Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 ®iÓm) TÝnh 101 +100 + 99 + 98 + + + +1 a/ A = 101 −100 + 99 − 98 + + − +1 423134 846267 − 423133 b/ B = 423133 846267 + 423134 C©u (2 ®iĨm) a/ Chøng minh r»ng: 1028 + chia hÕt cho 72 b/ Cho A = + + 22 + 23 + + 22001 + 22002 B = 22003 So sánh A B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 ®Ịu số nguyên tố Câu (2 điểm) Ngời ta chia số học sinh lớp 6A thành tổ, tổ em thừa em, tổ 10 em thiếu em Hỏi có tổ, học sinh ? Câu (3 ®iĨm) Cho +ABC cã BC = 5,5 cm §iĨm M thc tia ®èi cđa tia CB cho CM = cm a/ Tính độ dài BM b/ BiÕt BAM = 800; BAC = 600 TÝnh CAM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = cm Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + 2A – A = 22003 – => A = B – VËy A < B (1/2 ®iĨm) c/ XÐt phÐp chia cña p cho ta they p cã d¹ng sau: p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + (k ∈ N; k > 0) + NÕu p = 5k th× p nguyªn tè nªn k = => p = + NÕu p = 5k + => p + 14 = 5(k + 3) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2) lớn nên hợp số (loại) + NÕu p = 5k + => p + 12 = 5(k + 3) lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2) lớn nên hợp số (loại) Thử lại với p = thoả mÃn (1 điểm) Câu 3: Giả sử có thêm học sinh chia tổ 10 em thừa em nh chia tổ em Vậy cách chia sau cách chia trớc học sinh Mỗi tổ 10 học sinh tổ häc sinh lµ: 10 - = (häc sinh) (1 điểm) Do số tổ là: : = (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 10 – = 37 (häc sinh) (1/2 ®iĨm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm B M => BC + CM = BM (1/2 ®iĨm) => BM = + 5,5 = 8,5 (1/2 ®iĨm) b/ C n»m B M =>AC tia nằm tia AB AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => CAM = BAM – BAC => CAM = 800 – 600 = 200(1/2 ®iĨm) B A K' C K M c/ XÐt trêng hỵp: + NÕu K nằm C M tính đợc BK = BC + CK = 5,5 + = 6,5 (cm) + Nếu K nằm C B tính đợc BK = 4,5 (cm) (1/2 điểm) Câu 5: Ta có: 1 1  < 1− 2 1 1  < −  32  1 1 (1/2 ®iĨm) + + + + < − = 99 < ⇒  < − 100 100  42 2 32 100 (1/2 ®iĨm)   1   < 99 − 100  100  Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 ®iĨm) Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: 3 1 − + − + 11 13 + a/ 5 5 5 − + − + 11 13 1 1 1 b/ ( + + + + 90 ) ( 12 34 - 68 ) :  + + + Câu (2 điểm) a/ Chøng minh r»ng 3636 - 910 chia hÕt cho 45 b/ TÝnh x, y, z biÕt r»ng: y x z = = = y + z +1 x + z +1 x + y − x + y + z c/ Tìm số a, b, c biết: ( - 2a2b3 )10 + ( 3b2c4 )15 = C©u (2 ®iĨm) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B với vận tốc km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau đợc quÃng đờng ngời với vận tốc km/h nên đến B lúc 12 tra Tính quÃng đờng AB, ngời khởi hành lúc giờ? Câu (3 điểm) phía tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 900) Đờng cao Ah tam giác ABC đờng cao CK tam giác BCE cắt N Chứng minh AN = BC Câu (1 điểm) Cho 25 số, số có tổng số dơng Chứng minh tổng 25 số số dơng Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu 1: 1 1 1 3 − +  2 − +       11 13  +  8 = + a/ = 1 1 1 1 1 5 5 − +  5 − +       11 13   8 b/ Ta cã: 12.34 - 68 = Do giá trị biểu thức (1 điểm) Câu 2: a/ Ta có 3636 có tận cïng b»ng 910 cã tËn cïng b»ng (1/4 ®iÓm) 36 10 Do ®ã 36 - chia hÕt cho 5, ®ång thêi cịng chia hÕt cho 9, vËy chia hÕt cho 45 (1/4 ®iĨm) b/ Ta cã: y x x = = =x + y +z y + z +1 x + z +1 y + z − (1) ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè cho tỉ số đầu ta đợc: x+y+z =x + y + z (2) ( x + y + z) NÕu x + y + z = th× tõ (1) suy x = 0; y = 0; z = NÕu x + y + z ≠ th× tõ (2) suy ra: x + y + z = Khi ®ã (1) trë thµnh: y x z = = = 1 − x +1 − y +1 −z−2 2 2 (1/2 ®iĨm)   2x = − x   Do ®ã: y = − y ⇔     2x −= − z    x=    y=    z = Có đáp số: (0; 0; 0) vµ (1/2; 1/2; -1/2) c/ Ta cã: 210 a20 b 30 + 315 b30 c60 = Hai đơn thức