Chuyên đề 7 : BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Số thực dương, số thực âm: • Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0 • Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0 • Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu 0 ≥ x • Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu 0 ≤ x Chú ý: • Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0 ≤ a " • Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0 ≥ a " II. Khái niệm bất đẳng thức: 1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b > ⇔ − > • Nếu a>b hoặc a=b, ta viết ba ≥ . Ta có: 0b-a ≥⇔≥ ba 2. Đònh nghóa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B≥ " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B≤ được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: a b a c b c >  ⇒ >  >  2. Tính chất 2: a b a c b c > ⇔ + > + Hệ quả 1: a b a c b c> ⇔ − > − Hệ quả 2: a c b a b c + > ⇔ > − 3. Tính chất 3: a b a c b d c d >  ⇒ + > +  >  4. Tính chất 4: nếu c > 0 nếu c < 0 ac bc a b ac bc >  > ⇔  <  Hệ quả 3: a b a b> ⇔ − < − Hệ quả 4: nếu c > 0 nếu c < 0 a b c c a b a b c c  >   > ⇔   <   1 5. Tính chất 5: 0 0 a b ac bd c d > >  ⇒ >  > >  6. Tính chất 6: 1 1 0 0a b a b > > ⇔ < < 7. Tính chất 7: nn baNnba >⇒∈>> * ,0 8. Tính chất 8: n baNnba >⇒∈>> n * ,0 Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : 22 baba >⇔> Nếu a và b là hai số không âm thì : 22 baba ≥⇔≥ IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối : 1. Đònh nghóa: nếu x 0 ( x ) nếu x < 0 ≥  = ∈  −  x x R x 2. Tính chất : 2 2 0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤ 3. Với mọi Rba ∈ , ta có : • a b a b+ ≤ + • a b a b− ≤ + • . 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥ • . 0a b a b a b− = + ⇔ ≤ V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : • a > 0, b > 0, c > 0 • b c a b c− < < + • c a b c a− < < + • a b c a b− < < + • a b c A B C> > ⇔ > > VI. Các bất đẳng thức cơ bản : a. Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : 2 a b ab + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Tổng quát : Cho n số không âm a 1 ,a 2 , .a n ta có : 1 2 1 2 . . . n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = .= a n b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx Tổng quát : 2 Cho hai bộ số 1 2 ( , , . ) n a a a và 1 2 ( , , ., ) n b b b ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( . ) ( . )( . ) n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 . n n a a a b b b = = = với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có: 1 1 1 1 ( ) 4a b a b ≤ + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng các phương pháp sau 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + với mọi số thực a,b,c 2. 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + + với mọi a,b Ví dụ 2: Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b 0 ≥ , chứng tỏ rằng: 3 3 3 ( ) 2 2 a b a b+ + ≥ Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì 16)1 21 ()1( 2 2 ≥+++ x x x 2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 2 2 2 2( )+ + < + +a b c ab bc ca Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4 5 =+ yx . Chứng minh rằng: 5 4 14 ≥+ xx Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx 53423 ++≥++ Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: )(2 11 22 yx yx yx +≥+++ Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 0)2()2()2( ≥−++−++−+ baccaacbbccbaab Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : zyxzyx ++≥++ 333 3 Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : 33 ≥ xyx Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 9 ≥ ++ + ++ + ++ c cba b cba a cba Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn 1 ≤++ zyx . Chứng minh rằng : 10 111 ≥+++++ zyx zyx Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3 b c c a a b a b c a b c + + + + + ≥ + + + 3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 1cos 2 x x −> với mọi x > 0 Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức: xtgxx 2sin >+ với mọi ) 2 ;0( π ∈ x Ví dụ 4 : Với 2 0 π << x , chứng minh 1 2 3 sin2 222 + >+ x tgxx BÀI TẬP RÈN LUYỆN I.BiÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng,®¸nh gi¸ Bµi 1: CMR 211 22 ≥+−+++ aaaa ∀a. Bµi 2: CMR ( ) zyxxzxzzyzyyxyx ++≥++++++++ 3 222222 ∀ x,y,z. Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ≥ 0 ∀x. Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a 2 + b 2 + c 2 = 1. CMR abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0 Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR 1) NÕu ab ≥ 1 th× ab ba + ≥ + + + 1 2 1 1 1 1 22 . 2) NÕu a,b,c ≥ 1 th× abc cba + ≥ + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 333 . Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n bca 211 =+ . CMR 4 22 ≥ − + + − + bc bc ba ba . Bµi 7: Cho a+b ≥ 0. CMR 3 33 22       + ≥ + baba . Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ . Bµi 9: CMR [ ] 1,021111 22 ∈∀−≥−+≥−++ ttttt . Bµi 10: CMR 1. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a( b + c + d + e ) ∀a,b,c,d,e 2.a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ a( b + c + d) ∀a,b,c,d. Bµi 11.Cho x>0 CMR 2 2 1 2 (x 1) ( 1) 16 x x + + + ≥ 4 Bài 12.Cho a,b>0 CMR a b a b b a + + . Bài 13.Cho a,b>0 và 1 1 2 1+a 1 b 1 ab + + + (Nhân chéo và phân tích). Bài 14.Cho a,b,c>0 và a,b,c 1,CMR 2 2 2 1 1 1 3 1+a 1 b 1 c 1 abc + + + + + (AD bài 13 và ab abc). Bài 15. II.Bất đẳng thức Côsi Bài 1: Cho a,b,c > 0. CMR 1) a 4 + b 4 + c 4 ab 3 + bc 3 +ca 3 2) 3a 3 + 7b 3 9ab 2 3) 53 532 abba + 4) ba a b b a ++ 5) 33335 2 5 2 5 2 5 2 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ 6) a c c b b a a c c b b a ++++ 3 3 3 3 3 3 B i 2 : Cho x , y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. CMR * ,3 2 1 2 1 2 1 Nn zyx nnn + + + + + Bài 3: Cho x,y,z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. a) CMR : + x 1 1 + y 1 1 64 1 1 + z . b) Tìm GTNN của : A = + x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 . Bài 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR: a) ( ) a + 1 ( ) b + 1 ( ) ( ) 3 3 11 abcc ++ b) ( )( )( ) 3 3 3 mnpabcpcnbma ++++ Bài 5: Cho a,b,c > 0. CMR: a) 2 3 + + + + + ba c ac b cb a (Bất đẳng thức Nesbit) b) Nếu abc = 1 thì : ( ) ( ) ( ) 2 3 222 + + + + + bac ab acb ca cba bc . Baì 6. 1. Cho a,b 0,CMR. 6 6 6 (a b) a b 32 + + 2. a b b c c a 2( a b c).+ + + + + + + Bài7.Cho a,b,c>0,CM các BĐT sau 1. 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2abc + + + + + + + . 5 2. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c 3,voi a +b +c =1 b c c a a b 2abc + + + + ≤ + + + + 3. Cho thªm ®k :a+b=1 CMR • 2 2 1 1 25 (a ) (b ) a b 2 + + + ≥ • 2 2 1 1 25 (a ) (b ) b a 2 + + + ≥ • 1 1 25 (a )(b ) a b 4 + + ≥ • 1 1 25 (a )(b ) b a 4 + + ≥ Bµi 8:Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c,CM c¸c B§T sau: 1. 1 1 1 1 1 1 b c a c a b a b c a b c + + ≥ + + + − + − + − 2. 1 1 1 1 1 1 b c a c a b a b c a b c + + ≥ + + + − + − + − 3. 2 2 2 a b c ( ) ( ) ( ) 3 b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − 4. a b c 3 b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − 5. a b c 3 b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − 6. a b c 3 b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − Bµi 9.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau 1. ab bc ca a b c a b 2c b c 2a c a 2b 4 + + + + ≤ + + + + + + 2. 1 1 1 1 1 1 a b 2c b c 2a c a 2b 4a 4b 4c + + ≤ + + + + + + + + 3. 1 1 1 1 1 1 a 3b b 3c c 3a 4a 4b 4c + + ≤ + + + + + 4. a b c 3 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + ≤ + + + + + + 5. bc ca ab 3 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + ≤ + + + + + + 6. 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 a b c (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + ≤ + + + + + + + + 7. 6 Bài 9: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 33 1 11 33 3333 ≥ ++ + ++ + ++ zx xz yz zy xy yx Khi nµo đẳng thức xảy ra? Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x R ∈ , ta có: xxx xxx 543 3 20 4 15 5 12 ++≥       +       +       Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 4 111 =++ zyx . Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 1 ≤ ++ + ++ + ++ zyxzyxzyx Bài 12: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức abccabcab =++ , chứng minh rằng: 3 222 222222 ≥ + + + + + ca ca bc bc ab ab Bµi 13.(Kü tht co si ngỵc dÊu). 1. Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=3 CMR: 2 2 2 a b c 3 1 b 1 c 1 a 2 + + ≥ + + + 2. Cho a,b,c,d>0,CMR 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c d a b b c c d d a 4 + + + + + + ≥ + + + + 3. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c 1 d + + + ≥ + + + + 4. Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR 2 2 2 a 1 b 1 c 1 3 b 1 c 1 a 1 + + + + + ≥ + + + 5. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 2 2 2 2 a b c d 2 1 b 1 c 1 d 1 a + + + ≥ + + + + 6. Cho a,b,c,d>0 CMR 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c d a b c d a 2b b 2c c 2d d 2a 4 + + + + + + ≥ + + + + 7. Cho a,b,c ≥ 0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a 2b b 2c c 2a + + ≥ + + + 8. Cho a,b,c ≥ 0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR 2 2 2 3 3 3 a b c 1 a 2b b 2c c 2a + + ≥ + + + 9. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 2 2 2 2 a 1 b 1 c 1 d 1 4 b 1 c 1 d 1 a 1 + + + + + + + ≥ + + + + 10. Cho a,b,c ≥ 0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b b c c a 2 + + ≥ + + + Bµi 14(Kü tht thªm bít trong B§T COSI) 1. Cho a,b,c>0 CMR 2 2 2 a b c a b c a b b c c a 2 + + + + ≥ + + + (Thªm (a+b)/4 hc COSI ngỵc ) 7 2. Cho a,b,c>0 CMR 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + (Thªm a,b,c) 3. Cho a,b,c>0 CMR 3 3 3 a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + (Thªm b+c…) 4. Cho a,b,c>0 vµ abc=1,CMR 3 3 3 a b c 3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 4 + + ≥ + + + + + + (Thªm(1+b)/8+(1+c)/8…) 5. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 2 2 2 2 a b c d 4 b c d c d a d a b a b c 3 + + + ≥ + + + + + + + + (Thªm (b+c+d)/9 ) 6. Cho a,b,c>0 CMR 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + (Thªm a,b,c) 7. Cho a,b,c>0 CMR 4 4 4 3 3 3 2 2 2 2 a b c a b c (Them a ) b c a b c a + + ≥ + + 8. Cho a,b,c>0 CMR 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + (Thªm ab,bc,ca) 9. Cho a,b,c>0 CMR 3 3 3 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 + + + + ≥ + + + (Thªm 2 2 2 a(b+c) a ,b ,c hoac . 