Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệmcho bài toán cực trị có điều kiện. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyểnviệc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cựctrị tự do. Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàmphạt điểm trong, hàm phạt Lagrange. Trong chương trình toán đại học,phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu. Hơn nữa, hầu hết các giáotrình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết củaphương pháp hàm phạt.Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trìnhdành cho học viên cao học. Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toáncực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúphọc viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị củahàm nhiều biến. Việc nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điềukiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên có khả năng giải vàsáng tạo ra các bài toán mới. Cấu trúc luận vănLuận văn gồm 3 chương:Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa,định lí liên quan đến luận văn. Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tậpcompact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộngcủa chuỗi Taylor.Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiệncho bởi phương trình và bất phương trình.Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khảvi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình vàbất phương trình.
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 Học viên: Đinh Thị H Người hướng dẫn khoa học: TS Phan A Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 1/ Nội dung Một số khái niệm 1.1 Bài toán tối ưu có điều kiện (CP) 1.2 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình 1.3 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình Phương pháp hàm phạt 2.1 Hàm phạt khả vi cho tốn cực trị có điều kiện cho phương trình 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Tài liệu tham khảo Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 2/ 1.1 Bài tốn tối ưu có điều kiện (CP) Bài tốn CP Bài tốn tối ưu có điều kiện (CP) f (x) với điều kiện x ∈ X , f : Rn → R hàm số cho trước X tập Rn Cực tiểu địa phương Vector x ∗ ∈ X gọi cực tiểu địa phương (CP) tồn số > cho f (x ∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ S(x ∗ ; ), x ∈ X Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 3/ 1.1 Bài tốn tối ưu có điều kiện (CP) Bài toán CP Bài toán tối ưu có điều kiện (CP) f (x) với điều kiện x ∈ X , f : Rn → R hàm số cho trước X tập Rn Cực tiểu địa phương Vector x ∗ ∈ X gọi cực tiểu địa phương (CP) tồn số > cho f (x ∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ S(x ∗ ; ), x ∈ X Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 3/ 1.1 Bài tốn tối ưu có điều kiện (CP) Bài tốn CP Bài tốn tối ưu có điều kiện (CP) f (x) với điều kiện x ∈ X , f : Rn → R hàm số cho trước X tập Rn Cực tiểu địa phương Vector x ∗ ∈ X gọi cực tiểu địa phương (CP) tồn số > cho f (x ∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ S(x ∗ ; ), x ∈ X Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 3/ 1.2 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình Bài tốn ECP Xét tốn cực trị có điều kiện cho phương trình (bài tốn (ECP)): f (x) h(x) = f : Rn → R h : Rn → Rm , với m ≤ n Các thành phần h kí hiệu h1 , , hm Điểm quy Giả sử x ∗ vector cho h(x ∗ ) = h ∈ C S(x ∗ ; ) với số thực > Khi đó, x ∗ gọi điểm quy gradient ∇h1 (x ∗ ), , ∇hm (x ∗ ) độc lập tuyến tính ∗ ∗ (x ) (x ) ∇h1 (x ∗ ) = [ ∂h∂x , , ∂h∂x ] ∗ ∗ Đinh Thị H n Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 4/ 1.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho phương trình Bài tốn ECP Xét tốn cực trị có điều kiện cho phương trình (bài tốn (ECP)): f (x) h(x) = f : Rn → R h : Rn → Rm , với m ≤ n Các thành phần h kí hiệu h1 , , hm Điểm quy Giả sử x ∗ vector cho h(x ∗ ) = h ∈ C S(x ∗ ; ) với số thực > Khi đó, x ∗ gọi điểm quy gradient ∇h1 (x ∗ ), , ∇hm (x ∗ ) độc lập tuyến tính ∗ ∗ (x ) (x ) ∇h1 (x ∗ ) = [ ∂h∂x , , ∂h∂x ] ∗ ∗ Đinh Thị H n Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 4/ 1.2 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình Bài tốn ECP Xét tốn cực trị có điều kiện cho phương trình (bài tốn (ECP)): f (x) h(x) = f : Rn → R h : Rn → Rm , với m ≤ n Các thành phần h kí hiệu h1 , , hm Điểm quy Giả sử x ∗ vector cho h(x ∗ ) = h ∈ C S(x ∗ ; ) với số thực > Khi đó, x ∗ gọi điểm quy gradient ∇h1 (x ∗ ), , ∇hm (x ∗ ) độc lập tuyến tính ∗ ∗ (x ) (x ) ∇h1 (x ∗ ) = [ ∂h∂x , , ∂h∂x ] ∗ ∗ Đinh Thị H n Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 4/ 1.3 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình Bài tốn quy hoạch phi tuyến (NLP) f (x) h(x) = g (x) ≤ 0, hàm số f : Rn → R, h : Rn → Rm , g : Rn → Rr hàm số cho với m ≤ n Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 5/ 1.3 Bài toán tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình Bài tốn quy hoạch phi tuyến (NLP) f (x) h(x) = g (x) ≤ 0, hàm số f : Rn → R, h : Rn → Rm , g : Rn → Rr hàm số cho với m ≤ n Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 5/ 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗ = 0} (ICP) không điểm tới hạn f + cP với số thực c > dương Ngược lại, khơng điểm số điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)}, c > nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, {x1∗ = 0, x2∗ = 0} khơng điểm quy [∇g1 (x ∗ ) = 0], xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1 Như Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho tập compact chứa {x1∗ = 0, x2∗ = 0}, giả thuyết Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm Bởi không tồn x¯ cho g1 (¯ x ) < 0, giả thuyết Mệnh đề 3.2.10 bị vi phạm Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 19 / 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗ = 0} (ICP) không điểm tới hạn f + cP với số thực c > dương Ngược lại, khơng điểm số điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)}, c > nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, {x1∗ = 0, x2∗ = 0} khơng điểm quy [∇g1 (x ∗ ) = 0], xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1 Như Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho tập compact chứa {x1∗ = 0, x2∗ = 0}, giả thuyết Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm Bởi không tồn x¯ cho g1 (¯ x ) < 0, giả thuyết Mệnh đề 3.2.10 bị vi phạm Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 19 / 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗ = 0} (ICP) không điểm tới hạn f + cP với số thực c > dương Ngược lại, khơng điểm số điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)}, c > nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, {x1∗ = 0, x2∗ = 0} khơng điểm quy [∇g1 (x ∗ ) = 0], xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1 Như Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho tập compact chứa {x1∗ = 0, x2∗ = 0}, giả thuyết Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm Bởi không tồn x¯ cho g1 (¯ x ) < 0, giả thuyết Mệnh đề 3.2.10 bị vi phạm Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 19 / 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗ = 0} (ICP) không điểm tới hạn f + cP với số thực c > dương Ngược lại, khơng điểm số điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)}, c > nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, {x1∗ = 0, x2∗ = 0} khơng điểm quy [∇g1 (x ∗ ) = 0], xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1 Như Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho tập compact chứa {x1∗ = 0, x2∗ = 0}, giả thuyết Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm Bởi không tồn x¯ cho g1 (¯ x ) < 0, giả thuyết Mệnh đề 3.2.10 bị vi phạm Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 19 / 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Nghiệm tối ưu {x1∗ = 0, x2∗ = 0} (ICP) không điểm tới hạn f + cP với số thực c > dương Ngược lại, khơng điểm số điểm tới hạn {x1 (c), x2 (c)}, c > nghiệm tối ưu (ICP) Do đó, {x1∗ = 0, x2∗ = 0} khơng điểm quy [∇g1 (x ∗ ) = 0], xác định khơng có nhân tử Lagrange tương ứng µ∗1 Như Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho tập compact chứa {x1∗ = 0, x2∗ = 0}, giả thuyết Mệnh đề 3.2.11 bị vi phạm Bởi không tồn x¯ cho g1 (¯ x ) < 0, giả thuyết Mệnh đề 3.2.10 bị vi phạm Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 19 / 2.2 Hàm phạt khơng khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Ví dụ Cho n = 1, r = 2, với x f (x) = 0, g1 (x) = −x, g2 (x) = − x Hàm số P(x) có dạng: P(x) = max{0, −x, − x }, Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 20 / 2.2 Hàm phạt không khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Vì f (x) điểm tới hạn f + cP không phụ thuộc vào c Chúng √ x = (1 − 5), x = 0, ≤ x Trong số này, có x ≥ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho điểm với c ∗ = √ Các điểm tới hạn 12 (1 − 5) không bao hàm Mệnh đề 3.2.8 tập tương ứng gradient {∇gj (x)|gj (x) = P(x), j = 1, 2} phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề 3.2.10 3.2.11 khơng áp dụng g2 hàm khơng lồi Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 21 / 2.2 Hàm phạt không khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Vì f (x) điểm tới hạn f + cP không phụ thuộc vào c Chúng √ x = (1 − 5), x = 0, ≤ x Trong số này, có x ≥ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho điểm với c ∗ = √ Các điểm tới hạn 12 (1 − 5) không bao hàm Mệnh đề 3.2.8 tập tương ứng gradient {∇gj (x)|gj (x) = P(x), j = 1, 2} phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề 3.2.10 3.2.11 khơng áp dụng g2 hàm không lồi Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 21 / 2.2 Hàm phạt không khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Vì f (x) điểm tới hạn f + cP không phụ thuộc vào c Chúng √ x = (1 − 5), x = 0, ≤ x Trong số này, có x ≥ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho điểm với c ∗ = √ Các điểm tới hạn 12 (1 − 5) khơng bao hàm Mệnh đề 3.2.8 tập tương ứng gradient {∇gj (x)|gj (x) = P(x), j = 1, 2} phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề 3.2.10 3.2.11 khơng áp dụng g2 hàm không lồi Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 21 / 2.2 Hàm phạt không khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Vì f (x) điểm tới hạn f + cP không phụ thuộc vào c Chúng √ x = (1 − 5), x = 0, ≤ x Trong số này, có x ≥ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho điểm với c ∗ = √ Các điểm tới hạn 21 (1 − 5) khơng bao hàm Mệnh đề 3.2.8 tập tương ứng gradient {∇gj (x)|gj (x) = P(x), j = 1, 2} phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề 3.2.10 3.2.11 khơng áp dụng g2 hàm không lồi Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 21 / 2.2 Hàm phạt không khả vi cho tốn phi tuyến tính (ICP) Vì f (x) điểm tới hạn f + cP không phụ thuộc vào c Chúng √ x = (1 − 5), x = 0, ≤ x Trong số này, có x ≥ tương ứng cặp K-T (ICP) Mệnh đề 3.2.8 áp dụng cho điểm với c ∗ = √ Các điểm tới hạn 21 (1 − 5) khơng bao hàm Mệnh đề 3.2.8 tập tương ứng gradient {∇gj (x)|gj (x) = P(x), j = 1, 2} phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề 3.2.10 3.2.11 khơng áp dụng g2 hàm không lồi Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 21 / Tài liệu tham khảo [1] David G Luenberger (1973), Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison Wesley Publishing Company [2] Dimitri P Bertsekas (1996), Constrained Optimization and Lagrange multiplier methods, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts [3] Oswaldo González-Gaxiola (2009), “A note on the Derivation of Fréchet and Gâteaux”, Applied Mathematical Science, Vol 3, no 19, 941-947 Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 22 / Lời cảm ơn Xin chân thành cảm ơn TS Phạm Quý Mười, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Việt Nam giúp tơi nghiên cứu Cảm ơn góp ý chân thành người đọc giúp tơi hồn thiện cuối Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 23 / Lời cảm ơn Xin chân thành cảm ơn TS Phạm Quý Mười, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Việt Nam giúp nghiên cứu Cảm ơn góp ý chân thành người đọc giúp tơi hồn thiện cuối Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 23 / Cảm ơn quý Thầy cô lắng nghe Đinh Thị H Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 24 / ... Bài toán tối ưu có điều kiện (CP) 1.2 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình 1.3 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình bất phương trình Phương pháp hàm phạt 2.1 Hàm phạt khả vi cho. .. Thị H n Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 4/ 1.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho phương trình Bài tốn ECP Xét tốn cực trị có điều kiện cho phương trình (bài tốn (ECP)):... Thị H n Luận văn Thạc sĩ khoa học Đà Nẵng, ngày 17 tháng năm 2018 4/ 1.2 Bài tốn tối ưu có điều kiện cho phương trình Bài tốn ECP Xét tốn cực trị có điều kiện cho phương trình (bài tốn (ECP)):