11a1 thpt tien lu Hằng đẳng thức thường dùng ( ) 2 2 4 4 2 6 6 2 2 2 2 2 2 1 3 sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2 2 4 1 1 1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos cos sin a a a a a a a a a a a a a a + = + = − + = − + = = ± = ± Phương trình dạng sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =  Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥  Chia 2 vế cho 2 2 a b+ , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos. c. Phương trình đẳng cấp  Dạng 2 2 .sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =  Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.  Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx.  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.  Dạng 3 2 2 3 .sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =  Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.  Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương trình bậc 3 theo tanx.  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. d. Phương trình đối xứng loại 1: (sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + =  Đặt t = sinx ± cosx, điều kiện 2t ≤  Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t. e. Phương trình đối xứng loại 2 : ( ) tan cot ) (tan cot 0 n n a x x b x x + + ± =  Đặt t = tanx - cotx thì t ∈ R ; Đặt t = tanx + cotx thì 2t ≥ .  Chuyển về phương trình theo ẩn t. f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát  Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản  Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.  Phương pháp đặt ẩn phụ.  Phương pháp đối lập.  Phương pháp tổng bình phương. Bai tap Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau : 1. cos sin 2 0 3 x x π   + + =  ÷   2. cos cos 1 3 3 x x π π     + + − =  ÷  ÷     3. tan 2 .tan 1x x = − 4. 2 2 2 sin sin .tan 3x x x+ = 5. 2 2 5cos sin 4x x+ = 3. 1 3sin cos cos x x x + = 7. 4 4 cos 2 sin3 sin 2x x x= − 8. tan 1 tan 4 x x π   − = −  ÷   9. 3 3 1 sin cos cos sin 4 x x x x= + Bài 2 : Cho phương trình ( ) ( ) tan cos cot sinx x π π = 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. 2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ ] 3 ; π π − của phương trình. Bài 3 : Cho phương trình sin 6 x + cos 6 x = m. 1. Xác định m để phương trình có nghiệm. 2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng ( ) 0; π Bài 4: Giải và biện luận phương trình ( ) 2 2 1 cos2 2 sin 3 2 0m x m x m− + + − = Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai. Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau : 1. 2 2cos 5sin 4 0 3 3 x x π π     + + + − =  ÷  ÷     2. 5 cos2 4cos 0 2 x x− + = 3. 4 4 sin cos cos2x x x+ = 4. 4 4 1 cos sin sin 2 2 x x x+ = − 5. ( ) 2 2 2cos 3 2 2 cos3 1 0x x− + + = 6. 4 4 cos sin 2sin 1 2 2 x x x+ + = 7. ( ) 6 6 4 sin cos cos 2 0 2 x x x π   + − − =  ÷   8. 2tan 3cot 4x x+ = 9. 4 2 1 cos sin 4 x x= − 10. 2 2 6 6 cos sin 4cot 2 sin cos x x x x x − = + 11. 1 2tan cot 2sin 2 sin 2 x x x x + = + 12. 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x+ = 13. 4cos cos4 1 2cos2x x x− = + 14. 5 5 2 4sin cos 4cos sin cos 4 1x x x x x− = + 15. 2 2 cos4 cos 3 cos 1x x x= − + : Giải các phương trình lượng giác sau : 1. 3sin cos 2 0x x− + = 2. 3 3sin 1 4sin 3cos3x x x− = + 3. 4 4 sin cos 1 4 x x π   + + =  ÷   4. ( ) 4 4 2 cos sin 3sin 4 2x x x + + = 5. 2sin 2 2sin 4 0x x+ = 6. 3sin 2 2cos2 3x x+ = 7. 9 3cos 2 3sin 2 x x+ = 8. 4cos3 3sin3 5 0x x− + = 9. 2 sin cos sin cos2x x x x− = 10. ( ) tan 3cot 4 sin 3cosx x x x− = + 11. 2sin3 3cos7 sin7 0x x x+ + = 12. ( ) cos5 sin3 3 cos3 sin5x x x x− = − 13. ( ) ( ) 2 2sin cos 1 cos sinx x x x− + = 14. 1 cos sin3 cos3 sin 2 sinx x x x x+ + = − − 15. 3 3sin 1 4sin 3cos3x x x− = + 16. 3sin cos 2cos 2 3 x x x π   + + − =  ÷   Cho phương trình ( ) 3 sin 2 1 cos 3 1m x m x m+ − = + 1. Giải phương trình khi m = 1. 2. Xác định m để phương trình có nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. cos sin 1 sin 2cos 4 x x y x x − + = + − 2. cos3 sin3 1 cos3 2 x x y x + + = + 3. 1 3sin 2cos 2 sin cos x x y x x − + = + + 4. 2 sin cos cos sin cos 1 x x x y x x + = + Giải các phương trình lượng giác sau : 1. 2 2 2sin sin cos 3cos 0x x x x+ − = 2. 2 2sin 2 3cos 5sin cos 2 0x x x x− + − = 3. 2 2 sin sin 2 2cos 0,5x x x+ − = 4. 2 sin 2 2sin 2cos2x x x− = 5. 2sin 2 x + 3sinx.cosx - 3cos 2 x = 1 6. 2 2 1 4 3 3 2 2 2 os sin sin x x c x+ + = 7. ( ) 2 2 3sin 4sin 2 8 3 9 cos 0+ + − =x x x 8. 3 3 2cos 3cos 8sin 0x x x+ − = 9. 3 3 8 3cos 5sin 7sin cos 0 3 x x x x− + − = 10. 3 5sin 4 cos 6sin 2cos 2cos2 x x x x x − = 11. 2 sin 2sin 4 x x π   + =  ÷   12. 3 2 cos sin cos3 3 2 sin sin 2x x x x x− = + 13. 2 2 3sin 2sin 2 cos 0x x x− + = 14. 3 12 sin 2 sin 4 x x π   − =  ÷   Luyen tap 1/ 2cos2x- 4cosx=1 sinx 0   ≥  2 2 3 x k π π = + 2/ 4sin 3 x+3 2 sin2x=8sinx ; 2 4 x k k π π π   = ± +     3/ 4cosx.cos2x +1=0 2 ; 2 ; 2 3 x k k k π π α π β π   = ± + ± + ± +     4/ 1-5sinx+2cosx=0 cos 0x   ≥  2 6 x k π π = + 5/ Cho 3sin 3 x-3cos 2 x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos 2 x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2). Tìm n 0 của (1) đồng thời là n 0 của (2) ( nghiệm chung sinx= 1 3 ) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 5 ; 2 ; 2 6 6 x k k k π π π π π   = + +     7/ a/ tanx+ 3 cot x -2 = 0 b / 2 4 cos x +tanx=7 c * / sin 6 x+cos 4 x=cos2x x k π = 8/sin( 5 2 2 x π + )-3cos( 7 2 x π − )=1+2sinx 5 ; 2 ; 2 6 6 x k k k π π π π π   = + +     9/ 2 sin 2sin 2 2sin 1x x x − + = − 2 x k π π = + 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 5 ; 12 12 x k k π π π π   = + +     12/ 2 4 sin 2 4cos 2 1 0 2sin cos x x x x + − = 3 ; ; 4 8 8 x k n l π π π π π π   = + + +     13/ sin 1 cos 0x x+ + = (2 1) ; 2 2 x k k π π π   = + − +     14/ cos2x+3cosx+2=0 2 ; 2 3 x k k π π π π   = + ± +     15/ 2 4 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + − − = 3 x k π π = ± + 16/ 2cosx- sin x =1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1/a/ 3sin 2 x- 3 sinxcosx+2cos 2 x cosx=2 b/ 4 sin 2 x+3 3 sinxcosx- 2cos 2 x=4 c/3 sin 2 x+5 cos 2 x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin 2 x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos 2 x-5- 3 =0 2/ sinx- 4sin 3 x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 4 x k π π = + + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔ (cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin 2 x-2sin 2 x=3(cos2x+sinxcosx) ; 4 3 x k k π π π π   = + ± +     4/ 3cos 4 x-4sin 2 xcos 2 x+sin 4 x=0 ; 4 3 x k k π π π π   = ± + ± +     5/ 4cos 3 x+2sin 3 x-3sinx=0 4 x k π π = + 6/ 2 cos 3 x= sin3x 4 x k π π = + x k α π = + 7/ cos 3 x- sin 3 x= cosx+ sinx x k π = 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos 3 x 3 x k π π = ± + x k α π = + 9/sin 3 (x- π /4)= 2 sinx 3 4 x k π π = + Bai 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1/ sin 2 x+sin 2 3x=cos 2 2x+cos 2 4x ; ; 10 5 4 2 2 k k x k π π π π π π   = + + +     2/ cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=3/2 ; 8 4 k x k π π α π   = + +     3/sin 2 x+ sin 2 3x-3 cos 2 2x=0 ; 3 2 x k k π α π π   = ± + ± +     4/ cos3x+ sin7x=2sin 2 ( 5 4 2 x π + )-2cos 2 9 2 x ; ; 12 6 8 2 4 k k x k π π π π π π   = + − + −     