Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa mặt cầu Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S ( O; R ) Trong không gian với hệ trục Oxyz : - Mặt cầu ( S ) tâm I ( a, b, c ) bán kính R có phương trình là: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 - Phương trình: x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, với a + b + c − d > phương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a + b + c − d Vị trí tương đối mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S )  d ( I , ( P ) ) > R ( P ) không cắt mặt cầu ( S )  d ( I , ( P ) ) = R ( P) I tiếp xúc mặt cầu ( S ) R  d ( I , ( P ) ) < R ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo H giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng ( P ) có tâm P H có bán kính r = R − d Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng a) Cho mặt cầu S ( O; R ) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O lên ∆ d = OH khoảng cách từ O đến ∆ A H O O O H B H  Nếu d < R ∆ cắt mặt cầu điểm phân biệt (H.3.1)  Nếu d = R ∆ cắt mặt cầu điểm (H.3.2)  Nếu d > R ∆ khơng cắt mặt cầu (H.3.3) 119 Hình Học Tọa Độ Oxyz B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng Biết trước tâm I ( a; b; c ) bán kính R : Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 Dạng 2 Tâm I qua điểm A : • Bán kính R = IA • Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R Dạng 2 Mặt cầu đường kính AB x A + xB ; yI = y A + yB ; zI = • Tâm I trung điểm AB : x I = • Bán kính R = IA = • Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 Mặt cầu tâm I ( a; b; c ) tiếp xúc mặt phẳng (α ) : Aa + Bb + Cc + D • Bán kính R = d ( I ; α ) = • Phương trình S ( I ; R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R A2 + B + C 2 Dạng z A + zB AB 2 Dạng 2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua điểm A, B, C , D ) • Giả sử mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ( ) • Thế tọa độ điểm A, B, C , D vào phương trình (2) ta phương trình • Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d • Viết phương trình mặt cầu Dạng Mặt cầu qua A, B, C tâm I ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = : • Giả sử mặt cầu ( S ) có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = ( ) • Thế tọa độ điểm A, B, C vào phương trình (2) ta phương trình • I ( a; b; c ) ∈ (α ) ⇒ Aa + Bb + Cc + D = • Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d • Viết phương trình mặt cầu Dạng Mặt cầu ( S ) qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d Cách 1: 120 Hình Học Tọa Độ Oxyz • Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t ) • Ta có A, B ∈ ( S ) ⇔ IA = IB = R ⇔ IA2 = IB Giải pt tìm t ⇒ tọa độ I , tính R Cách 2: • Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P ) đoạn thẳng AB • Tâm mặt cầu giao mặt phẳng trung trực đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I ) • Bán kính R = IA Suy phương trình mặt cầu cần tìm (Chú ý: Nếu d ⊂ ( P ) d / / ( P ) khơng sử dụng cách này) Dạng Mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu ( T ) cho trước: • Xác định tâm J bán kính R ' mặt cầu ( T ) • Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu ( S ) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Dạng Mặt cầu ( S ' ) đối xứng Mặt cầu ( S ) qua mặt phẳng ( P ) • Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp ( P ) • Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’ = R Dạng 10 Mặt cầu ( S ') đối xứng mặt cầu ( S ) qua đường thẳng d • Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp d (xem cách làm phần đường thẳng) • Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’ = R C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 121 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) C ( 3; −2;1) Mặt cầu ( S ) tâm I qua A, B, C độ dài OI = (biết tâm I có hồnh độ ngun, O gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu ( S ) B R = A R = Câu 2: C R = D R = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;0;0 ) , B ( 2; −1; ) , C ( −1;1; −3) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy , qua A cắt mặt phẳng ( ABC ) theo đường trịn có bán kính nhỏ 1  B x +  y +  + z = 2  2 3  D x +  y −  + z = 2  1  A x +  y −  + z = 2  1  C x +  y −  + z = 2  Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;3) tiếp xúc với đường thẳng A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 233 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 243 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3)2 = 2223 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 333 2 Câu 4: x y+2 z = = −2 2 2 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình x2 + y + z − x + y + z − 12 = đường thẳng d : x = + 2t ; y = 4; z = + t Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) điểm M ( 5; 0;1) biết đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d góc ϕ thỏa mãn cosϕ = Câu 5:  x = + 3t  x = + 13t   A ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t z = 1− t  z = − 11t    x = + 3t  x = + 13t   B ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t z = 1− t  z = + 11t    x = + 3t  x = + 13t   C ∆ :  y = 5t ∨ ∆ :  y = 5t z = 1− t  z = − 11t    x = + 3t  x = + 13t   D ∆ :  y = −5t ∨ ∆ :  y = 5t z = 1− t  z = − 21t   x −1 y + z = = Tìm tọa độ −2 điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt cầu ( S ) tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 6 2 A M ( 2;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  5 5 122 6 2 B M ( 2;0; ) ∨ M  ; ;  5 5 Hình Học Tọa Độ Oxyz 7 4 C M ( 2;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  5 5 Câu 6: 6 2 D M ( 4;0; −2 ) ∨ M  ; − ;  5 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ có phương trình: x − y −1 z −1 x + y − z +1 ∆1 : = = ; ∆2 : = = Viết phương trình mặt cầu có bán kính 1 −1 nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ ? A x + ( y − ) + z = B x + ( y − ) − z = C x − ( y − ) + z = D x + ( y + ) + z = 2 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính A ( P ) : y − z = Câu 8: B ( P ) : x − z = C ( P ) : y + z = D ( P ) : x + z = x −1 y −1 z = = cắt mặt −1 phẳng ( P ) : x + y + z − = điểm M Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) điểm A, biết diện tích tam giác IAM 3 tâm I có hồnh độ âm A ( S ) : ( x + 1) + y + ( z − 1) = B ( S ) : ( x + 1) + y + ( z − 1) = 36 C ( S ) : ( x + 1) − y − ( z − 1) = D ( S ) : ( x + 1) + y + ( z − 1) = 2 Câu 9: 2 2 Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A (1; −1; ) , B ( 2;1; −1) C ( −1; 2; −3) biết tâm mặt cầu nằm mặt phẳng Oxz 2 12   1327   B ( S ) :  x +  − y −  z +  = 11  11  121   2 12   1329   D ( S ) :  x −  − y −  z −  = 11  121   11  12   1326   A ( S ) :  x +  + y +  z −  = 11  121   11  12   1328   C ( S ) :  x −  + y +  z −  = 11  121   11  2 2 Câu 10: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( −13; −1;0 ) , B ( 2;1; −2 ) , C (1; 2; ) mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − 67 = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua qua A, song song với BC tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ( S ) có tâm I (1; 2;3) có bán kính R = A ( P ) : −2 x + y − z + 28 = ( P ) : x + y + z − 100 = B ( P ) : −2 x + y + z + 28 = ( P ) : x + y + z + 100 = C ( P ) : −2 x + y − z − 28 = ( P ) : x + y + z + 100 = 123 Hình Học Tọa Độ Oxyz D ( P ) : −2 x + y − z + 28 = ( P ) : x + y + z − 1000 = ( S ) : x + y + z − x + y + z − = 0, mặt phẳng Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( P ) : x − y + z + = hai điểm A ( −1;1;0 ) , B ( 2; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn song song với AB, vng góc với mặt phẳng ( C ) có bán kính A (α ) : x − y − z + = mp (α ) : x − y − z − 11 = B (α ) : x − y − z + = mp (α ) : x − y − z − 11 = C (α ) : x − y − z + = mp (α ) : x − y − z − 11 = D (α ) : x − y − z + = mp (α ) : x − y − z − 11 = Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;0; ) , B ( 0; 2;0 ) Điểm C thuộc trục Ox cho tam giác ABC tam giác đều, viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm O tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC A ( S ) : x + y + z = B ( S ) : x + y + z = −2 C ( S ) : x + y + z = D ( S ) : x + y + z = − x − y −1 z −1 = = mặt cầu −1 −2 2 ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 25 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : M ( −1; −1; −2 ) , cắt đường thẳng d mặt cầu ( S ) hai điểm A, B cho AB =  x = −1 + 6t  A ∆ :  y = −1 + 2t  z = −2 + 9t   x = −1 − 6t  B ∆ :  y = −1 − 2t  z = −2 + 9t   x = −1 + 6t  C ∆ :  y = + 2t  z = − 9t   x = −2 + 6t  D ∆ :  y = −3 + 2t  z = −2 + 9t  Câu 14: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Q ) : x + y + z + = 124 M (1; −1; −1) tiếp xúc mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = ( c ) : ( x − 3)2 + y + ( z − 1)2 = A  ( c ) : ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3)2 =  ( c ) : ( x + 3)2 + y + ( z + 1) = B  ( c ) : ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3)2 =  ( c ) : ( x − 3)2 + y + ( z − 1)2 = C  ( c ) : ( x − 1)2 + ( y − )2 + ( z − 3) = ( c ) : ( x − 3) + y + ( z − 1)2 = 81 D  ( c ) : ( x + 1)2 + ( y + )2 + ( z + 3) = 81 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng: x = t x − y + z −1  ∆1 : = = , ∆ :  y = − t mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = −3  z = + 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 365π A x − y − 3z − = 0; x − y − 3z + 10 = B x − y − 3z + 10 = C x − y − z + + 511 = 0; x − y − z + − 511 = D x − y − 3z − = Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Mặt cầu S có tâm I nằm mặt phẳng ( P ) , qua điểm A gốc tọa độ O cho chu vi tam giác OIA + Phương trình mặt cầu S là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = ( x + ) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 2 2 B ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = ( x + 1) + ( y + ) + ( z − ) = 2 2 2 C ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 2 2 D ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = ( x + 1) + ( y − ) + ( z + ) = 2 2 2 x −1 y − z = = Phương trình mặt cầu có tâm I −1 cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác diện tích tam giác IAB 6015 là: Câu 17: Cho điểm I (1;7;5 ) đường thẳng d : A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2018 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2017 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2016 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2019 2 2 2 2 2 2  x = −1 + t  Câu 18: Cho điểm I (0;0;3) đường thẳng d :  y = 2t Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt z = + t  đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông là: 125 A x + y + ( z − 3) = B x + y + ( z − 3) = 2 C x + y + ( z − 3) = D x + y + ( z − 3) = Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 19: Cho điểm A ( 2;5;1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 24 = , H hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( P ) Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích 784π tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) H, cho điểm A nằm mặt cầu là: A ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 196 B ( x + ) + ( y + ) + ( z − 1) = 196 C ( x + 16 ) + ( y + ) + ( z − ) = 196 D ( x − 16 ) + ( y − ) + ( z + ) = 196 2 Câu 20: Cho mặt phẳng 2 ( P ) : x − y − z + 10 = 2 2 2 hai đường thẳng ∆1 : x − y z −1 , = = 1 −1 x−2 y z +3 Mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ∆1 , tiếp xúc với ∆ mặt phẳng ( P ) , = = 1 có phương trình: ∆2 : 2 2 2 11   7   81  A ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) =  x −  +  y −  +  z +  = 2  2  2  11   7   81  B ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) =  x +  +  y +  +  z −  = 2  2  2  C ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = D ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = x =1  Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d1 :  y = 1, t ∈ ℝ; z = t   x=2 x −1 y z −1  d :  y = u , u ∈ ℝ; ∆ : = = Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1 , d 1 z = 1+ u  có tâm thuộc đường thẳng ∆ ? 2 2 2 2 1  1  1  B  x −  +  y +  +  z −  = 2  2  2  A ( x − 1) + y + ( z − 1) = 2 3  1  3  C  x −  +  y −  +  z −  = 2  2  2  5  1  5  D  x −  +  y −  +  z −  = 4  4   16  x = 2−t  Câu 22: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + z + = đường thẳng d :  y = t Tìm m để d z = m + t  2 cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B cho mặt phẳng tiếp diện ( S ) A B vng góc với 126 A m = −1 m = −4 B m = m = −4 C m = −1 m = D Cả A, B, C sai Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + m = đường thẳng (d ) : x y −1 z +1 Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho độ dài MN = = 2 A m = −24 B m = C m = 16 D m = −12 Câu 24: Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (β) : x + 2y − 2z − = 2 (α) : 2x − 2y − z + = 0, mặt cầu S có phương trình x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB = A −9 B −12 C D Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 2), B (3;1; 4), C (3; −2;1) Tìm tọa độ điểm S, biết SA vng góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính 11 S có cao độ âm A S ( −4; −6; 4) B S (3; 4; 0) C S (2; 2;1) D S (4; 6; −4) Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;0; ) , điểm M nằm mặt phẳng ( Oxy ) M ≠ O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu A R = B R = C R = D R = A ( 0;0;1) B ( m;0;0 ) C ( 0; n;0 ) Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét điểm , , , D (1;1;1) với m > 0; n > m + n = Biết m , n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng A R = ( ABC ) qua B R = d Tính bán kính R mặt cầu đó? C R = D R = Câu 28: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1) , B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − x + z − = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn  1 A D  ; − ; −   3 3  −1 −5  B D  ; ;   3  7 1 C D  ; ;   3 3 7 1 D D  ; − ;   3 3 x −1 y z + = = mặt cầu −1 −1 2 ( S ) tâm I có phương trình ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 18 Đường thẳng d cắt ( S ) hai điểm A, B Tính diện tích tam giác IAB Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A 127 11 B 16 11 C 11 D 11 Hình Học Tọa Độ Oxyz 1  Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  mặt cầu ( S ) : x + y + z = Đường 2  thẳng d thay đổi, qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB A S = B S = C S = D S = 2 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;11; −5) mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m2 + 1) y + ( m2 − 1) z − 10 = Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu A 2 B C D 12 Câu 32: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh 6cm SA = SB = SC = ( cm ) C Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gọi D điểm đối xứng B qua SABD bằng? A 5cm B 2cm C 26cm 37cm D x−2 y z = = mặt cầu −1 2 ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) = Hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) chứa d tiếp xúc với ( S ) Gọi M , N tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : A 2 B C D Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , a > , b > , c > + + = Biết mặt phẳng ( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu a b c 72 2 ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Thể tích khối tứ diện OABC A B C D Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét điểm A ( 0;0;1) , B ( m;0;0 ) , C ( 0; n;0 ) D (1;1;1) , với m > 0, n > m + n = Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) qua D Tính bán kính R mặt cầu A R = B R = C R = D R = Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Giả sử M ∈ ( P ) N ∈ ( S ) cho phương với véc tơ u = (1; 0;1) khoảng cách MN nhỏ Tính MN 128 MN Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;0 ) , B ( 2; −3; ) Gọi ( S ) mặt cầu đường kính AB Ax tiếp tuyến ( S ) A; By tiếp tuyến ( S ) B Ax ⊥ By Hai điểm M , N di động Ax, By cho MN tiếp tuyến ( S ) Tính AM BN A AN BM = 19 B AN BM = 48 C AN BM = 19 D AN BM = 24 Hướng dẫn giải: Chọn C Giả sử ( S ) tiếp xúc với MN O Theo tính chất tiếp tuyến, ta có AM = MO, BN = NO  AB ⊥ AM ⇒ AM ⊥ ( ABN ) ⇒ AM ⊥ AN   BN ⊥ AM  MN = MO + ON = AM + BN Theo định lí Pitago, ta có  2 2 2  MN = AM + AN = AM + AB + BN Do ( AM + BN ) = AM + AB + BN 2 Suy AM BN = AB 32 + 52 + 2 = = 19 2 Chọn C Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;0 ) , B ( 2; −3; ) Gọi ( S ) mặt cầu đường kính AB Ax tiếp tuyến ( S ) A ; By tiếp tuyến ( S ) B Ax ⊥ By Hai điểm M , N di động Ax, By cho MN tiếp tuyến ( S ) Hỏi tứ diện AMBN có diện tích tồn phần nhỏ là? A 19 162 B 19 ( ) 2+ C ( ) 19 + ( ) D 19 + Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải: Chọn B Giả sử ( S ) tiếp xúc với MN điểm O Theo tính chất tiếp tuyến, ta có x = AM = MO, y = BN = NO  AB ⊥ AM ⇒ AM ⊥ ( ABN ) ⇒ AM ⊥ AN   BN ⊥ AM  MN = MO + ON = AM + BN Theo Pitago, ta có  2 2 2  MN = AM + AN = AM + AB + BN Do ( AM + BN ) = AM + AB + BN 2 ⇒ xy = AM BN = AB 32 + 52 + 22 = = 19 2 Ta có: 38 AB AM = x 2 38 S ABN = AB.BN = y 2 1 S AMN = AM AN = x 38 + y 2 1 S BMN = BM BN = y 38 + x 2 S ABM = Khi theo bất đẳng thức AM – GM, ta có Stp = ≥ 1 2 2 ( 38 x + 38 y + x 38 + y + y 38 + x ) 38 x 38 y + x 38 + y y 38 + x   = 38 xy + xy 382 + 38 ( x + y ) + x y ≥ 38 xy + xy 382 + 38.2 xy + x y = 19 ( ) 2+ Câu 45: Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu ( S ) : x + y + z = 11 Hỏi giá trị lớn biểu thức AB + BC + CA2 + DA2 + BD + CD là? A 99 Hướng dẫn giải: Chọn B B 176 C 132 D 66 Măt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) bán kính r = 11 Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD ta có GA + GB + GC + GD = ( Do 4OG = OA + OB + OC + OD Suy 16OG = OA + OB + OC + OD ) = ∑ OA2 + 2∑ OAOB 2∑ OAOB = 16OG − R Khi AB + BC + CA2 + DA2 + BD + CD = ∑ ( OB − OA) = ∑ ( R 2 − 2OB.OA = 12 R − ∑ 2OB.OA = 12 R − (16OG − R ) = 16 R − 16OG ≤ 16R = 176 163 ) Hình Học Tọa Độ Oxyz Dấu xảy G ≡ O Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( a;0; ) , B ( 0; b; c ) , C ( 0; 0; c ) với 10 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng đây? a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ mặt cầu ( S ) có bán kính A x + y − z + + = B x + y + z + − 2 = C x + y − z + + 2 = Hướng dẫn giải: D 2x + y + 2z + − 2 = Ta có: a + b + c = 90 a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ Khi đó: ≤ a ≤ 29;5 ≤ b ≤ 38 Ta có: OA + OB + OC = a + b + c = a + b + 90 − a − b = f ( a, b ) Xét f ′ ( a ) = − a 90 − a − b { f ( a, b ) = f ( ) ; f ( = ⇔ a = 45 − 29 b2 Lập bảng biến thiên ta được: )} = {b + + 74 − b ; b + 29 + 61 − b } Dễ có: b + + 74 − b < b + 29 + 61 − b ∀b ∈ 5; 38  ⇒ f ( a, b ) = b + + 74 − b = f ( b ) Do f ′ ( b ) = − b = ⇔ b = 37 nên lập bảng biến thiên ta 74 − b f ( a, b ) = f ( 5) = 16 Do giá trị nhỏ OA + OB + OC 16 a = 4, b = 5, c = Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho S ( 0;0;1) , M ( m;0;0 ) , N ( 0; n;0 ) với m, n > m + n = ( SMN ) tiếp xúc với mặt cầu cố định có bán kính biết mặt cầu qua M (1;1;1) A Hướng dẫn giải: B C D a b c + + −1 m n I a ; b ; c Gọi ( ) tâm mặt cầu Khi đó: R = d ( I , ( MSN ) ) = =I 1 1+ + m n Chú ý: + a b c + + −1 m n Vậy R = Chọn a = b = − c ⇒ R = a tâm I ( a; a;1 − a ) 1 + −1 m n 164 1 1  1  1  1 = 1+  +  −  +  = + −1 + = 1+  +  − m n  m n  mn m n m n m n Hình Học Tọa Độ Oxyz ⇒ IM = ( a − 1) + a = a ⇔ a = ⇒ R = Chọn C Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A ( m;0;0 ) , B ( 0; m − 1; ) , C ( 0;0; m + ) thỏa mãn BC = AD, CA = BD, AB = CD điểm I ( a; b; c ) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính bán kính nhỏ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD C 14 D 14 A B Hướng dẫn giải: Chọn B A M I B D N C Có ∆BCD = ∆ACD ⇒ BN = AN ⇒ MN ⊥ AB Tương tự ta có MN ⊥ CD Gọi I trung điểm MN , I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD AB = 2m − 2m + 1, BC = m + 6m + 17 , AC = 2m + 8m + 16 MN = MC − CN = AC + BC AB CD − − = 4 AC + BC − AB = m+4 m+4 MI = MN = 2 1  1  ⇒ IB =  AB  +  MN  2  2  = 1 14 2 2m − 2m + + ( m + ) = ( m − 1) + 14 ≥ 2 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; −2;1) , B ( 2; 4;6 ) Điểm M di động AB N điểm thuộc tia OM cho OM ON = Biết N thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn 165 Hình Học Tọa Độ Oxyz 42 31 A R = B R = 31 42 C R = 42 31 D R = 31 42 Hướng dẫn giải: Chọn C S C' B' B A C Đặt SB′ SC ′ V SB′ SC ′ = x, = y⇒ = = x y SB SC V2 SB SC Khi đó: ( ) AB′2 = SA2 + SB′2 − 2.SA.SB′.cos ∠ASB = a + ( ax ) − 2.a.ax.cos 30° = a − x + x ⇒ AB′ = a − x + x Tương tự: AC ′ = a − y + y , B′C ′ = a x − 3xy + y Ta có: p = AB′ + AC ′ + B′C ′ = a  − x + x + − y + y + x − xy + y     = a   2     2   1   − y  +   +  y − x  +  x  + − 3x + x        2    3 ≥ a  −  2   1 2 x  +  + x  + a − x + x = a ( − x + x + − x + x )  2  2       1  3   = a  x −  +  − x  +   ≥ a  +              166 2  1 1 3 −  +  +   = a 2 2     Hình Học Tọa Độ Oxyz Dấu xảy khi: x = x , x = − ⇔ x = y = − ⇒ V1 = V2 −y y− ( ) −1 = − Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z = điểm 1  M  ; ;0  Xét đường thẳng ∆ thay đổi qua M , cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B 2  Hỏi diện tích lớn tam giác OAB là? A