ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: a. 123 (1, 1,2), (0, 2,3), ( 1,1,1)xxx=− = =− b. 12 3 (1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)xx x=− = − = c. 1234 (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)xx x x=== = d. 1234 15 11 24 17 ,, , 42 15 57 51 AAAA −−− ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ==== ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ −−−− ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ e. 2232 122 23, 1, 2 410px x p x p xx x=−+ =+ = +−+ trong 3 []x  . f. 32 2 123 4 1, 1, 2 , 2 4px p x p xxp x=+ =+ =− + =−− trong 3 []x  . 2. Cho hệ vectơ 12 ,,, n x xx … độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V. Chứng minh hệ vectơ 11212 12 ,,, nn yxy xx y xx x= =+ =+++ …… cũng độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ 12 ,,, n x xx … không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 12 ,,, n x xx … độc lập tuyến tính . 4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau: a. 12 34 (47, 26,16), ( 67,98, 428), (35, 23,1), (201, 294,1284),xx xx==−−==− 5 (155,86,52)x = . b. 123 (24, 49, 73,47), (19, 40,59, 36), (36,73,98,71),xxx=== 45 (72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72)xx==−−−− . c. 12 3 (17, 24, 25,31, 42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19, 29),xx x==−−−= 45 (11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68)xx=−−−= −−− . 5. Cho hệ vectơ 12 ,,, n x xx … biểu thị tuyến tính được qua hệ 12 ,,, m yy y … . Chứng minh: a. 12 12 {, , , } {, , , } nm rank x x x rank y y y≤ …… . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12 {, , , }= {, , , , } nn rank x x x rank u x x x ⇔ …… u biểu thị tuyến tính được qua 12 ,,, n x xx … . 7. Trong 3  , cho hệ vectơ 12 3 (1, 2,1), ( 1,0,1), (0,1, 2)uu u= =− = . a. Chứng minh 123 ,,uu u là một cơ sở của 3  . b. Tìm tọa độ của (,,)uabc= trong cơ sở 123 ,,uu u . ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8. Trong 3  , cho 2 hệ vectơ 12 3 (1,1,1), (1,1,2), (0,1,2)uu u= == và 12 3 (2,1, 3), (3, 2, 5), (1, 1,1)vv v=− =− =− . a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3  . b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại. c. Tìm tọa độ của vectơ 123 23x uuu= −+ − trong cơ sở (v). 9. Chứng minh tập hợp: a. { } 3 (, ,) / 2 0Axyz xyz=∈−+= là không gian con của 3  . b. { } 4 (, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4  . c. /, ab Cab ba ⎧⎫ − ⎡⎤ =∈ ⎨⎬ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩⎭  là không gian con của 2 ()M  . 10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi: a. 1234 (1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1, 2,3, 4),aaaa=−= = = 5 (0,1,2,3)a = . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt= thuộc về không gian con này. b. 123 (1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)aaa=− = = . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt= thuộc về không gian con này. c. 1234 (1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0, 2, 1,1, 2)aaaa=− − = = − = − Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ (, ,,,)axyztu= thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ,UVU V+ ∩ với: a. (1, 2,1), (1,1, 1), (1, 3, 3)U =− và (2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V = −− . b. (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U = và (1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1, 2)V = c. { } (, ,,)/ 2 0Uxyztxzt=−+= và { } (, ,,)/ 2 0Vxyztxtyz= =∧ − = 13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất: a. 12 45 12 34 12345 12345 23 0 20 42 63 4 0 24 24 7 0 xx xx xx xx xx xx x xx xx x + −− = ⎧ ⎪ − +− = ⎪ ⎨ −++−= ⎪ ⎪ +−+−= ⎩ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b. 13 24 125 246 35 46 0 0 0 0 0 0 xx xx xx x xxx xx xx − = ⎧ ⎪ −= ⎪ ⎪ − += ⎪ ⎨ −+ − = ⎪ ⎪ −+ = ⎪ −= ⎪ ⎩ c. 135 245 1256 236 145 0 0 0 0 0 xx x xxx xx x x xxx xx x −+ = ⎧ ⎪ −+ = ⎪ ⎪ − +−= ⎨ ⎪ −− = ⎪ ⎪ −+ = ⎩ 14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là: a. (1,1, 0), (1, 0, 2)U =− b. (2, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (1, 1,1, 1), (3, 1, 1,3)U =− − −− −− 15. Trong 3  cho 3 cơ sở ,, α βγ . Biết 211 101 110, 111 111 110 TT αβ γβ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ =− − = − ⎢⎥⎢⎥ − ⎣⎦⎣⎦ và 12 3 (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1) γ γγ === . Hãy tìm cơ sở α . . } nm rank x x x rank y y y≤ …… . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12 {, , , }= {, , , , } nn rank x x x rank u x x. xyz=∈−+= là không gian con của 3  . b. { } 4 (, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4  . c. /, ab Cab ba ⎧⎫ − ⎡⎤ =∈ ⎨⎬ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩⎭  là không gian