CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình mũ a x = b ( a > 0, a ≠ 1) ● Phương trình có nghiệm b > ● Phương trình vơ nghiệm b ≤ Biến đổi, quy số ) a (= a f x g( x) 0 < a ≠ ⇔ a=   f ( x ) = g ( x ) Đặt ẩn phụ g x)  f  a ( =  t a g ( x ) > = ( < a ≠ 1) ⇔   f ( t ) = Ta thường gặp dạng: ● m.a f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0 , a.b = = ● m.a f ( x ) + n.b f ( x ) + p = Đặt t a f ( x ) , t > , suy b ● m.a f ( x) + n ( a.b ) f ( x) + p.b f ( x) Chia hai vế cho b = a đặt   b f ( x) f ( x) = t f ( x) = t >0 Logarit hóa 0 < a ≠ 1, b > ● Phương trình a f ( x )= b ⇔   f ( x ) = log a b ● Phương trình a f ( x ) =b g ( x ) ⇔ log a a f ( x ) =log a b g ( x ) ⇔ f ( x ) =g ( x ) log a b g x log b a f ( x ) = g ( x) log b b ( ) ⇔ f ( x ) log b a = Giải phương pháp đồ thị o Giải phương trình: a x = f ( x ) ( < a ≠ 1) ( ∗) o Xem phương trình ( ∗) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị y = a x ( < a ≠ 1) y = f ( x ) Khi ta thực hai bước:  Bước Vẽ đồ thị hàm số y = a x ( < a ≠ 1) y = f ( x )  Bước Kết luận nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị Sử dụng tính đơn điệu hàm số o Tính chất Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) ( a; b ) số u v, nghiệm phương trình f ( x ) = k ( a; b ) không nhiều f ( u= ) f ( v ) ⇔= ∀u , v ∈ ( a; b ) o Tính chất Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến) ; hàm số y = g ( x ) liên tục ln nghịch biến (hoặc ln đồng biến) D số nghiệm D phương trình f ( x ) = g ( x ) không nhiều o Tính chất Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) D bất phương trình f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v ( hoac u < v ) , ∀u , v ∈ D Trang 1/13 Sử dụng đánh giá o Giải phương trình f ( x ) = g ( x )  f ( x) = m  f ( x ) ≥ m o Nếu ta đánh giá  f= ( x ) g ( x ) ⇔   g ( x ) ≤ m  g ( x ) = m Bất phương trình mũ • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ a f ( x) > a g( x)  a >   f ( x ) > g ( x ) Tương tự với bất phương trình dạng: ⇔ < < a     f ( x ) < g ( x )  a f ( x) ≥ a g ( x)  f ( x) g x a N ⇔ ( a − 1)( M − N ) > • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng số + Đặt ẩn phụ  y = f ( xđồng ) biến D thì: f ( u ) < f ( v ) ⇒ u < v + Sử dụng tính đơn điệu:  biến D thì: f ( u ) < f ( v ) ⇒ u > v )  y = f ( xnghịch B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Cho phương trình = tổng lập phương nghiệm thực phương trình là: A 28 B 27 C 26 D 25 Hướng dẫn giải Ta có: 2 x = 3x − x +5 =9 ⇔ 3x − x +5 =32 ⇔ x − x + =2 ⇔ x − x + =0 ⇔  x = x2 − x +5 Suy 13 + 33 = 28 Chọn đáp án A Câu Cho phương trình : 3x −3 x +8 = 92x −1 , tập nghiệm phương trình là: A S = {2;5}  −5 − 61 −5 + 61  B S =  ;  2    − 61 + 61  C S =  ;    D S ={−2; −5} x −3 x +8 =9 Hướng dẫn giải 2x −1 x = =34x − ⇔ x − x + =4x − ⇔ x − x + 10 =0 ⇔  x = Vậy S = {2;5} ⇔ 3x −3 x +8 x 1 Câu Phương trình = +   có nghiệm âm? 9 A B C Hướng dẫn giải 1− x D Trang 2/13 x x 2x 1 1 1 Phương trình tương đương với x = +   ⇔   = 2+  9 3 3 x t = 1 Đặt t =   , t > Phương trình trở thành 3t = + t ⇔ t − 3t + = ⇔  3 t = x 1 ● Với t = , ta   =1 ⇔ x =0 3 x 1 ● Với t = , ta   = 2⇔ x= log = − log < 3 Vậy phương trình có nghiệm âm x+2 x   Câu Số nghiệm phương trình +  −4= là:   3 A B C Hướng dẫn giải 1 Phương trình tương đương với +   3 D x +1 x −4= x 1 ⇔ +   − = ⇔ 3x + x − = ⇔ 32 x − 4.3x + = 3 t = Đặt t = 3x , t > Phương trình trở thành t − 4t + = ⇔  t = x ● Với t = , ta 3x =1 ⇔ x =0 ● Với t = , ta 3x = ⇔ x =1 Vậy phương trình có nghiệm x = , x = Câu Câu 28 x+ Cho phương trình : = 16 x −1 Khẳng định sau ? A Tích nghiệm phương trình số âm B Tổng nghiệm phương tình số nguyên C Nghiệm phương trình số vơ tỉ D Phương trình vơ nghiệm Hướng dẫn giải  x ≤ −1 ∨ x ≥   x ≤ −1 ∨ x ≥  x=3 28 x+4   x =3 ∨ x =− 28  x −1   = 16 x + 4= ( x − 1) ⇔   x + 3= 3x − ⇔  ⇔ 3⇔ x= −  7 x + =−3x +       x =0 ∨ x =−     Nghiệm phương trình : S = − ;3   Vì − =−7 < Chọn đáp án A Phương trình 28− x 58− x = 0, 001 (105 ) A 1− x B 8− x ( 2.5) có tổng nghiệm là: C −7 Hướng dẫn giải D – =10−3.105−5 x ⇔ 108− x =102−5 x ⇔ − x =2 − x ⇔ x =−1; x =6 Ta có : −1 + =5 Chọn đáp án A Câu Phương trình x − 5.3x + = có nghiệm là: A.= B x = x 1,= x log −1, x = log C = x 1,= x log D x = −1, x = − log Trang 3/13 Hướng dẫn giải Đặt t = ( t > ), phương trình cho tương đương với  x = log t = ⇔ t − 5t + = ⇔  t = x = Câu Cho phương trình 4.4 x − 9.2 x+1 + = Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Khi đó, x tích x1.x2 : A −2 B C −1 Hướng dẫn giải Đặt t = x ( t > ), phương trình cho tương đương với t =  x1 = 2 4t − 18t + = ⇔  ⇔  t =  x2 = −1  Vậy x1.x2 = −1.2 = −2 Chọn đáp án A D Cho phương trình x − 41− x = Khẳng định sau sai? A Phương trình vơ nghiệm B Phương trình có nghiệm C Nghiệm phương trình ln lớn D Phương trình cho tương đương với phương trình: 42x − 3.4 x − = Hướng dẫn giải x Đặt t = ( t > ), phương trình cho tương đương với t = t − 3t − = ⇔  ⇔ x =1 t = −1( L) Chọn đáp án A 2 Câu 10 Cho phương trình x + x −1 − 10.3x + x − + = Tổng tất nghiệm phương trình là: B C D A −2 Hướng dẫn giải x + x −1 Đặt t = ( t > ), phương trình cho tương đương với  x = −2 3x + x −1 = t = x =   3t − 10t + = ⇔ ⇔ x2 + x −1 ⇔  3 t = x = =     x = −1 Vậy tổng tất nghiệm phương trình −2 Câu Câu 11 Nghiệm phương trình x + x +1 =3x + 3x +1 là: A x = log B x = C x = D x = log Hướng dẫn giải x 3 3 + = + ⇔ 3.2 = 4.3 ⇔   = ⇔ x = log 2 Câu 12 Nghiệm phương trình 22 x − 3.2 x+ + 32 = là: x x +1 x A x ∈ {2;3} x +1 x x B x ∈ {4;8} C x ∈ {2;8} D x ∈ {3; 4} Hướng dẫn giải  x 8= = x 22 x − 3.2 x + + 32 =0 ⇔ 22 x − 12.2 x + 32 =0 ⇔  x ⇔ x = 2 = Câu 13 Nghiệm phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = là: Trang 4/13 2 3 B x ∈  ;  C x ∈ {−1;0} 3 2 Hướng dẫn giải A x ∈ {1; −1} 2x D x ∈ {0;1} x 3 3 6.4 − 13.6 + 6.9 = ⇔   − 13   + = 2 2 x     = x = 2 ⇔ ⇔  x = −1  x      =   x x x Câu 14 Nghiệm phương trình 12.3x + 3.15 x − x+1 = 20 là: A B x = log C x log + D x log − = x log − = = Hướng dẫn giải x x x+1 x x 12.3 + 3.15 − = 20 ⇔ 3.3 ( + ) − ( x + ) = 0 ⇔ ( x + )( 3x+1 − ) = x log − ⇔ 3x+1 = ⇔= Câu 15 Phương trình x − 5.3x + = có tổng nghiệm là: A log B log C log Hướng dẫn giải x − 5.3x + = (1) (1) ⇔ ( 32 ) x − 5.3x + = ⇔ ( 3x ) − 5.3x + = D − log (1') t = ( N ) Đặt = t 3x > Khi đó: (1') ⇔ t − 5t + = ⇔  t = ( N ) Với t =2 ⇒ 3x =2 ⇔ x =log Với t =3 ⇒ 3x =3 ⇔ x =log 3 =1 Suy + log = log 3 + log = log Câu 16 Cho phương trình 21+ x + 15.2 x − = , khẳng định sau dây đúng? A Có nghiệm B Vơ nghiệm C Có hai nghiệm dương D Có hai nghiệm âm Hướng dẫn giải 1+ x x + 15.2 − = ( 2) ( ) ⇔ 2.22 x + 15.2 x − = ⇔ ( x ) + 15.2 x − = ( ')  t= Đặt = t > Khi đó: ( ') ⇔ 2t + 15t − = ⇔   t = −8 1 Với t = ⇒ x = ⇔ x = log ⇔ x = −1 2 Câu 17 Phương trình x + 251− x = có tích nghiệm : x  + 21  A log     x + 251− x = (1)  − 21  B log  C    Hướng dẫn giải (N) ( L)  + 21  D 5log     Trang 5/13 (1) ⇔ 5x + 25 25 25 − = ⇔ 5x + − = ⇔ 5x + −6 = x x 25 ( 5x ) ( 52 ) ( ') Đặt = t 5x >  t =  25 + 21 Khi đó: ( ') ⇔ t + − = ⇔ t − 6t + 25 = ⇔ ( t − ) ( t − t − ) = ⇔ t =  t  t = − 21  x Với t =5 ⇒ =5 ⇔ x =1 Vớ= it (N) (N) ( L)  + 21  + 21 + 21 ⇒= ⇔= x log  5x  2    + 21   + 21  Suy ra: 1.log   = log       ( Câu 18 Phương trình + A x = log 2+ ( ) Đặt = t (2 + 3) x ) + (2 + 3) x x = có nghiệm là: ( B x = log ) C x log 2 + D x = = Hướng dẫn giải ( t > ), phương trình cho tương đương với t = t2 + t − = ⇔  ⇔ x = log 2+ ( ) t = −3( L) x 1 Câu 19 Tập nghiệm bất phương trình   > 32 là: 2 B x ∈ ( −∞;5 ) A x ∈ ( −∞; −5 ) C x ∈ ( −5; +∞ ) D x ∈ ( 5; +∞ ) Hướng dẫn giải x x −5 1 1 1   > 32 ⇔   >   ⇔ x < −5 2 2 2 Câu 20 Cho hàm số f ( x ) = 22 x.3sin x Khẳng định sau khẳng định ? B f ( x ) < ⇔ x + 2sin x log < A f ( x ) < ⇔ x ln + sin x ln < C f ( x ) < ⇔ x log + sin x < ( D f ( x ) < ⇔ + x log < Hướng dẫn giải ) f ( x ) < ⇔ ln < ln1 ⇔ x ln + sin x ln < Chọn đáp án A Câu 21 Tập nghiệm bất phương trình x + x +1 ≤ 3x + 3x −1 2x A x ∈ [ 2; +∞ ) sin x B x ∈ ( 2; +∞ ) C x ∈ ( −∞; ) D ( 2; +∞ ) Hướng dẫn giải x x +2 x +1 x ≤ +3 x −1 3 ⇔ 3.2 ≤ 3x ⇔   ≥ ⇔ x ≥ 2 x x 2x 1 Câu 22 Tập nghiệm bất phương trình   > x+1 là: 9  x < −2 A  B x < −2 C −1 < x <  −1 < x < Hướng dẫn giải D −1 ≤ x < Trang 6/13 Điều kiện: x ≠ −1 2x x +1 2x 2x   ⇔ + 2x < ⇔ 2x  + 1 < x +1 x +1  x +1  2x ( x + 2)  x < −2  x < −2 Kết hợp với điều kiện ⇒  ⇔ log C x ≥ D x ≥ Hướng dẫn giải x Đặt t = ( t > ), bất phương trình cho tương đương với t − t − ≤ ⇔ −2 ≤ t ≤ ⇔ < t ≤ ⇔ x ≤ log −2 x pt ⇔ >3 ⇔ −2 x > Câu 24 Tập nghiệm bất phương trình x > A   x < log 3x < là: 3x − B x > log C x < D log < x < Hướng dẫn giải 3 > x > 3 −3 0⇔ x ⇔ x −2 −2  x < log 3 < x x x Câu 25 Tập nghiệm bất phương trình 11 x + ≥ 11x là: A −6 ≤ x ≤ B x < −6 C x > D ∅ Hướng dẫn giải  x <  −6 ≤ x <  x + ≥   x+6 x 11 ≥ 11 ⇔ x + ≥ x ⇔  ⇔  x ≥ ⇔ −6 ≤ x ≤ x ≥   −2 ≤ x ≤    x + ≥ x 1 Câu 26 Tập nghiệm bất phương trình x là: ≤ x+1 + −1 A −1 < x ≤ B x ≤ −1 C x > D < x < Hướng dẫn giải Đặt t = 3x ( t > ), bất phương trình cho tương đương với 3t − > 1 ≤ ⇔ ⇔ < t ≤ ⇔ −1 < x ≤ t + 3t − 3t − ≤ t + x − x +1 2x −1 5 5 Câu 27 Cho bất phương trình   >   , tập nghiệm bất phương trình có dạng S = ( a; b ) 7 7 Giá trị biểu thức A= b − a nhận giá trị sau đây? A B −1 C D −2 Hướng dẫn giải x − x +1 2x −1 5 5 >  ⇔ x − x + < 2x − ⇔ x − x + < ⇔ < x <   7     Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1; ) Chọn đáp án A Câu 28 Tập nghiệm bất phương trình x − 3.2 x + > là: A x ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) B x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) C x ∈ ( 0;1) D x ∈ (1; ) Hướng dẫn giải Trang 7/13 2x > x > − 3.2 + > ⇔  x ⇔ x < 2 < Câu 29 Tập nghiệm bất phương trình 3x.2 x+1 ≥ 72 là: x x A x ∈ [ 2; +∞ ) x x +1 B x ∈ ( 2; +∞ ) D x ∈ ( −∞; 2] C x ∈ ( −∞; ) Hướng dẫn giải x ≥ 72 ⇔ 2.6 ≥ 72 ⇔ x ≥ x Câu 30 Tập nghiệm bất phương trình 3x +1 − 22 x +1 − 12 < là: A x ∈ ( 0; +∞ ) B x ∈ (1; +∞ ) C x ∈ ( −∞;0 ) Hướng dẫn giải x +1 −2 x +1 x x x x x D x ∈ ( −∞;1) x  16    − 12 < ⇔ 3.9 − 2.16 − 12 < ⇔ −   −   <   3 x  2 ⇔   >1 ⇔ x > 3 2.3x − x + Câu 31 Tập nghiệm bất phương trình ≤ là: 3x − x   A x ∈  0;log 3   C x ∈ (1;3] B x ∈ (1;3)   D x ∈ 0;log 3   Hướng dẫn giải x 3 3   −   − 2  ≤ ⇔  x −1 ≤ ≤1 ⇔ x 3 3   −1   −1 2 2 x 2.3x − x + 3x − x x 3 x   −3 3 ⇔  x ≤ ⇔ <   ≤ ⇔ < x ≤ log 3 2 3   −1    x   Câu 32 Tập nghiệm bất phương trình   ≤  là:  5  5  1 A  0;   3  1 B  0;   3 1 1   C  −∞;  D  −∞;  ∪ ( 0; +∞ ) 3 3   Hướng dẫn giải 1 − 3x Vì < nên bất phương trình tương đương với ≥ ⇔ ≥0⇔0< x≤ x x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình  0;   3 x Câu 33 Tập nghiệm bất phương trình + 4.5 x − < 10 x là: x < A  B x < C x > D < x < x > Hướng dẫn giải x x x x x x + 4.5 − < 10 ⇔ − 10 + 4.5 − < ⇔ x (1 − x ) − (1 − x ) < ⇔ (1 − x )( x − ) < Trang 8/13  1 − x <  5 x >  x  x x >  2 − >  2 > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) x x x <       2 x − <  2 x <   Câu 34 Tập nghiệm bất phương trình B ( −8;0 ) A −1 ≤ x ≤ x 1− x −2 (1) ⇔ x x − 21− < là: C (1;9 ) D ( 0;1] Hướng dẫn giải (1) Điều kiện: x ≥ Phương trình cho trở thành: ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = (*)  x f (t ) Yêu cầu tốn ⇔ (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn < t1 < < t2 m + ≠ m + ≠   ⇔ ( m + 1) f (1) < ⇔ ( m + 1)( 3m + 12 ) < ⇔ −4 < m < −1   ( m + 1)( 6m + ) > ( m + 1)( 6m + ) > 1 Tìm tập nghiệm bất phương trình Câu 46 Cho bất phương trình: x +1 ≥ − − 5x A S = C S = ( −1;0] ∪ (1; +∞ ) ( −∞;0] B S = D S = ( x ) ( −1;0] ∩ (1; +∞ ) ( −∞;0 ) Hướng dẫn giải 1− ⇔ ≥ (1) x +1 − − x 5.5 x − − x ≥ ( x Đặt t = , BPT (1) ⇔ )( ) (1 − t ) (1 − t ) ≥ Đặt f (t ) = ( 5t − 1)( − t ) ( 5t − 1)( − t ) Lập bảng xét dấu f (t ) = (1 − t ) , ta nghiệm: ( 5t − 1)( − t ) 5 < x 5 < t 1 < x 1 ⇔ 1 x ⇔  < t ≤  < ≤  −1 < x ≤  5 Vậy tập nghiệm BPT S = Câu 47 Bất phương trình 25− x A S = C = S ( −∞;1 − ( 2; +∞ ) + x +1 ( −1;0] ∪ (1; + ∞ ) + 9− x + x +1 ≥ 34.15− x )  ∪ [ 0; 2] ∪ 1 + 3; +∞ +2 x có tập nghiệm là: B = S ( 0; +∞ ) D S= (1 − ) 3;0 Hướng dẫn giải Trang 12/13 0 ≤ x ≤ 2( − x + x +1) ( − x2 + x +1)  34     + ≥   ⇔ x ≤ 1− 25− x + x +1 + 9− x + x +1 ≥ 34.15− x + x ⇔   15   3 x ≥ 1+  x x +1 Câu 48 Với giá trị tham số m phương trình − m.2 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thoả 2 mãn x1 + x2 = 3? A m = C m = Hướng dẫn giải B m = m = D Ta có: x − m.2 x +1 + 2m = ⇔ ( x ) − 2m.2 x + 2m = ( *) Phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn x có: ∆ ' = ( −m ) − 2m = m − 2m m ≥ Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m − 2m ≥ ⇔ m ( m − ) ≥ ⇔  m ≤ Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1.2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m Do x1 + x2 =3 ⇔ 23 =2m ⇔ m =4 Thử lại ta m = thỏa mãn Chọn A 2 Câu 49 Với giá trị tham số m bất phương trình 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin x có nghiệm? A m ≤ B m ≥ C m ≤ D m ≥ Hướng dẫn giải Chia hai vế bất phương trình cho 3sin x > , ta 2   3 sin x 1 +   9 sin x ≥m sin x sin x 2 1 = +   Xét hàm số y   hàm số nghịch biến 3 9 Ta có: ≤ sin x ≤ nên ≤ y ≤ Vậy bất phương trình có nghiệm m ≤ Chọn đáp án A Câu 50 Cho bất phương trình: x + ( m − 1) 3x + m > (1) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình (1) nghiệm ∀x > A m ≥ − x B m > − C m > + 2 D m ≥ + 2 Hướng dẫn giải Đặt t = Vì x > ⇒ t > Bất phương trình cho thành: t + ( m − 1) t + m > nghiệm ∀t ≥ t2 − t > −m nghiệm ∀t > t +1 2 Xét hàm số g ( t ) = t − + , ∀t > 3, g ' ( t ) = − > 0, ∀t > Hàm số đồng biến t +1 ( t + 1) ⇔ [3; +∞ ) g ( 3) = 3 Yêu cầu toán tương đương −m ≤ ⇔ m ≥ − 2 Trang 13/13 ... Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ a f ( x) > a g( x)  a >   f ( x ) > g ( x ) Tương tự với bất phương trình dạng: ⇔ < < a... 1)( M − N ) > • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng số + Đặt ẩn phụ  y = f ( xđồng ) biến D thì: f ( u ) < f ( v ) ⇒... ) = t + xác định và liên tục ( 0, +∞ ) t t −1 Ta có: f ' ( t ) =1 − = Cho f ' ( t ) =0 ⇔ t =±1 t t Bảng biến thiên: (1) ⇔ t + t f '(t ) −1 +∞ f (t ) +∞ − + +∞ Dựa vào bảng biến thiên: