Chuyên đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Nguyên BÀI TẬP ĐẠI SỐ - BDHSG 8 Chia hết :Số nguyên và đa thức 1/ Cho đa thức P(x) = 4 3 2 2 7 2 13 6x x x x− − + + a) Phân tích P(x) thành nhân tử. b) CMR ( ) 6P x M với mọi x Z ∈ . 2/ a) Cho 2 3 2 4 4 2 4 8 a a A a a a + + = + − − . b) Cho B = 3 2 3 2 2 1 2 2 1 n n n n n + − + + + 1. Rút gọn A . 1. Rút gọn B. 2.Tìm a Z ∈ để A là số nguyên. 2. Tìm n Z ∈ để B là số nguyên. 3/ Tìm số tự nhiên n để n 3 -3n 2 - 3n -1 chia hết cho n 2 +n + 1. 4/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 2002x x x x+ + + + + cho 2 8 12x x+ + . 5/ Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: a) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 0x y x y z− + − 〉 . c) 2 a b c b c c a a b + + 〈 + + + . b) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 0x y y z z x zx yz xy x y z+ + + + + − − − 〉 . 6/ a) CMR: 3 2 ( 11 6 6) 6a a a+ − − M với a Z ∈ . b)CMR: Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. 7/ Cho a, b là 2 số nguyên. CMR: a) Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a 2 + b 2 chia hết cho 13. b) 10a 2 + 5b 2 +12ab + 4a – 6b +13 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi nào? 8) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: a) ( ) 2 2 2 2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + 〈 + + . b) Nếu ( ) ( ) 2 3a b c ab bc ca+ + = + + thì tam giác đó là tam giác đều. 9/ Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức ( x -1), (x – 2), (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là – 18. 10/ CMR:a) 21 30 + 39 21 chia hết cho 45. b) 8351 634 + 8241 142 chia hết cho 26. 11/ Cho biểu thức: 4 3 4 3 2 1 2 1 x x x A x x x x + + + = − + − + . a) Rút gọn A. b) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tri của x. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của x khi đó. 12/ Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. 13/ Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là 57120. 14/ CMR: A = n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 +n 4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên. 15/ CMR: Với mọi n ∈ Z, n chẵn, ta có số n 3 + 20n luôn chia hết cho 48. 16/ Cho A(x) = 8x 2 – 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x). 17/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax 2 + bx + c . Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000. 18/ CMR: a) 11 10 – 1 chia hết cho 100. b) 9.10 n +18 chia hết cho 27. c) 16 n – 15n – 1 chia hết cho 225. 19/ CMR: x 3 + y 3 – z 3 + 3xyz chia hết cho x + y – z . Tìm thương của phép chia. 20/ CMR: a) Đa thức x 2001 + x 2000 +…+ x + 1 chia hết cho đa thức x 181 + x 180 + … + x + 1. b)Đa thức x 9999 + x 8888 + x 7777 + … + x 1111 + 1 chia hết cho đa thức x 9 + x 8 + … + x + 1. 21/ Xác định giá trị của a và b để: 6x 4 – 7x 3 + ax 2 + 3x +2 chia hết cho đa thức x 2 – x + b. GV:Phan Xuân Duẩn – 0973 488 480 1 Chun đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Ngun BÀI TẬP ĐẠI SỐ –BDHSG 8 (Đơn thức, đa thức) Bài 1: Tính giá trò của biểu thức: a. A = 4 3 2 17 17 17 20x x x x− + − + tại x = 16. b. B = 5 4 3 2 15 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14. c. C = 14 13 12 11 2 10 10 10 . 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9 d. D = 15 14 13 12 2 8 8 8 . 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7. Bài 2: Tính giá trò của biểu thức: a. M = 1 1 1 650 4 4 2 . .3 315 651 105 651 315.651 105 − − + b. N = 1 3 546 1 4 2 . . 547 211 547 211 547.211 − − Bài 3: Tính giá trò của biểu thức: a. A = ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 x x y y x y− + − với x = 2; 1y = . b. M.N với 2x = .Biết rằng:M = 2 2 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . Bài 4: Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5: a. ( ) ( ) 2 2 2 65x x y y xy+ + − − + b. ( ) 2 2 75x y y x+ − + Bài 5: Tính giá trò của đa thức: ( ) ( ) 2 1 1x y y xy x y+ − − − biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − ; biết rằng 2x = a + b + c b. ( ) 2 2 2 2 4bc b c a p p a+ + − = − ; biết rằng a + b + c = 2p Bài 7: a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3. b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: ( ) ( ) M a a b a c= + + ; ( ) ( ) N b b c b a= + + ; ( ) ( ) P c c a c b= + + Bài 9: Cho biểu thức: M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M theo a, b, c, biết rằng 1 1 1 2 2 2 x a b c= + + . Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B. b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Bài 12: Chứng minh rằng: a. 7 9 13 81 27 9− − chia hết cho 405. b. 2 1 2 12 11 n n+ + + chia hết cho 133. Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…, ( ) 1 2 n n + , … Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương. GV:Phan Xn Duẩn – 0973 488 480 2 Chun đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Ngun BÀI TẬP ĐẠI SỐ – BDHSG 8 (Hằng đẳng thức- Pt đa thức thành nhân tử) Bài 1: a)Thực hiện phép tính: A = ( ) ( ) 9 7 23 21 19 17 14 10 9 7 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .+ + − + − + − + − + b) Số 32 2 1+ có là số nguyên tố không? Bài 2: Hãy viết các số 3599, 889, 9991 dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1. Bài 3: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3x x x x+ + + + + + . Bài 4: Cho 0; 0.x y z xy yz zx+ + = + + = Chứng minh rằng .x y z= = Bài 5: a) Tính A = 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 . 99 100 .− + − + − − + b) Tính A = ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 . 1 . . n n− + − + − + − Bài 6: Cho 2 2 2 2 ;x y a b x y a b+ = + + = + .Chứng minh rằng 3 3 3 3 x y a b+ = + . Bài 7: Rút gọn biểu thức : a) ( ) ( ) 2 2 2 2a b c b c ab ac− + − − + − ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 8 64 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1+ + + + + ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 1 3 5 3 5x x x x+ − + + + + ; d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1+ + + + + + ; Bài 8: a) Cho x + y = 5 . Tính giá trò của biểu thức A = ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 4 3 10x y x y xy x y xy x y + − − + + − + + + . b) Cho x – y = 7. Tính giá trò của biểu thức B = ( ) ( ) 2 2 2 37x x y y xy+ + − − + . c) Cho x + 2y = 5. Tính giá trò của biểu thức C = 2 2 4 2 10 4 4x y x xy y+ − + + − . Bài 9: a) Cho ( ) 2 2 2 3 2a b c a b c+ + + = + + . Chứng minh rằng: a = b = c = 1. b) Cho ( ) ( ) 2 3a b c ab ac bc+ + = + + . Chứng minh rằng: a = b = c. c) Cho 2 2 2 a b c ab ac bc+ + = + + . Chứng minh rằng: a = b = c. Bài 10: Cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c b c a c a b− + − + − = + − + + − + + − . Chứng minh rằng: a = b = c. Bài 11: Cho a,b,c,d là các số khác 0 và ( ) ( ) ( ) ( ) a b c d a b c d a b c d a b c d+ + + − − + = − + − + − − . Chứng minh rằng: a b c d = . Bài 12: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3a b c abc+ + = . Bài 13: Cho 2 2 2 .a b c m+ + = Tính giá trò của biểu thức sau theo m: A = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c b c a c a b+ − + + − + + − Bài 14: Chưng minh rằng các biểu thức sau luôn có gia trò dương với mọi giá trò của biến: a) 2 1x x+ + c) 2 2 1x xy y+ + + . b) 2 2 2 1x x+ + d) 2 2 2 4 2 6 8 15x y z x z y+ + − − + + . Bài 15: Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2 3 5A x x= − + b) ( ) ( ) 2 2 2 1 2B x x= − + + c) 2 2 2 4 7C x x y y= − + − + d) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 6D x x x x= − + + + Bài 16: Tìm giá trò lớn nhất của các biểu thức: a) 2 5 8A x x= − − b) 2 2 5 2 4 4B x x y y= − + − − c) ( ) 4 2 4 .C x x= − − − GV:Phan Xn Duẩn – 0973 488 480 3 . chia hết cho đa thức x 181 + x 180 + … + x + 1. b)Đa thức x 9999 + x 88 88 + x 7777 + … + x 1111 + 1 chia hết cho đa thức x 9 + x 8 + … + x + 1. 21/ Xác. 2 – x + b. GV:Phan Xuân Duẩn – 0973 488 480 1 Chun đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Ngun BÀI TẬP ĐẠI SỐ –BDHSG 8 (Đơn thức, đa thức) Bài 1: Tính giá