Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Phần 1: Các cơng thức tính đạo hàm I KiÕn thức Bảng đạo hàm hàm số Hàm số Đạo hàm (y = f(x)) (y = f(x)) Hàm số Đạo hàm y=c y = tanx y=x y = cotx y = xn nxn-1  x x y = ex cos x  sin x ex y = ax ax lna y = lnx 1/x y = logax ln a x y = 1/x y x y = sinx cosx y = cosx -sinx Đạo hàm hàm hợp Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm hàm số đà cho theo x nh- sau yx'  f x'  fu' ux' Bảng đạo hàm hàm số hợp Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm y = un n.un-1.u y = sinu u ' u2 u ' u u’.cosu y = cosu - u’.sinu y = logau ln a u ' u y = 1/u y u  y = tanu y = cotu u’ cos u  u’ sin u y = eu u’.eu y = au u’.au lna u ' u y = lnu Chó ý: Khi áp dụng tính đạo hàm hàm hợp ta ý ban đầu tính đạo hàm hàm số theo biến u nhân với đạo hàm hàm số u theo biến x Các phép toán đạo hàm Cho hai hµm sè y = u(x), y = v(x) Khi ®ã *) (u + v)’ = u’ + v’ *) (u - v)’ = u’ – v’ *) (uv)’ = uv + vu Đạo hàm ứng dụng tập 1 Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn sè *) (ku)’ = k.u’ ( k lµ h»ng sè) '  u  u ' v  v 'u *) v2 v Đạo hàm bậc cao hàm số Đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) đạo hàm bậc đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) ( n > 1) II Các dạng toán Dạng Tính đạo hàm hàm số Ph-ơng pháp Ta vận dụng quy tắc phép tính đạo hàm, đặc biệt đạo hàm hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm điểm ta cần tính đạo hàm thay vào đe đ-ợc kết Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau a) y x3 x  3x  b) y  sin x  cos x  tan x d) y  cot x  3x  Gi¶i c) y  x  x a) Ta cã y '   x3  x  3x    3x  x  ' b) Ta cã y '   sin x  cos x  tan x   cos x  sin x  ' c) Ta cã   cos x x ' y '  x  x  x3  d) Ta cã 3 sin x VÝ dô Tính đạo hàm hàm số sau điểm t-¬ng øng a) y   x3  3x  x  t¹i x0 = -1 y '   cot x  3x     ' b) y  sin x  cos x t¹i x0    c) y  x  x t¹i x0 = Gi¶i a) Ta cã y '    x3  3x  x  1  3x  x  suy y ' (1)  3    13 ' b) Ta cã ' y '   sin x  cos x   2cos2 x  sin x       suy y '     2cos     sin      4  c) Ta có Đạo hàm øng dơng tËp Tỉ To¸n _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè y'    ' x  2x   suy y '    2 1 2 2 x 2 VÝ dô TÝnh đạo hàm hàm số sau x 3x  2x  a) y  b) y  c) y  x  3x  x 1 x2 d) y  sin(2 x  1)  cos(1  x) e) y  3x  f) y  x  x  g) y  tan( x  x  1) Gi¶i a) Ta cã  x    x  1  x     x  1 x   x   x  y      2  x2   x  2  x  2  x  2 b) Ta cã ' ' ' ' '  x  3x   (2 x  3)( x  1)  ( x  3x  1) x  x  y     2 x   x  1  x  1   c) Ta cã ' y '   x  3x    x3  x ' d) Ta cã ' y '   sin(2 x  1)  cos(1  x)   2cos(2 x  1)  sin(1  x) e) Ta cã ' y '  3x   3x  f) Ta cã ' 2x  x2 y'  x2  4x    x2  x  x2  x  g) Ta cã       ' y '  tan( x  x  1)    x2  x  ' cos ( x  x  1) 2x x  x   2 cos ( x  x  1) x cos ( x  x  1) Dạng Giải phương trình y = Ph-ơng pháp Ta tính y sau giải phương trình y = Ví dụ Giải phương trình y = biÕt x2 a) y  b) y  x3  3x c) y  x3  12 x2  x  x 1 x4 x2  x  x  3x  d) y  e) y  f) y   3x  2 x 1 x 1 2x Đạo hàm ứng dụng tập Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số x2  x  h) y  x 1 Gi¶i g) y   x  x  2 x2  x i) y  x 1 a) Ta cã '  x2  x2  x x  x2  x ' ' suy y   y    x2  x      2  x  1 x   x    x  Vây phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = b) Ta cã ' x  y '   x3  3x   3x  x suy y '   3x  x    x  Vây phương trình y = có hai nghiệm phân biƯt x = vµ x = c) Ta cã y '   x3  12 x  x  1  12 x  24 x  '  x   Suy y '   12 x  24 x    x Vây phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x  , x  2 d) Ta cã '  x2  x   x2  x y    x    x  12  ' x    x  x    x  2  x  1  Vậy phương trình y = có hai nghiệm phân biƯt x = vµ x = -2 e) Ta cã suy y   ' x2  x '  x  3x   x  x y     x    x  1 ' x    x  x    x  2 x Vậy phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = -2 f) Ta cã suy y   ' x2  x '  x4 5 y    3x    x3  x 2  ' x  Suy y '   x3  x    x  Đạo hàm ứng dụng tập Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Vậy phương trình y = có ba nghiệm phân biÖt x  0, x   g) Ta cã y '    x  x  3  4 x3  x ' Suy y '   4 x3  x   x  Vậy ph-ơng trình y = có nghiệm x = h) Ta cã '  x2  x   x2  2x  y    x   x  1   '  x  1   x2  x      x  1 x  VËy ph­¬ng trình y = có hai nghiệm phân biệt x = -1 vµ x = i) Ta cã Suy y '  0'  x2  x  '  x2  x  2x2  4x  y    x   x  1   '  2  x  2x  4x    x2  x     Suy y '     x  1 2  x   2  2 ,x Vậy ph-ơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x 2 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm Ph-ơng pháp: Tính đạo hàm sử dụng phép biến đổi đặc biệt hàm l-ợng giác Ví dụ Chøng minh r»ng a) y’ – y2 -1 = víi y = tanx b) y’ + 2y2 + = víi y = cot2x c) y’2 + 4y2 = víi y = sin2x Gi¶i a) Ta cã y '  cos x Khi ®ã sin x  sin x  cos x y'  y2      cos x cos x cos x   sin x  cos x     0 cos x cos x Vậy ta có điều cần chứng minh b) Ta cã y '   sin x Đạo hàm ứng dụng tập Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn sè Khi ®ã 2   sin 2 x  cos 2 x  2cos 2 x y  2y     2 0 sin x sin 2 x sin 2 x Vậy ta có điều cần chøng minh c) Ta cã y’ = 2cos2x ' Khi ®ã  y '   y  4cos2 x  4sin 2 x  Vậy ta có điều cần chứng minh III Bài tập tự luyện Bài Tính đạo hàm hµm sè sau x2  x  x2  x  a) y  b) y  c) x 1 x 1 d) y  x  x  e) y  x3 3x f) Bài Tính đạo hàm hàm số sau x2 a) y b) y  x3  3x  c) x 1 3x  3x  x  d) y  e) y  f) x2 2x  Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm t-ơng ứng x 3x a) y điểm x0 = -1 x 1 b) y  x  5x  điểm x0 = 2 c) y x3  x  x  điểm x0 Bài Giải phương trình y = trường hợp sau x  3x  x2  a) y  b) y  c) x 1 x  d) y  x  5x  e) y  2 x  x  f) x  3x y x 1 y  x3  3x  x2 y x 1 y  2 x  3x  y  x  3x  y   x  3x  Phần 2: Tiếp tuyến đồ thi hàm s I Kiến thức Tiếp tuyến điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 điểm thuộc vào TXĐ hàm số tồn đạo hàm Khi ta có tiếp tuyến với (C) điểm (x0; f(x0)) có ph-ơng trình y = y/(x0)(x-x0) + f(x0) Nhận xét: ta có y/(x0) hệ số góc tiếp tuyến Ta cần tìm đ-ợc hệ số góc tiếp điểm tr-ờng hợp muốn viết ph-ơng trình tiếp tuyến với đ-ờng cong Các tập hay gặp phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay giao điểm đồ thị hàm số với đ-ờng thẳng Đạo hàm ứng dụng tập Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số 2 Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2)  f ( x)  g ( x) Khi ®ã (C1) tiÕp xóc với (C2) hệ ph-ơng trình ' cã ' f ( x )  g ( x )  nghiƯm Chó ý: + NÕu hai ®å thị (C1) (C2) hai đ-ờng cong chúng tiếp xúc với hai điểm hệ cã hai nghiƯm ph©n biƯt + NÕu mét hai đ-ờng đ-ờng thẳng để có hai tiếp tuyến ta cần hệ có hai nghiệm phân biệt II Dạng toán Dạng Viết ph-ơng trình tiếp tuyến điểm Ph-ơng pháp: Ta cần tìm đ-ợc toạ độ tiếp điểm dựa vào kiện toán đà cho Nhận xét: Trong dạng ta th-ờng gặp tr-ờng hợp sau + Cho biết tọa ®é cđa tiÕp ®iĨm + Cho biÕt hoµnh ®é cđa tiếp điểm điều kiện để tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm + Biết tung độ tiếp điểm điều kiện để tìm đ-ợc tung độ tiếp điểm + Tiếp điểm giao điểm đồ thị với đồ thị khác Khi ta cần giải hệ ph-ơng trình để tìm toạ độ tiếp ®iĨm D¹ng TiÕp tun ®i qua mét ®iĨm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm M(xM; yM) Ph-ơng pháp: Cách 1: Tìm tiếp điểm Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm M0(x0; y0) Khi tiếp tuyến cần tìm có ph-ơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Mà tiếp tuyến qua điểm M(xM; yM) suy yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải ph-ơng trình ta tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm sau tìm y0 = f(x0) viết ph-ơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Giả sử đ-ờng thẳng qua M(xM; yM) cã hƯ sè gãc k ®ã nã cã ph-ơng trình y = k(x-xM) + yM Ta có đ-ờng thẳng y = k(x-xM) + yM tiếp tuyến ®-êng cong (C)  f ( x)  k ( x  xM )  yM  / gi¶i hƯ ta tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm sau f ( x) k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng Nhận xét: có nghiệm x ta có nhiêu tiếp tuyến qua điểm M Dạng Tiếp tuyến cho tr-ớc hệ số góc: Ph-ơng pháp Cách Tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm M0(x0; y0) Khi tiếp tuyến cần tìm có ph-ơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Đạo hàm ứng dơng tËp Tỉ To¸n _ Tin tr-êng thpt lục ngạn số Khi theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải ph-ơng trình ta tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm sau tìm y0 = f(x0) viết ph-ơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng Nhận xét: Trong dạng ta gặp tập nh- sau: *) Tiếp tuyến có hệ số góc k ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k sau viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = ax + b ®ã tiÕp tun cã hƯ sè gãc k = sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k a viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = ax+ b tiếp tuyến có hệ số góc k= a sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc hệ số góc tiếp tuyến k = tan sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng y = ax +b mét gãc  ®ã hƯ sè hãc cđa tiÕp k a  tan  hc chóng ta dùng tích vô h-ớng hai véctơ tuyến k thoả mÃn ka pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng III Ví dụ Ví dơ 1: Cho hµm sè y  f ( x)  x3  x  x  (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) biết a) Hoành độ tiếp điểm lần l-ợt -1; 3; b) Tung độ tiếp điểm lần l-ợt -4 c) Tiếp điểm giao (C) với trục hoành Giải TXĐ: D Ta có y /  f / ( x)  3x  x a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta cã y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; f / ( x0 )  f / (1)  suy tiÕp tuyÕn víi (C) có ph-ơng trình y = f/(-1)(x+1) hay y = - Với hoành độ tiếp điểm x0 = ta cã y0 = f(x0) = f(3) = 44; f / ( x0 )  f / (3)  40 suy tiÕp tun víi (C) ®ã có ph-ơng trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76 b) Víi tung ®é tiÕp ®iĨm y0 = - ta cã x0 = -1 hc x0 = Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta cã f / ( x0 )  f / (1)  suy tiÕp tuyÕn víi (C) có ph-ơng trình y = f/(-1)(x+1) hay y = - Víi x0 = ta cã f / ( x0 )  f / (0)  suy tiÕp tun víi (C) ®ã có ph-ơng trình y = f/(0)(x+1) hay y = x – c) Giao ®iĨm cđa (C) víi trục hoành có hoành độ nghiệm ph-ơng trình y   x3  x2  x    ( x  1)( x  3x  4)   x  Khi ®ã f / (1)  suy tiếp tuyến với (C) có ph-ơng trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x Đạo hàm ứng dụng tập Tổ Toán _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè VÝ dơ 2: Cho hµm sè y  f ( x)  x3  m( x 1) (Cm) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến (Cm) giao điểm với Oy, tìm m để tiếp tuyến chắn hai trục tạo tam giác có diện tích Giải TXĐ: D Ta có (Cm) giao với Oy điểm A(0; -m) y / f / ( x)  3x  m Khi tiếp tuyến cần tìm y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m 1 m TiÕp tuyến cắt trục hoành điểm B( ; 0) (m  0) suy m 1 1 m SOAB  | y A | | xB | |1  m | | |  16 | m | m  2m  2 m m    16m  m2  2m   m2  14m        2 16 m  m  m  m  18 m    m     Víi m = th× đồ thị hàm số đà cho không cắt trục hoành suy không tồn tam m giác OAB Vậy với tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo m   tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng VÝ dơ 3: Cho hµm sè y  f ( x)  x3  3x (C ) viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) biết a) TiÕp tun ®ã cã hƯ sè gãc k = b) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y x Giải / / TXĐ: D  Ta cã y  f ( x)  3x  x a) Gäi A(xA; yA) lµ tiÕp điểm tiếp tuyến cần tìm ta có  x  1 f / ( xA )  3xA2  xA   3xA2  xA     A  xA  Víi xA  1 ta cã y A tiếp tuyến với (C) cần tìm lµ y = 9(x+1) – hay y=9x+5 Víi xA = ta cã yA = ®ã tiÕp tuyến với (C ) cần tìm y =9(x-3) hay y= 9x – 27 VËy cã hai tiÕp tuyÕn víi (C) cã hƯ sè gãc lµ k = lµ y=9x+5 vµ y= 9x – 27 b) Gäi M(xM ;yM) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đ-ờng thẳng y x suy hƯ sè gãc cđa nã lµ k = -3 (Làm t-ơng tự nh- phần a) Ví dơ 4: Cho hµm sè y  x3  3x  12 x  (C) ViÕt ph-¬ng trình tiếp tuyến với (C) tr-ờng hợp sau Đạo hàm ứng dụng tập Tổ Toán _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè a) TiÕp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = 6x b) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng y   x  mét gãc 450 Gi¶i TX§: D   Ta cã y /  x  x  12 a) V× tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = 6x – suy hƯ sè gãc cđa tiÕp tun k = Gọi M0(x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi ta có  13  x0  y / ( x0 )   x02  x0  12   x02  x0       13  x0    13 20 13  23 Víi x0  ta cã y0  ®ã tiÕp tuyến cần tìm 2 13 20 13  23 26 13  29 y  6( x  )  y  6x  2  13 13  23 Víi x0  ta cã y0   ®ã tiÕp tuyÕn cần tìm 2 13 13  23 13 13  29 y  6( x  )  y  6x  2 b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đ-ờng th¼ng y   x  mét gãc 450 suy hƯ sè gãc cđa tiÕp tun lµ k tho¶ m·n 1  k k    k k   k   tan 45    2k  |  k |   k  k   k  2  k  1  k  sau làm t-ơng tự nh- phần a (Tìm tiếp điểm) Ví dụ 5: Viết ph-ơng trình tiếp tuyÕn víi (C) : y  x3  3x  ®i qua ®iĨm  19  A ;   12  Gi¶i  19 Giả sử đ-ờng thẳng qua A ;  cã hƯ sè gãc k, ®ã nã cã d¹ng  12  19 y  kx   k (d) 12 Ta cã (d) tiÕp xóc với (C) hệ ph-ơng trình sau có nghịêm 19 2 x 3x   kx   k (1) 12  6 x  x  k (2) Đạo hàm ứng dụng tập 10 Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Thay (2) vµo (1) ta cã x3  3x   (6 x  x) x   19 (6 x  x)  x3  25 x  19 x   12  x 1  ( x  1)(8 x  17 x  2)    x   x    19  VËy cã ba tiÕp tun víi (C) ®i qua ®iĨm A  ; ( Tự viết ph-ơng trình tiếp 12 tun) VÝ dơ Cho hµm sè y  x3  3x  3x  (C ) a) CMR: Không tồn hai điểm (C ) cho tiếp tuyến hai điểm vuông góc với b) Tìm k cho (C) có điểm cho tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = kx + m Giải a) Giả sử (C) có hai điểm M1(x1; y1) M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) ®ã vu«ng gãc víi Ta cã y’ = 3x2 + 6x + = 3(x+1)2 Khi ®ã ta cã -1 = y'(x1 ).y'(x1 ) = 9.(x1 +1)2 (x + 1)2   1  v« lý Suy giả sử sai hay ta có điều cần chứng minh b) Ví dụ Cho hàm số y = x3 - x2 có đồ thị (C) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(3; 0) Giải Đ-ờng thẳng () qua A(3; 0) vµ cã hƯ sè gãc k cã dạng: y = k(x - 3) +) () tếp tuyÕn víi (C)  k = x2  x    x  x  k ( x  3) 3 ThÕ (1) vµo (2): (1) (2) HÖ cã nghiÖm x  x  ( x  x )( x  3) x0  2x3 -12x2 + 18x = x Đạo hàm øng dơng tËp 11 Tỉ To¸n _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè +) Víi x1 =  k1 =  PTT2: y = +) Víi x2 =  k2 =  PTT2: y = 3x - VËy cã hai tiÕp tuyÕn với đồ thị hàm số đà cho thoả mÃn yêu cầu toán y = y = 3x – x2  x  VÝ dô Tìm a để đồ thị hàm số y (C) tiÕp xóc víi (P) : y = x2 + a x 1 Gi¶i  x2  x (1) 2x = ( x  1)2  §iỊu kiƯn tiÕp xóc đồ thị (C) với (P) x  x   x  a (2)  x  HƯ cã nghiƯm Gi¶i (1)  x = ThÕ vµo (2)  a = - Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiÕp xóc víi (P) x2  2x  VÝ dơ Cho ®-êng cong y  (C) x 1 Tìm điểm Ox từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến vuông gãc víi Gi¶i: Gäi M(a; 0)  Ox; ∆ đ-ờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)   k   ( x  1)2 (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C)    k ( x  a)  x    x 1 nghiÖm  k ( x  1)  x   (1)  x   k ( x  a)  x   (2) x 1  (2) - (1)  k (1 a) (3) x Đạo hàm øng dơng tËp 12 (1) (I) (2) HƯ cã Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số k Kết hợp (3) (1) ta cã:  k (1  a)2 (4) k    (4)  k2(1 - a)2 + 4k - = Từ M kẻ đ-ợc hai tiÕp tun vu«ng gãc víi tíi (C)  HƯ có hai nghiệm phân biệt k1, k2 k1.k2 = -1  a 1   4  (1  a)2  1  a   a = - 1, a = Vậy điểm cần tìm (-1; 0); (3; 0) Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ t-ơng đ-ơng mà có a k Nhận thấy tính đ-ợc theo a k thay vào ph-ơng trình (1) đ-ợc hệ x t-ơng đ-ơng có ph-ơng trình chứa a k từ ta có phép biến đổi nh- cách giải ngắn gọn x2 2x VÝ dơ 10 Cho ®-êng cong y  x (C) Tìm điểm mặt phẳng toạ độ mà từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến vuông góc với Giải: () đ-ờng thẳng qua M(a; b) có hƯ sè gãc k nªn PT (∆): y = k(x - a) + b   k   ( x  1)2 (∆) lµ tiÕp tun cđa (C)    k ( x  a)  b  x    x 1  k ( x  1)  x    x 1    k ( x  a)  b  x   x 1  LÊy (4) - (3)  (1) HÖ cã nghiÖm (2) (3) (4) k (1  a)  b (5)  k (1  a) b x x Đạo hàm ứng dụng tập 13 Tổ Toán _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè  k 1 Kết hợp (5) (1) ta có hệ   k (1  a)  b   k       (6) ( k  v× tõ (1) nÕu k = x, hệ vô nghiệm.) k  2 k (1  a)  2((1  a)b  2)k  b   (7) Vì từ M kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến vuông gãc víi tíi (C)  hƯ trªn cã hai nghiệm phân biệt k1, k2 k1.k2 = -  a 1    b   1 (8)  1  a   (1  a)2  2((1  a)b  2)  b2   (9)  a 1  (1  a)2  b2  1  a  b   (10) (I) (11) ThÕ (10) vµo (9): 2[(1 - a)b + 2]   (1 - a)b +  Tõ (10)  (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = + 2(1 - a)b  (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b) V× 2+ (1 - a)b   - a + b Vậy ta có tập hợp điểm M cần tìm đ-ờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ điểm giao đ-ờng thẳng x = - x + y + = với đ-ờng tròn ®iÓm (1;  2); (  2; ); (  2;  ) 2x2  x  VÝ dơ 11 Cho ®-êng cong: y  (C) x Tìm tất điểm đ-ờng thẳng y = mà từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với đ-ờng cong (C) mà hai tiếp tuyến hợp với góc = 450 Giải: Gọi M đt: y = M(a; 7) Ph-ơng trình đ-ờng thẳng () qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + Đạo hàm ứng dụng tập 14 Tổ Toán _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè 2  k   (1)  ( x  1) (∆) lµ tiÕp tun cđa (C)   HƯ cã nghiƯm  k ( x  a)   x   (2) x 1   k ( x  1)  2( x  1)  (3)  x 1   k ( x  a)   x   (4)  x 1 LÊy (4) - (3):  k (1  a)  (5)  k (1  a)    x 1 x 1 k   Kết hợp (5) (1) k (1  a)    k       k    2 k (1  a)  8k (2  a)  (6) Tõ M kỴ hai tiÕp tun hỵp víi y gãc  = 450 Không tính chất tổng quát Ta giả sử: 1  450  2  tan 1   tan 2  k2  k1   tan 2  k2  k1 - k1.k2 = + k2 (7) Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà c có nghiệm a nghiệm khác a 1  a 1   VËy tõ (6)   k1  hc  k1  (8) k  k    k k Kết hợp (8) (7) ta cã:  hc  k2  k2 Đạo hàm ứng dụng tập 15 2 O 1 x Tỉ To¸n _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè a   NÕu k1 = 1, tõ (6) :  a  (1  a)2  8(2  a)   a   NÕu k2 = -1 , tõ (8) : a   (1  a)2  8(2  a)   a=52  a = - 3 VËy c¸c điểm tìm đ-ợc : M1;2 ( 2 ; 7); M3;4( 3  ; 7) Ví dụ 12 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến chung hai (P) sau : y = x2 - 3x + (1) vµ y = - x2 + 7x - 11 (2) Giải: Gọi tiếp tuyến chung : y = ax + b Gäi M0(x0 ; y0) vµ M '0 ( x '0 ; y '0 ) lµ tiÕp ®iĨm cđa tiÕp tun víi Parabol (1) vµ (2) Theo ®iỊu kiƯn tiÕp xóc cđa hai ®-êng ta cã hƯ sau : (1)  a  x0   a  2 x '  (2)   (3)  x0  x0   ax0  b  x '20  x '  11  ax '  b (4) HƯ cã nghiƯm Tõ (1) vµ (2)  x0   x '0 (5) Tõ (3) vµ (4)  (5  x '0 )2   x '20 11 Giải tìm đ-ợc x '0(1)   a1  3; b1  7 x '0(2)   a2  1; b2  2 KÕt luËn: TiÕp tuyÕn chung lµ: y = 3x - vµ y = x – VÝ dơ 13 Tìm tiếp tuyến cố định họ đ-ờng cong có ph-ơng trình: y (m 1) x m xm (m 0) Giải: Gọi đ-ờng thẳng: y = ax + b tiếp tuyến cố định họ đ-ờng cong Hệ ph-ơng trình sau có nghiệm m Đạo hàm ứng dụng tập 16 Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số m m   x  m  ax  b    m a  ( x  m)2 LÊy (3) - (4): (1) (2)  m2  m   x  m  ax  b   m  a( x  m)  x  m m(a  1)  b   xm 2m KÕt hợp (2) (5) ta đ-ợc: a (3) (4) (5) (m(a  1)  b  1)2 4m  (a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 =  (a  1)2 a = Ph-ơng trình thỏa m·n m ≠  2(a  1)(b  1)    b  1  (b  1)2   KÕt luËn: VËy hä ®-êng cong có tiếp tuyến cố định là: y = - x - IV Bµi tËp tù lun Bµi Cho (Cm ) : y  x3  mx Tìm m để (Cm ) cắt đ-ờng thẳng y = -x + ba điểm A(0; 1), B, C cho tiÕp tun víi (Cm ) t¹i B C vuông góc với Bài Tìm điểm đồ thị hàm số y x3 x mà tiếp tuyến vuông 3 góc với đ-ờng thẳng y   x  3 Bµi Cho hµm sè y  x  3x  1(C ) CMR: Trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đ-ờng thẳng nối cặp điểm đồng quy điểm cố định Bµi Cho y  x3  3x  x  (C ) T×m tiÕp tuyÕn víi (C) cã hƯ sè gãc nhá nhÊt   y  x  x  x  (C1 ) Bµi Cho  ViÕt ph-ơng trình tiếp tuyến với hai đồ thị y  x  x  x ( C ) giao điểm chúng Bài Viết ph-ơng trình tiếp tuyÕn víi (C ) y  x3   k ( x 1) giao điểm với trục Oy Tìm k để tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tÝch b»ng Bµi Cho hµm sè (C ) : y  x3  x  x Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tr-ờng hợp sau a) Có hệ sè gãc k = - b) TiÕp tuyÕn t¹o với chiều d-ơng trục hoành góc 600 c) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc 150 d) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc 750 Đạo hàm ứng dụng tập 17 Tổ Toán _ Tin tr-êng thpt lơc ng¹n sè e) TiÕp tun tạo song song với đ-ờng thẳng y = - x + f) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = 2x – g) TiÕp tun t¹o víi đ-ờng thẳng y= 3x + góc 450 Bài Cho hµm sè (C ) : y  x3  3x 23 a) Viết ph-ơng trình tiếp tun víi (C) ®i qua ®iĨm A( ;  2) b) Tìm đ-ờng thẳng y = - điểm kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với Bài Cho hàm số (C ) : y   x3  3x  Tìm trục hoành điểm kẻ đ-ợc ba tiếp tuyến với (C) (ĐH SPHN2- KB-1999) Bài 10 Cho hµm sè (C ) : y  x  x Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(2; 0) (ĐH THHN- 1994) 3x  Bµi 11 Cho hµm sè (C ) : y Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với x trục hoành góc 450 4x Bµi 12 Cho hµm sè (C ) : y Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với x đ-ờng thẳng y = 3x góc 450 x Bài 13 Tìm Oy điểm kẻ ®-ỵc ®óng mét tiÕp tun víi (C ) : y  x 1 x2  x  Bµi 14 Cho hµm sè (C ) : y  Tìm M (C) cho tiếp tuyến với (C) x M cắt hai trục Ox, Oy A, B tạo tam giác OAB vuông cân (HVBCVTHN - 1997) 2 x  5x Bµi 15 Cho hµm sè (C ) : y  CMR: TiÕp tuyến với (C) điểm M x2 tùy ý tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Bài 16 Tìm điểm đồ thị (C ) : y x3 x mà tiếp tuyến vuông 3 góc với đ-ờng thẳng y x (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) 3 Bài 17 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y x3  3x  x  (ĐH Ngoại Th-ơng TPHCM 1998) Bài 18 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y  x3  mx  x  m  ( Häc viÖn quan hệ quốc tế 2001) Bài 19 Tìm điểm M ®å thÞ (C ) : y  x3  3x  12 x  cho tiÕp tun víi (C) tai M ®i qua gèc täa ®é ( ĐH Công Đoàn 2001) Bài 20 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến điểm cố định mà đồ thị (Cm ) : y  x3  mx  m Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến Đạo hàm ứng dụng tập 18 Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số ( ĐH an ninh 2000_ k A) Bài 21 Cho đồ thị hàm số (C ) : y x  3x   23  a) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A  ; 2    b) Tìm đ-ờng thẳng y = -2 điểm mà từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với (C) chúng vuông góc với Bài 22 Cho hàm số y x3 3x (C ) Tìm điểm đ-ờng thẳng x = kẻ đ-ợc ba tiếp tuyến với (C) ( ĐH cần thơ 2000_ k A) 2 x  Bµi 23 Cho hµm số y (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp x 1 tuyÕn song song với đ-ờng thẳng y = -x ( ĐH đà lạt 2000_ k A) Bµi 24 Cho hµm sè y  3x x3 (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(1; 3) ( ĐH tây nguyên 2000_ k A) Bài 25 Cho hµm sè y  x  3x  1(C ) Đ-ờng thẳng y = tiếp xúc với (C) A cắt (C ) điểm B, tìm tọa độ điểm B ( ĐH tây nguyên 2000_ k D) Bµi 26 Cho hµm sè y  x3  3x  (C ) ViÕt ph-¬ng trình tiếp tuyến với (C ) qua điểm A(1; 0) ( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D) Bài 27 Tìm điểm trục hoành kẻ đ-ợc ®óng mét tiÕp tun víi ®å thÞ x2  x  (C ) : y  x2 x2 x Bài 28 Cho đồ thị (C ) : y CMR đ-ờng thẳng y = cã ®iĨm x 1 cho tõ điểm kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến tới (C) tạo với góc 45 Bài 29 Cho đồ thị (C ) : y x Tìm tậ hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy x thoả mÃn a) Từ không kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị (C) b) Từ kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị (C) c) Từ kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị (C) d) Từ kẻ đ-ợc ®óng hai tiÕp tun víi ®å thÞ (C) e) Tõ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) hai tiếp tuyến đo vuông góc với Bài 30 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; 0) tới đồ thị x2 x ( ĐH d-ợc 1999) (C ) : y x Bài 31 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến ®i qua ®iĨm A(-1; ) tíi ®å thÞ x2 x ( ĐH xây dựng 1995) (C ) : y x Đạo hàm øng dơng tËp 19 Tỉ To¸n _ Tin tr-êng thpt lục ngạn số Bài 32 Viết ph-ơng trình tiÕp tun ®i qua ®iĨm A(0; 5/4 ) tíi ®å thị x2 x ( ĐHsp vinh 1998) (C ) : y  x 1 Bµi 33 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; ) tới đồ thị x2 x ( ĐH đà lạt 1999) (C ) : y  x2 Phần 3: Đạo hàm toỏn tớnh tng I Kiến thức Khai triển nhị thức Newtơn n Ta có a b    Cnk a k b nk  Cn0a n  Cn1a n1.b   Cnn1a.b n1  Cnn b (1) n k 0 Trong ®ã: + a, b lµ hai sè thùc + n lµ sè nguyên d-ơng Nhận xét: + Trong khai triển số mũ a giảm dần từ trái sang phải, ng-ợc lại số mũ b tăng dần từ trái sang phải Số mũ a b số hạng cộng lại n + Trong khai triển có n + số hạng + Số hạng tổng quát khai triển (1) T Cnk a k bnk (0  k  n) + Số hạng thức k khai triển (1) Cnk 1a k 1.bnk 1 (1  k  n  1) Mét vµi khai triĨn th-êng dïng Ta cã  x  1 n n   Cnk x k  Cn0  Cn1 x   Cnn1x n1  Cnn x n (2) k 0 Thay x = vµo hai vÕ cđa (2) ta cã ®¼ng thøc sau n 2n   Cnk  Cn0  Cn1   Cnn1  Cnn k 0 Thay x = - vµo hai vÕ cđa (2) ta có đẳng thức sau n Cnk  Cn0  Cn1   Cnn1 (1) n1  Cnn (1) n k 0 Mèi liªn hƯ cđa hai hµm sè b»ng Ta cã hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) NÕu f(x) = g(x) f(x) = g(x) II Dạng toán tính tổng tổ hợp liên quan tới đạo hàm Ta có vài ý gặp tính tổng tổ hợp + Nếu vế tính tổng Cn0 ta cần dùng khai triển đạo hàm hai vế theo x hai vế sau thay x giá trị thích hợp + Nếu vế tính tổng Cn0 Cn1 ta dùng khai triển đạo hàm hai vế theo x hai lần sau thÃy giá trị thÝch hỵp III VÝ dơ VÝ dơ Chøng minh Đạo hàm ứng dụng tập 20 Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số 2 2008 2009 a) 2009.2  C2009  2C2009   2008C1009  2009C2009 2008 2009 b) 2009.2008.22007  2C2009  3.2C2009   2008.2007C1009  2009.2008C2009 Gi¶i 2009 2008 2008 2009 2009  C2009 x  C2009 x  C2009 x3   C2009 x  C2009 x (*) x C2009 a) Ta có Đạo hµm hai vÕ cđa (*) theo x ta cã 2008 2008 2007 2009 2008 (a) 2009  x  1  C2009  C2009 x   2008C2009 x  2009C2009 x Thay x = vµo ®¼ng thøc (a) ta cã 2008 2009 2009.22008  C2009  2C2009   2008C1009  2009C2009 Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh b) Đạo hàm hai vế (*) hai lần theo x ta cã 2007 2009.2008. x  1 2008 2008 2006 2009 2007  2C2009  3.2C2009 x   2008.2007C2009 x  2009.2008C2009 x Thay x = vào đẳng thức ta có 2008 2009 2009.2008.22007  2C2009  3.2C2009   2008.2007C1009  2009.2008C2009 Vậy ta có điều cần chứng minh Đạo hàm vµ øng dơng tËp 21 ... Tính đạo hàm hàm số Ph-ơng pháp Ta vận dụng quy tắc phép tính đạo hàm, đặc biệt đạo hàm hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm điểm ta cần tính đạo hàm thay vào đe đ-ợc kết Ví dụ Tính đạo hàm hàm sè... Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số *) (ku)’ = k.u’ ( k lµ h»ng sè) '  u  u ' v  v 'u *) v2 v Đạo hàm bậc cao hàm số Đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) đạo hàm bậc đạo hµm bËc n – cđa hµm sè y =...  3x  y   x  3x  Phần 2: Tiếp tuyến đồ thi hàm số I Kiến thức Tiếp tuyến điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 điểm thuộc vào TXĐ hàm số tồn đạo hàm Khi ta có tiếp tuyến với (C) điểm (x0; f(x0))