5/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x với (0; )x π ∈ ; 4 10 5 k l x π π π   = +     6/sin 2 4x-cos 2 6x=sin( 10,5 10x π + ) với (0; ) 2 x π ∈ 3 9 ; ; .; 20 20 20 x π π π   =     7/ cos 4 x-5sin 4 x=1 x k π = 8/4sin 3 x-1=3- 3 cos3x 2 2 ; 6 3 18 3 k k x π π π π   = + − +     9/ sin 2 2x+ sin 2 4x= sin 2 6x ; 4 12 6 k k x π π π   = +     10/ sin 2 x= cos 2 2x+ cos 2 3x ; ; 4 2 2 6 k x k k π π π π π π   = + + ± +     11/ (sin 2 2x+cos 4 2x-1): sin cosx x =0 4 x k π π   = +     12/ 4sin 3 xcos3x+4cos 3 x sin3x+3 3 cos4x=3 ; 24 2 8 2 k k x π π π π   = + +     13/ 2cos 2 2x+ cos2x=4 sin 2 2xcos 2 x 14/ cos4xsinx- sin 2 2x=4sin 2 ( 4 2 x π − )-7/2 với 1x − <3 2 6 7 2 6 x k x k π π π π  = +    = +   k=0 15/ 2 cos 3 2x-4cos3xcos 3 x+cos6x-4sin3xsin 3 x=0 4 2 k x π π = + 16/ sin 3 xcos3x +cos 3 xsin3x=sin 3 4x 12 k x π = 17/ * 8cos 3 (x+ 3 π )=cos3x ; ; 3 6 x k k k π π π π π   = + +     18/cos10x+2cos 2 4x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos 2 3x 2x k π = 19/ sin 5 5sin x x =1 vô nghiệm 20 / cos7x+ sin 2 2x= cos 2 2x- cosx 2 ; 8 4 9 3 k k x π π π π   = + ± +     21/ sin 2 x+ sin 2 2x+ sin 2 3x=3/2 ; 8 4 6 k x m π π π π   = + ± +     22/ 3cos4x-2 cos 2 3x=1 Bai 2 1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 ; ; 3 8 4 k k x k π π π π   = +     2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 5 2 ; 2 ; 2 2 4 4 x k k k π π π π α π α π   = + − + + + +     3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 5 2 ; 2 ; 2 ; 2 6 6 2 x k k k k π π π π π π π   = + + +     4/sin 3 x+2cosx-2+sin 2 x=0 2 ; 2 2 x k k π π π   = +     5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 3 ; tan 2 x k x π = = − 6/ 3 2 sin2x+ 2 cos 2 x+ 6 cosx=0 2 2 x k π π = + 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 5 2 ; 2 6 6 x k k π π π π   = + +     8/ sin3 sin 5 3 5 x x = 2 ,cos2 3 x k x π = = − 9/ 2cos2x-8cosx+7= 1 cos x 2 ; 2 3 x k k π π π   = ± +     10/ cos 8 x+sin 8 x=2(cos 10 x+sin 10 x)+ 5 4 cos2x 4 x k π π = + 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 5 2 7 2 ; ; 2 ; 2 6 6 3 6 k x k k k π π π π π π π   = − + + +     12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 ; 2 4 3 x k k π π π π   = − + ± +     13/ sin 2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 ; 4 3 x k k π π π π   = − + ± +     14/ 2sin3x- 1 sin x =2cos3x+ 1 cos x ; 4 2 4 3 k k x π π π π   = + +     15/cos 3 x+cos 2 x+2sinx-2=0 2 ; 2 2 x k k π π π   = +     16/cos2x-2cos 3 x+sinx=0 5 2 ; 2 ;cos 2 4 4 2 x k k x π π π π π     = + + + =    ÷     17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1 cos x )=0 4 2 k x π π = + 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 5 11 2 ; 2 2 12 2 x k k k π π π π π π   = + + − +     19/1+cot2x= 2 1 cos 2 sin 2 x x − 4 2 k x π π = + 20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1 sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 2 x k π π = + 22/ 1+tanx=sinx+cosx 3 ; 2 4 x k k π π π   = +     23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx ; 4 x k k π π π   = +     24/ 2 2 sin( ) 4 x π + = 1 1 sin cosx x + 4 x k π π = + 25/ 2tanx+cotx= 2 3 sin 2x + 3 x k π π = + 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 2 1 ,cos( ) 4 4 2 x k x π π π − = − + + = 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 2 x k π π = + . phương trình hay không.  Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương trình bậc 2 theo tanx.  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc. phương trình hay không.  Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương trình bậc 3 theo tanx.  Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc