WWW.TOANMATH.COM Sử dụng phương pháp đánh giá để giải hệ phương trình I Lý thuyết Các bất đẳng thức quan trọng • Bất đẳng thức Cosi Với n số thực không âm a1 , a , a , ., a n ta có a1 + a + a + + a n ≥ n n a1.a a a n Dấu xảy a1 = a = a = = a n • Bất đẳng thức Bunhiacoxky Với sô (a1 ; a ; ;a n ) ( b1 ; b ; ; b n ) ta có: (a12 + a 22 + + a 2n )(b12 + b22 + + b2n ) ≥ (a1b1 + a b2 + + a n bn )2 Dấu xảy • a1 a a = = = n b1 b bn Bất đẳng thức Svacxo a2 a a2 a (a + a + a + + a n ) Với b1 , b2 bn > ta có: + + + n ≥ b1 b2 b3 bn b1 + b + b3 + + b n Dấu xảy khi: a1 a a a = = = = n b1 b b3 bn Các bất đẳng thức phụ cần ghi nhớ - Với a, b > ta có: - Với ab ≥ 1 Dấu xảy a = b + ≥ a b a+b 1 Với ab ≤ bất đẳng thức đổi chiều + ≥ 2 1+ a 1+ b + ab Dấu xảy a = b = II Các Ví dụ tập tự luyện Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học khối A- 2014)  x 12 − y + y (12 − x ) = 12 Giải hệ phương trình sau   x − 8x − = y −  Lời giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 Với số thực a, b ta có: (a − b) ≥ ⇔ a + b2 ≥ ab 2  x 12 − y ≤ x − y + 12  Áp dụng ta được:    12 − x + y  y (12 − x ) = y 12 − x ≤  Nên x 12 − y + y (12 − x x ≥ ) ≤ 12 đó: (1) ⇔ y = 12 − x  ( ) Thay vào (2) ta được: x − 8x −1 = 10 − x ⇔ x − 8x − + 1− 10 − x =  ( x + 3)   = (3) ⇔ ( x − 3)  x + 3x + +   + 10 − x   Do x ≥ ⇒ x + 3x +1 + ( x + 3) + 10 − x > (3) ⇔ x = ⇒ y = ( Thỏa mãn ) Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) = (3;3)  1  + = (1) 2  + 2x + 2xy + 2y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  ( x, y ∈ Z)   x (1− 2x ) + y (1− 2y) = ( 2)  Lời giải  0 ≤ x ≤  Điều kiện:   0 ≤ y ≤  Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxky ta có:     1   ≤  +  (*) +  2   1 + 2x + 2y   + 2x + 2y  Dấu xảy ⇔ + 2x = + 2y ⇔ x = y Ta lại có: 2 ( x − y) ( 2xy −1) 1 + − = ≤0 2 + 2x + 2y + 2xy (1 + 2x )(1 + 2y )(1 + 2xy) ⇒ 1 + ≤ (**) 2 + 2x + 2y + 2xy Dấu xảy x = y Từ (*) (**) ta suy   1 1  + ≤ ⇔ + ≤    + 2xy  + 2x + 2y  + 2xy + 2x + 2y Dấu xảy x = y Khi (1) ⇔ x = y xuống phương trình (2) ta được: x (1− 2x ) + x (1− 2x ) = ± 73 ± 73 ⇔x= ⇒y= 36 36  ± 73 ± 73   ; 36   36 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: ( x; y) =  x − 3x + = y3 + 3y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x − + x − 3x + y + = x − 3y  Lời giải Nhận xét: Nhìn vào phương trình đầu hệ ta có cảm giác sử dụng hàm số đại diện t − 3t cần có điều kiện biến Ở biến muốn tìm điều kiện biến y cần suy từ phương trình khó khan nên phải nghĩ hướng khác Ở phân tích thành nhân tử nên thử theo hướng xem  x ≥ Điều kiện:   x − 