11a 1 thpt tien lu A. Kiến thức cơ bản 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau: - Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1. 2. Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên:  Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; …  Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; …  Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; … * Tính chất chia hết:  Các số chẵn thí chia hết cho 2.  Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.  Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.  Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.  Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.  Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8. * Tính chất lũy thừa:  a m . a n = a m+n  a m :a n = a m – n  (ab) n = a n . b n  (a m ) n = a m.n  n n n b a b a =        n m n m aa = * Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử : Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x 1 , x 2 thì: ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ) I. Chứng minh rằng  Nn ∈∀ ta luôn có các đẳng thức sau : 1.    + =+++ nn n 2.     ++ =+++ nnn n 3.      + =+++ nn n 4.      − =−+++ nn n 5.   nn =−++++ 6.   +=++++ nnnn 7.        + = + +++ n n nn 8.   +=−++++ nnnn 9.  +=++−+−+− nnn 10. nn nnn n            + −= + + +++ 11.     ++ =+++ nnn n II. Chứng minh rằng  Nn ∈∀ ta luôn có : 1. nn   + chia hết cho 3 2.  − n chia hết cho 6 3. nn   + chia hết cho 6 4.   + n chia hết cho 5 5.  − n chia hết cho 3 6.  −− n n chia hết cho 225 7.  −+ n n chia hết cho 9 8.  −+ n n chia hết cho 27 9. nnn   ++ + chia hết cho 11 10.   −− + nn chia hết cho 5 11.   −− + nn chia hết cho 19 12. nnnn   +++ chia hết cho 24 13.   −+ + n n chia hết cho 64 14.   − n chia hết cho 35 15.   −+ + n nn chia hết cho 25 16.   +++ ++ nnn chia hết cho 23 17.  −+ n n chia hết cho 9 18.   −+ + n n chia hết cho 64 19. nnnnnn   −+−+− chia hết cho 24 20.   +− nnn chia hết cho 6 21.   −+ + nn chia hết cho 133 III. Cho số thực Zkkx ∈≠  π . Chứng minh rằng  Nn ∈∀ , ta luôn có : 1.         x xnnx nxxx + =+++ 2.         x nxxn nxxx + =++++ IV. Cho số thực  −> x . Chứng minh rắng : nxx n +≥+  ,  Nn ∈∀ V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt : 1. n n       <+++ 2.         > + ++ + + + nnn 3.              + < + + n n n VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương  ≥ n , ta luôn có : n n n           + =       −       −       − VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :          >++ + + + nnn IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  ≥ n , ta luôn có đẳng thức : ( )   −−−− ++++−=− nnnn bbabaababa X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  ≥ n , ta có :  +> n n BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ : I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau : 1. Dãy số ( ) n u với n n u n   − = 2. Dãy số ( ) n u với   π n u n = 3. Dãy số ( ) n u với nn n u  −= II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :  Dãy số  n u với nn n u  −=  Dãy số  n u với   n u n n = III. Cho dãy số  n u với       ππ nn u n += . Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống sau đây : n 1 2 3 4 5 u n IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số    + − = x x y có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi n A là giao điểm của (C) với đường thẳng d : nx = . Xét dãy số  n u với n u là tung độ của điểm n A . Hãy tìm công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó . V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau : 1. Dãy số (  n u với   +−= nnu n 2. Dãy số  n u với nu n n −=  3. Dãy số  n u với   + = n n u n 4. Dãy số  n u với    + = n n n u 5. Dãy số  n u với    + +− = n nn u n 6. Dãy số  n u với   −−= nnu n Bai tap luyen BÀI 2 :       !  "#   !  $% & '( ' )  %*  + ' )  %  ,  -  ". & *%  /#       n n u u + = + #.     n ≥  + ' )  %  ,  -  ". & *%  /%  /0#      n n n u u u − − = − #.     n ≥ BÀI 3 :1( ' )       2  n n u u u n n + =   = + + ≥   34  $    -5  % 4% & ( ' )   +!  -   !  %  #  !  "$  6!.6  67%)  6 BÀI 4 :1( ' )      2  n n u u u n + = −   = + ≥   34  $    -5  % 4% & ( ' )   1!  "$  6!.6  67%)  6*%  /8 BÀI 5 :1( ' )        2  n n u u u n + =    = + ≥    34  $    -5  % 4% & ( ' )   +!  -   !  %  #  !  "$  6!.6  67%)  6 BÀI 6 :1( ' )  %  ,  -  ". &  !         2    n n n u u u u n + =    = − + + ≥      %  %  %  1!  9$  % : /%  #.      n∈ ¥ BÀI 7 :;<  = $>?@(A)BC  "D *  C  /:C  /  n n  C  /  8:EC  /   n n  C  /  8C  /      n n n − + +  C  /   n n + C  /      n n n + + +  C  /    n n − + FC  /0  n −  C  /    n n+ GC  / n n n + −  H   n u n = −    n n u n − = + BÀI 8 :3.     9    % &    ( ' )  %  #.     n na u n + = +   H  ( ' )   $I " J  ( ' )   & I BÀI 9 :1(A)BC  -!K,@-L"M*C  /#NC : /C  : n ∗ ∀ ∈Ν =C  2C  2C  "19*C  /0 n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 10 :1(A)BC  -!K,@-L"M*C  /#NC : /C   n ∗ ∀ ∈Ν =C  2C  2C  "19*C  / 0  n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 11 :1(A)BC  -!K,@-L"M*C  /#NC : /C  : n ∗ ∀ ∈Ν 19*C  /  8 n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 12:1(A)BC  -!K,@-L"M*C  /#NC : /C  :0 n ∗ ∀ ∈Ν 19*C  /  0 n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 13 :1(A)BC  -!K,@-L"M*       n n U U U + =    = −    n ∗ ∀ ∈Ν "     n n U U U + =   = −   n ∗ ∀ ∈Ν       n n U U U +  =    =   n ∗ ∀ ∈Ν OBP Q7%@ ?@(A)B 94 BÀI 14 :;<  ="LR?@(A)BC  -!K,@-L"M*       n n U n + = −  n ∗ ∀ ∈Ν        n n + +  n ∗ ∀ ∈Ν      n ∗ ∀ ∈Ν      n n +  n ∗ ∀ ∈Ν       n −  n ∗ ∀ ∈Ν           n u n = −    n u n n= + BÀI 15 :  ứ ằ ́   ớ     n n u n + = +    ́ ̉ ̣ ặ BÀI 16 :!́   ớ      "#$ %&́ ă ́ ̣ ̀ ̉ ́  '($ $ứ ̀   $    ứ ́ ă ̣ ặ ướ BÀI 17 :!́   ớ    n s n π = −    ứ ằ   ) *$+$,%&$#%!̉ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ́ BÀI 18 :!́  -.% $ ̣ ở ứ     2  n n u u u n n + =    = + ≥    '($ $/.$ứ ̉ ́ ̣ ̉ '+$ 00́ ̣ ứ ̉ ́ Bài 3*CẤP SỐ CỘNG A/ LÝ THUYẾT* / Định nghĩa* Cấp số cộngHNS (A)BT%PR#P 9-UGV WBP X 9M -YBP-Z%"[BP-X) 9!\US#\S BG-Q( ]B(-!K^HNcông sai?_6BS Như vậy*C  HN_6BS ⇔ C : /C  :( n ∗ ∀ ∈Ν  2/ Số hạng tổng quát* `D%_6BSC  UBP-a%C  #N( Osố hạng tổng quát U n -!K,@ -L"M X* C  /C  :0( n ∗ ∀ ∈Ν #N ≥  3/ tính chất các số hạng của cấp số cộng* 9S _6BSYBP 9WBP-a%#N%B-Z%HNtrung bình cộng? BP-XGZ#\UbHN*     k k k U U U − + + =  n ∗ ∀ ∈Ν #N ≥  4/ tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng* 1_6BSC  -R      n n S U U U U= + + + + G-U     n n n u u S + = ) [ ]      n n u n d S + − =  B/BÀI TẬP* Bài 1 : trong các dãy số (U n ) được xác định như sau ,dãy nào là CSC : C  /0"C  /  : C  /:  8  (     n n U U U + =   = −  cC  /: E%  /8 %  /  :      n n u u u + =   = −  %  /  F   n n u = − G    n n u − = H%  /8 bài 2 : trong các dãy số (U n ) được xác định như sau ,dãy nào là CSC ,xác định công sai của CSC đó :  dãy (U n ) được xác định bởi U 1 = 1 và U n+1 = 3 + U n với n∀ ≥  dãy (U n ) được xác định bởi U 1 = 3 và U n+1 = U n –n với n∀ ≥  dãy (U n ) được xác định bởi U n+1 = U n + 2 với n∀ ≥ bài 3 : cho dãy số (U n ) với U n = 9 - 5n a) viết 5 số hạng đầu của dãy  cmr : dãy số (U n ) là CSC .chỉ rõ U 1 và d c) tính tổng của 100 số hạng đầu bài 4 : tính số hạng đầu U 1 và công sai d của 1 CSC (U n ) biết : a)       U U S + =   =  b)     U U =   =  c)        U U U U U + − =   + =  d)        U U U U − =   =  e) f) g) h) i) j) k) l) bài 5 : CSC (U n ) có S 6 = 18 và S 10 = 110  Hd6 XBP Q7%@ C    =]   bài 6: tìm CSC (U n ) biết : a)            U U U U U U + + =    + + =   b)              n n U U U U a U U U U b + + + + =    + + + + =   bài 7 : tính số các số hạng của CSC (U n ) biết :         n n U U U U U + + + =   + =  Bài 8: tìm x từ phương trình : ::::,/"D e,HN1]1 ",::,::,::e:,:/"D eHN1]1 Bài9R T0#N@%BT-V-!KS 1]1 "N*C  HN1]1UC  :C  / O Q]  ?BP-a%?_6B-U Bài 11 :cho (U n ) là 1 CSC có U 4 + U 11 = 20 O Q]  ?BP-a%?_6B-U Bài 4: CẤP SỐ NHÂN A/lý thuyết* 1/định nghĩa* Cấp số nhânHNS (A)BT%PR#P 9-UGV WBP X 9M- YBP-Z%HN =?BP-X) 9!\U#\S BG-Q7 ]B7-!K^HNcông bội?1]` `D%%  HN1]`#\"S7 U X 9%)f* % : /%  7 n ∗ ∀ ∈Ν  2 ) Số hạng tổng quát của một CSN* `D%_6B5UBP-a%%  #N"S7 Osố hạng tổng quát u n -!K,@-L "M X* U n = u 1 . q n-1 , n∀ ≥ . 3) Tính chất các số hạng của CSN* 9S 1]`"O6!.?YBP 9WBP-a%#N%B-Z%HN =? BP-XGZ#\UbHN*     k k k u u u − + =  k∀ ≥  gTổng n số hạng đầu của một CSN : 1_6B5%  #\"S7 ≠ -R  S n = u 1 + u 2 + … +u n . Khi đó : s n =     n u q q − − B/Bài tập : Bài 1*1(A)B%  #\%  / :  19(A)B%  HNS 1]` " ]BHNBP X_)?(A)BN)I Bài 2*3D $B,cT@B#N-V-!KS 1]`UBP= Q @BP?_6BN) Bài 3 :3D B,cT@B0#N-V-!KS 1]`UBP]BP X HN"4%I Bài 4 :hS 1]1#NS -Z%HN@(A) $@BP X_ -Z%"[@B P X"[%iBT@BP X?#NHN   O_6B_) Bài 5 :1B%)4(!. 9-UB-a%Hd6 NS B%Hd6 N S "D 9[ Q?BP-a%#N%BHN Q?BPTHNO B-U Bài 5*1@(A)B%  %-5)(A)BNHNI %  /0 : 2"%  /0   : 2      n n u u u + =   =  (      n n n u u u u + =    = +   [...]...u1 + u5 = 51 Bài 6 : CSN (un) có :  u2 + u6 = 102 a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSN ; b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ? c) Số 12 288 là số hạng thứ mấy ? Bài 7 : Tìm các số hạng của CSN (un) ,biết a) q=2 , un=96 ,sn=189 ; b) u1=2 , un= 1 31 ,sn= 8 8 Bài 8 : Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (un) ,biết : u5 − u1 = 15 a)  u4 − u2 = 6 u2 . 2 : trong các dãy số (U n ) được xác định như sau ,dãy nào là CSC ,xác định công sai của CSC đó :  dãy (U n ) được xác định bởi U 1 = 1 và U n+1 = 3.  cmr : dãy số (U n ) là CSC .chỉ rõ U 1 và d c) tính tổng của 100 số hạng đầu bài 4 : tính số hạng đầu U 1 và công sai d của 1 CSC (U n ) biết : a)  