vế trái không âm mà có tổng nên: a20 b30 =   ⇔  b30 c60 =  a b =   b.c = (1/2 ®iĨm) (1/4 ®iĨm) Do ®ã b = 0, a c tuỳ ý a = 0; c = b tuỳ ý a = 0; b = 0; c = Câu 3: Ta có sơ ®å sau: A C B Gäi thêi gian ®i CB víi vËn tèc km/h lµ t1 (phót) Gäi thêi gian CB với vận tốc km/h t2 (phót) => t2 - t1 = 15 (phót) vµ v1 = km/h; v2 = km/h Ta cã nªn: v =4 v mµ vËn tèc vµ thờigian đại lợng tỉ lệ nghịch t t −t = ⇒ = = = 15 =15 t 4 −3 1 t t (1/2 ®iĨm) (1/2 ®iĨm) => t2 = 15 = 60 (phót) = (giê) VËy qu·ng ®êng AB b»ng: = 15 (km) Và ngời khởi hành lúc: 12 - = (giờ) (1/2 điểm) Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm) Ta cã: N NA ⊥ BC ( gt )   AC ⊥ CE ( gt )  NAC = BCE (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc tù) (1) (1 điểm) Lại có: C + C = 1v   (2)  ⇒ C2 = E E + C = 1v   vµ AC = CE (gt) (3) (1 ®iĨm) Tõ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) VËy AN = BC (1/2 ®iĨm) E A K B C Câu 5: (1 điểm) Trong 25 số đà cho, phải có số dơng 25 số âm, tổng số bât kì âm, trái với đề Tách riêng số dơng đó, lại 24 số, chia thành nhóm Theo đề nhóm có tổng mang giá trị dơng nên tổn nhóm số dơng Vậy tổng 25 số số dơng Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thêi gian: 150 (Kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) C©u (2 ®iĨm) a/ Ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử: x3 - 7x - b/ Giải phơng trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = Câu (2 điểm) a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, víi a, b, c số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên b/ Tìm giá trị nhỏ của: Câu (2 điểm) A= 3x x +6 x −2 x +1 a/ Chøng minh r»ng víi sè bÊt kú a, b, x, y ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 b/ Chøng minh r»ng: x3m+1 + x3n+2 +1 chia hÕt cho x2 + x + víi mäi sè tù nhiªn m,n Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có gãc nhän víi ®êng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh r»ng: HA' HB' HC ' + + =1 AA' BB' CC ' Câu (1 điểm) 1 + + ≥9 Cho sè d¬ng a, b, c cã tæng b»ng Chøng minh r»ng: a b c Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 ®iĨm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 ®iĨm) 2 b/ x -30x + 31x - 30 = (x - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*) 2 V× x - x + = (x - 1/2) + 1/4 > (1/2 ®iĨm) x − = x = ⇔ => (*) (x - 5)(x + 6) =  (1/2 ®iĨm) x = −6 x+6=0   C©u a/ Cã f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c số nguyên (1/2 ®iĨm) => a + b + c - c = a + b nguyªn => 2a + 2b nguyªn => 4a + 2b nguyªn => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyªn => 2b nguyªn VËy 2a, 2b nguyªn b/ Cã A = 3( x − x +1) −2( x −1) +1 =3 − + x −1 ( x −1) ( x 1) (1/2 điểm) Đặt y = x − => A = y2 – 2y + = (y – 1)2 + ≥ ®iĨm) (1/2 => A = => y = ⇔x − =1 => x = VËy A = x = (1/2 điểm) Câu a/ Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4 ®iĨm) 2 2 a y - 2axby + b x ≥ (ay - bx) ≥ (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối bất đẳng thức nên bất đẳng thức phải chứng minh bất đẳng thức (1/4 điểm) a b Dấu = xảy ay - bx = hay x = y (1/4 ®iĨm) b/ Ta cã x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + (1/4 ®iĨm) = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) (1/4 ®iĨm) Ta thÊy x3m - vµ x3n - chia hÕt cho x3 - ®ã chia hÕt cho x2 + x +  x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + A C©u B' + Cã SABC = BC AA’ (1/2 ®iÓm) C' + Cã SHBC = BC HA’ (1/2 ®iĨm) H + Cã SHAC = AC HB’ (1/2 ®iĨm) + Cã SHAB = AB HC’ (1/2 ®iĨm) B A' S S S HA' HB' HC' + S HBC = AA' ; SHAC = BB' ; SHAB = CC' ABC ABC ABC (1/2 ®iĨm) C S +S +S S => HBC SHAC HAB = S ABC = ABC ABC VËy HA' HB' HC ' + + =1 AA' BB' CC ' (1/2 điểm) Câu b = 1+ + a a  a 1 Do a + b + c = nªn  = 1+ + b b 1 a = 1+ + c c  c a c b b c (1/2 ®iĨm) 1 a b a c b c + + = + +  +  +  +  +  ≥ + + + =   a b c a  c a c b b Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1/3 VËy §Ị thi chän häc sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) a/ Tính giá trị biÓu thøc: P = (5 +2 6) −2 + b/ Chøng minh r»ng nÕu a, b, c số dơng thoả mÃn a + c = 2b ta có: + a+ b = b+ c a+ c C©u (1,5 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 b/ Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: M = x2 x4 + x2 +1 Câu (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99 a/ Chøng minh r»ng P(x) lu«n lu«n chẵn với x nguyên dơng b/ Chứng minh P(2) lµ béi sè cđa 100 c/ Gäi N lµ số nguyên biểu thị số trị P(4) Hỏi chữ số hàng đơn vị N chữ số đợc không ? Tại ? Câu (3 điểm) Cho góc nhọn xOy điểm M nằm góc HÃy tìm Ox, Oy điểm A, B cho chu vi tam gi¸c MAB nhá Câu (1 điểm) Cho số dơng a, b, c thoả mÃn điều kiện a + b > c vµ |a - b| < c Chøng minh r»ng phơng trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = luôn vô nghiệm Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu a/ P = ( 3+ 2)2 ( − 2)2 = ( 3+ 3+ (1/2 ®iĨm) b/ Ta cã: )( − ) = − = (1/2 ®iĨm) VT = a − b + a −b b− c b −c (*) (1/4 ®iĨm) Tõ a + c = 2b => a = 2b – c thay vào (*) ta có (1/4 điểm) a b + b − c a − b b − c a − c = VT = 2b − c − b + b − c = (**) b −c b −c (1/4 điểm) Thay b = a +c vào (**) ta cã 2( a − c ) a − c = = VT = a + c − 2c a c điểm) = VP (Đpcm) a + c Câu a/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6(7 - y2) V× (2x + 2)2 ≥ => - y2 ≥ => ≥ y2 mà y Z => y = (1/4 (1/4 điểm) 0; ± ; ± (1/4 ®iĨm) + Víi y = ± => (2x + 2) = 6(7 - 1) 2x + 4x - 16 = => x1 = 4; x2 = -2 + Víi y = ± =>2x2 + 4x - = => x1, x2 Z (loại) (1/4 điểm) + Với y = =>2x2 + 4x - 19 = => x1, x2 Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) phơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1) b/ NhËn xÐt r»ng nÕu x = M = 0, giá trị giá trị lớn Vậy M đạt giá trị lớn với x khác Chia tử mẫu cho x2 ta đợc: 2 M= x +  x2    +1 (1/2 điểm) 1 2 M đạt giá trị lớn x + nhỏ => x + = => x = ± x x VËy M lín nhÊt b»ng /3 x = ± C©u Ta cã P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66) = (x + x11)(x2 – x12 + x22)( x6 – x36 + x66) (1/4 ®iĨm) a/ Víi x chẵn x9, x99 chẵn x lẻ x9, x99 lẻ => x9 + x99 chẵn với x nguyên dơng (1/4 điểm) 11 11 b/ Ta cã x = 2048 nªn x + x = 2050 (1/4 điểm) Vì x = nên thừa số lại chẵn p bội cđa 4100 VËy P(2) chia hÕt cho 100 (1/4 ®iĨm) 99 99 99 c/ Ta cã N = P(4) = + = (2 ) + (2 ) = (2 + ) 29 299 (1/4 điểm) Theo câu b số bị trf có chữ số hàng đơn vị mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác hay hiệu chữ số hàng đơn vị khac Vậy chữ số N khác x A' Câu - Dựng A đối xứng víi M qua Ox (1 ®iĨm) - Dùng B’ ®èi xøng víi M qua Oy - Nèi A’B’ c¾t Ox A, cắt Oy B (1 điểm) => AM = AA’ (A ∈ Ox trung trùc cña A’M) BM = BB’ (B ∈ Oy trung trùc cña B’M) (1/2 ®iÓm) => P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhá (vì A, A, B, B thẳng hàng) O Câu TÝnh biÖt sè ∆ = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 c2] (1/2 điểm) Vì a + b > c > vµ < | a – b| < c nªn (a – b)2 < c2 => (a – b)2 – c2 < vµ (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2 > Do < => Phơng trình vô nghiệm A M y B B' (1/2 điểm) ...Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu 1: TÝnh 101 51 = 101 a/ Α = (1 ®iĨm) 51 b/ B = 423133 84 6267 + 84 6267 − 423133 =1 423133 84 6267 + 423134... 423133 84 6267 + 423134 (1 điểm) Câu 2: a/ Vì 10 28 + có tổng chữ số chia hết tổng chia hÕt cho L¹i cã 10 28 + cã chữ số tận 0 08 nên chia hết cho VËy 10 28 + chia hÕt cho 72 (1/2 ®iĨm) 2002 2003 b/ Cã... đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Câu 1: 1 1 1 3 − +  2 − +       11 13  +  8? ?? = + a/ = 1 1 1 1 1 5 5 − +  5 − +       11 13   8? ??