3x + y + ≥ Ta có: PT (1) ⇔ x − 3x = ( y + 1) − 3( y + 1) ⇔ x − ( y + 1) = 3( x − y −1) ⇔ ( x − y −1)  x + x ( y + 1) + ( y + 1)  = 3( x − y −1)    y = x −1  y = x −1   ⇔ ⇔  x2  x + + x ( y + 1) + ( y + 1)2 = x + x y + + y + = ( ) ( )   4  y = x −1  ⇔   x   + y + 1 = x +     2 x  x  3 Với x ≥ ⇒ x ≥ mà  + y + 1 ≥ nên x +  + y + 1 ≥      4 x = 2 x =   x ⇔  không thỏa mãn điều kiện Do x +  + y + 1 = ⇔   x    + y + =  y = −2  Với y = x −1 xuống phương trình (2) ta được: x − + x − 3x + x + = x − 3x + x ≥ +  ⇔   x − + ( x −1)( x − 2x −1) = x − 3x + (*)  Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:  x −1  x − ≤ x2 −3  2 ⇒ x − + ( x −1)( x − 2x −1) ≤   x2 − x − 2  ( x −1)( x − 2x −1) ≤  x2 −3 ⇔ x − 6x + ≥ ⇔ ( x − 3) ≥ Mặt khác: x − 3x + ≥ 2 x − =  Khi VP (*) ≥ VT (*) nên (*) ⇔  x − 2x −1 = x −1 ⇔ x = ⇒ y =  x ≥ + Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) = (3; 2)  x + xy + y x + y3  + =2  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  (x, y ∈ Z)   − x + 2x + + xy = Lời giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Ta có bất đẳng thức sau:  x + xy + y ≥ ( x + y)2 ⇔ ( x − y)2 ≥    3 x + y ≥ ( x + y)  Khi ta suy ra: x + xy + y x + y3 2= + ≥x+y⇔ x+y≤2 2 − x ≤ − x  Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:  2.2 2x + ≤ 2x + ⇔ − x + 2x + ≤ Và : xy ≤ ( x + y) ≤ thì: − x + 2x + + xy ≤ x = y  Dấu xảy khi: 2 − x = ⇔ x = y =  2x + = Thử lại vào hệ phương trình thỏa mãn Vậy nghiệm hệ cho là: x = y =  2x −1  + 6y + = 3x + + y + 8y (1)  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  x x  2x + 3y + = 3x + y (2) Lời giải  x ≥ Điều kiện:   y ≥ Ta có: (2) ⇔ 2x − 3x + = −3 ( ) y −1 ≤ Mà 2x − 3x + ≥ ⇔ (2x + 1)( x + 1) ≥ với x ≥ Do đó: 2x − 3x + ≥ −3 ( 2 ) y −1 dấu xảy x = y = Thay lại vào phương trình (1) thỏa mãn Vậy nghiệm hệ là: x = y =  3  x − y + + y − x =  x−y+4 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình   x + 2x −1 = − y − (x, y ∈ Z) Lời giải  y ≥ x  x − y + ≥ Điều kiện:   x ≥   y ≥   y − x = a ⇔ −a = x − y Đặt    a ≥ Biến đổi phương trình (1) − a + 2a = 3 4−a ⇔ − a − a + 2a − a = 3 ⇔ − 3a − a + 2a − a = (*) Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:   − 3a − a ≤ 10 − 4a = − 2a  ⇒ − 3a − a + 2a − a ≤  2 2a − a ≤ 2a + 2   − a = − 3a ⇔ a = ⇒ y − x = ⇔ y = x +1 a = − a  Khi (*) ⇔   Thay xuống phương trình cịn lại ta x + 2x −1 = − x −1 ⇔ x + 2x −1 + x −1 − = Xét hàm số: f ( x ) = x + 2x −1 + x −1 − 1 + > mà f (1) = nên x = nghiệm 2x −1 x −1 Ta có: f '( x ) = 2x + Vậy nghiệm hệ phương trình x = 1, y = Ở Ví dụ thấy sử dụng phương trình hệ để đánh giá Chúng ta xét Ví dụ sau  1 2  + =  4x + y 4y + x 2(x + y)2 + x + y Ví dụ 7: Giải hệ phương trình   x y −1 + y x −1 = x + 4(y −1)  (mathlinks.vn) Lời giải Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 4x + y + 4y + x ≥ (4x + y)(4y2 + x) Suy 2 2(x + y) + x + y ⇔2 ≥ (4x + y)(4y2 + x) (4x + y)(4y2 + x) ≥ ( x + y)2 + x + y ⇔ (4x + y)( 4y + x) ≥  ( x + y) + x + y   2 ⇔ 16x y + 4(x + y ) + xy ≥ ( x + y) + ( x + y) + ( x + y)  1 ⇔ ( x − y)  + x + y + 6xy − 3(x + y) ≤   2 3 1  ⇔ ( x − y) ( x + y) − 3(x + y) + 4xy +  ≤ ⇔ x = y   Bởi với x, y ≥ ta có 1 2 ( x + y) − 3(x + y) + 4xy + ≥ (x + y) − 3(x + y) + + > 4 Thay y = x vào phương trình thứ hai hệ ta được: x + 4(x −1) 2x x −1 = 2 ⇔ x − 4x x −1 + 4(x −1) = ( ) ⇔ x − x −1 = ⇔ x = x −1 ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = (2; 2) x − y = 6(1− xy)  6 Ví dụ 8:Giải hệ phương trình   x + 2(x + y ) = + 2(x + y ) x + xy + y  (mathlinks.vn) Lời giải Điều kiện: xy > Ta có: 2(x + y6 ) 2(x + y )(x − x y + y ) = ≥ 2(x + y ) 2 2 x + xy + y x + xy + y Thật vậy, ta chứng minh x − x y + y ≥ x + xy + y 2 ⇔ 9x − 9x y + 9y ≥ ( x + xy + y ) ⇔ ( x − y) (4x + 7xy + 4y ) ≥ Từ phương trình thứ hai hệ suy − x ≥ 2(x + y ) (1) Từ phương trình đầu hệ sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có x − y = − xy ≥ − 3(x + y) ⇒ 2x + y ≥ (2) Cộng theo vế (1) (2) ta được: x + y ≥ 2(x + y ) ⇔ x = y ⇒ x = y = Vậy nghiệm hệ cho x = y =  2xy x + = x + y (1)  x − 2x + Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ Z)  2xy = y + x ( 2)  y + y − 2y +  Ý tưởng: Đây hệ phương trình đối xứng loại nên nghiệm toán x = y làm theo cách thơng thường khó khăn có xuất bậc Chúng ta thử kết hợp phương trình lại với xem Khi cộng vế lại với 2 vế trái xuất 2xy vế phải xuất x + y đến ta nghĩ tới việc đánh giá tiếp phương trình hình thành Lời giải Với x = ⇒ y = thỏa mãn hệ phương trình Với x, y ≠ Cộng (1) (2) vế theo vế ta được:   1   = x + y + x + y x + y + 2xy  +  x − 2x + y − 2y +    1   = x + y (3) ⇔ 2xy  +  x − 2x + y − 2y +  Suy xy > Mặt khác ta có:  1  = ≤ 2  x − 2x + ( x −1) + 1 ⇒ + ≤1  3  1 x − 2x + y − 2y + = ≤   y − 2y + ( y −1)2 +    1  2 ⇒ 2xy  +  ≤ 2xy ≤ x + y (4)  x − 2x + y − 2y +  Từ (3) (4) suy x = y = Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: ( x; y) = (0; 0) , (1;1)  2x  =y  x +   2y Ví dụ 9: Giải hệ phương trình  = z ( x, y, z ∈ Z)  y +   2z =x   z + Lời giải Ta thấy x = y = z = nghiệm hệ phương trình Nếu x, y, z ≠ x, y, z > nhân vế hệ phương trình ta có: 8x y z = xyz ⇔ ( x + 1)( y + 1)(z + 1) = 8xyz 2 ( x +1)( y +1)(z +1) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: ( x + 1)( y + 1)(z + 1) ≥ x 2 y 2 z = xyz = 8xyz ( x, y, z > 0) x, y, z > ⇔ x = y = z = ( thỏa mãn) 2 x = y = z = Dấu xảy ⇔   Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y; z ) = (0;0;0) , (1;1;1) ( x −1)2 + y = x ( 2x +1)  Ví dụ 10: Giải hệ phương trình   3x − x + = y x + x  Lời giải Điều kiện: x, y > ( x −1)2 + y = x ( 2x +1) ( x −1)2 + y = x ( 2x +1)   ⇔  Ta có: HPT ⇔     2 6x − 2x +1 = 2y x + x 5x + ( x −1) = 2y x + x Mặt khác 2.4x.( 2x + 1) ≤ ⇒ ( x −1) + y ≤ 2x + + 4x + = 2x + 2x + ⇔ 2x − 4x + + 2y ≤ 2x + ⇔ 2x − 6x + + 2y ≤ 2 Lại có theo cosi 5x + ( x −1) = 2y x + x ≤ y + x + x ⇔ 5x − 3x + 1− y2 ≤ Kết hợp lại ta được: 2 (5x − 3x + 1− y ) + 2x − 6x + + 2y ≤ ⇔ ( 2x −1) ≤ ⇔ x = ⇒y= 2 1    2  Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) =  ;   − 8x + 1− 2x = y + x 4xy Ví dụ 11: Giải hệ phương trình  x  4x = 2y + − y Lời giải Điều kiện: y > , từ phương trình đầu ⇒ < x ≤ Phương trình đầu tương đương: 2x (1− 4x ) + x (1− 2x ) = y + 4y Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: y + 1 ≥ y =1 4y 4y Khi ta có: 2x (1− 4x ) + x (1− 2x ) ≥ ⇔ 2x (1− 2x ) ( ) + 2x + 2x ≥ ⇔ 2x (1− 2x ) ≥ + 2x − 2x ⇔ 2x (1− 2x ) ≥ + 4x − 2x (1 + 2x ) ⇔ 4x + 2x − 2x (1 + 2x ) + ≤ ⇔ ( ) 2x (1 + 2x ) −1 ≤ ⇔ 2x (1 + 2x ) =   x = −1 −  ⇔ 2x (1 + 2x ) = ⇔ 4x + 2x −1 = ⇔    x = −1 +  Đối chiếu điều kiện ta có: x = −1 +  −1 +  ;  Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) =     3 2 x + y = xy 2( x + y ) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:   4 x + x −1 = 9( y −1) 2x − Lời giải Điều kiện: x ≥ Từ PT ( 2) ⇒ y ≥1 Thậm chí bạn biết sử dụng BĐT đánh giá PT( ) việc làm điều khơng thời gian Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x + y3 = ( x + y)( x − xy + y ) ≥ xy ( x − xy + y ) Mà x − xy + y ≥ 2 ( x + y) ⇔ ( x − y) ≥ (luôn đúng) Suy x + y ≥ xy 3 ( x + y) 4 = xy (x + y) = xy ≥ xy 2xy ( x + y2 ) = xy 2( x + y2 ) Đẳng thức xảy nên x = y Thay vào PT2 ta được: ( x + y2 + 2xy) ≥ x + x −1 = ( x −1) 2x − Ta có: PT ⇔ 2x + ⇔2 ( ( x −1)( x +1) = 9( x −1) x −1 ) x + + x −1 = ( x −1) x −1 ⇔ x +1 = (9x −11) x −1 ⇔ ( x + 1) = (9x −11) ( x −1) ⇔ x = Vậy HPT cho có nghiệm suy x = y = ***Ngoài cách trên, ta cịn có cách khác để đưa PT( ) x = y , bạn gặp khó khăn (và thực bạn gặp khó khăn) việc chứng minh từ PT( ) , ý tưởng đơn giản mà chất PP Liên hợp gợi ra: ta cần nhân tử ( x − y) , tạo sau:   PT( ) ⇔ x + y3 − xy ( x + y) = xy  ( x + y ) − ( x + y)   2 ( x + y ) − ( x + y) ( x − y) xy ⇔ ( x − y) ( x + y) = xy ⇔ ( x − y ) ( x + y) = 2( x + y ) + ( x + y) ( x + y ) + ( x + y) 2     xy =0 ⇔ ( x − y) ( x + y) − 2  2( x + y ) + ( x + y)   xy Do ( x + y) ≥ 4xy > xy (vì x, y ≥ ) ⇒ x + y − ( x + y ) + ( x + y) >0 Nên x = y   ( x + 1) − 8x = 2y −1 − 2(1) Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:   ( 2)  y + = −9x + 3x + Lời giải   y ≥ Điều kiện:   −9x + 3x + ≥ 2 Từ ( ) ta có: VP (1) ≤ 2y −1 + 1− = 2y − ≤ y + 1− = y −1 mà y −1 = −9x + 3x +1 − ≤−9x + 3x +1 ++1− = −9x + 3x (từ (2) ) ⇒ (x + 1) − 8x ≤ −9x + 3x ⇔ ( x +1) ≤ −x + 3x −x + 3x ≥ (*)  ⇔  ( x + 1)3 ≤ (−x + 3x)2 (**)  (**) ⇔ x + 3x + 3x +1 ≤ x − 6x + 9x ⇔ 9x − 6x +1 ≤ 2 ⇔ (3x −1) ≤ ⇔ (3x −1) = ⇔ 3x −1 = ⇔ x = ± thỏa mãn Khi đó: y = 1( t / m)   ;1 Vậy HPT có nghiệm: ( x; y) = ±   Kết hợp (*) thấy x = ±  4x − 2y + + 6y − 2x + = Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:   (1) ( 2)  x + y − 2x − 4y + = Lời giải 4x − 2y + ≥ 6y − 2x + ≥ 2  4x − 2y + = ( x + 1) + (3 − y) Từ (2) ta có:  6y − 2x + = ( − x )2 + ( y + 1)2  Điều kiện:   thay vào ( ) ta được: 2 2 ( x +1) + (3 − y) + (2 − x ) + ( y +1) = 5(*) Đặt u = ( x + 1;3 − y) v = ( − x; y + 1) ta có: u + v = (3;4) Sử dụng BĐT u + v ≥ u + v ta được: 2 2 ( x +1) + (3 − y) + (2 − x ) + ( y +1) ≥ 32 + 42 ⇒ VT (*) ≥ VP (*) nên (*) xảy u = kv (k > 0) ⇔ x +1 − y − 4x = ⇔ 4x + 3y = ⇔ y = − x y +1  − 4x   − 4x  Thay vào (2) ta có: x +  − 2x −    +1 =        x = 3 −1  ⇔ 25x + 10x − 26 = ⇔   3 + x = −  3 −1 29 −12 ⇒y= (t/m ĐK) 15 3 +1 21 + 12 ⇒y= (t/m ĐK) ** Với x = − 15  3 −1 29 −12   3 +1 21 + 12  ;−  ; ; Vậy HPT có nghiệm ( x; y) =      15 15 ** Với x = (1)  x − x + = −y + 5y − Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:  ( 2)  −x + y + = −2y + 8y − Lời giải −y + 5y − ≥ Điều kiện:   −2y + 8y − ≥ Một dạng hệ đáng lưu ý: (*) Từ ( ) ta có: x − x + = −y + 5y − ≤ −y + 5y − + ⇒ x + y − x − 5y + ≤ −2y + 8y − + = −y + 4y Từ ta có: −x + y + = −2y + 8y − ≤ (**) ⇒ y − x − 3y + ≤ ( 2) (*) Cộng vế theo vế BĐT (**) ta được: x = 2 x + 2y − 2x − 8y + ≤ ⇔ ( x −1) + 2( y − 2) ≤ ⇔   y = Thử lại: t/m Vậy HPT có nghiệm ( x; y) = (1;2) ***Một HPT đánh giá khó có loại, loại dựa vào quan hệ tương đối giá trị biến, tức bạn phải dựa cào giá trị đặc biệt biến hệ để đánh giá, dạng thứ hệ chế tác từ BĐT, chúng thường dễ phân biệt khó chứng minh, tốn chế tác uyển chuyển, khó đốn, để minh họa, tơi xin lấy vd:   b (3 − a − b) − a b Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:    2 a + b + a = 3b ( )( ) b − a + (3 − a ) a = Lời giải Một toán sử dụng PP đánh giá đặc sắc: Điều kiện: a ≥ 0; b ≥ Ta làm việc với PT( ) Nhận thấy dấu hiệu đặc biệt: b (3 − a − b) (3 − a ) a Nên bung PT ghép để có (3 − a − b) a đặc lượng − a − b , đó, tốn thực bắt đầu Đặt a = x, Biến đổi PT b=y (1) ( ) ⇔ y − x − y − xy ( y − x ) + (3 − x ) x = ⇔ x y + y − x − y + (3 − x − y ) x − xy − x − y Đặt − a − b = z ⇒ x y + y z + z x − xyz = với x + y2 + z = 2 2 2 Ta chứng minh: P = x y + y z + z x − xyz ≤ với x, y, z ≥ x + y + z = Thật vậy: Thật vậy: Giả sử x ≥ y ≥ z Ta có: z ( x − y)( y − z) ≥ ⇔ yz ≥ y z + z x − xyz ⇒ P ≤ y (z + x ) = y (3 − y ) = y (3 − y ) = y − y2 − y2 ≤ 2 ≤2  − y − y   +  y +  2  27 =2 Đẳng thức xảy x = y = z = ⇒ a = b = Vậy HPT có nghiệm a = b =  x y x + y +  y + + x = y + + + x + Ví dụ 17: Giải Hệ phương trình:   x + x − y = Lời giải Điều kiện: x, y ≥ Ta chứng minh kết tổng quát, kết thường sử dụng vào chế tác HPT với phương thức đánh giá, sau xin giới thiệu cách nhanh, đơn giản: x y z x+k y+k z+k + + ≥ + + y z x y+k z+k x +k Sử dụng phương pháp S – S: Không tính tổng quát, giả sử z = {x, y,z} ( x − y) ( x − z)( y − z) x y z Ta có: + + − = + y z x xy zx Và ( x − y) ( x − z)( y − z) x+k y+k z+k + + −3 = + y+k z+k x+k (x + k )( y + k ) ( x + k )(z + k ) BĐT cần chứng minh 1 1  x − y + −  x − z y − z ≥ ⇔  − ( ) )( )   zx ( x + k )(z + k )(  xy ( x + k )( y + k )   Theo giả thiết ta có ( x − z)( y − z) ≥ Ta có: 1 1 − ≥ − ≥ ∀k ≥ xy ( x + k )( y + k ) zx ( x + k )(z + k ) Từ BĐT chứng minh! Áp dụng trực tiếp vào toán suy x = y = Vậy HPT có nghiệm x = y =   ( x + 1) − 8x = 2y −1 − Ví dụ 18: Giải hệ PT:    y + = −9x + 3x + Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2(1 + ( 2y −1) ) (x + 1) − 8x = 2.1 2y −1 − ≤ − = 2y − 2 3 ⇔ (x + 1)3 − 8x − 2y + ≤ 0( ) y + = 2.1 −9x + 3x + ≤ 2(1 + ( −9x + 3x +1) ) = −9x + 3x + 2 ⇔ 9x − 3x + y2 −1 ≤ (2) ⇔ x − 3x + (x + 1)3 + y − 2y + ≤ 0( ) Xét f ( x ) = x − 3x + (x + 1)3 có f '( x ) = 3x − + x + 1.2x =  x = (nhân)  2 2 2 ⇔ (x −1) = x (x + 1) ⇔ −2x + = x ⇔   x = − (loai)  1 (3) ⇒ f (x) ≥ f   = ⇔ VT ≥     ;1 Vậy HPT có nghiệm ( x; y) =    Lấy (1) cộng (2):  y + (4x −1) = 4x(8x + 1)  40x + x = y 14x −1 Ví dụ 19: Giải hệ phương trình :   Lời giải Điều kiện : x ≥ 14  y + 16x − 8x + = 4x(8x + 1)  HPT cho viết lại thành:   80x + 2x = 2y 14x −1 Cộng vế theo vế hai phương trình ta : (y2 − 2y 14x −1 +14x −1) + 96x − 20x + = 4x(8x +1) ⇔ (y − 14x −1) + 96x − 20x + = 4x(8x +1) 1 Ta có : VT( ) ≥ 96x − 20x + = 3(8x −1) + 8x + 1 ≥ (8x + 1)  2 = (16x + 8x + + 2) ≥ 16x(8x + 1).2 = 4x(8x + 1) = VP (1) 1 Đẳng thức xảy     ( x; y) =  ; (1)  4x = 4y + − 2y  Ví dụ 20: Giải hệ phương trình   y  − 8x + 1− 2x = + x 4xy  x Lời giải − 8x ≥ x 2y + (1) ⇒x>0 Ta có: PT ⇔ 4x = 4y + + 2y Điều kiện: y ≥ 0; x ≠ 0; x ≤ ; Áp dụng BĐT Cauchy ta có: VT ( 2) = 1  2 − 8x + 1− 2x = − 8x + 2x  −1 ≤  2x  x x  1  1 2 y y 1 ≤ 4 +  − 8x  + 2x +  −1 = mà VP(2) = + ≥2 =  2x  x    x x 4xy x 4xy x ⇒ VT ≥ VP −1 + ⇒y=  −1 +  ;  Vậy HPT có nghiệm ( x; y) =    Đẳng thức xảy x = Ví dụ 21: Giải HPT:  2 x 8y − + y 8x − = 24( x + y + 4)   2 11x − 6xy + 3y = 12 − x − Lời giải Biến đổi PT2 ta được: PT(2) ⇔ (3x − y − 2) + 2( x + y ) = ⇒ 2( x + y ) ≤ ⇒ x + y ≤ 2(*) Suy ≥ x + y ≥ ( x + y) ⇒ x + y ≤ 2 Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có: x 8y − + y 8x − ≤ (x + y2 )(8y − + 8x − 5) ≤ 6(x + y2 ) (vì x + y ≤ ) (1) 2 2 2 2 Từ PT ⇒ 24( x + y + 4) ≤ 6( x + y ) ⇔ 24( x + y + 4) ≤ 36( x + y ) ⇔ ( x + y − 2) 3( x + y ) + 4 ≥ ⇔ x + y ≥ Kết hợp   Dấu xảy ⇔ x = y = (*) ⇒ x + y2 = (1)   x ( x − 3) + ( x + 1)( y −1) = 3x − Ví dụ 22: Giải hệ phương trình:    x + x + + y − y + = x − xy + y ( )  Lời giải Điều kiện: x ≥ Đây toán chào mừng ngày 20 – 11 trường THPT chuyên Hà Tĩnh, nhìn vào dạng phương trình (2) ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Véc-tơ Đó kĩ thuật mặt phản xạ: Cách 1: Áp dụng BĐT Véc-tơ ta có: 2 2  1   3 1  3 x + x + + y − y + =  x +  +   +  − y +   ≥ (1 + x − y) +     2       2 2 Từ PT (2) ⇒ x − xy + y ≥ (1 + x − y) + ⇔ x − xy + y ≥ x + y + + 2x − 2y − 2xy ⇔ xy − 2x + 2y − ≥ ⇔ ( x + 1)( y − 2) ≥ Mà x ≥ ⇒ y ≥ Khi đó: VT (1) ≥ x + 1 ( 3x + 1) + + 1 ≥ 3 (3x + 1).1.1 = 3x + 3 Suy VT (1) ≥ x + ≥ 3x + > 3x − = VP (1) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x + = Suy PTVN Cách 2: Tôi tiến hành đánh giá nghiệm HPT trên, phương án tối ưu cho hệ dạng “nửa ” Từ PT(2) ⇒ ( x + x + 1) + ( y − y + 1) + x + x + y − y + = x − xy + y ⇒ x − y + xy + + x + x + y − y + = ⇒ x − y + xy + ≤ ⇒ ( x −1)( y +1) < (1) Mà x ≥ ⇒ x −1 > ⇒ y +1 < ⇒ y < ⇒ ( x +1)( y −1) < Cũng từ PT(2) ⇒ ⇔ ⇔ ( ) ( ) y − y + + y = x − xy + y − ( x − y) x + x +1 − x + ( x + x + 1) − x ( y − y +1) − y (x − xy + y2 ) −(x − 2xy + y ) x + x +1 + x x +1 x + x +1 + x + + y2 − y +1 + y 1− y y − y +1 + y = = x − xy + y + ( x − y) xy x − xy + y + ( x − y) Do x > y < ⇒ y − y + > y = y ≥ y ⇒ y − y + + y > dễ thấy: x + x + + x > 0; x − xy + y2 + ( x − y) > 0; xy < (2) Từ suy ( x +1)(1− y) < Từ (1) (2) suy PTVN! Tuy nhiên đánh giá kết (2) ý nghĩ trực quan lúc đánh giá nghiệm, trơng cồng kềnh tự nhiên Nếu kết hợp với kết từ sử dụng BĐT Véc-tơ cho đánh giá đẹp hơn: y ≥ y < Đó mấu chốt tốn! Nhận tiện đây, với dạng PT PT2 ta cịn có hướng đi, triệt để nhiều ko cần thiết ko nên dùng đến: 6 ( x −1) − (2x − 3) 2y = 2y x −1  Ví dụ 23: Giải Hệ phương trình:    x − x + + y − y + = x + xy + y  Lời giải Bình thường sử dụng BĐT véc-tơ để đánh giá qua nghiệm, nghiệm ( x; y) = (2;2) , từ suy ( x − 2)( y − 2) ≤ Vì cố gắng đánh giá ( x − 2)( y − 2) ≥ qua PT1, đặt lại ẩn cho x −1 2y cho đẹp chẳng hạn Tuy nhiên PT1 suy y ≥ tồn nghiệm x < nên ko thể đánh giá qua nghiệm Khi sử dụng kết sau, mạnh cần: Điều kiện: x ≥ (*) Ta có: PT2 ⇔ x − x + y − y + = xy + x + y − xy = a Đặt   x + y = b ( xy + x + y − ≥ 0) ta được: 2 PT ( ) ⇔ a + b − 2a − ab + a − b +1 = a + b − * 2 ⇔ 4(a + b − ab − a − b +1) = (a + b − 2) ⇔ 3(a − b) = ⇔ a = b ⇔ xy = x + y Dễ thấy x = nghiệm hệ! Xét x ≠ : Từ ta có: y = Thay vào PT1 ta được: ( x −1) − (2x − 3) 2x 2x x −1 = x −1 x −1 ( PT ⇔ ( x −1) x −1 − (2x − 3) 2x = 2x ⇔ ( x −1) ⇔ ( x −1) x x −1 ) ( x −1 −1 = (2x − 3)  6( x −1) 2( x − 2) (2x − 3) x−2  = = (2x − 3) ⇔ ( x − 2) − x −1 + 2x + 2x +   x −1 + Ta có: x ≥ nên < x −1 +1 < 2x + ( x −1) > (2x − 3) ( x −1) ≥ Nên 6( x −1) x −1 + > (2x − 3) 2x + Từ x = ⇒ y = ∀x ≥ ) 2x − Vậy HPT cho có nghiệm ( x; y) = (2;2)   x + y −1 + x − y = Ví dụ 24: Giải hệ PT:   ( x − y + 1)( x − 2y + 1) y =  Lời giải Điều kiện: x ≥ y ≥ Đặt x = a; y −1 = b; x − y = c , HPT cho trở thành:  a, b, c ≥  a + b + c =   a − b b − c c − a = (*) )( )( )  ( Giả sử c = min{a,b,c} Khi ta có: a + b = − c ≤ Đặt P = (a − b )(b − c )(c − a ) , ta chứng minh P ≤ Thật vậy: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 2 2 P = (a − b ) (b − c ) (c − a ) ≤ a b (a − b ) (a + b) ≤ 5a b (a − b) ≤ 5  4.ab + (a − b)2   (a + b)2      ≤   ≤ 5  ≤ ⇒ P ≤      +1 −1  ; ;0 Thử lại thấy không t/m Dấu “=” xảy nên (a;b;c) =    Vậy HPT Vô nghiệm Bài tập bổ sung: a + b = 24  Giải hệ phương trình   (x ∈ Z)     = +  a + b   a + 3b 3a + b   ( )  x + 32 − x − y = −3  Giải hệ phương trình  ( x ∈ Z)  x + 32 − x + 6y = 24  y = −x + 3x + Giải hệ phương trình  ( x ∈ Z)  x = 2y − 6y −   − xy ( xy + 2) = x + x y3 +  Giải hệ phương trình  (x ∈ Z)  2 3 − x + y + ( xy + 2) = y + x y +  x ( x − 3)3 = + y3 + 3y  Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ Z)  3 x − = y + 8y  x + xy = 3y − y xy  Giải hệ phương trình  ( x ∈ Z)  (2 − x ) y2  + =1 1+ y 1 + − x Giải hệ phương trình  2x + 4y  3  =  − ( x + y) −1  y x   xy ( x, y ∈ Z)   x + 1)2 + xy + 3x + 2y + − 2x x ( y + 3) = x + y +  (  2 x 8y − + y 8x − = 24 ( x + y + 4) Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ Z) khó)  2 11x − 6xy + 3y = 12x − 4y