Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài viết, tác giả giới thiệu cách áp dụng thuật toán ma trận để giải quyết các bài toán và thực hiện trình tự tính toán bằng phần mềm lập trình MathCad, giúp giải quyết được các bài toán phức tạp và vẫn hiểu được bản chất của các phương pháp tính toán truyền thống.
Áp dụng thuật toán ma trận giải toán hệ biến dạng đàn hồi phần mềm MathCad Applyingmatrix algorithm to solve the problem of elastic deformational system by the MathCad software Trần Thị Thúy Vân Tóm tắt Hiện nay, môn học Cơ học kết cấu giải toán hệ biến dạng đàn hồi toán xác định nội lực, chuyển vị hệ tĩnh định hệ siêu tĩnh; xác định thông số ổn định hệ xác định tần số dao động riêng hệ để giúp việc xác định nội lực chuyển vị hệ chịu tác dụng tải trọng động Tuy nhiên, áp dụng phương pháp truyền thống thực tính tốn thủ cơng khó giải tốn có sơ đồ hình học tải trọng tác dụng phức tạp Trong báo, tác giả giới thiệu cách áp dụng thuật toán ma trận để giải tốn thực trình tự tính tốnbằng phần mềm lập trình MathCad, giúp giải toán phức tạp hiểu chất phương pháp tính tốn truyền thống Từ khóa: Cơ học kết cấu, thuật tốn ma trận, phần mềm lập trình MathCAD Abstract Nowadays, the subject of Structural mechanics deals with problems of elastic deformational system such as determination of internal forces, displacement; determination of stability parameters and natural frequencies that help determine internal forces and displacement of the system subjected to dynamic loading However, if only the traditional methods and manual calculations are applied, it will be difficult to solve problems with complicatedness in geometry and loading In the paper, the author introduces how to apply matrix algorithms to solve problems and perform calculations on the MathCad programming software, this helps to solve various complex problems with understanding of traditional method Key words: Structural mechanics,matrix algorithm, MathCad programming software TS Trần Thị Thúy Vân Bộ môn Sức bền vật liệu – Cơ học kết cấu Khoa Xây dựng Email: ttthvan.hau@gmail.com ĐT: 0932238019 Ngày nhận bài: 01/7/2019 Ngày sửa bài: 25/02/2020 Ngày duyệt đăng: 26/2/2020 Đặt vấn đề Nghiên cứu giải toán xác định nội lực chuyển vị, xác định thông số ổn định toán xác định tần số dao động riêng hệ biến dạng đàn hồi nội dung môn học Cơ học kết cấu Ổn định - động lực học cơng trình, sở tính tốn thiết kế kết cấu cơng trình kỹ thuật Các tốn giải phương pháp giải tích phương pháp số Phương pháp giải tích giúp việc tìm ẩn số hàm nghiệm liên tục, thỏa mãn phương trình điểm vùng nghiệm xét Ưu điểm phương pháp giải tích cho lời giải xác đáng tin cậy Tuy nhiên, áp dụng cách tính tốn thủ cơng nghiệm giải tích xác định trường hợp sơ đồ hệ kết cấu tải trọng tác dụng lên hệ khơng q phức tạp Cịn tốn phức tạp gặp phải khó khăn định mặt tốn học Vì vậy, nhiều trường hợp người ta áp dụng phương pháp số Các phương pháp số thể ưu điểm vượt trội so với phương pháp giải tích giải tốn hệ khối, hệ tấm, hệ cách dễ dàng sử dụng phần mềm lập trình tính tốn Do đó, để áp dụng phương pháp số vào việc giải tốn địi hỏi người sử dụng vừa phải có kiến thức định phương pháp vừa phải có kiến thức lập trình mức độ tương đối chuyên sâu Vì vậy, sở phương pháp giải tích áp dụng cách thiết lập toán sử dụng thuật toán ma trận giúp giải toán phức tạp mà không gặp phải trở ngại người đọc nắm chất tốn, kiểm sốt bước tính tốn cách chặt chẽ Bài báo đề cập tới áp dụng thuật toán ma trận vào toán nêu học kết cấu, đưa mô đun lập trình tính tốn mẫu áp dụng vào toán cụ thể Nội dung 2.1 Thuật toán ma trận phân tích tĩnh tốn hệ biến dạng đàn hồi 2.1.1 Bài toán xác định nội lực chuyển vị hệ Phân tích tĩnh toán hệ biến dạng đàn hồi xác định nội lực chuyển vị hệ tác dụng nguyên nhân tải trọng, chuyển vị cưỡng gối tựa thay đổi nhiệt độ, vv…Phương pháp giải tích giải toán cách triệt để cho hàm nghiệm xác khoảng Có thể giải toán theo hướng: theo phương pháp lực theo phương pháp chuyển vị Cơ sở lý thuyết, trình tự giải tốn theo phương pháp trình bày cụ thể [1] Dựa vào cách áp dụng thuật toán ma trận thấy rút ngắn tương đối q trình tính tốn việc xác định hệ số số hạng tự phương trình tắc phương pháp Cụ thể là, phương pháp lực truyền thống phải vẽ biểu đồ mô men đơn vị (biểu đồ lực Xk=1 gây hệ bản) biểu đồ mô men tải trọng gây hệ bản, sau áp dụng phép nhân biểu đồ để tìm đại lượng phương trình tắc Nếu áp dụng thuật tốn ma trận việc thiết lập ma trận lực Xk=1 tải trọng tác dụng lên hệ dùng thao tác phần mềm lập trình tính tốn MathCad tìm đại lượng phương trình tắc cách dễ dàng Điều thực tương tự giải toán theo hướng phương pháp chuyển vị Sơ đồ khối giải toán theo hướng phương pháp lực phương pháp chuyển vị thể hình S¬ 37 - 2020 45 KHOA HC & CôNG NGHê Hỡnh S đồ khối toán xác định nội lực chuyển vị áp dụng thuật toán ma trận 2.1.2 Bài toán xác định thông số ổn định hệ Bài tốn xác định thơng số ổn định hệ biến dạng đàn hồi xác định tải trọng tới hạn tác dụng lên hệ theo tiêu chí độ ổn định Có thể giải tốn theo hướng phương pháp lực phương pháp chuyển vị, để áp dụng dễ dàng thuật tốn ma trận báo trình bày cách giải tốn theo hướng phương pháp chuyển vị Trình tự giải phần tử mẫu phương pháp chuyển vị trình bày cụ thể [1] Lưu ý rằng, phần tử mẫu thiết lập cho chịu uốn áp dụng toán xác định nội lực chuyển vị theo phương pháp chuyển vị phần 2.1.1, tốn tìm thơng số ổn định cần phải thiết lập phần tử mẫu cho phần tử chịu uốn kéo-nén Sơ đồ khối giải tốn xác định thơng số ổn định hệ với trợ giúp phần mềm lập trình tính tốn Mathcad trình bày hình 2.2 Thuật tốn ma trận phân tích động toán hệ biến dạng đàn hồi Phân tích động tốn hệ biến dạng đàn hồi xác định nội lực, chuyển vị thông số cần thiết khác tải trọng động gây hệ kết cấu Để phân tích tính tốn hệ kết cấu tải trọng động gây cần xác định số đặc trưng động lực học cơng trình Một đặc trưng động lực học quan trọng cơng trình tần số dao động riêng Bài báo trình bày 46 Hình Sơ đồ khối phân tích ổn định hệ biến dạng đàn hồi áp dụng thuật toán ma trận cách xác định tần số dao động riêng thuật toán ma trận hệ biến dạng đàn hồi Tần số dao động riêng cơng trình xác định theo nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp thể ưu nhược điểm riêng, phụ thuộc vào sơ đồ tính tốn giả thiết áp dụng loại hệ Đối với hệ biến dạng đàn hồi xác định tần số dao động riêng theo cách áp dụng ma trận độ cứng sử dụng thuât toán ma trận cho phép dễ dàng thực Trong [1], trình bày cụ thể trình tự tính tốn sơ đồ khối áp dụng phần mềm lập trình tính tốn MathCad sử dụng thuật toán ma trận xác định tần số dao động riêng hệ Ví dụ tính tốn Cho hệ dầm siêu tĩnh chịu tải trọng chuyển vị cưỡng hình Biết: Mơ đun đàn hồi vật liệu E=2.104 (kN/cm2), mơmen qn tính tiết diện hệ số I=102(cm4), giá trị tải trọng tác dụng P=6 (kN), q=10 (kN/m), M0=20 (kNm) chuyển vị cưỡng Δ =0 (mm) Kích thước l1=5 (m), l2=2 (m), l3=2 (m), l4=4 (m) Yêu cầu xác định nội lực hệ (Hình 3) Trình tự tính tốn áp dụng thuật tốn ma trận theo hướng phương pháp lực sử dụng phần mềm lập trình MathCad sau: T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG ORIGIN:=1 trận, cỡ ma trận “mxn”, n bậc siêu tĩnh, m số phần tử hệ) q ⋅ x2 l1 q ⋅ l ⋅ x + M P (x) := l1 P ⋅ x + q ⋅ l1 ⋅ + l2 + x l1 M + P ⋅ ( l3 + x ) + q ⋅ l1 ⋅ + l2 + l3 + x 2 Hình Ví dụ sơ đồ hệ dầm siêu tĩnh Hình Ví dụ sơ đồ rời rạc hóa kết cấu hệ hệ −1 ⋅ x 0 − l + x − ⋅ x (1 ) M1 (x) = − ( l1 + l2 + x ) − ( l2 + x ) − ( l1 + l2 + l3 + x ) − ( l2 + l3 + x ) −1 ⋅ x Bước 5: Xác định hệ số số hạng tự phương trình tắc Các hệ số số hạng tự phương trình tắc Bước 1: Khai báo thơng số đầu vào tốn (giá trị xác định thông qua biểu thức sau: môđun đàn hồi vật liệu E, mơmen qn tính tiết diện I, kích i : n = j : n = k : m thước hệ lk, giá trị tải trọng tác dụng P, q, M) = P=6 kN – Tải trọng tập trung tác dụng lên hệ; q=10 kN/m – Tải trọng phân bố tác dụng lên hệ; Các hệ số phương trình tắc tính theo cơng thức: M0=20 kN.m – Mơmen tập trung tác dụng lên hệ; hệ; Lk M1 (x) k,i ⋅ M1 (x) k, j dx E⋅I k =1 o m δ i, j := ∑ ∫ I=10 cm – Mơmen qn tính tiết diện E=2.104 kN/cm2 – Mô đun đàn hồi vật liệu phần tử hệ Thu kết hệ số phương trình tắc sau: l1=5 (m), l2=2 (m), l3=2 (m), l4=4 (m) – Kích thước phần tử hệ l1 l L= 2 l3 l4 0 ∆ cvcb = 0 0 - khai báo véc tơ chiều dài phần tử hệ (m) - khai báo véc tơ chuyển vị cưỡng gối tựa hệ Δt =0 độ C – Sự thay đổi nhiệt độ tác dụng lên phần tử Bước 2: Rời rạc hóa sơ đồ tính, xác định số lượng phần tử m, số bậc siêu tĩnh hệ n - n=3 – Số bậc siêu tĩnh hệ (số ẩn hệ theo phương pháp lực) - m=4 – Số phần tử hệ sau thực rời rạc hóa Bước 3: Thiết lập HCB hệ HCB thiết lập hình 3.2 Bước 4: Thiết lập ma trận nội lực tải trọng lực đơn vị gây HCB + Thiết lập ma trận mô men uốn Mp(x) tải trọng gây HCB cho phần tử (mỗi viết ứng với hàng ma trận, ma trận “mx1”, m số phần tử hệ) + Thiết lập ma trận mômen uốn đơn vị M1(x) tải trọng đơn vị gây HCB (mỗi tải trọng Xk=1 gây viết vào cột, viết vào hàng ma 3.051× 10−4 1.688 × 10−4 5.093 × 10−5 −4 δ= 1.012 × 10−4 3.819 × 10−5 1.688 × 10 5.903 × 10−5 3.819 × 10−5 1.736 × 10−5 ra: Cơng thức xác định số hạng tự do tải trọng P gây m Lk M (x) ⋅ M (x) P k k,i dx ∆Pi := ∫ ∑ E⋅I k =1 o Thu kết số hạng tự phương trình tắc tải trọng chuyển vị cưỡng đồng thời gây Bước 6: Giải hệ phương trình tắc, thu nghiệm hệ X :=−δ −1 ⋅ ( ∆ ) Nghiệm hệ thu là: 16.23 X = 33.34 −0.95 Bước 7: Nội lực hệ (mômen uốn hệ) xác định sau: n ( M td ( x, k ) := M P (x) k + ∑ X i ⋅ M1 ( x )k,i i =1 ) Bước 8: Kết nội lực (mômen) phần tử hệ Biểu đồ nội lực phần tử (hình 5) S¬ 37 - 2020 47 KHOA HC & CôNG NGHê Phn t Phn t Phần tử Phần tử Hình Kết biểu đồ nội lực ví dụ tính tốn So sánh kết tính tốn áp dụng thuật tốn ma trận cách sử dụng phần mềm lập trình MathCad với kết tính tốn phần mềm phân tích kết cấu Sap2000 kết hoàn toàn trùng khớp Ngồi ví dụ tính tốn áp dụng thuật toán ma trận để giải toán khác nêu báo trình bày cụ thể trọng [1] Kết luận Bài báo trình bày việc nghiên cứu sử dụng thuật toán ma trận áp dụng vào toán hệ biến dạng đàn hồi đưa quy trình tính tốn cụ thể cho tốn phương pháp giải tích truyền thống Cụ thể là, toán xác định nội lực chuyển vị phương pháp lực, toán xác định nội lực chuyển vị phương pháp chuyển vị, T¿i lièu tham khÀo Trần Thị Thúy Vân, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường “Áp dụng thuật toán ma trận giải toán hệ biến dạng đàn hồi theo phương pháp giải tích, Đại học Kiến trúc Hà nội, 2019 Lều Thọ Trình (CB), Cơ học kết cấu phần 1, NXB KH&KT, 2009 Lều Thọ Trình (CB), Cơ học kết cấu phần 2, NXB KH&KT, 2009 Lều Thọ Trình (CB) Bài tập Cơ học kết cấu phần 1, NXB KH&KT, 2009 Lều Thọ Trình (CB), Bài tập Cơ học kết cấu phần NXB KH&KT 2009 Lều Thọ Trình (CB), Ổn định cơng trình NXB KH&KT 2009 tốn xác định thơng số ổn định hệ thanh, tốn xác định tần số dao động riêng hệ phẳng Từ quy trình tính tốn thiết lập, thấy việc áp dụng thuật toán ma trận thiết lập toán hệ biến dạng đàn hồi giúp người sử dụng vừa nắm vững chất phương pháp giải tích truyền thống, vừa giảm thiểu khó khăn mặt tốn học tính tốn Áp dụng thuật tốn ma trận để giải phương pháp giải tích sử dụng phần mềm lập trình tính tốn MathCad, nhóm nghiên cứu thiết lập chương trình giải toán hệ biến dạng đàn hồi Từ kết tính tốn thấy việc áp dụng thuật toán ma trận khắc phục khó khăn mặt tốn học so với việc tính tốn thủ cơng, hiệu tốn có sơ đồ hình học chịu tải trọng phức tạp./ Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp ma trận, NXB Xây dựng, 2004 Chu Quốc Thắng, Phương pháp Phần Tử Hữu Hạn, NXB Khoa học & kĩ thuật, 1997 10 Phạm Đình Ba, Bài tập động lực học cơng trình, NXB Xây dựng, 2003 11 Nguyễn Văn Phượng, Động lực học cơng trình, NXB KH&KT, 2005 12 K Chopra, Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering, 2007 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ Phạm Đình Ba, Nguyễn Tài Trung, Động lực học cơng trình, NXB Xây dựng, 2005 48 T„P CH KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG ... động riêng Bài báo trình bày 46 Hình Sơ đồ khối phân tích ổn định hệ biến dạng đàn hồi áp dụng thuật toán ma trận cách xác định tần số dao động riêng thuật toán ma trận hệ biến dạng đàn hồi Tần... toán xác định nội lực chuyển vị áp dụng thuật toán ma trận 2.1.2 Bài toán xác định thơng số ổn định hệ Bài tốn xác định thông số ổn định hệ biến dạng đàn hồi xác định tải trọng tới hạn tác dụng. .. luận Bài báo trình bày việc nghiên cứu sử dụng thuật toán ma trận áp dụng vào toán hệ biến dạng đàn hồi đưa quy trình tính tốn cụ thể cho tốn phương pháp giải tích truyền thống Cụ thể là, toán