CÁC BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN (LUYỆN TẬP TỔNG HỢP) A/ Các bài tập tìm nguyên hàm 1) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4x 1 xh)c x94 1 xg)b x1x x1 xf)a 4 2 2 − = − = + + == (Gtoán tp và giải tích tổ hợp – tr 15) 2) Tìm họ nguyên hàm của hai hàm số sau: ( ) ( ) x2cos.xsinxg;x2cos.xcosxf 22 == (GTTP và tổ hợp – tr17) 3) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: ( ) 2 3 22 2 2 366 3 x 1x1x 2 23 2 3 x49 1x9x4 )0; x1x x21 )n; x251 1 )m x8sin.xcos)l;x4cos.x2cos.xcos)k;x2cosx2sin)i xcos)h; 4 x3cos. 3 x2cos)g; 10 52 )e 2x3x3 1 )d; 12xx 1 )c; 1x2 1x4x4 )b; x 1 x)a − ++− + + − +       π +       π + − −− −− + −+       + −+ ( GTTP và GT tổ hợp – tr 18, 19) 4) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) ( ) 1x 1x )i; x1x 1 )h; 2x xx )g; 4x x )f 1xx)e; xsin xcos )d; 10x2x x )c;xtan)b; 1xx x2 )a 4 2 3 2 10 4 9 2 3 5 36 2 2 + − − − − − − ++ −+ ( GTTP và GT tổ hợp – tr 21-25) 5) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) x3cose)e;xcos1x)d;xsine)c;e1x)b;xsinx)a x22 2 xx222 − ++ ( GTTP và GT tổ hợp – tr 27-32) 6) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) 2x1x 1x3 )d; 3x2x 3x4 )c; 8x6x2 1 )b; 2x3x 1 )a 2222 −− + ++ + −+−+− ( GTTP và GT tổ hợp – tr 42) 7) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: ( ) ( ) 2 x x 8 2 3 3 2 25 2 8 23 ee 1 )f; xsin xcos )e xcosxsin)d;x21x)c; x1 x )b;x32x)a − − − − (PP giải toán TP- tr 40.41,42) 8) tìm nguyên hàm của các hàm số (PP tích phân từng phần) ( ) ( ) x3cose)ke)ixcos1x)h x xln )gxsinx)ee1x)d xln)cxcosx)bxsine)a x2x2 2 2 2x22 x − +       + (GTTP và tổ hợp – tr 27 – 32) B/ Các bài tập tích phân: ∫ ∫∫ ∫∫ π π π ++ − + + − 8 3 8 22 1 0 24 0 2 1 3 0 2 4 xcos.xsin dx )5 3x4x dx )4dxx2cos1)3 dx2xx)2dx 9x 1x )1 (GTTP và tổ hợp – tr 64) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ π − − +−− −−+−+ 2 0 1 1 2 5 3 2 0 2 dxxsin1)9dxx1x2)8 dx2x2x)7dx3x2x)6 (GTTP và tổ hợp – tr 66-72) ∫∫ ∫∫ −− ππ π − −−       − π 1 1 x 2 2 2 4 0 2 2 2 dx1e)13dx1x)12 dxx 4 sin)11xdx2sinx7sin)10 (PPGT tích phân – tr 132) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ π − − − π π − −       π − + + − = + + +− −++ + 2 0 2 2 1 2 3 1 3 1 0 2 2 2 1 0 2 51 0 2 4 1 2 4 4 5 2 2 1 2 dx 4 xcosxsin)23 2x xdx )22 dx1x)21 x4 dxx )20 txdat 1x dxx )19ptich 1x xdx )18 dx2x3x)17xdx3sin.x5cos)16 2x2x dx )15 2x xdx )14 (PPGT tích phân – tr 136,137) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ππ π +− − − +− 4 0 4 2 0 2 2 0 33 1 0 2 2 0 2 21 0 2 xcos dx )29xdx4cosxcos)28 dxxsinxcos)27dxx1x)26 dx x1 x )25dx x2 3x2x )24 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ππ π π π == + + + + − 2 0 22 2 0 22 2 1 3 4 6 e 1 4 0 4 xdx2cos.xsinJ;xdx2cos.xcosI)34 xx dx )33 x2cotxtan xdx4sinx3sin )32 xln1x dx )31dx x2cos1 xcos1 )30 3 ( GTTP và tổ hợp – tr 67,68) ( ) ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ − − + + − + − π ππ π 3 0 1 0 x 4 0 4 0 2 6 3 e 1 3 21 0 5 43 dx x4 4x3 )41 e1 dx )40dx x2sin2 xsinxcos )39 xcos dx )38dx xsin xcos )37 dx x xln1xln )36dx1xx)35 (GTTP và tổ hợp – tr 80,81) ∫∫ ∫∫ ∫∫ + −− + + − π π π 4 1 2 0 2 0 1 0 8 3 2 0 5 e 1 2 xx dx )47 xcosxsin1013 xdxcos )46 x2cos2 xdxcos )45 1x dxx )44 xdxcos)43 xln4x dx )42 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ππ π π π π − −+ +       π + + 4 0 22 2 4 6 2ln 0 x 12 0 4 6 3 3ln 0 xx xcos8xcosxsin2xsin dx )53xdxcot)52 5e dx )51 3 x4sin dx )50 xcos.xsin dx )49 ee dx )48 (GTTP và tổ hợp – tr 88,89) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + − π ππ − −−− + − − − + − − ++++ + + + ++ 221 3 2 6 3 2 33 3 22 2 0 2 2 0 3 4 3 3 0 3 0 2 2 0 32 2 0 4 2 0 2 0 dx 1x 1x2x )65dx x 9x )64 9xx dx )63dx x4 x 2x)62 dx x1 x1 )61dx x4 4x3 )60 31x2x dx )59dx 1x 1x )58 dx1xx)57 xsin1 xdx2sin )56 xcos1 xdxcos )55 xcos2 dx )54 (GTTP và tổ hợp – tr 90) 66) Tính các tích phân sau: ∫∫ ππ + = + = 2 0 4 2 0 4 dx xcos1 x2sin Jdx xsin1 x2sin I (GTTP và tổ hợp – tr91) 67) Giải các phương trình: ( ) ( ) ( ) 0x 2 2dt1e)d0x18dt t tln1 )c 0dt 2 3 tsin4)bdtxtcos)a x 0 t x e 1 x 0 4 x 0 2 > π −=−>= + =       −− ∫∫ ∫∫ (GTTP và tổ hợp – tr 88 – 90 - 93) ( ) ( )       ++ π ++ ++             + − = + + +−+             + = + + + ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ π ππ πππ 6 1 3ln 2 :DSdx 5xcos3xsin4 6xcos7xsin )75 dx xcosxsin3 xcosxsin2 Jxet:HDdx xcosxsin3 xcos2xsin )74 dx 12x7x x )73dx 1xx 1 )72 xsinxcos xdxcos Jxet:HDdx xsinxcos xsin )71xdxcos)70 1x dxx )69 1x xdx )68 2 0 4 0 4 0 2 1 2 24 1 2 2 0 2 0 2 0 3 1 0 2 5 1 0 2 ( ) ( ) ( ) txdat:HDxdx5cosxcosx)80 dx xsin2 x2sin )79dxxsinxcosx2cos)78 xdxcos)77xdxsin.xcos)76 0 3 2 0 2 2 0 44 0 4 2 0 23 −π= + + ∫ ∫∫ ∫∫ π ππ π π (PPGT tích phân – tr139 – 