B D C Hướng dẫn giải: Chọn A 1 Ta có: S ∆OAB = OA.OB.sin AOB ≤ OA.OB ⇔ S ∆OAB ≤ 2 2 ( ) = Diện tích tam giác OAB lớn sin AOB = ⇔ AOB = 90° Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( m;0;0 ) B ( 0; n;0 ) C ( 0;0; −2 ) , , D ( m; n; −2 ) , với m , n số thực thay đổi thỏa mãn 2m + n = Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có giá trị nhỏ là? A 105 10 B 17 C 21 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: ( S ) : x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b2 + c − d > 0) Vì A, B, C , D thuộc mặt cầu nên: m + 2ma + n + 2bn + − 4c + d = m2 + 2ma + n + 2bn =   2 m + 2ma + d = m + 2ma + n + 2bn + 2d = ⇔  4 − 4c + d = 4 − 4c + d = n + 2bn + d = n2 + 2bn + d =   m  a = − m2 + 2am =   n n + 2bn =  ⇔ ⇔ b = −  − 4c =  d = c =  d =  167 D 17 Hình Học Tọa Độ Oxyz Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: R = a + b2 + c − d = 1 m2 + n2 + 1 m2 + n2 + = m + (1 − 2m ) + = = 5m − m + 2 2  21 21 105  Ta có: 5m − 4m + =  n −  + ≥ ⇒ Rmin = 5 10   Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( m;0; ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; n ) với m, n số thực thỏa mãn m.n = Hỏi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: ( S ) : x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b2 + c − d > 0) m  d = a = −   n m + 2ma =  ⇔ c = − Vì O, A, B, C thuộc mặt cầu nên:  1 + 2b =  n + 2cn =   b = −  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: R = a + b2 + c − d = Ta có: n + m2 + n2 + 1 m2 + n2 + = n + +1 = n 2 4 + ≥ n + = ⇒ Rmin = n n Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( m;0;0 ) , B ( 0; n; ) , C ( 0;0;1) D ( m; n;1) với m , n số thực thỏa mãn m.n = Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là? A B C Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: ( S ) : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b2 + c − d > ) 168 D Hình Học Tọa Độ Oxyz Vì A, B, C , D thuộc mặt cầu nên: m2 + 2ma + d = m + n + 2ma + 2bn + 2d =   n + 2nb + d = 1 + 2c + d = ⇔  1 + 2c + d = m + 2ma + d = 2 m + n + 2ma + 2bn + + 2c + d = m + n + 2ma + 2bn =   m  a=−   m + 2ma =   b = − n  n + 2bn = ⇔ ⇔ + = c   c = − d =    d = Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: R = a2 + b2 + c2 − d = Ta có: n + 2 m2 + n2 + 1 m2 + n2 + = n +   +1 = n + +1 = 2 n n 4 + ≥ n + = ⇒ Rmin = n n Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( m;0; ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; n ) với m, n só thực thỏa mãn m + 2n = Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ là? A B C 10 D Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: ( S ) : x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b2 + c − d > 0) m  d = a = −   n m + 2ma =  ⇔ c = − Vì O, A, B, C thuộc mặt cầu nên:  1 + 2b =  n + 2cn =   b = −  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: R = a2 + b2 + c2 − d = m2 + n2 + 1 2 m2 + n2 + = n + ( − 2n ) + = = 5n − 8n + 2 2 4 9  Ta có: 5n − 8n + =  n −  + ≥ ⇒ Rmin = 5 5 10  169 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (10; 2;1) , B ( 3;1; ) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 1) = Điểm M di động mặt cầu ( S ) Hỏi giá trị nhỏ biểu thức MA + 3MB là? A 14 2 B D C 11 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi E điểm thỏa mãn: OE = 3OB ⇒ E ( ) Gọi O trung điểm AB , ta có SO ⊥ ( ABC )  SC ⊥ AH Ta lại có:  ⇒ SC ⊥ ( AHB ) ⇒ SC ⊥ OH  SC ⊥ AB Vì V1 SH SO SO 16 = = = = ⇒ SO = V SC SC 19 SO + Câu 56: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = tọa độ hai điểm A (1;1;1) , B ( −3; −3; −3) Mặt cầu ( S ) qua hai điểm A, B tiếp xúc với ( P ) điểm C Biết C ln thuộc đường trịn cố định Tính bán kính đường trịn đó? A R = B R = 33 C R = 11 D R = Hướng dẫn giải: Ta dễ dàng tìm tọa độ điểm D ( 3;3;3) giao B điểm ( AB ) ( P ) Do theo tính chất A phương tích ta được: DA.DB = DI − R Mặt khác DC tiếp tuyến mặt cầu ( S ) DC = DI − R Do DC = DA.DB = 36 DC = (Là P D I C giá trị không đổi) Vậy C ln thuộc đường trịn cố định tâm D với bán kính R = Chọn D Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Có tất mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ba trục tọa độ x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz ? A mặt cầu B mặt cầu C mặt cầu D mặt cầu Hướng dẫn giải: Gọi tâm I ( a, b, c ) , ta có a + 2b + c = Vì d ( I , Ox ) = d ( I , Oy ) = d ( I , Oz ) ⇒ a + b2 = b2 + c = c + a ⇔ a = b = c  ếu a = m, b = m, c = − m ⇒ 2m = ⇒ m = ⇒ I ( 2; 2; −2 ) 170 Hình Học Tọa Độ Oxyz  ếu a = m, b = m, c = m ⇒ m = ⇒ I (1;1;1)  ếu a = m, b = − m, c = m ⇒ = (Loại)  ếu a = − m, b = m, c = m ⇒ 2m = ⇒ I ( −2; 2; ) Vậy có tất mặt cầu thỏa mãn điều kiện toán đưa Câu 58: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m + 1) y + ( m − 1) z − 10 = điểm A ( 2;11; −5 ) Biết m thay đổi tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( P) qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu A B 15 C Hướng dẫn giải: Gọi tâm I ( a, b, c ) bán kính mặt cầu: R = IA = d I , ( P ) ( ⇔R= ( a − ) + ( b − 11) + ( c + 5) ⇔R= ( a − ) + ( b − 11) + ( c + 5) 2 2 = = D 12 ) 2ma + ( m + 1) b + ( m − 1) c − 10 (m + 1) m ( b + c ) + 2ma + b − c − 10 (m + 1) với ∀m ∈ R a = a = nên ⇔ b + c = b − c − 10 c = −5 Do  R = + ( b − 11) = b = ⇒ ⇒ R1 + R2 = 12 b = 25 b−5 Câu 59: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = ( Q ) : x + y + z − = Gọi ( S ) mặt cầu có tâm thuộc Ox đồng thời cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính cắt mặt phẳng ( Q ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Xác định r cho tồn mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho 10 A r = B r = 2 C r = D r = 14 Hướng dẫn giải: ( Ta gọi I ( a; 0;0 ) tâm mặt cầu Khi bán kính: R = r + d I , ( Q ) ⇔r ( 2a − 1) + ( a + 1) = 4+ ) = 22 + d ( I , ( P ) ) 2 để có tâm mặt cầu thỏa mãn giải ∆ = Chọn B Câu 60: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z = điểm A ( 2; 2;0 ) Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B thuộc mặt cầu ( S ) , có hồnh độ dương tam giác OAB A x − y − z = Hướng dẫn giải: 171 B x − y − z = C x − y + z = D x − y + z = Hình Học Tọa Độ Oxyz Ta có OA = 2 điểm B nằm mặt cầu tâm O tâm A có bán kính 2 nên tọa độ B nghiệm hệ:  x2 + y + z − x − y − z =  x2 + y + z =   2 ⇔  x + y + z = ⇔ B ( 2;0; −2 ) x + y + z =   2 x + y = ( x − ) + ( y − ) + z = Câu 61: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1, 0,1) , B ( −3, 4, −1) , C ( 2, 2,3) Đường thẳng d qua A , cắt mặt cầu đường kính AB AC điểm M , N không trùng với A cho đường gấp khúc BMNC có độ dài lớn có vector phương là? A u = (1, 0, ) B u = (1, 0,1) C u = (1, 0, −1) D u = ( 2, 0, −1) Hướng dẫn giải: Ta phát tam giác ABC vuông A mặt khác:  MA + MB ≤ ( MA2 + MB ) = AB  ⇒ BM + MN + NC ≤ ( AB + AC )   NA + NB ≤ ( NA2 + NB ) = AC  Chú ý đẳng thức xảy trường hợp tam giác MAB, NAC vng cân tam giác ABC vng A, M , N thẳng hàng đường thẳng d có u = (1, 0,1) (Học sinh cần tự tìm tọa độ M , N cho tam giác MAB, NAC vuông cân M , N nằm mặt phẳng ( ABC ) ) Chọn B Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2n (1 − m ) x + 4mny + (1 + m )(1 − n ) z + ( m n + m + n + 1) = với m, n số thực tùy ý Biết mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt phẳng cố định Tìm bán kính mặt cầu A Hướng dẫn giải: B C D Chọn C Gọi I ( x0 ; y0 ; z0 ) tâm mặt cầu R bán kính, ta có: R = d ( I , ( P )) = 172 2n (1 − m ) x0 + 4mny0 + (1 + m )(1 − n ) z0 + ( m n + m + n + 1)  2n (1 − m )  + ( 4mn )2 + (1 + m )(1 − n )      2 Hình Học Tọa Độ Oxyz = = 2n (1 − m ) x0 + 4mny0 + (1 + m )(1 − n ) z0 + ( m n + m + n + 1) (m + 1) + ( n + 1) 2 2n (1 − m ) x0 + 4mny0 + (1 + m )(1 − n ) z0 + ( m n + m + n + 1) m + n + m2 n + Chọn x0 = y0 = z0 ⇒ R = Vậy ( P ) tiếp xúc với mặt cầu cố định I ( 0;0;0 ) R = Chọn C Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = 0; ( Q ) : x + y + z − = Gọi ( S ) mặt cầu có tâm thuộc trục Ox , ( S ) cắt ( P ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính 2; ( S ) cắt ( Q ) đồng thời theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Tìm r cho có ( S ) thỏa mãn điều kiện toán mặt cầu 10 Hướng dẫn giải: A r = B r = C r = D r = Chọn B Gọi I ( m;0;0 ) thuộc trục Ox tâm ( S ) R bán kính ( S ) Theo giả thiết, ta có: d ( I , ( P ) ) + 22 = R ⇒ r + d ( I , (Q )) = + d ( I , ( P ))  2 + = d I , Q r R  ( ( ) ) Vậy ta có phương trình: r + ( 2m − 1) = 4+ ( m + 1) ⇔ 3m − 6m + 6r − 24 = Để có mặt cầu thỏa mãn phương trình có nghiệm nhất, đó: ∆′m = − ( 6r − 24 ) = ⇔ r = Câu 