TỐN TỰ HỌC TỐN Th.s NGUYỄN CHÍN EM Tự học Toán Năm học 2019-2020 MỤC LỤC PHẦN I Đại số CHƯƠNG Phép nhân phép chia đa thức Nhân đa thức Lý thuyết B Bài tập Các đẳng thức đáng nhớ 10 Lý thuyết 10 Phân tích đa thức thành nhân tử 25 A Tóm tắt lý thuyết 25 B Phân loại dạng toán phương pháp giải 25 C Bài tập tự luyện 28 Chia đa thức 38 A Tóm tắt lý thuyết 38 B Phân loại dạng toán phương pháp giải 38 C Bài tập tự luyện 39 CHƯƠNG Phân thức đại số A A 3 47 Tính chất phân thức, rút gọn phân thức 47 A Tóm tắt lý thuyết 47 B Ví dụ 47 Các phép tính phân thức 56 A Tóm tắt lí thuyết 56 B Các dạng toán 56 C Bài tập tự luện 58 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 82 A Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 82 B Phương pháp thêm bớt hạng tử 85 C Phương pháp hệ số bất định 86 D Phương pháp xét giá trị riêng 87 E Bài tập 87 Tính chia hết số nguyên 92 A Chứng minh quan hệ chia hết 92 B Tìm số dư 96 C Tìm điều kiện để chia hết 97 D Bài tập 99 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang i/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Tính chia hết đa thức 110 A Tìm dư phép chia mà không thực phép chia 110 B Sơ đồ Hoóc-ne 111 C Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác 114 D Bài tập 116 CHƯƠNG Phương trình bậc ẩn 121 Khái niệm phương trình Phương trình bậc 121 Phương trình tích 127 Phương trình chứa ẩn mẫu thức 136 A Tóm tắt lí thuyết 136 B Các ví dụ 136 C Bài tập tự luyện 138 Giải tốn cách lập phương trình 145 CHƯƠNG Bất phương trình bậc ẩn Liên hệ thứ tự phép cộng, phép nhân 155 A Tóm tắt lí thuyết 155 B Một số ví dụ 155 Bất phương trình bậc ẩn 161 A Tóm tắt lí thuyết 161 B Các dạng toán 161 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối 168 A 155 Tóm tắt lí thuyết 168 Bất phương trình chứa ẩn dấu trị tuyệt đối 173 A Tóm tắt lí thuyết 173 Bất phương trình tích Bất phương trình thương 177 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức 180 A Các tính chất bất đẳng thức 180 B Các bất đẳng thức 181 C Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 181 D Bất đẳng thức với số tự nhiên 186 E Vài điểm ý chứng minh bất đẳng thức 187 D Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình 189 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức 209 A Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức 209 B Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến 210 C Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có quan hệ ràng buộc biến 212 D Các ý tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức 214 E Bài toán cực trị với số tự nhiên 219 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang ii/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 PHẦN II Hình học CHƯƠNG Tứ giác 237 Tứ giác 237 A Tóm tắt lí thuyết 237 B Các dạng toán 237 Hình thang 241 A Tóm tắt lí thuyết 241 B Các dạng toán 241 Dựng hình thước compa 248 A Bài tập 250 Đối xứng trục 257 A Tóm tắt lí thuyết 257 B Các dạng toán 257 C Bài tập tự luyện 259 Hình bình hành 263 A Tóm tắt lí thuyết 263 B Các dạng toán 263 C Bài tập tự luận 264 Đối xứng tâm 269 A Lý thuyết 269 B Bài tập 270 Hình chữ nhật 273 A Lý thuyết 273 B Bài tập 274 Hình thoi 280 A Tóm tắt lí thuyết 280 B Các dạng toán 280 Hình vng 285 A Tóm tắt lí thuyết 285 B Các dạng toán 285 CHƯƠNG Đa giác Diện tích đa giác 235 295 Đa giác 295 A Tóm tắt lí thuyết 295 B Bài tập 295 Diện tích đa giác 300 A Tóm tắt lí thuyết 300 B Bài tập 302 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang iii/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 CHƯƠNG Chuyên đề 321 Tìm tập hợp điểm 321 A Hai tập hợp 321 B Các tập hợp điểm học 321 C Ví dụ 322 D Thứ tự nghiên cứu trình bày lời giải tốn tìm tập hợp điểm 324 E Phân chia trường hợp tốn tìm tập hợp điểm 325 F Bài tập 327 Sử dụng cơng thức diện tích để thiết lập quan hệ độ dài đoạn thẳng 338 A Các ví dụ 338 B Bài tập 339 CHƯƠNG Tam giác đồng dạng 347 Định lý Ta-lét 347 A Lí thuyết 347 B Bài tập 350 Định lý Ta-lét đảo 374 A Tóm tắt lí thuyết 374 B Bài tập tự luyện 375 Tính chất đường phân giác tam giác 381 A Tóm tắt lí thuyết 381 B Bài tập tự luyện 382 Các trường hợp đồng dạng tam giác 386 A Tóm tắt lí thuyết 386 B Các dạng toán 386 Dạng Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh 386 Dạng Trường hợp cạnh - góc - cạnh 387 Dạng Trường hợp góc - góc 389 Dạng Phối hợp trường hợp cạnh - góc - cạnh góc - góc 396 Dạng Dựng hình 399 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG 403 A Các dạng toán 403 Dạng Hai tam giác vuông đồng dạng 403 B Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng 409 C Ứng dụng thực tế tam giác đồng dạng 416 CHƯƠNG Hình lăng trụ đứng Hình chóp Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang iv/477 419 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 Hình hộp chữ nhật 419 A B Tóm tắt lí thuyết 419 Các dạng toán 420 Dạng Hình hộp chữ nhật 420 Dạng Diện tích 421 Dạng Thể tích 426 Dạng Các dạng khác 427 CHƯƠNG Đường thẳng mặt phẳng trongkhơng gian Quan hệ song song Hình lăng trụ đứng 431 A 431 Tóm tắt lí thuyết 431 B Bài tập 432 Hình chóp Hình chóp cụt 434 A Tóm tắt lí thuyết 434 B Bài tập 437 C Tính đại lượng hình học cách lập phương trình 443 Tốn cực trị hình học 450 A Bài toán cực trị 450 B Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị 452 C Các ý giải toán cực trị 455 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang v/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 PHẦN I ĐẠI SỐ Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 1/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Năm học 2019-2020 Trang 2/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 CHƯƠNG PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC BÀI NHÂN ĐA THỨC A LÝ THUYẾT VÍ DỤ Tính giá trị biểu thức A = x4 − 17x3 + 17x2 − 17x + 20 x = 16 ✍ LỜI GIẢI Cách Chú ý x = 16 nên x − 16 = 0, ta biến đổi để biểu thức chứa nhiều biểu thức dạng x − 16 A = x4 − 16x3 − x3 + 16x2 + x2 − 16x − x + 16 + = x3 (x − 16) − x2 (x − 16) + x(x − 16) − (x − 16) + = Cách Trong biểu thức A, ta thay số 17 x + 1, 20 x + A = x4 − x3 (x + 1) + x2 (x + 1) − x(x + 1) + x + = x4 − x − x3 + x3 + x2 − x2 − x + x + = VÍ DỤ Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết cộng ba tích hai ba số ấy, ta 242 ✍ LỜI GIẢI Coi x − 1, x, x + ba số tự nhiên liên tiếp Ta có x(x − 1) + x(x + 1) + (x − 1)(x + 1) = 242 ⇔ 3x2 − = 242 ⇔ x2 = 81 Do x số tự nhiên nên x = Ba số tự nhiên cần tìm 8; 9; 10 B BÀI TẬP Nhân đơn thức với đa thức BÀI Thực phép