142) ∫ ∫∫ +       = −− 3 1 2 2 3 2 1 2 2 2 0 2 2 dx x x39 )83 tsin 1 xdat:HD 1xx dx )82 x1 dxx )81 (PPGT tích phân – tr 144,145) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ − − − + +++− −π= + + + + + ++ −       − π = + −= + + ++ =+ + + +− π − ππ π π − π ππ π 1 2 2 2 21 0 2 2 1 0 1 0 2 5 1 0 10 2 1 0 19 0 2 1 1 x 2 0 2 0 4 2 0 2 33 0 25 1 0 24 1 0 6 35 2 0 44 4 1 1 2010 2ln 0 x e 1 2 7 0 3 2 3 8 3 2 22 6 0 22 3 0 3 3 6 2 dx x x1 )106dx x4 x )105 dx 1x x )104dx 1x x )103 dxx3x21x31)102dxx1x)101 txdat:HDxdxcosxsinx)100dx 1e xcos )99 dx x2cos7 xcos )98dx xcos1 x2sin )97 dx xcos1 xcos.xsin 96dxx1x)95 dx 1xx x )94dxx1x)93 t 2 xdat:HDdx xsinxcos xcos )92 )txdat:HDxdxsinx)91 2e dx 80dx x xln1 )89 dx x1 x )88 1xx dx )87 txcosxsin2dat:HDdx xcosxsin2 x2sin )86 dx 2xcos xsin )85dx 6xsin5xsin xcos )84 (PPGT tích phân – tr 148 – 153) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ − + −       = − + − + −       − π =       + + −π= + −− − + −       = ++ ++ − π π π π π π π − 1 0 x 1 0 xx2 1 0 2 2 0 0 2 2 0 2 e 1 3 6 2 3 0 4 2 00 0 1 2 1 0 3 2 dxe)119 )201trPPGTTP( ee dx )118 202trPPGTTPt x2 x2 lndat:HDdx x2 x2 ln x4 1 )117 x 2 tdatdx xcos1 xsin1 ln)116 txdat:HDdx xcos49 xsinx )115 dx xcosxsin711 xcos )114202PPGTTPdx x2 xln2 )113 dx xcosxsinxcos xtan )112dx x2cos xtan )111 2 x tantdat 1xcosxsin dx )110dxxsin)109 1xx dx )108dxx1)107 2 (PPGT tích phân – tr 153) ( ) ( ) ( ) 205PPGTTPdxx1lnx)129 xsin xdx )128 dx x xln )127xdxcosx)126 dx xln 1 xln 1 )125xdxlnx)124 xdxsine)123dxxln1)122 dxxe)121xdxcosx)120 1 0 2 3 4 2 2 1 2 2 0 e e 2 e 1 2 2 0 x e 1 2 2ln 0 x 2 0 2 2 −+       − − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ π π π π − π (GTTP và tổ hợp – tr 93 – 101) ( ) ∫ ∫∫ ∫∫ + ++ π π 22 3 2 2 3 0 2 4 2 1 4 1 x e 1 3 dx x x1 )134 dxx1xln)133dxxcos)132 dxe)131xdxln)130 2 2 (GTTP và tổ hợp – tr 101, 102) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ π π π − π π π π π π + π + + + + − + + 0 2 2 0 2x 4 0 x e 1 1 1 2x 2 0 2 e e 1 2 2 0 1 0 2 e 1 2 1 0 x2 2 2 0 x2 4 0 2 2 1 2 0 2x2 2 0 2 xdxsinx)150xdxcose)149 xdx2sine5)148xdxln2x2)147 dxxsine)146xdxcosx)145 dx 1x xln )144dxxcos1lnxcos)143 dx1xlnx)142dxxlnx)141 dxe1x)140xdx3sine)139 dx1xcos2x)138dx x x1ln )137 xdxsine)136xdxsin1x)135 (PPGT tích phân – tr 155 – 158) ( ) ( ) x2costdatdx xcos1 x4sin )156xdxcosx)155 txdatdx