Vậy hàm lợi nhuận công ty là: f1 (x1 , x2 ) = x1 p (x1 + x2 ) − h1 (x1 ) , f2 (x1 , x2 ) = x2 p (x1 + x2 ) − h2 (x2 ) Áp dụng thuật tốn chuyển tốn dạng tồn phương lồi mạnh Cách làm tương tự ví dụ 2.1 Ta có: 0.5 Q= ; µ = (µ1 , µ2 ) = (3, 2); α = (α1 , α2 ) = (10, 10) 0.5 Từ suy ra: q= −7 −8 ⇒ q T = (−7, −8) Suy ta có: (x1 , x2 ) 0.5 0.5 x1 x2 35 + (−7, −8) x1 x2 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm 1 = x21 + x22 + x1 x2 − 7x1 − 8x2 2 Suy ra, tốn tồn phương lồi mạnh là: x1 ∈U1 x2 ∈U2 2 x + x + x1 x2 − 7x1 − 8x2 , 2 2 Sử dụng cơng cụ tính tốn MALAB với hàm quadprog gói optimoization toolbox ta giải nghiệm toán là: x1 = x2 = Từ suy hàm giá hai công ty ứng với tập chiến lược thứ là: p (δ) = giá trị hàm lợi nhuận công ty ứng với tập chiến lược thứ là: f1 (x1 , x2 ) = 4, f2 (x1 , x2 ) = 24 Tập chiến lược thứ hai: Chiến lược công ty thứ nhất: U1 = [1, 10], chiến lược công ty thứ hai: U2 = [0, 5] Với hàm chi phí tương ứng cơng ty là: h1 (x1 ) = 2x1 + 1, h2 (x2 ) = h2 (x2 ) = 2x2 + Hàm giá hai công ty chung không thay đổi: p (σ) = 10 − 0.5 (x1 + x2 ) Vậy hàm lợi nhuận công ty là: f1 (x1 , x2 ) = x1 p (x1 + x2 ) − h1 (x1 ) , f2 (x1 , x2 ) = x2 p (x1 + x2 ) − h2 (x2 ) Áp dụng thuật tốn chuyển tốn dạng tồn phương lồi mạnh Cách làm tương tự ví dụ 2.1 Ta có: 0.5 Q= ; µ = (µ1 , µ2 ) = (2, 2); α = (α1 , α2 ) = (10, 10) 0.5 Từ suy ra: 36 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm q= −8 −8 ⇒ q T = (−8, −8) Suy ta có: (x1 , x2 ) 0.5 0.5 x1 x2 + (−8, −8) x1 x2 1 = x21 + x22 + x1 x2 − 8x1 − 8x2 2 Suy ra, tốn tồn phương lồi mạnh là: x1 ∈U1 x2 ∈U2 2 x + x + x1 x2 − 8x1 − 8x2 2 2 Sử dụng cơng cụ tính tốn MALAB với hàm quadprog gói optimoization toolbox ta giải nghiệm toán là: x1 = 5.5 x2 = Từ suy hàm giá hai công ty ứng với tập chiến lược thứ hai là: p (δ) = 4.75 giá trị hàm lợi nhuận công ty ứng với tập chiến lược thứ hai là: f1 (x1 , x2 ) = 14.125, f2 (x1 , x2 ) = 12.75 Vậy thực chất việc giải toán ban đầu cho, đưa giải hai toán quy hoạch hàm toàn phương lồi mạnh sau: x1 ∈U1 x2 ∈U2 x1 ∈U1 x2 ∈U2 2 x + x + x1 x2 − 7x1 − 8x2 , 2 2 2 x + x + x1 x2 − 8x1 − 8x2 2 2 37 38 Kết luận Mơ hình kinh tế Nash - Cournot vấn đề quan trọng toán ứng dụng phạm vi ứng dụng rộng rãi có vai trị quan trọng thực tiễn sống, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu mơ hình Nash - Cournot nghiên cứu mơ hình Nash - Cournot cước phí lõm Đồng thời giới thiệu phương pháp giải cho tốn lõm tuyến tính khúc Cụ thể sau: Chương 1: Ta tìm hiểu kiến thức giải tích bản, cực trị hàm lồi, bất đẳng thức biến phân Chương 2: Ta tìm hiểu mơ hình cân Nash - Cournot cổ điển, cách đưa mơ hình dạng tốn tồn phương lồi mạnh Rồi tìm hiểu cách đưa mơ hình toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp mơ hình có cước phí lõm Đồng thời, giới thiệu phương pháp để giải toán với cước phí lõm tuyến tính khúc 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình Giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu , NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [5] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [6] Muu L D, Nguyen V H, Quy N V (2008), "On Nash – Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions", J Glob Optim 41, pp 351 – 364 [7] Tuy H (2008), Convex Analysis and Global Optimization, Springer ... −1.09 26 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm Trong chương này, giới thiệu hai cách tiếp cận cho mô hình cân Nash - Cournot Cách tiếp... n), ∀yi ∈ Ui Vậy x∗ ∈ U điểm cân mơ hình 20 Chương Mơ hình Nash - Cournot với cước phí lõm Hình 2.1: Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí tuyến tính Nhận xét 2.1 - Hiển nhiên x ∈ D nghiệm tối... hàm tồn phương lồi mạnh 2.2 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 2.2.2 Thuật giải 18 18