4 ) 10. Cho a,b,c>0 CMR 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a a .(Them 1 ) b c a b c a b b + + ≥ + + + + III.BÊt ®¼ng thøc BunhiacèpSki Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR: a) ( ) ( ) 2 333 111 cba cba cba ++≥       ++++ b) ( ) ( ) ( ) 222333 3 cbacbacba ++++≥++ c) ( ) ( ) 3 333 9 cbacba ++≥++ Bµi 2 : Cho a,b,c ≥ 4 1 − tho¶ m·n a+b+c = 1. CMR: 211414147 ≤+++++< cba Bµi 3 : CMR : a) 11 −+−≤ xyyxxy víi x,y ≥ 1 b) ( ) ( ) cbccacab −+−≥ víi 0 < c ≤ a,b Bµi 4 : Cho a,b,c > 0. CMR: a) ( a + b ) 4 ≤ 8(a 4 + b 4 ) ; b) ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba +++≥+++ c) 17 98 2 22 ≥+ ba víi 2a + 3b ≥ 7 8 d) 3 222 222222 + + + + + ca ca bc bc ab ab với ab + bc + ca = abc Bài 5: Cho x,y > 0. Tìm GTNN: a) A = yx 4 14 + với x + y = 1 b) B = x + y với 6 32 =+ yx c) C = 2 4 xx + d) D = 1 1 2 + + x x IV.Bất đẳng thức về trị tuyệt đối: Bài 1: Cho 10 =++ zyx CMR: 4321 ++ zyx Bài 2: CMR : ( )( ) ( )( ) ababbababa ++++++ 11112 22 Bài tập thêm : Bài 1: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a + b = c .CMR 4 3 4 3 4 3 cba >+ Bài 2: CMR 11 3 2 3 ++ aaaa Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức: a) A = 2 1 2 x x + với x > 0 ; B = 2 1 3 x x + với x > 0 ; C = ( ) 2 2 2 1 1 x x + + b) 2 2 2 2 2 2 111 z z y y x x +++++ biết rằng x,y,z > 0 và x + y + z 1 Bài 4: Cho x,y > 0 thoả mãn x 2 + y 3 x 3 + y 4 . CMR 2 2233 +++ yxyxyx Bài 5:Cho x,y,z > 0 thoả mãn xyz( x + y + z) = 1.Tìm GTNN P = (x+y)(x+z) Bài 6: Cho a,b,c > 0.CMR: a) ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + << + + + + + 2 b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) 16abc c) cba b ac a cb c ba ab c ca b bc a ++ + + + + + ++ 222 222222333 Bài 7: Cho a,b,c [-1,1] thoả mãn a + b + c = 0.Tìm GTLN,GTNN của P = a 2 + b 4 + c 6 Bài 8: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c = 1.Tìm GTNN P = ba c ac b cb a + + + + + 222 Bài 9: CMR: a) 2222 11 yxyxyyxx +++++++ b) + +++++ 2 311 22 yx yyxx c) ( )( ) ( )( ) ababbababa ++++++ 11112 22 Bài 10.CMR với mọi a,b R ta có a b a b 1 a b 1 a b + + + + + + ,dấu = sảy ra khi nào? Bài 11: CMR: a aa + + 233 844 2 9 V.Bất đẳng thức dùng tính chát tỉ số A.T/C:Cho ba số dơng a,b,c 1. Nếu a a a c 1 thi b b b c + < < + 2. Nếu a a a c 1 thi b b b c + > > + 3. Nếu cho thêm d>0 thì Nếu a c a a c c b d b b d d + + B.Bài tập 1. Cho a,b,c>0,CMR a b c 1 2 a b b c c a < + + < + + + 2. Cho a,b,c,d>0 CMR a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + 3. Cho a,b,c,d>0 CMR 2a b c 2b c d 2c d a 2d a b P a b c b c d c d a d a b + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + Không là số tự nhiên 4. Cho a,b,c,d>0 CMR a b b c c d d a 2 3 a b c b c d c d a d a b + + + + < + + + < + + + + + + + + Bài tập củng cố : 1) CMR : với a,b,c > 0 bất kì ta có : a) 2 cba ac ca cb bc ba ab ++ + + + + + b) cba b ca a bc c ab ++++ c) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 a 2 b 2 c 1 1 1 a b b c c a a b c + + + + + + + 10 . một bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng. minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 1cos 2 x x −> với mọi x > 0 Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức: