CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y = f ( x ) , gọi đồ thị hàm số ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) M ( xo ; yo )  Phương pháp o Bước Tính y′ = f ′ ( x ) suy hệ số góc phương trình tiếp tuyến k = y′ ( x0 ) o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng y= − y0 f / ( x0 )( x − x0 )  Chú ý: o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0 = f ( x0 ) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị ( C ) : y = f ( x ) đường thẳng d : = y ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d ( C )  Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : = y ax + b o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y′ ( x0 ) Nhập  SHIFT ∫   d ( f ( x ) ) x = x0 dx cách nhấn  sau nhấn = ta a o Bước 2: Sau nhân với − X tiếp tục nhấn phím + f ( x) CALC X = xo nhấn phím = ta b  Ví dụ minh họa y x3 + x Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M (1; ) Ví dụ Cho hàm số ( C )  : = A y = −9 x + B = y x + C y = D = −9 x − y x − Hướng dẫn giải ′ Ta có = y ' 3x + x ⇒ = k y (1= ) Phương trình tiếp tuyến M (1; ) d : y = y′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 = ( x − 1) + = x − Chọn đáp án D  Sử dụng máy tính: d X + 3X ) o Nhập ( x =1 dx ( o Sau nhân với − X nhấn dấu = ta ) nhấn dấu + X + X CALC X = = ta −5 Vậy phương trình tiếp tuyến M = y 9x − −2 x + x − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M thuộc ( C ) Ví dụ Cho hàm số y = có hồnh độ A y = B y = −18 x + 49 −18 x − 49 C.= D.= y 18 x + 49 y 18 x − 49 Hướng dẫn giải Ta có y′ = −6 x + 12 x Với x0 =3 ⇒ y0 =−5 ⇒ M ( 3; −5 ) hệ số góc k = y′ ( 3) = −18 Vậy phương trình tiếp tuyến M y =−18 ( x − 3) − =−18 x + 49 Chọn đáp án A Trang 1/25  Sử dụng máy tính: d o Nhập ( −2 X + X − 5) x = dx nhấn dấu = ta −18 ( − X ) nhấn dấu + o Sau nhân với −2 X + X − CALC X = nhấn dấu = ta −18 x + 49 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M y = Ví dụ Cho hàm số ( C )= :  y độ x0 > 0, biết y′′ ( x0 ) = −1 A y = −3 x − x − x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hồnh B y = −3 x + C y = −3 x + Hướng dẫn giải D y = −3 x + Ta có  y=′ x3 − x , =  y′′ x − Mà y′′ ( x0 ) = −1  ⇒ x0 − =−1  ⇔ x0 =  ⇔ x0 = (vì x0 > ) Vậy y0 = − , suy k = y′ (1) = −3 Vậy phương trình tiếp tuyến M d:y= −3 ( x − 1) − ⇒ y = −3 x + ⋅ Chọn đáp án C 4  Sử dụng máy tính: o Nhập d 1 2  X − 2X  dx  x ( o Sau nhân với − X nhấn dấu = ta −3 =1 ) nhấn dấu + X − 2X CALC X = = ta Vậy phương trình tiếp tuyến d : y =−3 x + ⋅ Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k cho trước  Phương pháp o Bước Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính y′ = f ′ ( x ) o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( x0 ) Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y= − y0 f ′ ( x0 )( x − x0 )  Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // ∆ : y = ax + b ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y= ax + b, ( a ≠ ) ⇔ hệ số góc tiếp tuyến k =− ⋅ a • Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc α hệ số góc tiếp tuyến d k = ± tan α  Sử dụng máy tính: Nhập k ( − X ) + f ( x ) CALC X = x0 nhấn dấu = ta b Phương trình tiếp tuyến d:= y kx + b Trang 2/25  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x3 − x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến là: y x − 14 = A  y x + 18 = y x + 15 = B  y x − 11 = y 9x −1 y 9x + = = C  D  y 9x + y 9x + = = Hướng dẫn giải ′ ( x0 ) ⇔ x0 − = Ta có = y′ x − Vậy x0 =∨ x0 = −2 ⇔ x0 =⇔ = k y= + Với x0 =2 ⇒ y0 =4 ta có tiếp điểm M ( 2; ) Phương trình tiếp tuyến M y = ( x − ) + ⇒ y = x − 14 + Với x0 =−2 ⇒ y0 =0 ta có tiếp điểm N ( −2;0 ) Phương trình tiếp tuyến N y = ( x + ) + ⇒ y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm = y x − 14 = y x + 18 Chọn đáp án A  Sử dụng máy tính: + Với x0 = ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = nhấn dấu = ta −14  ⇒ y = x − 14 + Với x0 = −2 ta nhập ( − X ) + X − X + CALC −2 nhấn dấu X= = ta 18 ⇒ y = x + 18 2x +1 ⋅ Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song x+2 song với đường thẳng có phương trình ∆ : x − y + = A = B = C = D = y x + 14 y x − y x + y x − Ví dụ Cho hàm số ( C= ): y Ta có y ' = ( x + )2 Hướng dẫn giải , ∆ : 3x − y + = ⇒ y = x + Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆  x0 + =  x0 =−1 nên k = =⇔ + =⇔ ⇔ x ( )  + =−   x0 =−3 ( x0 + )  x0 2X +1 + Với x0 = −1 nhập ( − X ) + CALC X = −1 nhấn dấu = ta 2, suy X +2 d := y x + (loại trùng với ∆ ) + Với x0 = −3 CALC x + 14 X = −3 nhấn dấu = ta 14 ⇒ d : y = y x + 14 Chọn đáp án B Vậy phương trình tiếp tuyến d : = Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A )  Phương pháp  Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A ( x A ; y A ) hệ số góc k có dạng d : y = k ( x − x A ) + y A (∗) o Bước 2: d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm:  f ( x ) = k ( x − x A ) + y A   f ′ ( x ) = k o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình (∗) , ta tiếp tuyến cần tìm Trang 3/25  Cách ′ ( x0 ) f ′ ( x0 ) o Bước Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến = k y= theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: = d : y y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 (∗∗) Do điểm = y A y′ ( x0 ) ( x A − x0 ) + y0 giải phương trình ta tìm x0 A ( x A ; y A ) ∈ d nên o Bước Thế x0 vào (∗∗) ta tiếp tuyến cần tìm  Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f ( x ) kết đáp án Vào MODE → → nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = −4 x + x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −1; ) −9 x − y = A  y = y 4x + = B   y= x +  y= x − C  y 3x − = Hướng dẫn giải  y =− x − D  y 2x − = Ta có y ' = −12 x + + Tiếp tuyến ( C ) qua A ( −1; ) với hệ số góc k có phương trình d : y= k ( x + 1) + + d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm: −4 x + x + = k ( x + 1) +        (1)  = k                   ( ) −12 x + 3           Thay k từ ( ) vào (1) ta −4 x3 + x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) +  x = −1 1  ⇔ x + 12 x − = ⇔  x −  ( x + 1) = ⇔  x = 2   + Với x =−1 ⇒ k =−9 Phương trình tiếp tuyến y = −9 x − + Với x = ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến y = Chọn đáp án A Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số ( C2 ) : y = g ( x ) ( C1 ) : y = f ( x )  Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hoành độ tiếp điểm d ( C1 ) phương trình d có dạng = y f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) (***) o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d ( C2 ) , tìm x0 o Bước Thế x0 vào (***) ta tiếp tuyến cần tìm  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai hàm số: ( C1= ): y y g ( x= f= ) ( x ) x , ( x > ) ( C2 ) : = Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là: − x2 , ( −2 ) 2 −1 điểm thuộc ( x + 1) ( C ) , biết tiếp tuyến ( C ) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 bao nhiêu? 7 5 A − B C D − 2 2 Câu 48 Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) , m tham số thực Kí hiệu ( Cm ) đồ thị hàm số (1); d 3  tiếp tuyến ( Cm ) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B  ; 1 4  đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất? A m = −1 B m = C m = D m = −2 2x + Câu 49 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) x +1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x + y − = A B C D 2x −1 Câu 50 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Tìm điểm x −1 M thuộc ( C ) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến ( C ) M vng góc với đường thẳng MI ?  7 A M  4;   3  5 B M  3;  C M ( 2; 3) D M ( 5; 3)  2 −x + Câu 51 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : y= x + m Với m ta ln có d 2x − cắt ( C ) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn A m = −1 B m = −2 C m = D m = −5 x+2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) , biết tiếp tuyến 2x + cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O B y = − x C y =− x + D y =− x + A y =− x − Câu 52 Cho hàm số y = Trang 12/25 2x −1 có đồ thị ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) cho tiếp x −1 tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB Câu 53 Cho hàm số y = 5  − x+ = − x+ y=  4 4 B  13 13 y = − x+ = − x+  4 5  − x+ = − x+ y=  4 D  13 13  − x+ = − x+ y=  4 x Câu 54 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi ∆ tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (với x0 > ) x −1 thuộc đồ thị ( C ) Để khoảng cách từ tâm đối xứng I đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến ∆ lớn  y A  y   y C  y  tung độ điểm M gần giá trị nhất? 7π 3π 5π π A B C D 2 2 2x −1 Câu 55 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I ( −1; ) đến tiếp tuyến ( C ) x +1 M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai, gần giá trị nhất? A 3e B 2e C e D 4e 2x − Câu 56 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến M ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) x−2  A , B cho AB ngắn Khi đó, độ dài lớn vectơ OM gần giá trị ? A B C D x−2 Câu 57 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? A B C D 2x +1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến ∆ x −1 ( C ) cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách Câu 58 Cho hàm số y = lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến ∆ gần giá trị nhất? A B C D 2x −1 Câu 59 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp tuyến x−2 ∆ ( C ) M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến ∆ ( C ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng nào? A ( 27; 28 ) B ( 28; 29 ) C ( 26; 27 ) D ( 29; 30 ) C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D C A A A A B C D B D B A C C C D D B Trang 13/25 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D C C A B D B B D B A B A D C B A C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn B Tính y ' =3 x − x ⇒ y ' ( 3) =9 ⇒ phương trình tiếp tuyến = y x − 26 Câu Chọn D Tính y ' =4 x3 − x ⇒ y ' (1) =−4 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −4 x + Câu Chọn C Tính y ' = Câu Câu ( x + 1) ⇒ y ' ( −2 ) = ⇒ phương trình tiếp tuyến = y 2x + Chọn A Tính y0 = y (2) = −4 y ' =−3 x + ⇒ y ' ( ) =−9 Vậy phương trình tiếp tuyến y= −9 x + 14 Chọn A Tính y0 =y (−3) = −9 y ' = −4 x3 + 16 x ⇒ y ' ( −3) = 60 Vậy phương trình tiếp tuyến = y 60 x + 171 Câu Chọn A −1 Tính= −1 Vậy phương trình tiếp tuyến y =− x + y0 y= (2) y ' = ⇒ y ' ( ) = ( x − 1) Câu Câu Chọn A Giải phương trình x03 + x02 =5 ⇔ x0 =1 , y ' = x + x ⇒ y ' (1) = 12 Vậy phương trình y 12 x − tiếp tuyến là= Chọn B Giải phương trình  x0 = y ' x3 + x , suy Đồng thời = x04 + x02 − = 21 ⇔  x = −   y ' ( ) = 40 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là= y 40 x − 59 y = −40 x − 101  −40  y ' ( −2 ) = Câu Chọn C Giải phương trình x0 + =1 ⇔ x0 =3 y=' x0 − −5 ( x − 1) ⇒ y ' ( 3= ) −1 Phương trình tiếp tuyến y = − x+ 5 Câu 10 Chọn D Giải phương trình y ' ( x0 ) =−3 ⇔ x02 − x0 + =0 ⇔ x0 =1 Đồng thời y (1) = −4 nên phương −3 x − trình tiếp tuyến y = Câu 11 Chọn B Giải phương trình y ' ( x0 ) = −48 ⇔ − x03 + x0 + 48 = ⇔ x0 = Đồng thời y ( ) = −32 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −48 x + 160 Câu 12 Chọn D Giải phương trình Trang 14/25 ⇒ y (0) = ⇒ pttt : y =+ 4x  x0 = = y ' ( x0 ) = 4⇔ 4⇔ (1 − x0 )  x0 =2 ⇒ y ( ) =−5 ⇒ pttt : y =4 x − 13 Câu 13 Chọn B Giải phương trình ⇒ y (1) = ⇒ pttt : y = x (trùng)  x0 =  y ' ( x0 ) = ⇔ −3 x + x0 − = ⇔  1 x0 = ⇒ y   =⇒ pttt : y = x−  27   27 Câu 14 Chọn A Giải phương trình y ' ( x0 ) = −36 ⇔ x03 + x0 + 36 =⇔ x0 = −2 Đồng thời y ( −2 ) = 18 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −36 x − 54 Câu 15 Chọn C Giải phương trình  − x + ( trùng ) ⇒ y ( 5) = ⇒ pttt : y =  x0 = −7 −1 7 − ⇔ = ⇔ y ' ( x0 ) = ( x0 + )  x =−9 ⇒ y ( −9 ) =−2 ⇒ pttt : y =− x − 23  7 Câu 16 Chọn C Giải phương trình ⇒ y (2) = ⇒ pttt : y = 21x − 33 x = y ' ( x0= ) 21 ⇔   x0 =−2 ⇒ y ( −2 ) =−11 ⇒ pttt : y =21x + 31 Câu 17 Chọn C Giải phương trình y ' ( x0 ) =−8 ⇔ x0 =1 Đồng thời y (1) = nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −8 x + Câu 18 Chọn D 1  x0 = ⇒ y ( 4) = ⇒ pttt : y =x +  Giải phương trình y ' ( x0 )= ⇔  x =−8 ⇒ y ( −8 ) =3 ⇒ pttt : y =1 x + 13  Câu 19 Chọn D ⇒ pttt : y =0  x =0 ⇒ y '(0) =0  Giải phương trình x − x =0 ⇔ x =2 ⇒ y '(2) =16 ⇒ pttt : y =16 x − 32   x = −2 ⇒ y '(−2) = −16 ⇒ pttt : y = −16 x − 32 Câu 20 Chọn B Ta giải phương trình Câu 21 Chọn D ⇒ pttt : y = ⇒ y '(1) = 0  x= − x + 3x − = ⇔   x =−2 ⇒ y '( −2) =−9 ⇒ pttt : y =−9 x − 18 x −5 = ⇔ x = Đồng thời y '(5) = − nên phương trình tiếp tuyến −x +1 cần tìm y = − x+ 4 Câu 22 Chọn D Giao điểm (C ) Oy A ( 0;1) ⇒ y '(0) = −6 x + −6 nên phương trình tiếp tuyến y = Ta giải phương trình Câu 23 Chọn C Giao điểm (C ) Oy M ( 0; −2 ) ⇒ y '(0) = nên phương trình tiếp tuyến y = −2 Trang 15/25 Câu 24 Chọn C 1  − Giao điểm (C ) Oy A  0; −  ⇒ y '(0) = nên phương trình tiếp tuyến 3  y= − x− Câu 25 Chọn A  = ⇒ = ⇒ =− x y pttt y x 1 : ( ) 3 Ta giải phương trình y ' ( x0 )= ⇔   ⇒ pttt : y =− ⇒ y ( 3) = 3x  x0 = Câu 26 Chọn B Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 Câu 31 Câu 32 −11  x0 = ⇒ y (1) =  Vậy tiếp tuyến song song trục hoành Ta có y =' ⇔  −5, y ' ( 3) = ⇒ y ( 3) =  x0 = Chọn D Theo giả thiết ta có y0 =3 ⇒ x0 =3 y '(3) = − Vậy phương trình tiếp tuyến x + y − = Chọn B Theo giả thiết ta có x0 =−1 ⇒ y0 =−4 y '(−1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y 9x + = Chọn B −7 x + Theo giả thiết ta có x0 =0 ⇒ y0 =1 y '(0) = −7 Vậy phương trình tiếp tuyến y = Chọn D Theo giả thiết ta có x0 =5 ⇒ y0 =51 y '(5) = 45 Vậy phương trình tiếp tuyến = y 45 x − 174 Chọn B Ta có y '= x − x + 6= 3( x − 1) + ≥ ⇒ y '= x =x0 =1 ⇒ y0 =y (1) =5 Khi phương trình tiếp tuyến y = 3( x − 1) + = 3x + Chọn A Ta có y ' =−3 x + 12 x + =−3( x + 2) + 15 ≤ 15 ⇒ max y ' =15 x = x0 = −2 Lúc y0 = y (−2) = 25 Khi phương trình tiếp tuyến y = 15( x + 2) + 25 = 15 x + 55 Câu 33 Chọn B [Phương pháp tự luận]  y '( x1 )= x1 + > ⇒ y ( x1 ) y , ( x2 ) > Ta có y=' x + > ⇒   y '( x2 )= x2 + > hay y '( x1 ) y '( x2 ) ≠ −1 Suy tiếp tuyến A B khơng vng góc [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có y=' x + > 0, ∀x ∈  Suy hàm số đồng biến  cắt trục hoành điểm → A, D Với x0 = ⇒ y '(1) = 4, y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến y = 4( x − 1) + 3= x − → C Câu 34 Chọn A Trang 16/25 y=' x + x − ⇒ y '(1)= Khi phương trình tiếp tuyến M (1;0) a = y = 6( x − 1) = x − , nên  ⇒ ab = 36 b = Câu 35 Chọn D Ta có 2 1 1 5   Ta có y '= x − x + 2=  x − x +  + =  x −  + ≥ ⇒ y '= = x x= 9 3 3 3   Câu 36 Chọn C Ta có= y' − < 0, ∀x ≠ Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tạo với Ox góc 600 ( x − 1) y '< ⇒ y '( x0 )= ± tan 60 =0 ±  → y '( x0 )= − ⇒ − = − ⇔ ( x0 − 1) = ( x0 − 1)  x =2 ⇒ y0 =2 Các tiếp tuyến tương ứng có phương trình ⇔  x0 =0 ⇒ y0 =0 Câu 37 Chọn B Ta có y ' = x − 6mx + 3(m + 1) Do K ∈ (Cm ) có hồnh y = − 3x +   y = − x độ −1 , suy K ( −1; −6m − 3) Khi tiếp tuyến K có phương trình ∆ : y = y '(−1)( x + 1) − 6m − = (9m + 6) x + 3m + Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d 9m + =−3 m =−1 ⇒ 3x + y = 0⇔ y= −3 x ⇔  ⇔ 3m + ≠ m ≠ −1 Vậy không tồn m , ta chọn ∅ Câu 38 Chọn A 1 y ' x + mx đường thẳng x − y + = viết thành = Ta có = y x+ 3 Theo yêu cầu toán, phải có y ' ( −1) =−3 ⇔ −4 − m =−3 ⇔ m =−1 Câu 39 Chọn C Gọi x0 hoành độ tiếp điểm d (C) 2x + 1 1 = ⇔ x0 + = ⇔ x0 = Theo u cầu tốn, ta có y ' ( x0 ) = ⇔ x0 + Câu 40 Chọn C Đường thẳng qua M (1; 3) có hệ số góc k có dạng d : y= k ( x − 1) + Ta có y ' = 3x − x 3= k ( x − 1) + (1) Thay d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  k (2) 3 − 12 x = (2) vào (1) ta x = k = 3 ⇒ x − x = ( − 12 x ) ( x − 1) + ⇔ x − 12 x = ⇔  x =  k = −24  Vậy có tiếp tuyến Câu 41 Chọn B Phương pháp tự luận 4x Ta có y =' 3x + ⇒ y ' (1)= , suy tiếp tuyến N (1; ) ∆ : y = Phương trình hồnh độ giao điểm ∆ (C) Trang 17/25 x = x + x + = x ⇔ x − 3x + = ⇔   x =−2 ⇒ y =−8 Phương pháp trắc nghiệm b x N + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a ⇔ + xM =0 ⇔ xM =−2 ⇒ M ( −2; −8 ) Câu 42 Chọn C Phương pháp tự luận Đường thẳng ∆ qua điểm M ( −1; −2 ) có hệ số góc k có dạng ∆ : y= k ( x + 1) − ∆ tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  x3 − x + x + = k ( x + 1) − (1)  ( 2) 3 x − x + =k Thay (2) vào (1) ta  x = −1 x3 − x + x + = ( x − x + 1) ( x + 1) − ⇔ ( x + 1) ( x − 1) = ⇔  ⇒ N (1; ) Phư  x =1 ⇒ y =2 ơng pháp trắc nghiệm b x N + xM = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a ⇔ x N + ( −1) = ⇔ x N = ⇒ N (1; ) Câu 43 Chọn B Ta có y ' = 3x + 6mx + m + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập  y ' ( −1) = − 5m , x0 =−1 ⇒  y0 m −  = ∆ : y = ( − 5m )( x + 1) + 2m − Khi Do A (1; 3) ∈ ∆ ⇒ 3= suy ( − 5m )(1 + 1) + 2m − ⇔ m= Câu 44 Chọn D Ta có y ' = 1+ m ( x + 1) phương trình tiếp tuyến y ' ( ) = ⇔ + m = ⇔ m = Câu 45 Chọn B Ta= có y ' ( x + 1) > 0, ∀x ≠ −1 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm (C ) với tiếp tuyến cần lập Tam giác OAB cân O nên OA = OB, suy y '>0 1⇔ y ' ( x= ±1  → y ' ( x= 0) 0) • Với x0 =0 ⇒ y0 =0 (loại, M ( 0; ) ≡ O )  x0 = 1⇔  = ( x0 + 1)  x0 = −2 • Với x0 =−2 ⇒ y0 =2 , suy phương trình tiếp tuyến ∆ : y =x + Câu 46 Chọn C OB Do = 36 ⇒ y '( x0 ) = ±36 OA • Với y '( x0 ) = −36 ⇔ −4 x − x0 = −36 ⇔ x03 + x0 − 36 = ⇔ x0 = −36 x + 58 Vậy y0 = y (2) = −14 Suy phương trình tiếp tuyến y = • Với y '( x0 = ) 36 ⇔ −4 x3 − x0= 36 ⇔ x03 + x0 + 36= ⇔ x0 = −2 Trang 18/25 Vậy y0 = y 36 x + 58 y (−2) = −14 Suy phương trình tiếp tuyến= Câu 47 Chọn A  x −1  • Gọi M  x0 ; ∈ C với x0 ≠ −1 điểm cần tìm  ( x + 1)  ( )   • Gọi ∆ tiếp tuyến ( C ) M ta có phương trình ∆= : y f '( x0 )( x − x0 ) + x0 − = 2( x0 + 1) ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − 2( x0 + 1)  x − x0 −   x − x0 −  • Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − ;  B = ∆ ∩ Oy ⇒ B  0;     2( x0 + 1)  • Khi ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆OAB có trọng tâm  x02 − x0 − x02 − x0 −  G− ;  6( x0 + 1)   x − x0 − x02 − x0 − ⇒ −4 • Do G thuộc đường thẳng x + y = + = 6( x0 + 1) ⇔4= ( x0 + 1) (vì A, B khơng trùng O nên x02 − x0 − ≠ ) 1   x + = x = − 0  ⇔ ⇔   x + =−  x =−   2 1 3  • Vì x0 > −1 nên chọn x0 = − ⇒ M  − ; −  ⇒ x0 + y0 = − 2  2 Câu 48 Chọn B • A ∈ ( Cm ) nên A (1;1 − m ) Ngoài y ' = x − 4mx ⇒ y ' (1) = − 4m • Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) A y −= + m y ′ (1) ( x − 1) , hay ( − 4m ) x − y − (1 − m ) = • Khi d ( B; ∆ ) = −1 16 (1 − m ) + ≤ , Dấu ‘=’ xảy ⇔ m = • Do d ( B; ∆ ) lớn m = Câu 49 Chọn C • Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x0 + x0 + x + y0 − 3 x0 + y0 − 12 = • Ta có d ( M , d1 ) = 2⇔ = 2⇔ 32 + 42 3 x0 + y0 + =  x0= ⇒ M ( 0;3)  x0 +   • Với x0 + y0 − 12 =0 ⇔ x0 +   − 12 =0 ⇔   11  x0= ⇒ M  ;   x0 +   3  Trang 19/25  7   x0 =−5 ⇒ M  −5;   x0 +  • Với x0 + y0 + = ⇔ x0 +  +8 = ⇔  x +      − ⇒ M  − ; −1  x0 =    Suy có tiếp tuyến Câu 50 Chọn C Phương pháp tự luận 2a − • Giao điểm hai tiệm cận I (1; ) Gọi M ( a; b ) ∈= (C ) ⇒ b ( a > 1) a −1 2a − − x − a) + • Phương trình tiếp tuyến ( C ) M y = ( (a − 1) a −1 • Phương trình đường thẳng MI= y ( x − 1) + ( a − 1) • Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có − ( a − 1) ( a − 1) 2 a = ⇒ b = = −1 ⇔  a = ⇒ b = Vì yêu cầu hoành độ lớn nên điểm cần tìm M ( 2; 3) Phương pháp trắc nghiệm Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , điểm M thoả yêu cầu toán có hồnh độ tính sau:  x0 =2 ⇒ y0 =3 x0 − =± ( −1) − ( −1) ⇔ x0 − =±1 ⇔   x0 = ( L) Vậy M ( 2; 3) Câu 51 Chọn A • Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C )  −x + x ≠ = x+m ⇔  2x − g ( x= ) x + 2mx − m − 1= (*)  −m − • Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = Giả sử A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) −m; x1 x2 = −1 • Ta có y′ = , nên tiếp tuyến ( C ) A B có hệ số góc ( x − 1) k1 = − ( x1 − 1) k2 = − ( x2 − 1) Vậy 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + 1 k1 + k2 = − − = − (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) [ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) − ≤ −2 • Dấu "=" xảy ⇔ m = −1 Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn −2 m = −1 Câu 52 Chọn A Phương pháp tự luận • Gọi M ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ = y '( x0 ) −1 ( x0 + 3) < Trang 20/25 • ∆OAB cân O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến có hệ −1 số góc âm) Nghĩa y ′( x0 ) = • Với • Với  x0 =−1 ⇒ y0 =1 = −1 ⇒   x0 =−2 ⇒ y0 =0 ( x0 + 3) x0 = −1; y0 = ⇒ ∆: y − =− ( x + 1) ⇔ y =− x (loại) ⇒ ∆: y − =− ( x + ) ⇔ y =− x − (nhận) x0 = −2; y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y =− x − Phương pháp trắc nghiệm • Tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA= OB ⇒ n = acx02 + 2bcx0 + bd ≠ ⇒ x02 + x0 + ≠ ⇔ x0 ≠ −1; x0 ≠ −3  x0 = −1 ( L ) cx0 + d =± n ad − bc ⇒ x0 + =± −1 ⇔   x0 = −2 ( N ) • Với x0 = ⇒ ∆: y − =− ( x + ) ⇔ y =− x − (nhận) −2; y0 = Câu 53 Chọn A • Giả sử tiếp tuyến d (C ) M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox A , Oy B cho OA = 4OB OB 1 ⇒ Hệ số góc d − = OA 4 < nên hệ số góc d − , suy • Do ∆OAB vng A nên tan= A • Vì y ' ( x0 ) = − ( x0 − 1)  x0 =−1 ⇒ y0 =  1 − = − ⇔ ( x0 − 1)  x =3 ⇒ y =    − ( x + 1) + − x+ y= y =  ⇔ 4 • Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:   13 y =  − ( x − 3) + − x+ y= 4   Câu 54 Chọn D Phương pháp tự luận −1 • Ta có y′ = ; I (1;1) ( x − 1)  x  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , x0 −   • d ( I , ∆) = ( x0 ≠ 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x ∆: y = − ( x − x0 ) + ⇔ x + ( x0 − 1) y − x02 = ( x0 − 1) x0 − x0 − 2 = = ≤ 2 + ( x0 − 1) + ( x0 − 1) ( x0 − 1) • Dấu " = " xảy ( x0 − 1)  x0 =2 ⇒ y0 =2 ( N ) = ( x0 − 1) ⇔ x0 − =1 ⇔   x0 = ( L ) Trang 21/25 Tung độ gần với giá trị π Phương pháp trắc nghiệm đáp án  x0 =2 ⇒ y0 =2 ( N ) Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d =± ad − bc ⇒ x0 − =± −1 − ⇔  ( L)  x0 = Câu 55 Chọn C Phương pháp tự luận • Ta có y′ = ( x + 1)  2x −1  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) Phương trình tiếp tuyến M x0 +   2x −1 = y ( x − x0 ) + ⇔ x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − =0 ( x0 + 1) x0 + •= d ( I, ∆) x0 + = + ( x0 + 1) ( x0 + 1) = ≤ + ( x0 + 1) • Dấu " = " xảy  x0 =−1 + ⇒ y0 =2 − ( L ) 2  = x + ⇔ x + = ⇔ ( 1) ( ) 0 ( x0 + 1)  x0 =−1 − ⇒ y0 =2 + ( N ) Tung độ gần với giá trị e đáp án Phương pháp trắc nghiệm Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 + = ± +1  x0 =−1 + ⇒ y =2 − ( L ) ⇔  x0 =−1 − ⇒ y =2 + ( N ) Câu 56 Chọn D Phương pháp tự luận  2x −  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 −   ∆ : y =− 1 ( x − x0 ) + + x0 − ( x0 − 2)   • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  