Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n L IC M B n khóa lu n đ 2d i s ch b o h c hoàn thành t i tr N ng đ i h c S ph m Hà N i ng d n t n tình c a th y giáo – ti n s Bùi Kiên C ng Em xin g i l i c m n sâu s c t i th y giúp đ em q trình em h c t p hồn thành b n khóa lu n: “Ánh x liên t c không gian Metric” Em xin chân thành c m n th y khoa Tốn nói chung, th y cô t b môn gi i tích nói riêng t o u ki n t t nh t đ em hồn thành khóa lu n t t nghi p c a Em xin chân thành c m n! Hà N i, ngày 18 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th H ng M n Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n L I CAM OAN Khóa lu n t t nghi p nh ng nghiên c u c a em d d n t n tình c a th y giáo – Ti n s Bùi Kiên C đ is h ng ng Bên c nh em c ng c s quan tâm , t o u ki n c a th y cô khoa Toán – Tr ng i H c S Ph m Hà N i Vì v y, em xin kh ng đ nh n i dung đ tài: “Ánh x liên t c không gian Metric” s trùng l p v i đ tài khác Sinh viên Nguy n Th H ng M n Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n M CL C Trang Ph n M U Ph n N I DUNG CHÍNH Ch ng M t s khái ni m k t qu v không gian Metric §1 Khơng gian Metric §2 S h i t Không gian đ §3 T p h p m , t p h p đóng Ch ng Ánh x liên t c không gian Metric 13 §1 Ánh x liên t c 13 §2 nh lý m r ng 19 §3 Hàm th c ph c liên t c 24 §4 S liên t c đ u…………………………………………………26 §5 Phép đ ng phôi, hai metric t ng đ ng vƠ phép đ ng c 32 §6 S h i t đ u c a dãy hƠm……………………………………35 Ch ng Ánh x co ng d ng .44 §1 Ánh x co 44 §2 ng d ng c a ánh x co………………………………………49 Ph n K T LU N TÀI LI U THAM KH O Ánh x liên t c không gian Metric M Nguy n Th H ng M n U Gi i tích hàm m t ngành Tốn h c đ đ u th k XX đ n v n đ c xây d ng vào kho ng n a c xem nh m t ngành Tốn h c c n Trong q trình phát tri n, Gi i tích hàm tích l y m t n i dung h t s c phong phú; nh ng ph ng pháp k t qu m u m c c a Gi i tích hàm xâm nh p vào t t c ngành Tốn h c có liên quan Chính u m ph m vi nghiên c u r ng l n cho ngành Toán h c V i mong mu n đ b c tìm hi u nghiên c u sâu h n v b môn c đ u ti p c n v i công vi c nghiên c u khoa h c, em ch n đ tài: “ Ánh x liên t c khơng gian Metric ’’ khóa lu n t t nghi p c a N i dung khóa lu n g m có: Ch ng 1: M t s khái ni m k t qu v không gian Metric Ch ng 2: Ánh x liên t c không gian Metric Ch ng 3: Ánh x co ng d ng Nh s gi ng d y c a th y cô khoa Toán, s c g ng h c t p nghiên c u c a b n thân nh ng góp ý c a b n sinh viên mà em có đ ki n th c đ hồn thành khóa lu n Qua em xin g i l i c m n chân thành sâu s c t i th y cô giáo b n sinh viên khoa Toán, đ c bi t TS Bùi Kiên C ng t n tình ch b o, giúp đ em su t q trình làm khóa lu n Trong q trình th c hiên khóa lu n này, m c dù h t s c c g ng, song u ki n v th i gian ki n th c có h n nên khóa lu n không tránh kh i nh ng h n ch Em r t mong đ b n sinh viên đ khóa lu n đ c ý ki n đóng góp c a th y c b sung