Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu gồm 17 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Hữu Học, tuyển chọn 50 bài toán viết phương trình tiếp tuyến, một dạng toán quan trọng trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 5: Đạo hàm.
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM BÀI PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vấn đề Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C ) M ( x0 ; y0 ) điểm (C ) Tiếp tuyến với đồ thị (C ) M ( x0 ; y0 ) có: Hệ số góc: k = f ( x0 ) Phương trình: y − y0 = k (x − x0 ) hay y − y0 = f (x0 ) (x − x0 ) Vậy để viết phương trình tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) cần đủ yếu tố sau: Hoành độ tiếp điểm x0 Tung độ tiếp điểm y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 hàm số y0 = f ( x0 )) Hệ số góc k = f ( x0 ) Ví dụ Cho hàm số y = x3 + x2 + có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ): a) Tại điểm M (−1 : 3) b) Tại điểm có hồnh độ c) Tại điểm có tung độ d) Tại giao điểm (C ) với trục tung Ví dụ Cho hàm số y = x3 − (m − 1) x2 + (3 m + 1) x + m − Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A (2; −1) GV: Nguyễn Hữu Học ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ Gọi (C m ) đồ thị hàm số y = x3 − (2m + 1) x2 + ( m + 3) x − (d ) tiếp tuyến (C ) điểm có hồnh độ x − Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( d ) 17 ! Nhắc lại: Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆) : Ax + B y + C = là: d ( M, ∆) = Ví dụ Cho hàm số y = điểm A(−1; −2) B(1; 0) | Ax0 + B y0 + C | A + B2 3−x Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) (C ) biết (d ) cách hai x+2 GV: Nguyễn Hữu Học ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Ví dụ Chương V ĐẠO HÀM Cho hàm số y = x3 − x2 + x − Viết phương trình tiếp tuyến (d ) (C ) biết (d ) cách hai điểm A(2; 7) B(−2; 7) Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C ): y = x3 − x2 + 2, biết d cắt trục Ox, O y A, B thỏa mãn: OB = 9OA Ví dụ Gọi M điểm thuộc (C ) đồ thị hàm số y = x−1 có khoảng cách tới trục x+3 hồnh Viết phương trình tiếp tuyến (C ) M GV: Nguyễn Hữu Học ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = 2x + điểm thuộc đồ thị x+1 có khoảng cách đến đường thẳng (d) : 3x + 4y − = Vấn đề Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc Phương pháp: Giải phương trình f ( x) = k tìm nghiệm x1 , x2 , Viết phương trình tiếp tuyến: y = f ( x i ) ( x − x i ) + f ( x i ) ( i = 1, 2, , n) Chú ý: Số tiếp tuyến đồ thị số nghiệm phương trình: f ( x) = k Cho hai đường thẳng d1 : y = k1 x + b1 d2 : y = k2 x + b2 Khi đó: d // d ⇔ k1 = k2 b1 = b2 d ⊥ d ⇔ k k = −1 d cắt trục Ox, O y A , B tan O AB = ± OB OA π Ví dụ Tìm hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị y = tan x điểm có hồnh độ x = A k = 1 B k= 2 C k= D Ví dụ 10 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = : A −2 GV: Nguyễn Hữu Học B C x−1 giao điểm với trục tung x+1 D −1 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 11 Cho hàm số y = − x3 − x2 − x + có đồ thị (C ) Trong tiếp tuyến với(C ), tiếp tuyến có hệ số góc lớn bao nhiêu? A k = B k = C k = D k = Ví dụ 12 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x) = bao nhiêu? A 13 B −1 3x + điểm có hồnh độ x0 = có hệ số góc 2x − C −5 D −13 x+2 Ví dụ 13 Tìm hệ số góc tiếp tuyến k đồ thị hàm số y = giao điểm với 1− x trục hồnh A k = −3 B k=− C k= D k = Ví dụ 14 Cho hàm số y = x3 − x + 1(C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết Hệ số góc tiếp tuyến A y = x − hay y = x + 17 C y = x − 13 hay y = x + B y = x − hay y = x + D y = x − 13 hay y = x + 17 Ví dụ 15 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x4 − x2 + biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48 x − A y = 48 x − B y = 48 x − GV: Nguyễn Hữu Học C y = 48 x − 10 D y = 48 x − 79 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 16 Cho hàm số y = x3 + x2 − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = − A y = 18 x + y = 18 x − 27 C y = 18 x + 81 y = 18 x − x+1 18 B y = 18 x + y = 18 x − D y = 18 x + 81 y = 18 x − 27 Ví dụ 17 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = tuyến −2 A y = −2 x + 1, y = −2 x C y = −2 x + 9, y = −2 x 2x , biết hệ số góc tiếp x−1 B y = −2 x + 2, y = −2 x + D y = −2 x + 8, y = −2 x 2x − có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết x−1 tiếp tuyến có hệ số góc − 3 A y = − x + y = − x + B y = − x + y = − x + 4 4 4 1 13 C y = − x + y = − x + D y=− x+ y = − x + 4 4 4 4 Ví dụ 18 Cho hàm số y = Ví dụ 19 Cho hàm số y = x3 x2 + x + (C ) Tìm (C ) điểm có hệ số góc tiếp tuyến điểm −2? GV: Nguyễn Hữu Học ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 A (1; 9) ; (3; 1) Chương V ĐẠO HÀM B (1; 7) ; (3; 1) C (1; 7) ; (3; 97) D (1; 7) ; (1; 9) x3 Ví dụ 20 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = + x2 − có hệ số góc k = −9, có phương trình : A y − 16 = −9( x + 3) B y = −9( x + 3) C y − 16 = −9( x − 3) D y + 16 = −9( x + 3) Ví dụ 21 Cho hàm số y = x4 + x2 + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳnng y = x − A y = 6x − B y = 6x − C y = 6x − D y = 6x − 2x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến x−1 song song với đường thẳng d : y = −4 x + y = −4 x + y = −4 x + 21 y = −4 x + y = −4 x + 12 Ví dụ 22 Cho hàm số y = A y = −4 x + 14 B y = −4 x + 14 C y = −4 x + D y = −4 x + 14 2x + có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) x−1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −4 x + A y = −4 x + 3, y = −4 x + B y = −4 x + 2, y = −4 x + 44 Ví dụ 23 Cho hàm số: y = C y = −4 x + 2, y = −4 x + GV: Nguyễn Hữu Học D y = −4 x + 2, y = −4 x + 14 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 24 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = song với đường thẳng (d ) : x + y = 7 4 C y=− x+ , y=− x− 4 A y=− x+ , y=− x+ 2x , biết tiếp tuyến song x−1 27 , y=− x− 4 27 D y=− x+ , y=− x+ 4 B y=− x+ Ví dụ 25 Cho hàm số y = x3 − x2 + (m − 1) x + 2m có đồ thị (C m ) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C m ) điểm có hồnh độ x = song song với đường thẳng y = x + 10 A m=2 B m=4 C m=0 D Không tồn m Ví dụ 26 Cho hàm số y = x3 − x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ), biết Tiếp tuyến vng góc với trục O y A y = 2, y = −1 B y = 3, y = −1 C y = 3, y = −2 D x = 3, x = −1 Ví dụ 27 Cho hàm số y = x4 − x2 − có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24 x − y + = A ∆ : y = 24 x − B ∆ : y = 24 x − 42 C ∆ : y = 24 x − 23 GV: Nguyễn Hữu Học D ∆ : y = x − 42 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM 2x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến x−1 vng góc với đường thẳng y = x + A y = −3 x − 11 hay y = −3 x + 11 B y = −3 x − 11 hay y = −3 x + Ví dụ 28 Cho hàm số y = C y = −3 x − hay y = −3 x + D y = −3 x − hay y = −3 x + 11 2x + có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết x−1 tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −4 x + A ∆ : y = −4 x + 2; ∆ : y = −4 x + B ∆ : y = −4 x + 2; ∆ : y = −4 x + Ví dụ 29 Cho hàm số y = C ∆ : y = −4 x + 6; ∆ : y = −4 x + 14 D ∆ : y = −4 x + 2; ∆ : y = −4 x + 14 Ví dụ 30 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + x2 − x − tuyến vng góc với đường thẳng x + y − = 73 C y = 4x + ; y = 4x − A y = 4x + ; y = 4x − , biết tiếp 73 26 ; y = 4x − 26 D y = 4x + ; y = 4x − B y = 4x + Ví dụ 31 Gọi (C ) đồ thị hàm số y = x3 + x2 − Viết phương trình tiếp tuyến (C ) song song với đường thẳng y = x − A y = x + 25 B y = x + GV: Nguyễn Hữu Học C y = x + D y = x + ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 32 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y = góc với đường thẳng (∆) : x − y + = 2 9 9 C y=− x+ , y=− x+ 9 9 A y=− x+ , y=− x+ 2x , biết tiếp tuyến vuông x−1 32 , y=− x+ 9 9 32 D y=− x+ , y=− x− 9 9 B y=− x+ Ví dụ 33 Cho hàm số y = x3 − x2 có đồ thị (C ) Có tiếp tuyến (C ) song song đường thẳng y = x + 10? A B C D Ví dụ 34 Gọi (C) đồ thị hàm số y = x x3 − x2 + x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y = − + 2 y = x − 8 C y = x + y = x − A y = 5x + y = x − D y = x + y = x − B y = 5x + GV: Nguyễn Hữu Học 10 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 35 Cho hàm số y = x2 − x + có tiếp tuyến song song với trục hồnh Phương trình tiếp tuyến là: A x = −3 B y = −4 C y = D x = Ví dụ 36 Gọi (C ) đồ thị hàm số y = x4 + x Tiếp tuyến (C ) vng góc với đường thẳng d : x + y = có phương trình là: A y = x − B y = x − C y = x − D y = x + Ví dụ 37 Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C ) : y = x3 + x2 − x + 1, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = x + 2017? A y = x + 2018 B y = x + C y = x − 4; y = x + 28 D y = x − 2018 Ví dụ 38 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C ) x−1 a) Giải bất phương trình y < −4; b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, O y A , B mà O A = 4OB GV: Nguyễn Hữu Học 11 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 39 Cho hàm số y = x3 + x2 − x + có đồ thị (C ) Tìm tất tiếp tuyến đồ thị (C ), tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Ví dụ 40 Gọi (C ) đồ thị hàm số y = −2 x3 + x2 − a) Viết phương trình tiếp tuyến (d ) (C ) điểm A thuộc (C ) có hồnh độ x = Tìm giao điểm khác A (d ) (C ) b) Xác định tham số a để tồn tiếp tuyến (C ) có hệ số góc a c) Chứng minh có tiếp tuyến (C ) qua điểm có hồnh độ thỏa mãn phương trình y = (C ) Ví dụ 41 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y = x3 − x2 + m điểm có hồnh độ cắt trục Ox, O y A B cho diện tích tam giác O AB có diện tích 1,5 GV: Nguyễn Hữu Học 12 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Vấn đề Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f ( x) qua điểm M ( x1 ; y1 ) Cách 1: • Phương trình đường thẳng ( d ) qua điểm M có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − x1 ) + y1 • ( d ) tiếp xúc với đồ thị (C ) N ( x0 ; y0 ); hệ: f ( x0 ) = k ( x0 − x1 ) + y1 f ( x0 ) = k có nghiệm x0 Cách 2: • Gọi N ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) tiếp tuyến ( d ) qua điểm M , nên ( d ) có dạng y = y0 ( x − x0 ) + y0 • ( d ) qua điểm M nên có phương trình: y1 = y0 ( x1 − x0 ) + y0 (∗) • Từ phương trình (∗) ta tìm tọa độ điểm N ( x0 ; y0 ); từ ta tìm phương trình đường thẳng (d ) Ví dụ 42 Cho hàm số y = x3 − x2 + có đồ thị (C ) Tìm phương trình đường thẳng qua điểm A 19 ; tiếp xúc với đồ thị (C ) hàm số 12 GV: Nguyễn Hữu Học 13 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến qua điểm M 0; Ví dụ 43 Cho hàm số y = x4 − x2 + x+2 có đồ thị (C ) điểm A (0; m); Xác định m để từ A kẻ x−1 tiếp tuyến đến (C ) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Ví dụ 44 Cho hàm số: y = GV: Nguyễn Hữu Học 14 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 45 Tìm số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − x2 + 1, biết tiếp tuyến qua điểm M (−1; −9) A B C D Ví dụ 46 Cho hàm số y = x3 − x có đồ thị (C ) Gọi ∆ đoạn thẳng qua điểm A (1; −2) có hệ số góc m Tổng giá trị m để ∆ tiếp xúc với đồ thị (C ) là: A − B C D − GV: Nguyễn Hữu Học 15 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM Ví dụ 47 Cho hàm số y = − x3 + x2 − có đồ thị (C ) điểm A (m; 2) Tìm tập hợp S tất giá trị thực m để có tiếp tuyến (C ) qua A ; ∪ (2; +∞) C S = (−∞; −1) ∪ ; ∪ (2; +∞) ; ∪ (3; +∞) D S = (−∞; −2) ∪ ; ∪ (2; +∞) A S = (−∞; −1) ∪ B S = (−∞; −1) ∪ Ví dụ 48 Cho hàm số y = x3 + x2 − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết Tiếp tuyến qua điểm N (0; 1) A y=− 33 x + 11 B y=− 33 x + 12 C y=− 33 x + D y=− 33 x + GV: Nguyễn Hữu Học 16 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương V ĐẠO HÀM 3x + là: x−1 B y = −28 x + 59; y = x + Ví dụ 49 Tiếp tuyến kẻ từ điểm A (2; 3) tới đồ thị hàm số y = A y = −28 x + 59; y = −24 x + 51 C y = −24 x + 51; y = x + D y = −28 x + 59 x−2 có đồ thị (C ) điểm A ( m; 1) Gọi S tập giá trị m 1− x để có tiếp tuyến (C ) qua A Tính tổng bình phương phần tử tập S 13 25 A B C D 4 Ví dụ 50 Cho hàm số y = GV: Nguyễn Hữu Học 17 ... Vấn đề Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc Phương pháp: Giải phương trình f ( x) = k tìm nghiệm x1 , x2 , Viết phương trình tiếp tuyến: y = f ( x i ) ( x... Ví dụ 15 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x4 − x2 + biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48 x − A y = 48 x − B y = 48 x − GV: Nguyễn Hữu Học C y = 48 x − 10... đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24 x − y + = A ∆ : y = 24 x − B ∆ : y = 24 x − 42 C ∆ : y = 24 x − 23 GV: Nguyễn Hữu Học D ∆ : y =