2; +  x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 − 2; )   1 2 • Ta có AB 2= ( x0 − ) + ≥ Dấu " = " xảy ( x0 − ) = 2 ( x0 − ) ( x0 − )      x0 =3 ⇒ y0 =3 ⇒ OM ( 3;3) ⇒ OM =3 ( N ) ⇔    x =⇒ y =⇒ OM 1;1 ⇒ OM = L ( ) ( )  Phương pháp trắc nghiệm Trang 22/25 • AB ngắn suy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến ∆ M yM =  xM =⇒ ⇒ IM ⊥ ∆ ⇒ cxM + d =± ad − bc ⇒ xM − =± −4 + ⇔  yM = 1  xM =⇒  ⇒ OM = ngắn Câu 57 Chọn D Phương pháp tự luận  x −2 • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 +   = ∆: y ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − x0 +  x −5 • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  −1;  x0 +   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 + 1;1) • Ta có IA= , IB= x0 + ⇒ IA.IB= 12 Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ IAB x0 + S IAB = pr , suy S IAB IA.IB IA.IB IA.IB = = ≤ = r= 3− p IA + IB + AB IA + IB + IA2 + IB 2 IA.IB + 2.IA.IB  x =−1 + ⇒ y0 =1 − • Suy rmax =2 − ⇔ IA =IB ⇔ x0 − =3 ⇔  M  xM =−1 − ⇒ y0 =1 +   • IM 3; − ⇒ IM = ( ) Phương pháp trắc nghiệm • IA = IB ⇒ ∆ IAB vng cân I ⇒ IM ⊥ ∆  x =−1 + ⇒ yM =1 − • cxM + d =± ad − bc ⇒ xM + =± + ⇔  M  xM =−1 − ⇒ yM =1 +  ⇒ IM = Câu 58 Chọn D Phương pháp tự luận   • Gọi M  x0 ; +  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 −   = ∆: y −3 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + + x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A 1; +  x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 − 1; ) • Ta có S ∆IAB = 1 IA.IB = ⋅ ⋅ x0 − = 2.3 = 2 x0 − • ∆ IAB vng I có diện tích khơng đổi ⇒ chu vi ∆ IAB đạt giá trị nhỏ Trang 23/25 IA = IB ⇔  x0 = + = x0 − ⇒  x0 −  x0 = − • Với x0 = + phương trình tiếp tuyến ∆ : y =− x + + Suy 3+ d ( O, ∆ ) = • Với x0 = − phương trình tiếp tuyến ∆ : y =− x + − Suy −3 + d ( O, ∆ ) = Vậy khoảng cách lớn Phương pháp trắc nghiệm 3+ gần với giá trị đáp án  x =1 + ⇒ y =2 + • IA = IB ⇒ cxM + d =± ad − bc ⇒ xM − =± −2 − ⇔  M  xM =1 − ⇒ y =2 − 3+ ⇒ d ( O, ∆ ) = (N) Câu 59 Chọn A Phương pháp tự luận  2x −1  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 −   2x −1 ∆: y = − ( x − x0 ) + x0 − ( x0 − 2)  2x +  • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  2;  x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 − 2; )  x A + xB = + x0 − = x0  • Xét  ⇒ M trung điểm AB x0 + 2 x0 − + = = + = y y 2 y A B  x0 − x0 −  • ∆ IAB vng I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB   x0 −      π ( x0 − 2) + ⇒ S= π R= π IM = π ( x0 − 2) +  − 2 = ≥ 6π 2 ( x0 − 2)    x0 −     x= + ⇒ y= 3+2 0 • Dấu " = " xảy ( x0 −= 2) ⇔  ( x0 − 2) − + ⇒ y0 = − 3+2  x0 = • Với x0 = + ⇒ ∆ : y = − x + + cắt trục tọa độ 14 + ≈ 27,8564 F + 4; , suy SOEF = OE.OF = ( E 0; + ( ) ( ) ) • Với x0 =− + ⇒ ∆ : y = − x − + cắt trục tọa độ E 0; − + 14 − ≈ 0,1435 F − + 4; , suy SOEF = OE.OF = Phương pháp trắc nghiệm ( ) Trang 24/25 • IM lớn ⇔ IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d =± ad − bc ⇒ x0 − =± −4 +  x= + ⇒ y= 3+2 0 Giải tương tự ⇔ − + ⇒ y0 = − 3+2  x0 = Trang 25/25 ... = C y = D y = Câu 30 Cho hàm số y =x − 3x + có đồ thị (C ) Khi phương trình tiếp tún của đờ thị (C ) điểm có hoành độ −45 x + 276 −45 x + 174 B y = A y = y 45 x + 276 y 45 x − 174