64: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A, B, C giao điểm x y z mặt phẳng ( P ) : + + = với trục tọa độ Ox, Oy , Oz; m m −1 m + m ∉ {0;1; −4} tham số thực thay đổi Điểm O , D nằm khác phía với mặt phẳng ( P ) BC = AD, CA = BD, AB = CD Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ là? 173 Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải: A B 14 C D 14 Chọn B Theo giả thiết, ta có A ( m;0; ) , B ( 0; m − 1;0 ) , C ( 0;0; m + ) BC , CA, AB, DB, DA, DC đường chéo mặt hình hộp chữ nhật OAD′C.BA′DC ′ hình vẽ Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật  m m −1 m +  cho Vì tâm mặt cầu ngoại tiếp I  ; ;   2 2 2 ( m + 1) + 14 14  m   m −1   m +  Dấu “=” xảy ≥ Do R = IO =   +   +  = 2 2     m = −1 Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Giả sử M ∈ ( P ) N ∈ ( S ) cho phương với véc tơ u = (1;0;1) khoảng cách MN lớn Tính MN A MN = Hướng dẫn giải: B MN = + 2 C MN = Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) , R = Xét điểm M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇒ x − y + z − = Theo giả thiết MN = ku = ( k ;0; k ) ⇒ N ( x + k ; y; z + k ) N ∈ ( S ) nên (x+ k) + y2 + ( z + k ) + ( x + k ) − y − ( z + k ) + = ⇔ ( x + k + 1) + ( y − ) + ( z + k − 1) = 174 2 MN D MN = 14 Hình Học Tọa Độ Oxyz Do x − y + z − = ⇔ ( x + k + 1) − ( y − ) + ( z + k − 1) = 3k + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwar, ta có: ( 3k + ) ( ) 2 2 ≤ 12 + ( −2 ) + 22 ( x + k + 1) + ( y − ) + ( z + k − 1)  = ⇔ −3 ≤ k ≤ −1   ⇒ MN = k ≤ Chọn C Dấu xảy k = −3 Cách 2: Gọi H hình chiếu vng góc N lên ( P ) , ta có: MN = NH cos MNH = NH ( cos u , nP ) ≤ r + d ( I ; ( P )) ( cos u , nP ) = 1+ =3 2 Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với 10 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng OA + OB + OC nhỏ mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng đây? a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ mặt cầu ( S ) có bán kính A x + y − z + + = B C x + y − z + − 2 = D Hướng dẫn giải: Chọn D a b z Tâm mặt cầu ( S ) điểm I  ; ;  bán kính 2 2 2 2x + y − 2z + + 2 = 2x + y + 2z + − 2 = 10 a b c ⇔ a + b + c = 90 R =   +  +  = 2 2       Khi đó: OA + OB + OC = a + b + c = a + b + 2ab + c = 90 − c + 2ab + c ≥ 90 − c + 2.4.5 + c = 130 − c + c ≥ y = y ( ) = 16 [0; +∞ ) 10  7 Khi I  2; ;  rõ rang d ( I , ( P ) ) : x + y + z + − 2 = =  2 Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 mặt phẳng ( P ) : + y + z + = Gọi ( Q ) mặt phẳng thay đổi qua A ( −2;1;1) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Hỏi góc nhỏ hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) là? 10 − 10 − 10 + B arccos C arccos 9 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có ( Q ) : a ( x + ) + b ( y − 1) + c ( z − 1) = theo giả thiết, ta có A arccos 175 D arccos 10 + Hình Học Tọa Độ Oxyz d ( I , (Q )) = ⇔ 3a 2 = ⇔ b2 + c = a +b +c Khi góc ( P ) , ( Q ) xác định a a + 2b + 2c cos α = 12 + 22 + 2 a + b + c 2  + 10 b+c 2 = 1+ 2 =  ≤  +   a  9 ⇒ a ≥ arccos Bởi + 10 5 b + c  10 10  b+c ; ∈ − a = b2 + c ≥ ( b + c ) ⇒    ≤ ⇒ 2  a  a   Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (10; 2;1) , B ( 3;1; ) mặt cầu ( S ) :( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) 2 = Điểm M di động mặt cầu ( S ) Hỏi giá trị nhỏ biểu thức MA + 3MB là? A 14 B Hướng dẫn giải: Chọn C Mặt cầu ( S ) tâm I (1;2;1) , R = C 11 Ta chọn điểm C đoạn IA cho ∆ICM ∼ ∆IMA theo tỉ số IC IM MC IC IM R = = = ⇒ = = = = IM IA MA IA IA IA 9 ⇒ IC = IA = (1;0;0 ) ⇒ C ( 2; 2;1) Khi MA + 3MB = ( MC + MB ) ≥ 3BC = 12 + 12 + 32 = 11 Dấu đạt M = BC ∪ ( S ) 176 D ; tức ... 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Có tất mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ba trục tọa độ x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz ? A mặt cầu B mặt cầu. .. C mặt cầu D mặt cầu Câu 58: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m + 1) y + ( m − 1) z − 10 = điểm A ( 2;11; −5 ) Biết m thay đổi tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt. .. SA vng góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính 11 S có cao độ âm A S ( ? ?4; −6; 4) B S (3; 4; 0) C S (2; 2;1) D S (4; 6; ? ?4) Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz