Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu '( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈ . 2. Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì ∀C∈R, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). Ta ký hiệu: ( ) ( )f x dx F x C= + ∫ và gọi là họ nguyên hàm của f trên K. 3. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Cxdx += ∫ Cudu += ∫ kdx kx C= + ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Cedxe xx += ∫ Cedue uu += ∫ Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u ( ) 0 1 ln mx n mx n a a dx C a m a + + = + < ¹ ò Cxxdx += ∫ sincos Cuudu += ∫ sincos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos Cxxdx +−= ∫ cossin Cuudu +−= ∫ cossin ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cudu u += ∫ tan cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 tan ln cosxdx x c= − + ∫ cot ln sinxdx x c= + ∫ 3. Các tính chất nguyên hàm: Cho các hàm số f(x) và g(x) có nguyên hàm. Khi đó: • . ( )k f x dx = ∫ ( )k f x dx ∫ ( k là hằng số) • [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ BpH Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 4. Các phương pháp tìm nguyên hàm: a) Nguyên hàm từng phần udv uv vdu= - ò ò b) Phương pháp đổi biến [ ( )] '( ) ( )f u x u x dx f u du= ò ò B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1. 3 2 ( ) 2 3 2f x x x x= − + − 2. 2 ( ) 3 3f x x x x= + + + 3. ( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + + 4. 2 2 1 ( ) 3 x f x x x + = + + 5. 3 2 ( ) (2 1) 5f x x x x= + + + 6. 5 ( ) sin .cosf x x x= 7. ( ) .sinf x x x= 8. 2 ( ) .sinf x x x= 9. 2 ( ) .cosf x x x= 10. ( ) (2 1).cos(3 2)f x x x= + − 11. ( ) .cos x f x e x= 12. 2 ( ) lnf x x= . II. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= − ∫ trong đó, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K chứa [a; b] 2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có: 1) ( ) 0 a a f x dx = ò 2) ( ) ( ) a a b b f x dx f x dx=- ò ò 3) ( ) ( ) ( )+ = ∫ ∫ ∫ b c c a b a f x dx f x dx f x dx 4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ò ò ò 5) . ( ) ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ò ò ; k R∈ 3. Các phương pháp tính tích phân a. Phương pháp đổi biến: [ ] ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f u du= ∫ ∫ b. Phương pháp tích phân từng phần: ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tính các tích phân sau: 1. 1 3 0 ( 1)+ ∫ x dx 2. 2 2 2 1 (2 -3)( -3 1)+ ∫ x x x dx 3. 1 3 0 (3 -1) ∫ x x e e dx ; BpH Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 4. 3 1 (3 4)+ ∫ x dx 5. 2 -2 ( -1) ∫ x x dx 6. 1 2 0 ( -2 ) ∫ x x e dx 7. 2 2 2 1 3 + ∫ x x dx x 8. 2 3 1 4+ ∫ x x dx x 9. 1 3 0 ( - ) ∫ x x e dx . Bài 2: Tính các tích phân sau: 1. - (2sin -cos ) ∫ x x dx π π 2. 3 2 0 1 (sin ) cos + ∫ x dx x π 3. 4 0 cos (1 2 tan )+ ∫ x x dx π 4. 3 4 2 6 1-sin sin ∫ x dx x π π 5. 2 0 cos2 sin cos+ ∫ x dx x x π 6. 2 4 0 cos 2 ∫ x dx π . 7. 2 4 0 tan ∫ xdx π 8. 4 2 2 6 cos sin ∫ dx x x π π 9. 2 5 0 sin cos ∫ x xdx π 10. 3 2 0 (1 sin ) cos+ ∫ x xdx π 11. 4 2 6 1 cot (1 ) sin + ∫ x dx x π π 12. 3 2 2 6 cos sin ∫ x dx x π π . Bài 3. Tính các tích phân sau 1. 3 2 0 2 1+ ∫ x x dx 2. 2 3 1 5 -1 ∫ 2 x x dx 3. 1 2 3 0 3 1 2 + + + ∫ x dx x x 4. 2 4 2+ + ∫ 3 1 x dx x x 5. 2 3 3 3 1+ ∫ 2 0 x dx x 6. 2 2 1 2 -1 - 6+ ∫ x dx x x Bài 4. Tính các tích phân sau 1. 0 sin ∫ x xdx π 2. 0 cos ∫ x xdx π 3. 1 ln ∫ e x xdx 4. 2 1 ∫ x xe dx 5. 2 0 ( 1)sin 3+ ∫ x xdx π 6. 2 0 sin ∫ x xdx π 7. 2 0 cos ∫ x xdx π ; 8. 3 2 4 sin ∫ xdx x π π 9. 4 2 0 cos ∫ xdx x π 10. 2 2 2 0 cos ∫ x xdx π 11. 2 2 2 0 sin ∫ x xdx π 12. 2 1 ln ∫ e xdx . Bài 5: Tính các tích phân sau: a) 1 1 x dx - ò b) 3 2 0 4x dx- ò c) 2 2 1 1x x dx - é ù - + + ë û ò d) 3 2 0 4 4x x dx- + ò e) 2 0 1 sin2xdx p - ò f) 1 ln e e x dx ò Bài 6: Tính các tích phân: a) 1 2 1 1 x dx - - ò b) 1 2 2 1 2x x dx - - ò c) 0 2 2 1 4 x dx x - - ò BpH Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 d) 1 2 0 1 1 dx x+ ò e) 0 2 2 1 3 x dx x - + ò f) 0 2 1 1 2 2 dx x x - + + ò Bài 7: Tính các tích phân sau: a) 2 1 1 1 x I dx x = + - ò b) 4 2 0 1 2sin 1 sin2 x I dx x p - = + ò c) 1 1 3ln ln e x x I dx x + = ò d) ( ) 4 2 0 1 sin 2 cos I dx x x p = + ò e) 2 0 sin2 sin 1 3cos x x I dx x p + = + ò f) 2 3 2 5 4 dx I x x = + ò g) 6 4 0 tan cos2 x I dx x p = ò h) 4 0 sin( ) 4 sin2 2(1 sin cos ) x I dx x x x p p - = + + + ò i) 1 2 0 ( 2) x x e dx- ò j) I = 3 2 2 ln( )x x dx- ò k) I = 2 3 1 ln x dx x ò l) I = 2 sin 0 ( cos ) cos x e x xdx p - ò m) I = 2 2 1 ( 1) x x e dx x - ò n) 4 0 sin sin cos x I dx x x p = + ò BpH . Tl ôn tập khối 12 – 2010-2011 ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa:. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tính các tích phân sau: 1. 1 3 0 ( 1)+ ∫ x dx 2. 2 2 2 1 (2 -3)( -3 1)+ ∫ x x x dx 3. 1 3 0 (3 -1) ∫ x x e e dx ; BpH Tl ôn tập