hoàn thi n h n Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Nguy n Th H ng M n Ánh x liên t c không gian Metric Ch Nguy n Th H ng M n ng M t s khái ni m k t qu v khơng gian Metric §1.Khơng gian metric nh ngh a 1.1.1: Gi s X m t t p h p không r ng Ta g i metric hay kho ng cách d: X  X  ฀ X m t ánh x : ( x, y)  d ( x, y) Th a mãn tiên đ : M1: d ( x, y)  0; x, y  X; d ( x, y)   x  y; ( Tiên đ M2: d ( x, y)  d ( y, x); x, y  X giao hoán); M3: d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y); x, y, z  X ( Tiên đ tam giác); Ta g i không gian metric, m t c p (X, d), X m t t p h p g i t p h p n n d m t metric X Khi m t ph n t g i m t m d(x, y) đ x  X đ c g i kho ng cách gi a hai ph n t x, y X Ví d 1.1.1: Cho X m t t p h p không r ng V i m i x, y X, ta đ t : n u x y d(x,y)= (1.1) n u x y c Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n Th d m t metric X khơng gian metric (X, d) cịn đ c g i không gian metric r i r c Th t v y, tiên đ M1, M2 hi n nhiên x, y, z  X , ta xét tr ki m tra M3, v i ph n t ng h p: - N u z b ng nh t m t hai ph n t x ho c y , không m t tính t ng qt có th gi s x = z, M1 ta có: d(x, y) = d(z, y)  d(x, z) + d(z, y) - N u z khác c x y : d(x, y)  1< = d(x, z) + d(z, y) Do đó, tiên đ M3 th a mãn, v y d m t metric nh lý 1.1.2: Trong không gian metric (X, d), ta có : 1)B t đ ng th c tam giác m r ng : d ( x0 , xn )  d ( x0 , x1 )  d ( x1 , x2 )   d ( xn 1 , xn ) V i m i xj  X( j  0,1, 2, , n); 2)B t đ ng th c t giác: V i ph n t b t kì x, y, u, v  X d ( x, y)  d (u, v)  d ( x, u )  d ( y, v) (1.2) Ch ng minh: Ta d dàng ch ng minh 1) b ng quy n p nh b t đ ng th c tam giác Ch ng minh 2) V i b t kì x, y, u, v X, theo 1) ta có: d(x, y)  d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) Do : d(x, y) - d(u, v)  d(x, u) + d(v, y) i vai trò gi a x, y u, v ta nh n đ c: d(u, v) – d(x, y)  d(u, x) + d(y, v) T (1.3) (1.3) (1.4) M2 ta suy (1.2) (1.4) Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n nh ngh a 1.1.3: Gi s metric t d1 , d hai metric t p h p X Ta nói d1 , d hai ng đ ng n u  ,   :  d ( x, y)  d1 ( x, y)   d ( x, y); x, y  X Khi đó, ta c ng nói r ng ( X , d1 ) ( X, d2 ) hai không gian metric t đ ng Ví d 1.1.4: Trên t p h p : X  {x  (1,  , ,  k ) :  j  ฀ ;( j  1, 2, , k)} Metric d không gian ฀ k metric: k d1 ( x, y)    j   j ; j 1 d ( x, y)  max  j   j ; 1 j  k V i x  (1 ,  , ,  k ), y  ( ,  , ,  k )  X; metric t ng đ Th t v y, d th y r ng v i m i x, y  X ta có: d1 ( x, y)  d ( x, y)  kd  ( x, y)  k kd1 ( x, y) k ng ng Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n §2 S h i t Khơng gian đ nh ngh a 1.2.1: Dãy m ( xn ) không gian metric (X, d) đ c g i h i t t i m a  X n u d ( xn , a )  0;(n  ) Ngh a :   0, n0 : d ( xn , a )   , n  n0 Khi đó, m a đ c g i gi i h n c a dãy ( xn ) kí hi u xn  a ;(n  ) hay lim xn  a n  Ví d 1.2.2: Trong khơng gian metric r i r c (X, d) (ví d 1.1.1) : Dãy ( xn ) h i t t i m a  X ch :   0(  1); n0 : d ( xn , a )   ; n  n0 Rõ ràng v i metric cho không gian r i r c u x y ch d ( xn , a )  0; n  n0 ; ngh a xn  a ; n  n0 V y, không gian metric r i r c, m t dãy h i t ch dãy d ng Ví d 1.2.3: Dãy m xn  xn (t ) h i t t i m a = a(t) không gian C [a, b] s h i t đ u c a dãy hàm nh ngh a 1.2.4 : Dãy ( xn ) không gian metric (X, d) đ c g i dãy c b n hay dãy Cauchy, n u   0; n0 : m, n  n0 ta có: d ( xm , xn )   10 Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n nh lý 1.2.5: Trong không gian Metric m i dãy h i t đ u dãy Cauchy Ch ng minh: Gi s ( xn ) dãy b t k không gian metric (X, d) h i t t i a  Theo gi thi t thì:   0; n0 : d ( xn , a )  ; n  n0 T ng t v i    ta có: d ( xm , a )  ; m  n0 Suy ra: d ( xm , xn )  d ( xm , a )  d (a , xn )       ; m, n  n0 Do đó, dãy ( xn ) dãy Cauchy i u ng c l i không Ch ng h n t p Q s h u t m t không gian metric v i metric xác đ nh b i (1.1.3) Tuy nhiên, dãy x p x g n c a : x1  1, 4; x2  1, 414, dãy Cauchy Q, nh ng không h i t (trong Q) Ta có đ nh ngh a: nh ngh a 1.2.6: Không gian metric (X, d) đ c g i không gian metric đ y đ n u m i dãy c b n đ u h i t Ví d 1.2.7: M t không gian r i r c không gian metric đ y đ Th t v y, gi s ( xn ) m t dãy Cauchy không gian r i r c X Theo đ nh ngh a v i m i    t n t i s t nhiên n0 cho: d ( xn , xn0 )    1; n  n0 Suy ra, d ( xn , xn )  0; n  n0 V y ( xn ) dãy d ng, h i t Ví d 1.2.8 Không gian C [a, b] không gian metric đ y đ 11 Ánh x liên t c không gian Metric  Nh ng Nguy n Th H ng M n n d(xn, x0) 1 lim  n  n   {xn} dãy Cauchy (X, d) khơng gian đ y L y y  lim xn Vì T ánh x co nên liên t c n  xn )  lim Txn  lim xn 1  y  Ty  T (lim n  n  n V y y m b t đ ng c a T H n n a, nh t n u y≠z th a mãn Ty = y Tz = z d(y, z)=d(Ty, Tz)  d(y, z) < d(y, z)  d(y, z) =  y = z Chú ý 3.1.5 : Cho T : X  X v i (X, d) không gian metric đ y, th a mãn : d(Tx, Ty) < d(x, y) v i m i x, y  X V y thì, T khơng nh t thi t ph i có m b t đ ng Ánh x T : [1, ) [1, ) cho Tx = dù |Tx - Ty| = |x -y| (1 - x 1 x khơng có m b t đ ng m c ) < |x - y| [1, ) không gian đ y x y M nh đ 3.1.6 : Gi s {xn}n  m t dãy không gian metric (X, d) b t kì k m t s nguyên d ng cho v i m i k, dãy : {xmk j }m1 ; j = 0, 1, 2, , k – ; h i t t i m t gi i h n x Th {xn}n  h i t t i x Ch ng minh : Cho  > 0,  s nguyên d ng m0, m1, , mk-1 cho m  mj Ta có : d(xmk+j, x) <  ; j = 0, 1, 2, , k-1 51 Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n L y N = max {m0, m1, , mk-1} Xét tùy ý n  Nk t n = mk + j v i  j  k - Vì m  N n (N - 1)k + j  (N - 1)k + (k - 1) = Nk - Ta có m> N - 1; nên m  N  mj; j = 0, 1, 2, , k - T  d(xmk+j , x) <  T c d(xn, x) <  i u v i m i n  Nk Do đó, {xn}n  h i t v i m i x H qu 3.1.7: Cho T m t ánh x liên t c c a không gian metric đ y vào nh ngh a Tn b i T1 = T Tn+1 = T0Tn N u Tk m t ánh x co v i m i s nguyên d ng k ph ng trình Tx = x có m t nghi m nh t H n n a, v i x  X tùy ý dãy {Tnx}n  h i t t i nghi m Ch ng minh : Cho x  X tùy ý xét dãy Tnkx, n = 0, 1, 2, Theo nguyên lý ánh x co {Tnkx}n  h i t L y x0  lim T nk x n Ta s ch r ng Tx0 = x0 Vì Tk ánh x co nên : d(Tnk Tx, Tnk x)  d(T(n - 1)k Tx, T(n-1)k x)   nd(Tx, x) v i <  < cho d(Tk x, Tk y)  d(x, y) v i x, y  X Vì T liên t c, ta có : d (Tx0 , x0 )  lim(TT nk x, T nk x) n  lim d (T nkTx, T nk x)  limsup  n d (Tx, x)  n n (vì <  < 1) Ch ng minh ch s  nghi m c a ph 52 ng trình Tx = x Ánh x liên t c không gian Metric Ch ng minh tính nh t t Nguy n Th H ng M n ng t đ nh lý 3.1.4 V y Tk ánh x co, dãy {Tmk }m  h i t t i x0 v i  tùy ý Ch n  đ có x, Tx, , Tk-1 x, ta đ c k dãy {Tmk+j x}m  ; j = 0, 1, 2, ,k-1 ; Vì m i dãy đ u h i t t i x0 nên dãy {Tn x}n  h i t t i x0 53 Ánh x liên t c khơng gian Metric §2 3.2.1.Ph Nguy n Th H ng M n ng d ng c a ánh x co ng trình n tính Xét ánh x y = Tx c a khơng gian ฀ n vào cho b i h ph ng trình: n yi   aij xj  bi ; i  1, , n j 1 d  (x, y) = max { |xi – yi| ;  i  n } m t metric (a) N u ฀ n , : n a j 1 ij Suy h ph    1; i  1, , n ng trình: n xi   aij x j  bi ; i  1, , n j 1 Có nh t m t nghi m ch ng minh (a) ta ch c n ch T ánh x co Xét x '  ( x1' , x2' , , xn' ) x ''  ( x1'' , x2'' , , xn'' ) Ta có : d  (Tx ', Tx '')  max i d  (Tx ', Tx '')  max i n a j 1 ij ( x'j  x''j ) n a j 1 ij x'j  x''j d (Tx ', Tx '')  max i (max j x'j  x''j   d ( x ', x '') 54 n a j 1 ij ) Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n n (b) N u: d1 ( x, y)   xi  yi metric ฀ n , thì: i 1 n a i 1 ij    1; i  1, , n Suy h ph n ng trình xi   aij x j  bi , i  1, , n có m t nghi m nh t j 1 Ta ch c n ch ng minh r ng ánh x T ánh x co đ ch ng minh (b) C ng nh trên, xét x '  ( x1' , x2' , , xn' ) x ''  ( x1'' , x2'' , , xn'' ) Ta có : n n i 1 j 1 n n d1 (Tx ', Tx '')    a ij ( x'j  x''j ) d1 (Tx ', Tx '')   aij x'j  x''j i 1 j 1 n n   a ij x'j  x''j j 1 i 1 n   n    x'j  x''j   a ij j 1   i 1 n     max j  a ij d1 ( x ', x '') j 1   d1 ( x ', x '')  n 2 (c) N u d2(x,y)=  xi  yi  metric ฀ n  i 1  n thì: n  a i 1 j 1 ij    Suy h ph ng trình: n xi   a ij x j  bi ; i  1, , n có nghi m nh t i 1 Ta ch c n ch ng minh r ng T ánh x co 55 Ánh x liên t c không gian Metric L y Nguy n Th H ng M n x '  ( x1' , x2' , , xn' ) x ''  ( x1'' , x2'' , , xn'' ) Ta có: n n : [d2 (Tx ', Tx '')]    a ij ( x  x ) ' j j 1 j 1 '' j  n  : [d (Tx ', Tx '')]     a ij x'j  x''j  i 1  j 1  n 2 n  n 2 : [d (Tx ', Tx '')]     a ij  x'j  x''j  i 1  j 1 j 1  n Theo b t đ ng th c Schwarz, th : n n [d (Tx ', Tx '')]2   aij [d ( x ', x '')]2   [d ( x ', x '')]2 i 1 j 1 3.2.2.Ph ng trình vi phơn ( Nguyên lý ánh x co đ nh lý Picard): c s d ng đ ch s t n t i v nghi m dy nh t c a ph ng trình vi phân d ng : dx = f(x, y) th a mãn u ki n Tr c h t, ta ch r ng u ki n nh t đ nh ph ng trình t ng đ ng v i m t tích phân nh ngh a 3.2.2.1: Cho f hàm th c liên t c m t hình ch nh t R = {(x, y) : |x - x0|  a, |y - y0|  b} V i a > b > M t hàm th c  đ c xác đ nh m t kho ng I đ c g i nghi m c a toán giá tr ban đ u: y’ = f(x, y) , y(x0) = y0 (3.2) ch th nh t : (x, (x)) thu c R v i ’(x) = f(x, (x)) v i tùy ý x  I th hai : (x0) = y0 56 Ánh x liên t c không gian Metric Tr đ Nguy n Th H ng M n c h t, ta s ch r ng nghi m c a toán giá tr ban đ u t ng ng v i tích phân : x y(x) = yo +  (t , y(t ))dt I (3.3) x0 nh ngh a 3.2.2.2 : M t nghi m c a (3.3) I m t hàm th c  cho (x, (x)) thu c R v i x I (x) = y0 + x v i x I  (t ,  (t ))dt x0 ( t ph ng trình ta suy  ph i liên t c) M nh đ 3.2.2.3 : M t hàm  nghi m c a toán giá tr ban đ u (3.2) kho ng I ch nghi m c a tích phân (3.3) I Ch ng minh : Gi s  nghi m c a toán giá tr ban đ u (3.2) kho ng I V y ’(t) = f(t,(t)) I (3.4) Vì  liên t c I f liên t c R, hàm F đ c đ n ngh a I b i F(t) = f(t, (t)) liên t c I L y tích phân (3.4) t x0 t i x, ta có : (x) = (x0) + x  (t ,  (t ))dt x0 Vì (x0) = y0   m t nghi m c a (3.3) o l i, gi s r ng  m t nghi m c a (3.3) I, d dàng th y r ng ’(x) = f(x, (x)) v i x  I ng th i, t (3.3) ta nh n th y (x0) = y0 Vì th ,  m t nghi m c a toán giá tr ban đ u (3.2) Ta c ng c n m nh đ sau đ ch ng minh đ nh lý Picard M nh đ 3.2.2.4 : 57 Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n Cho X t p ch a ánh x liên t c t [a, b] vào [l, m] Vì th X khơng gian c a không gian C[a, b] g m t t c hàm th c hi n liên t c xác đ nh [a, b] th X khơng gian đ y Ch ng minh : Vì X C[a, b] khơng gian đ y, u đ đ ch r ng X t p đóng c a Ti p đó, ta gi s r ng f  C[a, b] m gi i h n c a X c n ch f  X  dãy {fn} n X h i t t i f v i metric C[a, b] V i m i x  [a,b], ta có : |fn(x) - f(x)|  d(fn,f) Và th lim fn ( x)  f ( x) n  Nh ng v i m i x  [a, b] ta có l fn(x)  m nên l  f(x) m i u ch r ng f  X nh lý 3.2.2.5 : ( nh lý Picard) Cho f liên t c R = {(x, y) : |x - x0|  a ; |y - y0| b} v i a >0 b > L y K = sup {|f(x, y)| : (x, y)  R} (3.5) N u M > cho : |f(x, y1) - f(x, y2)|  M|y1 - y2| V i (x, y1), (x, y2)  R ; s d ng  = min{a, (3.6) b } có tính ch t  nh t K hàm  [x0 -  , x0 +  ] cho : ’(x) = f(x, (x)) v i b t kì x  [x0 -  , x0 +  ] y0 = (x0) (3.6) Hàm  gi i h n đ u c a dãy {n} c a hàm liên t c [x0 -  , x0 +  ] cho : n(x) = y0 + x  (t ,  n 1 (t ))dt ; n  1, 2, x0 Và 0 hàm liên t c tùy ý [x0 -  , x0 +  ] v i giá tr [y0 - b, y0 +b] Ch ng minh: Cho X = { C[x0 -  , x0 +  ] : |(x) - 0|  b v i x [x0 -  , x0 +  ]} 58 Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n Th X khơng gian đ y theo m nh đ 3.2.4 Theo cách ch n  , d th y (x, (x)) R n u |x - x0|     X Do đó, ta có th xác đ nh T X nh sau: x (T) (x) = y0 +  (t ,  (t ))dt; x  x  x0 Hi n nhiên, theo m nh đ 3.2.2.3,  th a mãn (3.7)  T = , t c   m b t đ ng c a T V y, đ ch ng minh s  c a hàm , tr c h t ta ch ng minh T ánh x t X vào có nh t m t m b t đ ng N u |x - x0 |   theo (3.4) đ nh ngh a c a  | (T )( x)  y0  x  (t ,  (t ))dt  x0 x  (t ,  (t )) dt  K |x - x0|  K  b x0 Và th , T  X V y, T ánh x t X vào Ti p theo ta ch Tk ánh x co v i m i s nguyên d ng k Xét 1 2  X tùy ý : x (T1)(x) - (T2)(x) =  ( f (t ,  (t ))  f (t , 2 (t )) dt x0 Nên x0  x, có : (T1 )( x)  (T2 )( x)  x  f (t , 1 (t ))  f (t , 2 (t )) dt x0 x  M  1 (t )  2 (t ) dt theo (3.6) x0  M (x - x0 ) d(1, 2) Vì u v i m i 1, 2 tùy ý  X nên ta có th l p l i v i T1 T2 thay cho 1, 2 Ta có : x (T 21 )( x)  (T 22 )( x)   T1 (t )  (T2 (t ) dt x0 59 Ánh x liên t c không gian Metric Nguy n Th H ng M n x  M  M (t  x0 )d (1 , 2 ) x0  Sau n- b c ta đ M ( x  x0 )2 d (1 , 2 ) c: n (T n1 )( x)  (T n2 )( x)  M ( x  x0 ) d (1 , 2 ) n! M n x  x0  d (1 ,  ) n! n  ( Ma ) n d (1 , 2 ) n! D dàng ki m tra v i x  x0 c ng có b t đ ng th c gi ng Vì lim  n ( Ma ) k ( Ma )n   nên t n t i k cho k! n! Khi Tk ánh x co ( Theo h qu 3.1.7) Trong đ nh lý u c n thi t R b ch n đ  sup K V i tr h p quan tr ng c a ph ng ng trình n tính có th thay đ i R b i m t d i đ ng vô h n ch s t n t i nh t nghi m toàn b kho ng t o nên d i nh lý 3.2.2.6 : ( nh lý Picard m t d i đ ng ) Cho f liên t c R = {(x, y) : x I} v i I kho ng b ch n N u M > cho |f(x, y1) - f(x, y2)|  M|y1 - y2| (3.8) V i (x, y1) , (x, y2)  R v i (x0, y0)  R tùy ý,  nghi m nh t  I cho : ’(x) = f(x, (x)) v i x  I (x0) = y0 (3.9) Hàm  gi i h n đ u c a dãy {n} hàm liên t c I cho : 60 Ánh x liên t c không gian Metric  n (x) = y0 + x  (t ,  n 1 Nguy n Th H ng M n (t )) dt , n = 1, 2, 0 hàm liên t c tùy ý x0 I Ch ng minh : L y X = C(I) Th X khơng gian metric đ y ta xác đ nh T X (T )( x)  y0  x ; x  I  (t ,  (t ))dt x0 Nh trên,  th a mãn (3.9)  T =    m b t đ ng c a T V y, đ ch ng minh s t n t i hàm , tr c h t ta ch ng minh T ánh x t X vào có nh t m t m b t đ ng D th y T liên t c I, th T ánh x t X vào Ti p đ n, Tk ánh x co v i k gi ng nh Ví d 3.2.2.7 : Xét ph ng trình : dy = x + y ; y(0) = dx Theo m nh đ 3.2.2.3 ,  nghi m ban đ u c a toán x   (t ,  (t ))dt (x) =  N u 1 = T Ta thi t l p nghi m nh sau : 0 (x)  1(x) = x  tdt = x0 N u 2  T1 x  ( x)   (t  N u n  Tn 1 n ( x)  x2 2! t2 x2 x3 )dt  ;  2! 2! 3! x2 x3 xn 1    ; 2! 3! (n  1)! 61 Ánh x liên t c không gian Metric Do đó: lim n ( x)  lim( n  n  Nguy n Th H ng M n x2 x3 xn 1    ) 2! 3! (n  1)!  ex  x 1 Ta có th d dàng ki m tra r ng ex - x - nghi m ban đ u c a ph ng trình kh p R không đ n thu n kho ng b ch n nh đ nh lý 3.2.2.6 Ta đ a m t s ví d d i v ánh x T không co nh ng T2 l i ánh x co Ví d 3.2.2.8 : Xét khơng gian metric C[ 0, nh ngh a T : C[0,  ] v i metric đ u   ]  C[0, ] 2 t (Tx)(t) =  x(u ) sin u.du N u x(t) = -t y(t) = - t : d(x, y) = sup t  (1  t )  0t   t d(Tx, Ty) = sup 0t    ( x(u)  y(u) )sin u.du = sup (1  cos t )  0t   Vì khơng t n t i s K cho  K