ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LUẬN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HĨA LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LUẬN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG QUA ĐỊA PHƯƠNG HÓA VÀ ĐẦY ĐỦ HÓA Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 604 601 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ LUẬN i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn tận tình GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tơi xin gửi tới thầy Viện Tốn học Hà Nội, Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Ngun,ngày 15 tháng 04 năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ LUẬN ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa đầy đủ hóa 1.2 Tiêu chuẩn Artin cho môđun 1.3 Biểu diễn thứ cấp tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 11 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa 16 2.1 Hệ tham số 16 2.2 Các lớp vành đặc biệt 18 2.3 Các bổ đề liên quan 21 2.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa 28 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether, M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d A R-môđun Artin Với p ∈ Spec R ta biết AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p} Với A R-môđun Artin, tập iđêan nguyên tố gắn kết A, kí hiệu AttR A, định nghĩa I G Macdonald [Mac] có vai trò quan trọng tương tự vai trò tập iđêan nguyên tố liên kết M Ta biết môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) Artin với i ≥ Do câu hỏi tự nhiên đặt liệu mối quan hệ tương tự tập i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) AttR Hmi (M ) có khơng, tức công thức i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} (1) có với p ∈ Spec(R) khơng? Trong [S], R.Y Sharp chứng minh R vành thương vành Gorenstein địa phương nguyên lý chuyển dịch qua địa phương hóa (1) Tuy nhiên nguyên lý không trường hợp tổng quát (xem [BS, Ví dụ 11.3.14]) Kí hiệu R M vành R-môđun đầy đủ R M theo tơpơ m-adic, ta có mối quan hệ sau tập AssR M AssR M : AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssR M } AssR M = AssR (R/pR) p∈AssR M Vậy câu hỏi với R-mơđun Artin A mối quan hệ tương tự tập AttR A AttR A có khơng? Với R-môđun Artin A ta biết AttR A = {P ∩R | P ∈ AttR A} (xem [BS]) Tuy nhiên mối quan hệ tương tự công thức thứ hai không A = Hmi (M ) Tức quan hệ AttR Hmi (M ) = AttR (R/pR) (2) i (M ) p∈AttR Hm nhìn chung khơng xảy Chú ý R vành thương vành Gorenstein địa phương cơng thức (2) với mơđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) (xem [CN]) Cuối năm 2014, báo "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion" đăng tạp chí Đại số, L T Nhàn P H Quý chứng minh chuyển dịch qua địa phương hóa (1) chuyển dịch qua đầy đủ hóa (2) hai điều kiện tương đương với tính chất R vành catenary phổ dụng tất thớ hình thức R Cohen-Macaulay Mục tiêu luận văn chứng minh lại kết L T Nhàn P H Quý: Định lý Các điều kiện sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay; i−dim(R/p) (ii) AttRp HpRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} với R-môđun M hữu hạn sinh, số nguyên i ≥ p ∈ Spec R; (iii) AttR Hmi (M ) = i (M ) p∈AttR Hm AttR (R/pR) với R-môđun M hữu hạn sinh số nguyên i ≥ Luận văn gồm chương Phần đầu Chương nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa qua đầy đủ hóa Phần trình bày số vấn đề tiêu chuẩn Artin Melkersson [Mel], tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Chương chương luận văn, trình bày hệ tham số, lớp vành đặc biệt, số bổ đề liên quan chứng minh Định lý Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, ta ln giả thiết (R, m) vành giao hốn địa phương Noether Cho M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Cho A R-môđun Artin L R-môđun (không thiết hữu hạn sinh hay Artin) Kí hiệu R M đầy đủ R M theo tôpô m-adic Ta kí hiệu I iđêan tùy ý R Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa đầy đủ hóa Trong tiết ta nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết R-môđun hữu hạn sinh M qua địa phương hóa qua đầy đủ hóa Các kết tiết tham khảo từ [Mat] [S] Định nghĩa 1.1.1 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M cho AnnR (x) = p Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết Tính chất 1.1.2 (i) Cho p ∈ Spec(R) Khi p ∈ AssR (M ) M chứa môđun đẳng cấu với R/p (ii) Cho p phần tử tối đại tập iđêan có dạng AnnR (x) = x ∈ M Khi p ∈ AssR (M ) Vì thế, M = AssR (M ) = ∅ (iii) Đặt ZD(M ) = {a ∈ R | tồn m = 0, m ∈ M cho am = 0} Khi tập ZD(M ) ước khơng M hợp iđêan nguyên tố liên kết M (iv) Cho → M → M → M → dãy khớp R-mơđun Khi AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M (v) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) phần tử tối tiểu SuppR (M ) thuộc AssR (M ) (vi) Nếu M R-mơđun hữu hạn sinh AssR (M ) tập hữu hạn Hơn AssR (M ) ⊆ Var(AnnR M ) Vì Rad(AnnR M ) giao iđêan nguyên tố liên kết M (vii) Với S tập đóng nhân R AssS −1 R (S −1 M ) = {S −1 q | q ∈ AssR M, q ∩ S = ∅} Cho p ∈ Spec(R), suy S = R\p tập đóng nhân Ta kí hiệu Rp := S −1 R Mp := S −1 M Khi ta có tính chất chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa sau Mệnh đề 1.1.3 AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR M, q ⊆ p} Kết tính chất chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết qua đầy đủ hóa Nhắc lại rằng, dãy (xn ) ⊂ R gọi dãy Côsi theo tôpô m-adic với k ∈ N cho trước, tồn n0 ∈ N cho xn − xm ∈ mk , với m, n ≥ n0 Dãy (xn ) ⊂ R gọi dãy không với k ∈ N cho trước tồn n0 ∈ N cho xn ∈ mk ,với n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương tập dãy Côsi sau : Hai dãy Côsi (xn ), (yn ) gọi tương đương dãy (xn − yn ) dãy khơng Kí hiệu R tập lớp tương đương dãy Côsi Chú ý tổng tích hai dãy Cơsi dãy Côsi, quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tương đương Vì phép tốn R với phép toán R làm thành vành Noether địa phương với iđêan tối đại mR Vành R vừa xây dựng gọi vành đầy đủ theo tôpô m-adic R Bằng cách tương tự ta có khái niệm mơđun đầy đủ theo tơpơ m-adic cho R-mơđun L tùy ý kí hiệu L Nhưng ý với p ∈ Spec(R) chưa có pR ∈ Spec(R) Mệnh đề 1.1.4 Các phát biểu sau (i) AssR M = p∈AssR M AssR (R/pR) (ii) AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssR M } Chứng minh (i) Vì f : R → R đồng cấu tự nhiên R phẳng R nên theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có AssR (M ⊗ R) = AssR (R/pR) p∈AssR M Hơn M ⊗ R ∼ = M nên khẳng định (i) chứng minh (ii) Gọi f a : Spec(R) → Spec(R) ánh xạ cảm sinh f , tức f a (P) = f −1 (P) := P ∩ R với P ∈ Spec(R) Vì f ánh xạ phẳng hoàn toàn nên theo [Mat, Định lý 7.3(i)], f a toàn ánh Áp dụng [Mat, Định lý 23.2](ii) ta có L T Nhàn P H Quý Các kiến thức tiết trích từ tài liệu [CN], [CQ] [NQ] Công cụ chủ yếu để chứng minh định lý [CN] khái niệm giả giá thứ i M giới thiệu M Brodmann R Y Sharp Khái niệm định nghĩa sau Định nghĩa 2.3.1 Cho i ≥ số nguyên Giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ), cho công thức i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRp (Mp ) = 0} Sau số tính chất tập giả giá Chú ý rằng, tập T Spec(R) gọi tập đóng phép đặc biệt hóa với hai iđêan nguyên tố p q R thỏa mãn p ⊆ q p ∈ T ta ln có q ∈ T Bổ đề 2.3.2 Các khẳng định sau với số nguyên i ≥ 0: (i) Nếu R catenary PsuppiR (M ) đóng phép đặc biệt hóa; (ii) Giả sử vành R catenary phổ dụng thớ hình thức CohenMacaulay Cho p ∈ Spec(R) P ∈ Spec(R) iđêan tối tiểu pR Khi p phần tử tối tiểu PsuppiR (M ) P phần tử tối tiểu PsuppiR (M ); (iii) Nếu R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi (M )) Bồ đề sau số nội dung báo L T Nhàn T Đ M Châu [CN, Định lý 1.1] Bổ đề 2.3.3 Các mệnh đề sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay; 22 (ii) AttR Hmi (M ) = i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR), với R-môđun hữu hạn sinh M số nguyên i ≥ 0; (iii) dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M ), với R-môđun hữu hạn sinh M số nguyên i ≥ Chứng minh (i) → (ii) Giả sử P ∈ i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) Khi tồn p0 ∈ AttR Hmi (M ) cho P ∈ AssR (R/p0 R) Theo Bổ đề 1.1.4(ii), ta có P ∩ R = p0 Lấy p1 ∈ AttR (Hmi (M )) cho p1 ⊆ p0 Khi P ⊇ p1 R Suy tồn P1 ∈ AssR (R/p1 R) cho P1 ⊆ P Hơn ta có P1 ∈ i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) p1 ∈ AttR Hmi (M ) Như vậy, tính chất tối tiểu P tập i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) nên P1 = P Vì p0 = P ∩ R = P1 ∩ R = p1 Suy P ∈ AssR (R/p0 R) p0 ∈ AttR Hmi (M ) Theo Bổ đề 1.3.2(ii) ta có p0 ∈ Var(AnnR Hmi (M )) Vì vành R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.3.2(iii) ta có p0 ∈ PsuppiR (M ) Mặt khác P ∈ AssR (R/p0 R) nên suy P ∈ PsuppiR (M ) theo Bổ đề 2.3.2(ii) giả thiết (i) Vì P ∈ Var(AnnR Hmi (M )) theo Bổ đề 2.3.2(iii) Do P ∈ AttR (Hmi (M )) theo Bổ đề 1.3.2(ii) Suy AttR (Hmi (M )) ⊇ AssR (R/pR) i (M ) p∈AttR Hm Ngược lại, lấy P ∈ AttR (Hmi (M )) Đặt p0 = P ∩ R Khi theo Bổ đề 1.3.4 ta có p0 ∈ AttR Hmi (M ) Lấy p1 ∈ AttR Hmi (M ) cho p1 ⊆ p0 Vì đồng cấu tự nhiên R → R phẳng hồn tồn nên thỏa mãn Định lý xuống (xem [Mel, Định lý 9.5]), nghĩa tồn iđêan nguyên tố P1 ⊆ P để P1 ∩ R = p1 Suy tồn P2 ∈ Var(p1 R) cho P2 ⊆ P1 Rõ ràng P2 ∩ R = p1 theo Bổ đề 1.1.4(ii) Vì p1 ∈ AttR Hmi (M ) nên theo Bổ đề 1.3.2(ii) ta có p1 ∈ Var(AnnR Hmi (M )) Do từ giả thiết (i) 23 Bổ đề 2.3.2(iii) suy p1 ∈ PsuppiR (M ) Vì P2 ∈ Var(p1 R) nên áp dụng giả thiết (i) Bổ đề 2.3.2(ii) ta có P2 ∈ PsuppiR (M ) Do P2 ∈ Var(AnnR Hmi (M )) theo Bổ đề 2.3.2(iii) Bổ đề 1.3.2(ii) ta suy P2 ∈ AttR Hmi (M ) Vì P ∈ AttR (Hmi (M )) P2 ⊆ P nên ta có P2 = P Do P ∈ AssR (R/p1 R), p1 ∈ AttR Hmi (M ) nên ta có P ∈ i (M ) p∈AttR Hm i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) Giả sử Q phần tử tối tiểu tập AssR (R/pR), cho Q ⊆ P Chú ý rằng, theo chứng minh ta có AttR (Hmi (M )) ⊇ AssR (R/pR) i (M ) p∈AttR Hm Do Q ∈ AttR (Hmi (M )) Suy P = Q tính chất tối tiểu P AttR (Hmi (M )) Vì P ∈ i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) Do ta có AttR (Hmi (M )) = AssR (R/pR) i (M ) p∈AttR Hm (ii) ⇒ (iii) Cho i ≥ Đặt t = N-dimR Hmi (M ) Theo [CN, Nhận xét 2.3, Hệ 4.8] suy t = dim(R/ AnnR Hmi (M )) Khi tồn iđêan nguyên tố P R chứa AnnR Hmi (M ) cho dim(R/P) = t Đặt p = P ∩ R Rõ ràng p ⊇ AnnR Hmi (M ) ∩ R ⊇ AnnR Hmi (M ) Do t = dim(R/P) ≤ dim(R/p) ≤ dim(R/ AnnR Hmi (M )) Đặt k = dim(R/ AnnR Hmi (M )) Theo Bổ đề 1.3.2(ii) tồn iđêan nguyên tố p0 ∈ AttR (Hmi (M )) để dim(R/p0 ) = k Lấy iđêan nguyên tố P ∈ AssR (R/p0 R) cho dim(R/P) = dim(R/p0 ) = k Khi ta có P∈ i (M ) p∈AttR Hm tập i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) P ∩R = p0 Gọi P1 phần tử tối tiểu AssR (R/pR) cho P1 ⊆ P Suy P1 ∈ AssR (R/p1 R) với p1 thuộc AttR Hmi (M ) Vì p0 = P ∩ R ⊇ P1 ∩ R = p1 Do 24 tính chất tối tiểu p0 tập AttR (Hmi (M )) nên p1 = p0 Suy P P1 phần tử tập AssR (R/p0 R) Vì P ∈ AssR (R/p0 R) P1 ⊆ P nên P = P1 Vậy P ∈ i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR) Từ giả thiết (ii) suy P ∈ AttR (Hmi (M )) Do theo Bổ đề 1.3.2(ii) ta có dim(R/P) ≤ dim(R/ AnnR Hmi (M )) Suy k ≤ t Vậy dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M ) (iii) ⇒ (i) Theo M Hochster C Huneke, phần tử x ∈ R gọi triệt tiêu đối đồng điều địa phương M x = p với p ∈ AssR M xHmi (M ) = với i ≤ dim M − Để chứng minh (i), ta cần R/p có phần tử triệt tiêu đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(R) Cho p ∈ Spec(R) đặt s = dim(R/p) Kí hiệu = AnnR Hmi (R/p) với i = 0, 1, , s − đặt a = s−1 i=0 Theo giả thiết (iii), với số nguyên i, ta có dim(R/ai ) = dim(R/ AnnR Hmi (R/p)) Vì đồng cấu tự nhiên R → R phẳng nên theo Định lý chuyển sở phẳng [BS, Định lý 4.3.2] ta có R-đẳng cấu Hmi (R/p) ∼ = Hmi R (R/pR) Do theo Bổ đề 1.3.2(ii) suy dim(R/ai ) = dim(R/ AnnR Hmi R (R/pR)) = max{dim(R/P) | P ∈ AttR Hmi R (R/pR)} Vì R đầy đủ nên R ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương Do với P ∈ AttR Hmi R (R/pR) ta có dim(R/P) ≤ i Vậy dim(R/ai ) ≤ i với số nguyên i Từ suy dim(R/a) ≤ s a p Vì tồn phần tử x ∈ a/p Suy xHmi (R/p) = với i < s, nghĩa R/p có phần tử triệt tiêu đối đồng điều địa phương Do R vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Một bước quan trọng để chứng minh kết luận văn với số nguyên dương i < d iđêan nguyên tố gắn kết p ∈ 25 AttR Hmi (M ) ta nhận R-mơđun hữu hạn sinh N thích hợp cho p ∈ AssR (N ) (xem Bổ đề 2.4.2) Sử dụng tính chất chẻ mơđun đối đồng điều địa phương chứng minh N T Cường P H Quý [CQ, Hệ 3.5] ta chứng minh tính chất Cho T tập Spec R số tự nhiên i ≥ 0, đặt (T )i = {p ∈ T | dim(R/p) = i} Trước tiên ta có ý Chú ý 2.3.4 Cho N R-mơđun hữu hạn sinh có chiều t > 0, ta có tập (N ) = AnnR (Hmi (N )) với i = 0, , t a(N ) = a0 (N ) at−1 (N ) Chú ý t a(N ) ⊆ AnnR (0 :N/(x1 , ,xi−1 )N xi ), x i=1 x = {x1 , , xt } chạy tập tất hệ tham số N Ta có kết tính chẻ mơđun đối đồng điều địa phương chứng minh N T Cường P H Quý (xem [CQ, Hệ 3.5]) sau Bổ đề 2.3.5 Đặt M = M/UM (0), UM (0) mơđun lớn M có chiều nhỏ d Với kí hiệu Chú ý 2.3.4, giả sử x ∈ a(M )3 phần tử tham số M Với i < d − ta có Hmi (M/xM ) ∼ = Hmi (M ) ⊕ Hmi+1 (M ) Cuối ta trình bày Bổ đề mối quan hệ tập AttR A AttS (A ⊗R S) R → S đồng cấu phẳng hai vành địa phương L T Nhàn P H Quý chứng minh [NQ, Bổ đề 2.3] Bổ đề 2.3.6 Cho A R-môđun Artin, (S, n) vành địa phương Noether ϕ : R → S đồng cấu phẳng hai vành địa phương (R, m) (S, n) 26 Giả sử dim(S/mS) = Khi A ⊗R S S -môđun Artin AttR A = {ϕ−1 (P) | P ∈ AttS (A ⊗R S)} Chứng minh Đầu tiên ta sử dụng tiêu chuẩn Artin Melkersson (Định lý 1.2.6) để chứng minh A ⊗R S S -mơđun Artin Vì S phẳng R R/m có biểu diễn hữu hạn nên theo [Mat, Định lý 7.11] ta có: HomS (S/mS; A⊗R S) ∼ = HomR (R/m; A)⊗R S = HomS (R/m⊗R S; A⊗R S) ∼ Vì A R-mơđun Artin, HomR (R/m; A) R-mơđun có độ dài hữu hạn Vì HomR (R/m; A) R-môđun hữu hạn sinh Vậy HomR (R/m; A) ⊗R S S -môđun hữu hạn sinh bị triệt tiêu mS Bởi dim(S/mS) = 0, kéo theo HomR (R/m; A) ⊗R S S -mơđun có độ dài hữu hạn Vì A m-xoắn nên A ⊗R S m-xoắn Suy A ⊗R S S -môđun Artin Cho A = A1 + A2 + + An biểu diễn thứ cấp tối tiểu A, Ai pi -thứ cấp với i = 1, , n Vậy AttR A = {p1 , , pn } Coi S phẳng thực R-đại số, R xem vành S Ai ⊗R S coi môđun A ⊗R S với i = 1, , n Vì A ⊗R S = (A1 ⊗R S) + + (An ⊗R S) Với i = 1, , n, chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu S -môđun Ai ⊗R S Ai ⊗R S = Bi1 + + Biki , với Bij Pij -thứ cấp Vậy A ⊗R S = n i=1 (Bi1 + + Biki ) biểu diễn thứ cấp A ⊗R S Bằng cách bỏ thành phần thừa đánh số lại thành phần cịn lại, ta giả thiết tồn số nguyên ti ≤ ki với i = 1, , n cho A ⊗R S = n i=0 (Bi1 + + Biti ) biểu diễn thứ cấp A ⊗R S mà khơng có thành phần thừa Vì Ai không thừa biểu diễn thứ cấp A = A1 + A2 + + At , S phẳng hoàn toàn R nên ti ≥ với i = 1, , n Bây cho i ∈ {1, , n}, x ∈ pi nên tồn m ∈ N cho xm Ai = Suy xm (Ai ⊗R S) = xm Bij = với j = 1, , ti Do 27 x ∈ Pij ∩ R với j = 1, , ti Cho x ∈ R/pi Khi xm Ai = Ai nên xm (Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S , với m ∈ N Nếu x ∈ Pij , với j ∈ {1, , ti } tồn m0 ∈ N cho xm0 Bij = Do xm0 (Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S , điều mâu thuẫn Vậy x ∈ / Pij , với j = 1, , ti Kéo theo pi = Pij ∩ R với j = 1, , ti , Vậy Pij đôi phân biệt A ⊗R S = n i=0 (Bi1 + + Biti ) biểu diễn thứ cấp tối tiểu A ⊗R S Vì vậyAttS (A ⊗R S) = {Pij | i = 1, , n; j = 1, , ti } Hay AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttS (A ⊗R S)} 2.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa Tiết dành để chứng minh định lý luận văn điều kiện cần đủ vành sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa Nội dung tiết trình bày dựa theo báo [NQ] Trước tiên sử dụng Bổ đề 2.3.5, ta có tính chất sau, tính chất dùng để chứng minh Bổ đề 2.4.2 Bổ đề 2.4.1 Với kí hiệu Chú ý 2.3.4, giả thiết x ∈ a(M )3 phần tử tham số M Khi ta có d−1 d−2 AttR (Hmi (M )) i=0 AttR (Hmi (M/xM )) ∪ (AssR M )d−1 ⊆ i=0 Chứng minh Với UM (0) mơđun lớn M có chiều nhỏ d Đặt M = M/UM (0) Đầu tiên ta chứng minh AttR (Hmd−1 (M )) = (AssR M )d−1 ∪ AttR (Hmd−1 (M )) 28 Thật vậy, từ dãy khớp → UM (0) → M → M → cảm sinh dãy khớp f Hmd−1 (UM (0)) → Hmd−1 (M ) → Hmd−1 (M ) → Nếu dim UM (0) < d−1 AttR (Hmd−1 (UM (0))) = ∅ = (AssR M )d−1 , theo Bổ đề 1.3.2(i) Vậy đẳng thức Giờ ta xét dim(UM (0)) = d − AttR (Hmd−1 (UM (0))) = (AssR UM (0))d−1 = (AssR M )d−1 , theo [BS, 7.3.2] Từ Bổ đề 1.3.2(iii) ta có: AttR (Hmd−1 (M )) ⊆ AttR (Hmd−1 (UM (0)))/ Ker f ) ∪ AttR (Hmd−1 (M )) ⊆ AttR (Hmd−1 (UM (0))) ∪ AttR (Hmd−1 (M )) = (AssR M )d−1 ∪ AttR (Hmd−1 (M )) Mặt khác, ta có (AssR M )d−1 ⊆ AttR (Hmd−1 (M )) (xem [BS, 11.3.9]) dãy khớp nên AttR (Hmd−1 (M )) ⊆ AttR (Hmd−1 (M )) Suy AttR (Hmd−1 (M )) ⊇ (AssR (M ))d−1 ∪ AttR (Hmd−1 (M )) Vậy đẳng thức chứng minh Giờ sử dụng Bổ đề 2.3.5 ta có d−2 d−2 AttR (Hmi (M/xM )) i=0 (AttR (Hmi (M )) ∪ AttR (Hmi+1 (M ))) = i=0 Chú ý Hm0 (M ) = Suy AttR (Hm0 (M )) = ∅ Vì từ đẳng thức ta có: d−2 AttR (Hmi (M/xM )) ∪ (AssR M )d−1 i=0 d−2 (AttR (Hmi (M )) ∪ AttR (Hmi+1 (M ))) ∪ (AssR M )d−1 = i=0 d−2 (AttR Hmi (M ) ∪ AttR Hmi (M )) ∪ ((AssR M )d−1 ∪ AttR Hmd−1 (M )) = i=0 d−1 (AttR (Hmi (M )) ∪ AttR (Hmi (M ))) = i=0 29 Rõ ràng d−1 d−2 AttR (Hmi (M )) AttR (Hmi (M/xM )) ∪ (AssR M )d−1 ⊆ i=0 i=0 Kết bổ đề xem chìa khóa để chứng minh kết tiết Bổ đề 2.4.2 Cho x1 , , xd hệ tham số M Với giả thiết Chú ý 2.3.4, xi ∈ a(M/(x1 , , xi−1 )M )3 với i = 1, , d d−1 d−1 AttR (Hmi (M )) i=0 ⊆ (AssR (M/(x1 , , xi )M ))d−i−1 i=0 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Với d = vế trái AttR (Hm0 (M )), vế phải (AssR (M ))0 Vậy bổ đề với d = Với d > Giả thiết kết với d − Đặt M1 = M/x1 M Áp dụng Bổ đề 2.4.1 giả thiết quy nạp ta được: d−1 d−2 AttR (Hmi (M )) AttR (Hmi (M1 )) ∪ (AssR M )d−1 ⊆ i=0 i=0 d−2 ⊆ (AssR (M1 /(x2 , , xi+1 )M1 ))d−i−2 ∪ (AssR M )d−1 i=0 d−1 (AssR (M/(x1 , , xi )M ))d−i−1 ∪ (AssR M )d−1 = i=1 d−1 = (AssR (M/(x1 , , xi )M ))d−i−1 i=0 Sau Nguyên lí dịch chuyển mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa R.Y Shap chứng minh [S, Định lý 3.7] 30 Bổ đề 2.4.3 Giả sử R vành thương vành Gorenstein địa phương Khi với iđêan nguyên tố p R số nguyên i ≥ ta có i−dim(R/p) AttRp (HpRp (Mp )) = {qRp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p} Nhìn chung Ngun lí dịch chuyển mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa khơng trường hợp tổng qt, (xem [BS, Ví dụ 11.3.14]) Với R vành địa phương ta có quan hệ bao hàm gọi Ngun lí dịch chuyển yếu qua địa phương hóa, [BS, 11.3.8] Bổ đề 2.4.4 Với iđêan nguyên tố p R số nguyên i ≥ ta có i−dim(R/p) AttRp (HpRp (Mp )) ⊆ {qRp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p} Bây Định lý luận văn Định lý 2.4.5 Ta có điều kiện sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay; i−dim(R/p) (ii) AttRp (HpRp (Mp )) = {qRp | q ∈ AttR (Hmi (M )), q ⊆ p} với R-môđun M hữu hạn sinh, p ∈ Spec R số nguyên i ≥ 0; (iii) AttR (Hmi (M )) = i (M ) p∈AttR Hm AssR (R/pR), với R-môđun hữu hạn sinh M số nguyên i ≥ Chứng minh Ta sử dụng kí hiệu Chú ý 2.3.4 Cho số nguyên i ≥ Đầu tiên ta chứng minh tồn hệ tham số x1 , , xd M thỏa mãn xk ∈ a(M/(x1 , , xk−1 )M )3 , với k = 1, , d, AttR (Hmi (M )) ⊆ AssR (R/pR) i (M )) p∈AttR (Hm 31 Thật vậy, lấy P ∈ AttR (Hmi (M )) Nếu i = d ta có P ∈ (AssR M )d , xem [BS, Định lý 7.3.2] Chú ý (AssR M )d = AttR (Hmd (M )) Do theo [Mat, 23.2] ta có P∈ AssR (R/pR) = p∈(AssR M )d AssR (R/pR) d (M )) p∈AttR (Hm Vậy kết trường hợp i = d Cho i < d Với k = 1, , d, dễ thấy a(M/(x1 , , xk−1 )M )R ⊆ a(M /(x1 , , xk−1 )M ) Đặt dim(R/P) = t P ∈ (AttR Hmi (M ))t Vì i < d nên theo Bổ đề 2.4.2 ta có P ∈ (AssR (M /(x1 , , xd−t−1 )M ))t Đặt p0 = P ∩ R Khi p0 ∈ AttR Hmi (M ) theo Bổ đề 1.3.4 p0 ∈ AssR (M/(x1 , , xd−t−1 )M ) Vì ta có P ∈ AssR (M /(x1 , , xd−t−1 )M ) = Ass(R/pR) p∈AssR (M/(x1 , ,xd−t−1 )M ) Do P ∈ Ass(R/p0 R) P ∈ i (M )) p∈AttR (Hm AssR (R/pR) Vậy tính chất đầu chứng minh Giờ ta chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho số nguyên i ≥ p iđêan nguyên tố R Từ kết Bổ đề 2.4.4, để chứng minh (ii) ta phải q ∈ AttR (Hmi (M )) cho q ⊆ p qRp ∈ i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) Thật vậy, theo Bổ đề 1.3.4 tồn iđêan nguyên tố Q ∈ AttR (Hmi (M )) cho Q ∩ R = q Vì R vành catenary phổ dụng tất thớ hình thức Cohen-Macaulay, ta có dim(R/at (M )) ≤ t với t = 0, , d−1, (xem [CNN, Hệ 4.2(i)]) Vì dim(R/a(M )) < d Do tồn phần tử x1 ∈ a(M )3 phần tử tham số M Bằng cách tương tự, ta chọn hệ tham số M {x1 , , xd } thỏa mãn xk ∈ a(M/(x1 , , xk−1 )M )3 , với k = 1, , d Nên từ chứng minh 32 ta có Q ∈ AssR (R/qR) Vì R catenary phổ dụng tất thớ hình thức Cohen-Macaulay nên vành R/q khơng trộn lẫn Vì dim(R/Q) = dim(R/q) Vì Q ∈ AttR (Hmi (M )) = AttR (Hmi R (M )) nên i−dim(R/Q) QRQ ∈ AttRQ (HQR Q (MQ )) theo Bổ đề 2.4.3 Chú ý ánh xạ tự nhiên Rq → RQ phẳng hoàn tồn có dim(RQ /qRQ ) = Hơn nữa, từ Định lý chuyển sở phẳng (xem [BS, 4.3.2]) ta có i−dim(R/q) HqRq i−dim(R/Q) (Mq ) ⊗ RQ ∼ (MQ ) = HQR i−dim(R/q) Vậy qRq ∈ Att(HqRq Q (Mq )) Bổ đề 2.3.6 Theo giả thiết (i) có R catenary nên i − dim(R/q) = (i − dim(R/p)) − dim(Rp /qRp ) i−dim(R/p) Vì từ (Rp )qRp ∼ (Mp )) theo nguyên = Rq , suy qRp ∈ AttRp (HpRp lý dịch chuyển yếu qua địa phương hóa (Bổ đề 2.4.4) (ii) ⇒ (iii) Cho p ∈ AttR (Hmi (M )) P ∈ Ass(R/pR) Đầu tiên ta chứng minh dim(R/P) = dim(R/p) Thật vậy, giả sử dim(R/P) < dim(R/p), đặt k = dim(R/P) Theo [BS, 11.3.3] ta thấy P ∈ AttR (Hmk R (R/pR)) = AttR (Hmk (R/p)) Bởi P ∈ Ass(R/pR) nên p = P ∩ R ∈ AttR (Hmk (R/p)) theo Bổ đề k−dim(R/p) 1.3.4 Vì từ giả thiết (ii) ta có pRp ∈ AttRp (HpRp k−dim(R/p) Tuy nhiên, dim(R/p) > k AttRp (HpRp (Rp /pRp )) (Rp /pRp )) = ∅, điều mâu thuẫn Vậy dim(R/P) = dim(R/p) Tiếp theo, từ chứng minh ta có dim(RP /pRP ) = Vì p ∈ AttR (Hmi (M )) nên từ giả thiết (ii) suy i−dim(R/p) pRp ∈ AttRp (HpRp (Mp )) Chú ý ánh xạ tự nhiên Rq → RP i−dim(R/p) i−dim(R/P) phẳng hoàn toàn HpRp (Mp ) ⊗ RP ∼ (MP ) Vì = HPR P PRP ∈ i−dim(R/P) AttRP (HPR (MP )) P theo Bổ đề 2.3.6 Theo nguyên lý dịch chuyển yếu qua địa phương hóa (Bổ đề 2.4.4) có P ∈ AttR (Hmi R (M )), 33 P ∈ AttR (Hmi (M )) Suy AttR (Hmi (M )) ⊇ AssR (R/pR) i (M )) p∈AttR (Hm Giờ ta chứng minh bao hàm ngược lại cách sử dụng tính chất chứng minh đầu Với số nguyên i ∈ {0, , d − 1} cho Hmi (M ) = Suy tồn iđêan nguyên tố p ∈ AttR (Hmi (M )) cho dim(R/p) = i−dim(R/p) dim(R/ai (M )) theo Mệnh đề 1.3.2 Vậy pRp ∈ AttRp (HpRp i−dim(R/p) theo giả thiết (ii) Suy AttRp (HpRp i−dim(R/p) 1.3.2(i) suy HpRp (Mp )) (Mp )) = ∅ Theo Mệnh đề (Mp ) = Vì ta có i ≥ dim(R/p) Suy dim(R/ai (M )) ≤ i Vậy dim(R/a(M )) ≤ d Do tồn phần tử x1 ∈ a(M )3 phần tử tham số M Kết tương tự tồn hệ tham số {x1 , , xd } M cho xk ∈ a(M/(x1 , , xk−1 )M )3 , với k = 1, , d Từ chứng minh ta có AttR (Hmi (M )) ⊆ AssR (R/pR) i (M )) p∈AttR (Hm (iii) ⇒ (i) Được chứng minh Bổ đề 2.3.3 (ii) ⇒ (i) 34 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại chi tiết kết báo L T Nhàn P H Quý [NQ], Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, Journal of Algebra, (2014) Luận văn thu số kết sau: Hệ thống lại số vấn đề tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Artin môđun đối đồng điều địa phương có liên quan đến nội dung luận văn Trình bày khái niệm số tính chất hệ tham số hai lớp vành đặc biệt liên quan đến luận văn vành Gorenstein vành catenary Tiếp hai bổ đề cần thiết để chứng minh định lý luận văn hai định lý [CN] [CQ] Và cuối chứng minh lại định lý [NQ] Định lý 2.4.5 Các điều kiện sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay; i−dim(R/p) (ii) AttRp HpRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AttR Hmi (M ), q ⊆ p} với R-môđun M hữu hạn sinh, p ∈ Spec R số nguyên i ≥ 0; (iii) AttR Hmi (M ) = i (M ) p∈AttR Hm AttR (R/pR) với R-môđun M hữu hạn sinh số nguyên i ≥ 35 Tài liệu tham khảo [BS] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic introduction with geometry applications, Camb Univ Press [CN] T D M Chau, L T Nhan (2014), Attached primes of local cohomology modules and structure of Noertherian local rings, J Algebra, 403, 459-459 [CNN] N T Cuong, L T Nhan, N T K Nga (2010), On pscudo supports and non Cohen Macaulay locus of a finitely generated module, J Algebra, 323, 3029-3038 [CQ] N T Cuong, P H Quy, On the splitting of local cohomology and structure of finitely generated modules in local rings, Preprint [Mac] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43 [Mat] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Camb Univ Press [Mel] L Melkersson (1995), Some applications of a criterion for Artinianess of a modules, J Pure Appl Algebra, 101, 291-303 [NQ] L T Nhan and P H Quy (2014), Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, J Algebra, 420, 475 -485 [S] R Y Sharp (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30, 177-195 36 ... 2.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa Tiết dành để chứng minh định lý luận văn điều kiện cần đủ vành sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên. .. 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 11 Tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa đầy đủ hóa 16 2.1 Hệ tham số ... iđêan tùy ý R Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa đầy đủ hóa Trong tiết ta nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tố liên kết R-môđun