ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN KIM ANH RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN" LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN KIM ANH RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN" LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Văn Mậu HÀ NỘI - 2020 LỜI CẢM ƠN Thực tế cho thấy, thành công gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ người xung quanh giúp đỡ hay nhiều, trực tiếp hay gián Trong suốt thời gian từ bắt đầu làm luận văn đến nay, nhận quan tâm, bảo, giúp đỡ thầy cơ, gia đình bạn bè xung quanh Với lịng biết ơn vơ sâu sắc, xin gửi lời cảm ơn chân thành từ đáy lịng đến q Thầy Cơ trường Đại học Giáo Dục dùng tri thức tâm huyết để truyền đạt cho vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập trường Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu tận tâm bảo hướng dẫn qua buổi học, buổi nói chuyện, thảo luận đề tài nghiên cứu Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo đó, luận văn tơi hồn thành cách suất sắc Một lần nữa, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy! Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Người m luận văn Trần Kim Anh i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT AM-GM BĐT ĐPCM GV GTLN GTNN HS NXB THPT Arithmetic Mean and Geometric Mean Bất đẳng thức Điều phải chứng minh Giáo viên Giá trị lớn Giá trị nhỏ Học sinh Nhà xuất Trung học phổ thông ii DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ Bảng 1.1 Kết mức độ mắc sai lầm học sinh thi kiểm tra Bảng 1.2 Kết đánh giá mức độ sáng tạo HS Bảng 1.3 Kết đánh giá nhận thức GV tư sáng tạo Bảng 1.4 Kết dánh giá HS gặp khó khăn giải tốn bất đẳng thức Bảng 3.1 Điểm số học sinh hai lớp 10 Toán trước tiến hành thực nghiệm Biểu đồ 3.1 Điểm số học sinh hai lớp 10 Toán trước tiến hành thực nghiệm Bảng 3.2 Điểm số học sinh hai lớp 10 Toán sau tiến hành thực nghiệm Biểu đồ 3.2 Điểm số học sinh hai lớp 10 Toán sau tiến hành thực nghiệm Biểu đồ 3.3 Sự thay đổi điểm số học sinh hai lớp trước sau thực nghiêm iii 10 11 14 15 66 66 67 67 68 Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt ii Danh mục bảng iii Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, khách thể nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Khái niệm đặc điểm tư 1.1.2 Tư sáng tạo 1.1.3 Hoạt động chứng minh 4 1.2 Cơ sở thực tiễn 1.2.1 Thực trạng dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai dạng bất đẳng thức liên quan trường Trung học phổ thông 1.2.2 Tam thức bậc hai 15 1.2.3 Các bất đẳng thức chứa tam thức bậc hai ứng dụng giải bất đẳng thức liên quan 17 Kết luận chương iv 20 Chương Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi dạy học chuyên đề "tam thức bậc hai định hướng dạng bất đẳng thức liên quan" 21 2.1 Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh giỏi thông qua dạy dạng toán tam thức bậc hai 21 2.1.1 Phân loại dạng toán biểu thức đại số chứa biến, ba biến liên quan đến tam thức bậc hai biến 21 2.1.2 Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạng toán so sánh bậc hai 31 2.2 Mở rộng dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai 53 2.3 Các đề thi HSG Olympic liên quan 58 2.4 Đề xuất biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung tam thức bậc hai định hướng bất đẳng thức liên quan 62 Kết luận chương 63 Chương Thực nghiệm sư phạm 64 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích 3.1.2 Nhiệm vụ 64 64 64 3.2 Cách tiến hành thực nghiệm 3.2.1 Thời gian thực nghiệm 3.2.2 Địa điểm thực nghiệm 3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 3.2.4 Công cụ thực nghiệm 64 64 64 64 65 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Phân tích định tính 3.3.2 Phân tích định lượng 3.3.3 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 65 65 65 70 3.3.3 Kết luận chung thực nghiệm sư phạm 70 Kết luận chương 70 Kết luận khuyến nghị 72 Kết luận 72 v Khuyến nghị 72 Tài liệu tham khảo 73 Phụ lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức chuyên đề cổ điển toán học Chuyên đề phong phú nội dung đa dạng phương pháp nên có tính hấp dẫn cao dạy học nhà trường phổ thơng Các đề tốn bất đẳng thức thường xuất kỳ thi Olympic thi học sinh giỏi mơn tốn cấp bậc THPT Các dạng tốn thường khó, chí khó Tam thức bậc hai phần quan trọng thú vị thường sử dụng chứng minh dạng bất đẳng thức Trên sở đó, luận văn "Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh giỏi dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai định hướng dạng bất đẳng thức liên quan" nhằm tìm hiểu sâu thêm dạng bất đẳng thức có chứa tam thức bậc hai khảo sát số dạng toán liên quan Nội dung luận văn bao gồm phần lí thuyết tam thức dạng tập áp dụng bất đẳng thức Mục đích nghiên cứu Luận văn nhằm hệ thống tổng hợp toán bất đẳng thức tam thức bậc hai dạng bất đẳng thức liên quan Từ đó, xây dựng phương pháp giảng dạy phù hợp bước đầu hình thành sáng tạo cho học sinh giỏi tiếp cận chuyên đề Đối tượng, khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu luận văn Tư sáng tạo cho học sinh lớp 10 - Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học mơn Tốn, cụ thể chun đề Q trình dạy học mơn Tốn, cụ thể chun đề "Tam thức bậc hai định hướng dạng bất đẳng thức liên quan" Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa tài liệu giáo dục học mơn tốn, tâm lý học, lý luận dạy học mơn tốn - Nghiên cứu sách tham khảo từ tài liệu tiếng việt, tài liệu tiếng anh, tài liệu điện tử luận văn nghiên cứu có vấn đề liên quan trực tiếp tới đề tài b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Điều tra giáo dục - Tham khảo, rút kinh nghiệm từ ý kiến chuyên gia - Quan sát, đánh giá trình thực nghiệm sư phạm - Tìm hiểu, nghiên cứu, hệ thống sản phẩm hoạt động giáo dục - Tổng hợp kinh nghiệm giáo dục thu c) Phương pháp thực nghiệm giảng dạy - Thực nghiệm hoạt động dạy học hai giáo án soạn theo định hướng đề tài để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài d) Phương pháp thống kê, đánh giá toán học - Tác giả ứng dụng phần mềm Office Excel để xử lí số liệu điều tra khảo sát Nhiệm vụ nghiên cứu - Đề tài cần nêu sáng tỏ tư duy, tư sáng tạo loại tư - Tác giả cần nghiên cứu biểu tư sáng tạo học sinh trình thực nghiệm - Tìm hiểu thực trạng dạy học Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạy chuyên đề "Tam thức bậc hai định hướng dạng bất đẳng thức liên quan" - Từ đó, đề xuất biện pháp nhằm mục đích rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh - Tìm tịi, khai thác xây dựng dạng tập phù hợp với phát triển tư sáng tạo cho học sinh giỏi THCS - Thực nghiệm trình giảng dạy nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi đề tài tính hiệu đề tài Giới hạn phạm vi nghiên cứu - Giới hạn nghiên cứu Chương trình Tốn học lớp THPT - Địa bàn thực nghiệm lớp 10A1, 10A2 trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, Quận Bắc Từ Liêm, TP Hà Nội Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: phần mở đầu , kết luận khuyến nghị, luận văn trình bày nội dung chương: Dấu đẳng thức xảy a = b = c hai chúng số lại Khi t số nguyên dương chẵn BĐT với số thực a, b, c Hoạt động Rèn luyện tư sáng tạo thông qua dạng so sánh tam thức bậc hai (20’) Hoạt động Hoạt GV động HS Ghi bảng - Giáo viên mở II Dạng so sánh tam thức bậc hai đầu so sánh Các bất đẳng thức đưa - HS suy khảo sát tam thức bậc hai Bài toán dạng + Với dạng nghĩ này, lời cần xuất phát từ định nghĩa tam thức bậc hai hay bất đẳng thức cổ điển? trả Cho x2 + y + z = Tìm GTNN M = xy + yz + zx Lời giải Ta có (x + y + z)2 ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R ⇔x2 + y + z + 2(xy + yz + zx) ≥ ⇔1 + 2M ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R ⇔M ≥ − , ∀x, y, z ∈ R Vậy GTNN M − x + y + z = √ 2 2 x + y + z = Chọn z = 0, x = , √ y = − ta thấy thỏa mãn hệ thức x + y + z = x2 + y + z = 1 Kết luận: M = − + Với hệ số đề cho đề hỏi, từ bất HS suy nghĩ trả lời câu hỏi gợi mở đẳng thức nào? GV - Giáo viên gợi mở HS tìm GTNN M - GV đưa toán sử dụng tam thức bậc hai định hướng + GV yêu cầu HS đọc phân tích đề tìm hướng giải +GV gợi mở, hướng dẫn HS giải toán Các bất đẳng thức sử dụng tam thức bậc hai định hướng Bài toán Cho x2 + 2y + 5z = Tìm GTLN M = xy + yz + zx Lời giải + Xét z = x2 + 2y = 1, M1 = xy √ √ = x2 + 2y ≥ 2|xy| ≥ 2M1 1 Suy M1 ≤ √ Khi max M1 = √ 2 2 + Xét z = ta cần xét giá trị M > √ 2 y x Đặt = α, = β (do z = 0) Suy z z x = αz y = βz Thay vào điều kiện ta có z (α2 + 2β + 5) = Thay vào M ta có M = z (α2 + 2β + 5) αβ + α + β Suy M = α + 2β + Xét tam thức bậc hai theo α, ta có M α2 − (β + 1)α + M (2β + 5) − β = 0, M> √ 2 Ta xét ∆ = (β+1)2 −4M [M (2β +5)−β] ≥ = (1−8M )β +(2+4M )β−20M +1 = (1−8M )β +2(2M +1)β+1−20M Với M > √ , xét hệ số − 8M ta có 2 − 8M < Suy Tam thức bậc hai trái dấu với a suy ∆ ≥ ⇔ (2M0 + 1)2 − (1 − 20M02 )(1 − 8M02 ) > ⇔ 4M02 + 4M0 + − + 8M02 + 20M02 − 160M04 ≥ ⇔ −160M04 + 32M02 + 4M0 ≥ ⇔ −4M0 (40M03 − 8M0 − 1) ≥ Do −4M < nên 40M − 8M − ≤ Khi (M − )(40M + 20M + 2) ≤ Do 40M + 20M + > suy 1 M− ≤0⇔M ≤ 2 Vậy max M = M0 , M0 = dấu đẳng thức xảy β= −(2M + 1) −2 =2 = − 8M −1 β+1 2+1 = =3 2M Thay vào z (α2 + 2β + 5) = ta thu α= z2 = Suy z = ± 1 = 9+8+5 22 22 Khi x = αz = ± √ , y = ± √ 22 22 Hoạt động Luyện tập (10’) Hoạt động Hoạt GV động HS Ghi bảng -GV đưa -1HS lên III Luyện tập toán gợi mở bảng thực Bài toán Cho x2 + 2y + 5z = 22 cách làm Tìm GTLN M = xy + yz + zx -GV yêu cầu Cách 1 HS lên bảng + Xét z = 0, x2 + 2y = 22, M = xy thực √ √ toán 22 = x2 + 2y ≥ 2|xy| ≥ 2M −11 11 11 Suy √ ≤ M ≤ √ Khi M > √ 2 M = M0 + Xét z = 0, đặt 22 Khi M0 > √ 2 y x Đặt = α, = β (do z = 0) Suy z z x = αz y = βz Thay vào điều kiện ta có z (α2 + 2β + 5) = 22 Thay vào M0 ta có αβ + α + β M0 = , M0 > √ α + 2β + 2 Xét tam thức bậc hai theo α, ta có M0 α2 − (β + 1)α + M0 (2β + 5) − β = 0, M0 > √ 2 Ta xét ∆ = (β+1)2 −4M0 [M0 (2β +5)−β] ≥ = (1−8M02 )β +(2+4M0 )β−20M02 +1 = (1−8M02 )β +2(2M0 +1)β+1−20M02 Với M0 > √ , xét hệ số − 8M02 ta có 2 − 8M02 < Suy Tam thức bậc hai trái dấu với a suy ∆ ≥ ⇔ (2M0 + 1)2 − (1 − 20M02 )(1 − 8M02 ) > ⇔ 4M02 + 4M0 + − + 8M02 + 20M02 − 160M04 ≥ ⇔ −160M04 + 32M02 + 4M0 ≥ ⇔ −4M0 (40M03 − 8M0 − 1) ≥ Do −4M0 < nên 40M03 − 8M0 − ≤ Khi (M0 − )(40M02 + 20M0 + 2) ≤ Do 40M02 + 20M0 + > suy 1 M0 − ≤ ⇔ M0 ≤ 2 Vậy max M = M0 = 11 dấu đẳng thức xảy β= −(2M0 + 1) −2 = =2 − 8M02 −1 α= β+1 2+1 = =3 2M0 Thay vào z (α2 + 2β + 5) = ta thu z2 = 22 = 9+8+5 Khi x = αz = 3, y = Vậy GTLN P = 11 (x, y, z) = (3, 2, 1) (x, y, z) = (−3, −2, −1) - Ngoài cách HS lên Cách Ta có giải cịn bảng thực (2x − 3y)2 + 2(x − 3z)2 + 3(y − 2z)2 ≥ cách giải giải khác khơng? tốn Gợi ý cho học sinh tư theo hướng khác GV yêu cầu HS khác lên bảng thực toán - Từ hai cách thấy cách giải tối ưu Hướng cho học sinh tư để giải nhiều cách khác 0, ∀x, y, z ∈ R ⇔ 4x2 + 9y − 12xy + 2(x2 + 9z − 6xz) + 3(y + 4z − 4yz) ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R ⇔ 6x2 + 12y + 30z − 12xy − 12yz − 12zx ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R ⇔ x2 + 2y + 5z − 2(xy + yz + zx) ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R x2 + 2y + 5z = xy + yz + zx ≤ 11, ∀x, y, z ∈ R Vậy GTLN P = 11 (x, y, z) = (3, 2, 1) (x, y, z) = (−3, −2, −1) Hoạt động Củng cố kiến thức học tiết học giao tập cho học sinh (5’) Hoạt động Hoạt GV GV yêu Ghi bảng động HS cầu HS trả lời Bài toán Cho a, b, c ∈ [1; 3] thỏa mãn HS nhắc lại nội HS ghi điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn dung lý thuyết tập nhà P = a2 + b2 + c2 học GV Bài toán Cho a, b, c ∈ [0; 1] Chứng minh giao BTVN a2 + b2 + c2 ≤ + a2 b + b2 c + c2 a Bài toán Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = xy + yz + 2zx V Rút kinh nghiệm Tiết Các bất đẳng thức liên quan tam thức bậc hai I Mục đích yêu cầu Kiến thức - Phát biểu định lí tam thức bậc hai, bất đẳng thức bậc hai, bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Kỹ - Phân tích đề bài, xác định hướng giải toán - Vận dụng phương pháp giải giải tốn - Tính tốn thành thạo Tư duy, thái độ Mục đích rèn luyện tính cẩn thận, phát triển tư phân tích, tổng hợp cho học sinh Năng lực - Năng lực tư sáng tạo - Năng lực tự học - Năng lực giải vấn đề II Phương tiện Giáo viên Giáo án, sách giáo khoa, số đồ dùng dạy học Học sinh Đồ dùng học tập III Phương pháp Giải vấn đề kết hợp phương pháp thuyết trình, đàm thoại, hoạt động nhóm IV Tiến trình A Ổn định lớp B Bài Hoạt động Nhắc lại kiến thức tam thức bậc hai hai bất đẳng thức cổ điển(7’) Hoạt động Hoạt GV động Ghi bảng HS - GV yêu cầu - HS trả - Tam thức bậc hai HS nhắc lại lời - Bất đẳng thức AM-GM tam thức bậc -Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hai ba bất đẳng thức cổ điển -Bất đẳng thức Schur - GV giới thiệu - HS lắng mục tiêu tiết nghe học, tiết học hôm học mở rộng dạng toán liên quan tam thức bậc hai Hoạt động Mở rộng dạng toán liên quan (15’) Hoạt động Hoạt GV động HS Ghi bảng - GV giới thiệu - HS lắng Xét hệ ẩn x, y, z có nghiệm (x0 , y0 , z0 ) cách sáng tạo nghe thỏa mãn  bất đẳng thức ghi   α x + α2 y + α3 z =   β1 x + β2 y + β3 z =    γ x + γ y + γ z = Bình phương hai vế phương trình, ta có hệ phương trình    (α x + α2 y + α3 z)2 =   (β1 x + β2 y + β3 z)2 =    (γ x + γ y + γ z)2 = Cộng vế hệ phương trình trên, ta (α1 x + α2 y + α3 z)2 + (β1 x + β2 y + β3 z)2 + (γ1 x + γ2 y + γ3 z)2 = Ta xét (α1 x + α2 y + α3 z)2 + (β1 x + β2 y + β3 z)2 + (γ1 x + γ2 y + γ3 z)2 ≥ - GV: Như vậy, HS lắng Cho    x−y =0 từ BĐT nghe   ta biến đổi có ghi z − 2x =    thể sáng tạo x + y − z = dạng Ta xét cực trị -GV lấy ví dụ (x − y)2 + (x + y − z)2 ≥ 0, ∀x, y, z sáng tạo minh Dấu đẳng thức xảy họa x−y =0 x=y ⇔ x+y−z =0 z = 2x 2x2 +2y +z −2xy−2yz ≥ 0, ∀x, y, z (x2 +y +z )+(x2 +y −2xz−2yz) ≥ 0, ∀x, y, z - GV: Khi - Nhóm (1) Cho x2 + y − 2xz − 2yz = −1 nhìn vào bất đơi đẳng thức trên, nghĩ u cầu HS lời làm nhóm đơi tự sáng tạo tốn tìm GTNN, GTLN suy Ta có tốn sau trả Cho x2 + y − 2xz − 2yz = −1, ∀x, y, z ∈ R Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y + z (2) Cho xz + yz = 22 Ta có tốn sau Cho xz + yz = 22, ∀x, y, z ∈ R Tìm GTLN M = 2x2 + 2y + z Hoạt động Luyện tập (20’) Hoạt động Hoạt GV động HS - Gv tổ chức Các hoạt động nhóm nhóm: thực + Chia lớp thành nhóm + HS có nhiệm vụ tự sáng tạo tốn tìm GTNN, GTLN phút + Sau phút, nhóm đưa chéo giải nhóm khác phút + Sau hoàn thành nhóm trả nhóm ban đầu chấm Ghi bảng - GV giới thiệu -HS toán mở rộng sau ghi Bài toán Giả sử x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + 2yz + 2zx = Tìm giá trị lớn biểu thức M = 5x2 + 5y + 2z - GV gợi mở HS - HS suy Lời giải Xét z = Khi xy = tìm cách giải nghĩ M = 5x2 + 5y ≥ 5.2|xy| = 10 trả lời câu Vậy trường hợp này, giá trị nhỏ hỏi của M 10, x = y = x y GV Xét z = Đặt = u, = v Khi x = z z zu, y = zv xy + 2yz + 2zx = ⇔ z = uv + 2v + 2u M = 5x2 + 5y + 2z = 5u2 + 5v + uv + 2v + 2u Tiếp theo, để tìm giá trị lớn nhất, ta cần xét giá trị M ứng với < M < 10 để phương trình M= có nghiệm 5u2 + 5v + uv + 2v + 2u 5u2 + 5v + uv + 2v + 2u ⇔ 5u − M (v + 2)u + 5v − 2M v + = có nghiệm Ta có M = ∆ = M (v + 2)2 − 20(5v − 2M v + 2) ≥ ⇔ (M − 100)v + 4(M + 10M )v + 4M − 40 ≥ 0.(1) Do < M < 10 nên M − 100 < (1) có nghiệm ∆ = 4(M +10M )2 − (M − 100)(4M − 40) ≥ ⇔ (M + 10M )2 − (M − 100)(M − 10) ≥ ⇔ 2M +21M −100) ≥ ⇔ (M −2)(2M + 23M + 50) ≥ ⇔ M ≥ Dấu đẳng thức xảy 2(3M + 1) = 1, v=− − 9M v+2 = Thế vào điều kiện ra, ta u= 3M 1 thu (x, y, z) = √ , √ , √ 5 Kết luận: max M = Hoạt động Củng cố kiến thức học tiết học giao tập cho học sinh (3’) Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng GV chốt lại: Như qua tiết dạy, HS lắng nghe GV giới thiệu bất đẳng thức cách sáng tạo toán bất đẳng thức liên quan tam thức bậc hai V Rút kinh nghiệm PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC KHI TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM Thời gian: 30 phút Bài (3 điểm) Tìm GTNN A = 2x + , x > −3 (x + 3)2 Bài (3 điểm) Giả sử a, b, c số thực dương, chứng minh b c a + + ≥ 2 (b + c) (c + a) (a + b) 4(a + b + c) Bài (4 điểm) Cho x, y, z ∈ R+ ; x2 + 2y + 5z = 22 Tìm GTLN S = xy + yz + zx PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA SAU KHI TIẾN HÀNH THỰC NGHIỆM Thời gian: 30 phút Bài (3 điểm) Cho x, y, z số không âm Chứng minh xyz + x2 + y + z + ≥ 3(x + y + z) Bài (3 điểm) Giả sử x, y, z thỏa mãn điều kiện 3xz + yz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3x2 + y + z Bài (4 điểm) Cho x, y, z số thực thay đổi thỏa mãn x2 + 2y + 5z = 22 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy − yz − zx ... thức liên quan 20 CHƯƠNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN" 2.1 Rèn luyện tư sáng tạo cho. .. - Đề tài cần nêu sáng tỏ tư duy, tư sáng tạo loại tư - Tác giả cần nghiên cứu biểu tư sáng tạo học sinh trình thực nghiệm - Tìm hiểu thực trạng dạy học Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạy chuyên. .. trạng học dạy nay: Giáo viên chưa đầu tư thời gian, công sức để tìm hiểu, rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Từ người dạy định hướng rèn luyện tư sáng tạo thông qua chuyên đề tam thức bậc hai bất