xcos4 xsinx )154dx 1x2x x3 )153 dx 9x2x 10x3x )152dx xcos1 xcos )151 4 0 2 2 0 3 0 2 2 0 2 3 1 0 2 2 2 0 = + −π= −++ ++ ++ + ∫∫ ∫∫ ∫∫ π π π π ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ π π − π π − − − − π π ππ − π − π −−= + −= + −= + − + + − =+= + +         −⇒== ++ = −+ − + = +         + −+ = + −= + =+++ ++ +       − π = + 2 2 8 0 2 x 2 4 4 x32 2 2 x 6 1 1 e 1 21 2 3 x 2 1 0 x2 00 1 0 2 2 0 2 x 2ln 0 x 2ln 0 x x2 2 2 0 3xsin 1 0 x 2 x 1 0 x2 x2x21 0 x2 1 1 2 3 1 0 2 0 32 2 0 66 6 dxx16)177txđăt 12 xdxcosxsin )176 txđăt e1xcos dx )175txđăt e1 dxx )174 dx x2 x2 lnxcos)173dx xln21x xln23 )172 TPphântíchdùngCTI;xcos1tđăt:I,tphaithànhtáchdx xcos1 xsinx )171 xcosxsin 2 e .dv;xuđătxdxsinex)170 dx xcos2 xsinx )169 xsin1 xdx )168 tsinxdat x1x dx )167dxxe)166 dx1e)165dx 1e e )164 xsintdatxdxcos.xsin.e)163dx e e1 )162 .dx 3e e3e 3 1 3e dx )161 txdat 1x dxx )160 t8x1xdat 8x1x dx )159 dx1xx)158t 2 xdatdx xcosxsin xsin )157 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )198trtpPPGT( 1xv 1x xdx dv;1xuđătdx 1x xx )195 .)thuccantruc( x1x dx )194 )197trtpPPGT( 1xv .dv;1xxlnuđăt 1x dx1xxlnx )193 194trPPGTtpt x1 x1 đăt x1 dxx1 )192 dx x2cosx2sin xcosxsin )191dx xsin1 xcos4 )190 tcotxvàttanxđătluotlânrôi .tp2thànhtach xcosxsin3 dx )189 tcos2xđătdx x2 x2 )188dx x1x x1 )187 t 4 xđătdx1xtanln)186t2xđătxdxcosx)185 txsinvàtxcosđăt,tp2thànhtáchdx xcos4xsin3 xcos4xsin3 )184 dx xcos1 xcosx2sin )183dx x x1 )182 x1 dx )181 9xx dx )180 x1 dxx )179 x9 dx )178 2 2 1 0 2 2 1 0 22 3 0 2 2 1 0 5 4 0 2 0 3 2 4 4 0 2 0 22 2 0 2 1 7 7 4 0 2 0 3 2 0 22 2 0 3 1 2 2 3 3 3 3 2 6 23 2 2 2 0 2 2 2 3 2 23 3 2 −         +=⇒ + =+== + + ++ − +=⇒=++= + ++ −         = + − + − ++             ==+ + = − + + −       − π =+−π= == + + + + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ππ π π ππ π π π π − ( ) ( ) ( ) )200trtpPPGT thuccăătrucđăt 1xx dxx )200 dxxln)199xdxlogx)198 u1ttđăt teđătdx ee e )197 1x dxx )196 1 0 2 3 2 2 1 2 1 2 2x 1 0 xx x 1 1 2 3 − ++ =++= + + ∫ ∫∫ ∫ ∫ − − . CÁC BÀI TẬP TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN (LUYỆN TẬP TỔNG HỢP) A/ Các bài tập tìm nguyên hàm 1) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) (. giải tích tổ hợp – tr 15) 2) Tìm họ nguyên hàm của hai hàm số sau: ( ) ( ) x2cos.xsinxg;x2cos.xcosxf 22 == (GTTP và tổ hợp – tr17) 3) Tìm họ nguyên hàm