tính 3xn · (6xn−3 + 1) − 2xn · (9xn−3 − 1) 5n+1 − 4.5n Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 3/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 62 · 64 − 43 · (36 − 1) ✍ LỜI GIẢI 3xn (6xn−3 + 1) − 2xn (9xn−3 − 1) = 18x2n−3 + 3xn − 18x2n−3 + 2xn = 5xn 5n+1 − 4.5n = 5.5n − 4.5n = 5n 62 · 64 − 43 (36 − 1) = (3.2)6 − (22 )3 (36 − 1) = 36 · 26 − 26 · 36 + 26 = 26 BÀI Tìm x, biết 4(18 − 5x) − 12(3x − 7) = 15(2x − 16) − 6(x + 14) 5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 11 5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 182 ✍ LỜI GIẢI 4(18 − 5x) − 12(3x − 7) = 15(2x − 16) − 6(x + 14) 72 − 20x − 36x + 84 = 30x − 240 − 6x − 84 156 − 56x = 24x − 324 156 + 324 = 24x + 56x 80x = 480 x = 5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 15x + 25 − 8x + 12 = 5x + 6x + 36 + 7x + 37 = 11x + 37 4x = x = 2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 11 10x − 16 − 12x + 15 = 12x − 16 + 11 −2x − = 12x − 5 − = 12x + 2x 14x = x = Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 4/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Xét bốn điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc cạnh E A B AB, BC, CD, DA hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P thứ tự trung điểm EH, F H, F G Khi hai tam giác AHE, CF G theo thứ tự vuông A M F C nên EH = 2M A F G = 2CP N Lại có theo tính chất đường trung bình hai tam giác EHF H GF H ta EF = 2M N HG = 2P N Do PEF GH = 2(AM + M N + N P + P C) ≥ 2AC D P C G Dấu xảy ⇔ A, M, N, P, C thẳng hàng theo thứ tự EF AC HG ⇔ HE BD F G hay EF GH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật BÀI 18 Cho điểm E nằm cạnh AB hình chữ nhật ABCD Dựng điểm F, G, H theo thứ tự thuộc cạnh BC, CD, DA cho tứ giác EF GH có chu vi nhỏ ✍ LỜI GIẢI Theo 352 ta rằng: Hình bình hành có cạnh song E A B song với đường chéo hình chữ nhật tứ giác có chu vi nhỏ với đỉnh thứ tự thuộc bốn cạnh hình chữ nhật Do ta có cách dựng sau: Dựng đường thẳng qua E song song với AC cắt BC F H F Dựng đường thẳng qua F song song với BD cắt CD G Dựng đường thẳng qua G song song với AC cắt DA H D C G BÀI 19 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S Tìm diện tích nhỏ tứ giác EF GH có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình chữ nhật AE + CG ≤ AB, AH + CF ≥ AD ✍ LỜI GIẢI Đặt AE = x, CF = y, CG = z, AH = t, AB = a AD = b A x E B Khi đó: x, y, z, t, a, b > x + z ≤ a, y + t ≥ b Ta có t 2SEF GH = 2(SABCD − SAEH − SBEF − SCF G − SDGH ) = 2ab − xt − (a − x)(b − y) − yz − (a − z)(b − t) F H y = −(xt + xy + yz + zt) + a(y + t) + b(z + x) = ab + (a − x − z)(y + t − b) ≥ ab = S x+z =a EG S Do SEF GH = , dấu có ⇔ ⇔ y+t=b HF D z G C AD AB BÀI 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn hình thang có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vng hai cạnh đáy song song với đường chéo hình vng ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 463/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 Xét hình thang EF GH có EH BD F G, hai tam giác A E x B AEH CF G thứ tự vuông cân A C Đặt AE = AH = x CF = CG = y (0 < x, y < a) Ta có 2SEF GH = 2(SABCD − SAEH − SBEF − SCF G − SDGH ) x F H = 2a2 − x2 − (a − x)(a − y) − y − (a − x)(a − y) y = 2a(x + y) − (x + y)2 = a2 − [a − (x + y)]2 ≤ a2 D Vậy max SEF GH = a , dấu “=”có ⇔ x + y = a ⇔ EG AD y C G BÀI 21 Cho hình vng ABCD cạnh cm Điểm E thuộc cạnh AB cho AE = cm, điểm F thuộc cạnh BC cho BF = cm Dựng điểm G, H theo thứ tự thuộc cạnh CD, AD cho EF GH hình thang: có đáy EH, F G có diện tích nhỏ có đáy EF , GH có diện tích lớn ✍ LỜI GIẢI ’ = CGF ’ a) Do EH F G nên AEH Suy AEH CGF , từ AH · CG = AE · CF = A E B Đặt AH = x, CG = y (0 < x, y < 6), ta có xy = x 2SEF GH = 2(SABCD − SAEH − SBEF − SCF G − SDGH ) F = · 36 − 2x − · − 3y − (6 − x)(6 − y) √ = 18 + 4x + 3y ≥ 18 + 4x · 3y = 18 + 12  √   xy = x= Dấu “=”có ⇔ ⇔  4x = 3y y = 2√2 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 464/477 H D G y C ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 b) Do EF ’ = DGH ’ HG nên BEF DH DG Suy BEF DGH, từ = x y Đặt DH = x, DG = y (0 < x, y < 6), ta có = E A B 2SEF GH = 2(SABCD − SAEH − SBEF − SCF G − SDGH ) = · 36 − 2(6 − x) − 12 − 3(6 − y) − xy H F x = 2x + 3y − xy + 30 = − x2 + 6x + 30 Å ã 147 147 =− x− + ≤ 4 x  y   = x = 4 Dấu “=”có ⇔ ⇔   x = y = D y G C BÀI 22 Cho hình chữ nhật ABCD có kích thước a b Tìm diện tích lớn hình chữ nhật EF GH ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (mỗi đỉnh hình chữ nhật ABCD nằm cạnh hình chữ nhật EF GH) ✍ LỜI GIẢI Dễ thấy F AB = HCD GCB = EAD F Gọi độ dài đoạn hình vẽ Khi z A SEF GH = SABCD + 2SEAD + 2SF AB 2 B x = ab + xy + zt x2 + y z + t ≤ ab + + 2 2 a +b = ab + 2 t a G b E y D C H 2 (Do theo định lí Py-ta-go ta có x + y = b z + t = a ) Dấu xảy ⇔ x = y z = t ⇔ EF GH hình vng BÀI 23 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm D, E cạnh AB, AC cho BD+CE = BC DE có độ dài nhỏ ✍ LỜI GIẢI A α D B Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em E O F Trang 465/477 C ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 Trên BC lấy F cho BD = BF , mà BD + CE = BC suy CF = CE Gọi O giao điểm tia phân giác góc B góc C Ta có O OCE = OCF (c.g.c); OBD = OBF (c.g.c) suy OE = OF = OD hay EOD cân ’ = 90◦ + α nên DOE ’ = 360◦ − 90◦ + α = 180◦ − α Đặt A = α ⇒ BOC 2 ’ góc khơng đổi, DO = EO nên DE nhỏ OD nhỏ Xét DOE có DOE ⇔ OF nhỏ ⇔ OF ⊥ BC ⇒ OD ⊥ AB, OE ⊥ AC Vậy D, E hình chiếu O AB, AC BÀI 24 Trong tam giác vng có tổng hai cạnh góc vng khơng đổi, tam giác có chu vi nhỏ nhất? ✍ LỜI GIẢI Để thuận tiện, ta gọi tam giác vuông ABC, gọi b, c cạnh góc vng C tam giác vng ABC, ta có b + c = 2m khơng đổi ⇒ chu vi tam giác vuông ABC nhỏ ⇔ cạnh huyền BC nhỏ ⇔ b2 + c2 nhỏ b Đặt b = m + x c = m − x Khi b2 + c2 = (m + x)2 + (m − x)2 = 2m2 + 2x2 ≥ 2m2 A c B Vậy b2 + c2 nhỏ 2m2 b = c hay tam giác vng cân có chu vi nhỏ BÀI 25 Chứng minh tam giác vng có cạnh huyền khơng đổi, tam giác vng cân có chu vi lớn ✍ LỜI GIẢI Vì cạnh huyền tam giác vng có độ dài khơng đổi nên chu vi tam giác lớn tổng độ dài hai cạnh góc vng lớn Gọi độ dài cạnh huyền a, gọi b, c độ dài hai cạnh góc vng Ta có √ (b + c)2 ≤ 2(b2 + c2 ) ⇒ b + c ≤ a √ Giá trị lớn b + c = a xảy b = c Ä√ ä Vậy chu vi tam giác vuông lớn + a tam giác vng cân BÀI 26 Cho ABC có góc B C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật M N P Q nội tiếp tam giác có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Hình chữ nhật M N P Q vị trí diện tích có giá trị lớn nhất? ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 466/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 A y M N x B Q H P C Đặt N P = x, M N = y Ta có SAM N + SBM N C = SABC ⇒ y(h − x) + x(a + y) = ah a ⇒ hy + ax = ah ⇒ y = (h − x) h a a a·h Gọi diện tích tứ giác M N P Q S Ta có S = xy = x · · (h − x) ≤ (x + h − x)2 = h 4h a·h h Vậy S lớn x = Khi M N đường trung bình ABC BÀI 27 Từ kim loại hình tam giác vng, cắt hình vng theo hai cách: Cách 1: Một góc hình vng trùng với góc vng tam giác, đỉnh đối diện thuộc cạnh huyền tam giác Cách 2: Một cạnh hình vng nằm cạnh huyền tam giác, hai đỉnh thuộc hai cạnh góc vng tam giác Cách cắt cho hình vng có diện tích lớn hơn? ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 467/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 A A D F E D B E C B G F C Gọi b, c độ dài cạnh góc vng, a độ dài cạnh huyền bc (ví dụ 31a) Trong cách cắt thứ ta có cạnh hình vng b+c ah Trong cách cắt thứ hai, cạnh hình vng (ví dụ 41) a+h bc ah Vì b · c = a · h ta chứng minh > b+c a+h BÀI 28 Cho tam giác ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động cạnh AB, AC Gọi H K theo thứ tự hình chiếu D, E BC Tính diện tích lớn tứ giác DEKH ✍ LỜI GIẢI A E D B H K C Ta có SDHKE = (DH + EK) · HK HK = (BH + KC) · 2 Vì (BH + KC) + HK = a khơng đổi nên tích (BH + KC)HK lớn BH + KC = a a a a KH = Khi diện tích lớn DEKH lớn · · HK = 2 2 Có vơ số tứ giác thỏa mãn tính chất BÀI 29 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thuộc miền nằm cạnh tam giác cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị nhỏ ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 468/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 A y z c M b x a B C Đặt BC = a, AC = b, AB = c, khoảng cách từ M đến cạnh theo thứ tự x, y, z đường cao tương ứng với BC h Ta có SM BC + SM AC + SM AB = SABC b c a a ·x+ ·y+ ·z = ·h ⇒ 2 2 ⇒ ax + by + cz = ah Giả sử a ≥ b ≥ c ax + ay + az ≥ ax + by + cz = ah ⇒ x + y + z ≥ h Dấu xảy ay + az = by + cz ⇒ y(a − b) + z(a − c) = ⇔ y = z = a = b, z = a = b = c Nếu y = z = M trùng A, a = b, z = thuộc đáy AB; a = b = c ABC cân C (góc C góc nhỏ nhất) M ABC đều, M Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị nhỏ đường cao ứng với cạnh lớn tam giác M điểm bất kfi nằm bên nằm cạnh tam giác tam giác cân có cạnh bên lớn cạnh đáy M thuộc cạnh đáy Các trường cịn lại, M trùng với đỉnh góc lớn tam giác BÀI 30 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thuộc cạnh BC cho tổng khoảng cách từ M đến AB đến AC có giá trị nhỏ ✍ LỜI GIẢI A c b y x B a M C Đặt AB = c; AC = b; BC = a, gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB = x, khoảng từ M đến cạnh AC y, gọi ; hb ; hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC; AC; AB Nếu a lớn nhất, ta có SM AB +SM AC = SABC ⇒ cx+by = aha ⇒ ax+ay ≥ cx+by = aha ⇒ x+y ≥ Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 469/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Chứng minh tương tự b (hoặc c) lớn suy x + y ≥ hb (hoặc x + y ≥ hc ) Vậy tổng khoảng cách từ M đến AB AC lớn độ dài đường cao tương ướng với cạnh lớn Vậy b = c điểm M cạnh đáy BC Nếu b = c M trùng với đỉnh đối diện với cạnh lớn hai cạnh AB AC BÀI 31 Cho hình thang ABCD Tìm điểm M nằm cạnh hình thang cho tổng khoảng cách từ M đến cạnh hình thang có giá trị nhỏ ✍ LỜI GIẢI O A D t y x M z B C Đặt khoảng cách từ M đến AD; DC; CB; AB x, y, z, t Vì y + z khơng đổi suy khoảng cách từ M đến cạnh hình thang nhỏ y + z nhỏ Gọi O giao điểm hai cạnh bên AB CD Khi tốn quay trở tìm vị trí điểm M nằm rên cạnh AD cho t + y nhỏ Khi có hai khả Nếu ABCD hình thang cân M điểm nằm đáy nhỏ Nếu ABCD khơng hình thang cân M trùng với đỉnh cảu góc lớn hai góc kề đáy nhỏ BÀI 32 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ B C đến d nhỏ ✍ LỜI GIẢI A Trường hợp 1: Nếu d cắt BC Khi đường thẳng d phải dựng đường thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB AC B D B C C Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 470/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 E Trường hợp 2: Nếu d không cắt BC Ta lấy E đối xứng với B qua A, đường thẳng d cắt đoạn CE Trong hai trường hợp, đường thẳng d phải dựng chứa cạnh lớn hai cạnh AC, AB D A B C BÀI 33 Cho hình vng ABCD điểm K nằm bên khơng trùng với tâm hình vng Dựng qua K đường thẳng cho cắt hình vng thành hai phần có hiệu diện tích lớn ✍ LỜI GIẢI D C Khơng tính tổng qt ta giả sử K nằm tam giác AOB Qua K dựng đường thẳng song song với AB cắt BC P , Gọi Q điểm đối xứng B qua P , KQ cắt AB T ta chứng minh diện tích tam giác BQT nhỏ O Q Vậy đường thẳng T Q chia hình vng thành hai phần có hiệu diện tích lớn K A T P B BÀI 34 Cho tam giác ABC cân A Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động cách cạnh AB, CA cho AM = CN Xác định vị trí M, N để M N có giá trị nhỏ Diện tích tam giác AM N có giá trị lớn ✍ LỜI GIẢI A M I P Q N B M N C BC BC Do M N nhỏ 2 khhi M N M N ⇔ M, N trung điểm AB, AC b) Gọi I trung điểm M N Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC Ta ln có SAM N ≤ SAP Q (tương tự ví dụ 59) nên SAM N ≤ SABC Dấu xảy M N đường trung bình P Q a) Vẽ M M N N vng góc với BC Ta có M N ≥ M N = BÀI 35 Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC, gọi E F theo thứ tự hình chiếu M AB AC Chứng minh M chuyển động cạnh BC thì: Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 471/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 Chu vi tứ giác M EAF không đổi Đường thẳng qua M vng góc với EF luôn qua điểm K cố định Tam giác KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC ✍ LỜI GIẢI B K M E G H A a) Vì F ’ = 45◦ ⇒ ABC vuông cân suy ABC Chứng minh tương tự ta C EBM vuông cân ⇒ EB = EM EF C vuông cân suy M F = F C Chu vi hình chữ nhật M EAF 2(AE + AF ) = 2AB b) Gọi K giao điểm HM đường thẳng vng góc với AC C suy CK = CA suy K điểm cố định thỏa mãn đề Thật vậy, kéo dài tia EM cắt CK G, ta chứng minh CG = EA (do tứ giác EGCA hình chữ nhật) Tam giác KGM tam giác EM F suy KG = EM = EB Vậy Ck = EA + EB = AB = AC c) Ta có SKEM = SBEM , SKM F = SCM F ⇒ SKEF = SBEF C Do SKEF nhỏ SKEF lớn AE.AF lớn ⇔ AB = AF (chú ý AE + AF khơng đổi) Khi M trung điểm BC BÀI 36 Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA AD BE CF cho = = = k Với giá trị k diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ AB BC CA ✍ LỜI GIẢI A Dùng SBDC làm trung gian, ta có SBDE = k · SBDC , SBDC = (1 − k)S nên D SBDE = k(k − 1)S Tương tự SADF , SCEF Đặt S1 = S ADE ; S2 = S BDE ; F S3 = S CEF suy S1 + S2 + S3 = 3k(1 − k)S B E C Ta thấy SDEF nhỏ S1 + S2 + S3 lớn k(1 − k) Do k − k có tổng khơng đổi nên tích k(1 − k) lớn k = − k, tức k = Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 472/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 BÀI 37 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Tìm điểm M nằm tam giác cho c a b + + có giá trị nhỏ nhất, x, y, x theo thứ tự khoảng cách từ điểm M đến cạnh x y z BC, AC, AB ✍ LỜI GIẢI A y z c b M x a B C Ta nghĩ đến biểu thức ax + by + cz có giá trị khơng đổi 2S Ta chứng minh bất đẳng thức Å ã a b c (ax + by + cz) + + ≥ (a + b + c)2 x y z a b c (a + b + c)2 suy + + ≥ Dấu xảy x = y = z, tức M giao điểm x y z 2S đường phân giác tam giác BÀI 38 Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120◦ Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng M A + M B + M C có giá trị nhỏ ✍ LỜI GIẢI C A B1 M M1 M B C Ở phía tam giác ABC vẽ tam giác ACC ABB1 Vẽ tam giác AM M AM M1 Ta có AM C = AM C (c-g-c) Khi M A = M M , M C = M C ⇒ BM + M A + M C = BM + M M + M C ≥ BC Vì M thuộc đoạn BC Lập luận tương tự trên, M phải thuộc đoạn thẳng CB1 Như M giao điểm hai đoạn thẳng BC CB1 Chú ý ’ + CAC ’ < 120◦ + 60◦ = 180◦ , BAC ’ + ACC ’ < 120◦ + 60◦ = 180◦ BCA Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 473/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 nên đoạn thẳng BC cắt cạnh AC điểm nằm A C Tương tự, đoạn thẳng CB1 cắt cạnh AB điểm nằm A B Do tồn giao điểm M đoạn thẳng BC , CB1 điểm M nằm bên tam giác ABC BÀI 39 Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M N Chứng minh CM · DN = a2 ÷ KN = 90◦ Gọi K giao điểm N A M B Chứng minh M Các điểm E F có vị trí M N có độ dài nhỏ nhất? ✍ LỜI GIẢI K A B F E N D C M CM CE AF BA = = = ⇒ CM.DN = AB = a2 BA BE FD DN CM AB CM AD b) Theo câu a) ta có = nên = AB DN CB DN ÷ ’ Suy CM ÷ ’ Do CM B DAN đồng dạng (c.g.c) nên CM B = DAN B + DN A = 90◦ ÷ Vậy M KN = 90◦ a) Vì AB MN ⇒ c) M N nhỏ CM + DN nhỏ Các độ dài Cm, DN có tích khơng đổi (câu a)) nên tổng chúng nhỏ CM = DN BÀI 40 Cho tam giác ABC Qua điểm thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh tạo với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí điểm M để hình bình hành có diện tích lớn ✍ LỜI GIẢI A Kí hiệu hình Đặt SABC = S, SDBM = S1 , SEM C = S2 , SADM E = S3 Đặt BM = x, M C = y, BC = a, ta có D x + y = a S3 S1 + S2 Do S3 = S − (S1 + S2 ) nên = 1− Các tam giác DBM , S S EM C, ABC đồng dạng nên S1 x2 S2 y2 = 2; = S a S a Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em E B Trang 474/477 x M y C ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Do Năm học 2019-2020 S3 x2 + y a2 − (x2 + y ) (x + y)2 − (x2 + y ) 2xy =1− = = = 2 S a a a a S3 lớn xy lớn Các số xy có tổng a khơng đổi nên tích chúng lớn chi x = y Khi M trung điểm cạnh BC, diện tích hình bình hành ADM E nửa diện tích tam giác ABC BÀI 41 Cho tam giác ABC Qua điểm O nằm bên tam giác, vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác, chia tam giác thành ba hình bình hành ba tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác ABC 81 cm2 , hai ba tam giác nhỏ có diện tích cm2 16 cm2 Tính diện tích tam giác cịn lại diện tích tam Chứng minh tổng diện tích ba tam giác nhỏ nhỏ lớn giác ABBC Điểm O vị trí xảy dấu bằng? ✍ LỜI GIẢI A I F D B x K O z y E G a) Đặt BC = a; đặt x = DO, y = OE, z = KG; S1 = S C DOF ; S2 = S OIE ; S3 = S OKG , S diện tích tam giác ABC Các tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ABC nên: Å ã2 x x S1 = = = ⇒ = a S 81 a Å ã2 16 4 y y S2 = = = ⇒ = a S 81 a x y z z Chú ý x + y + z = a nên + + = suy = a b c a Do S3 z = = ⇒ S3 = cm2 S a b) Ta có S1 + S2 + S3 x2 + y + z = S a2 ( 1) Vì x + y + z = a suy x2 + y + z + 2(xy + yz + zx) = a2 Mặt khác x2 + y + z ≥ xy + yz + zx nên (x2 + y + z ) ≥ a2 (2) SABC Dấu xảy OD = OE, OF = OG, OI = OK ⇔ O trọng tâm tam giác ABC Từ (1) (2) suy S1 + S2 + S3 ≥ Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 475/477 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 BÀI 42 Cho hình thang ABCD điểm N thuộc cạnh đáy AD Chứng minh điểm M NA MB = phần chung hai tam giác AM D, BN C có diện thuộc cạnh đáy BC cho MC ND tích lớn Cho hình thang ABCD Dựng điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh đáy BC, AD cho phần chung hai tam giác AM D, BN C có diện tích lớn ✍ LỜI GIẢI B M I G M C O E F H K A N D Gọi E giao điểm AM BN , F giao điểm DM CN Trước hết ta thấy EF AD Thật BM MC MF ME = = = ⇒ EF AD EA AN ND FD Gọi M điểm khác M thuộc đáy BC, giả sử M nằm B M Gọi I giao điểm AM BN , gọi K giao điểm DM CN Với điều giả sử trên, I nằm B E, K nằm N F Ta chứng minh SM EN F > SM IN K Muốn cần chứng minh SM OKF > SM OEI (O giao điểm AM DM ) Gọi giao điểm EF với M A M D G H Ta chứng minh GE = HF Thật vậy, EF BC AD nên Do SAGE = SDHF GE AE DF HF = = = ⇒ GE = HF MM AM DM MM suy SM M GE = SM M HF (vì SAM M = SDM M ) ⇒ SM OEG = SM OHF Ta có SM OKF > SM OHF = SM OEG > SM OEI Suy điều phải chứng minh B E A Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em M E N Trang 476/477 M C F F N D ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 Cố định điểm N thuộc cạnh đáy AD, ta dựng M thuộc cạnh đáy BC cho BM AN = BC AD Theo câu a) diện tích tứ giác M EN F lớn Ứng với điểm N thuộc cạnh đáy AD, dựng điểm M thuộc cạnh đáy BC cho BM AN = , ta tứ giác M E N F có diện tích lớn Ta chứng minh SM EN F = BC AD SM E N F Theo câu a) ta có EF AD, E F AD Bây ta chứng minh E , E, F , F thẳng hàng Thật vậy, BE BM BE BM = = ⇒EE = EN AN AN EN AD Vậy E, E , F, F thẳng hàng Ta lại có EF ME ME EF = = = ⇒ EF = E F AD MA MA AD Do SM E F = SM EF SN E F = SN EF ⇒ SM E N F = SM EN F Như điểm M, N phải dựng điểm chia BC AD theo tỉ số Bài tốn có vơ số nghiệm hình Để dựng điểm M, N nói trên, ta ý AB hàng, AB Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em CD M N AB CD P P, M, N thẳng CD Trang 477/477 ȍ GeoGebraPro ... 5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 182 5x − 3[4x − 2(4x − 15x + 6)] = 182 5x − 3[4x − 2(−11x + 6)] = 182 5x − 3[4x + 22x − 12] = 182 5x − 78x + 36 = 182 −73x = 182 − 36 x = −2 BÀI Tính giá trị biểu... phần: A, B + 18, C + 18 Nhóm thứ hai gồm phần: A + 18, B, C + 18 Nhóm thứ ba gồm phần: A + 18, B + 18, C Khối lượng nhóm A + B + C + 36 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 24/477 ȍ GeoGebraPro... − 2x3 + 4x2 + 4x 2x3 − 4x 4x2 ? ?8 − 4x2 +8 Vậy (3x − 2x − 2x + 4x − 8) : (x2 − 2) = 3x2 − 2x + 4 2x3 − 26x − 24 x2 + 4x + − 2x3 − 8x2 − 6x 2x − − 8x2 − 32x − 24 8x2 + 32x + 24 Vậy (2x − 26x −