Giáo viên hướng dẫn: Thầy Thiện Nhóm thuyết trình VI: Tiển, Long, Trinh. Bài giảng UCLN VÀ THUẬT TOÁN Ơ-CLIT I. Mục Tiêu • Nhằm giúp giáo sinh hiểu một cách hệ thống,tổng quát từ Ước =>ƯC =>UCLN của các số tự nhiên(đến số nguyên). Trong đó trình bày từ phương pháp tìm UCLN : bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố => đến thuật toán Ơ-clit.(thuyết trình thuật toán Ơ-clit mở rộng và thuật toán Ơ-clit tìm UCLN của hai hay nhiều đa thức). • Xây dựng hệ thống bài tập củng cố. II. Chuẩn Bị • Bảng phụ ,thước kẻ, phấn màu. • Sgk toán 6 tập . • Đại số sơ cấp và thực hành giải toán(Hoàng Kì). • Lý thuyết số (Nguyễn Hữu Hoan). III. Nội Dung Hoạt động của GV và HS Nội Dung Hoạt Động 1 : Kiểm Tra Bài Cũ Câu 1: a. Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 khi nào ?. HS: Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 khi tồn tại số tự nhiên q sao cho a= b.q b, Khi ấy b là gì của a ?. HS: b là ước của a (a là bội của b) c, tìm ước của 4 và 6? HS : Ư(4)={1;2;4} Ư(6)={1;2;3;6} Câu 2: a,Ước chung của hai số a và b là gì ? HS : Ước chung của hai số a và b là ước của hai số đó . GV:Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. b, tìm ƯC của 4 và 6 ? HS :ƯC(4;6)=Ư(4) I Ư(6)={1;2} GV: Số nào là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 4 và 6? HS: Số “2” số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 4 và 6. 1.Ước: Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 khi tồn tại số tự nhiên q sao cho • a= b.q (b là ước của a ) Ư(4)={1;2;4} Ư(6)={1;2;3;6} 2, Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. ƯC(4;6)=Ư(4) I Ư(6)={1;2} GV: Số “2” được gọi là gì ? chúng ta cùng đi qua bài học hôm nay để tìm đáp án cho câu hỏi này. Hoạt động 2: Tìm ƯCLN Bằng Cách Phân Tích Các Số Ra Thừa Số Nguyên Tố 1.ƯCLN Vd1: Từ câu 2 ta có : ƯC(4;6)={1;2} • 2 là ƯC của 4 và 6 • 2 là số lớn nhất trong tập các ước chung của 4 và 6. Số 2 được gọi là ước chung lớn nhất của 4 và 6 . KH :ƯCLN(4;6) Vd2: ƯCLN(8,12) = ? GV hướng dẫn: • B1: tìm ƯC(8,12) • B2: Số nào là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 8 và 12? HS: B1: ƯC(8,12)={1;2;4} B2: Số “4” là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 8 và 12. Vậy ƯCLN(8,12)= 4. Vd3: ƯCLN(36;84;168) = ? GV hướng dẫn : • Để tìm ƯC(36;84;168) thì ta phải liệt kê từng Ư(36);Ư(84); Ư(168) thì rất lâu và khó. • Đó là cách tìm ước chung theo định nghĩa (liệt kê từng ước=> tìm ước chung=>lấy số lớn nhất). • Có phương pháp nào giúp ta tìm ƯCLN của nhiều số có giá trị tương đối lớn một cách dễ dàng ! (khắc phục hạn chế liệt kê từng ước). 2.Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố ? Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là gì? HS: Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là: viết số đó dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Vd1: Phân tích sồ 30 ra thừa số nguyên tố ? HS : 30= 2.3.5 Vd1 (Vd3 phần 1): ƯCLN(36;84;168) = ? GV hướng dẫn : B1 :Phân tích 3 số đó ra thừa số nguyên tố • 36= ? • 84=? • 168=? HS: 36= 2.2.3.3 = 2 2 .3 2 84= 2.2.3.7 = 2 2 .3.7 168= 2.2.2.3.7 = 2 3 .3.7 B2 : Chọn các thừa số chung lấy số mũ nhỏ nhất ? 1.ƯCLN ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Nhận Xét : • Tất cả các ước chung của 4 và 6(là1;2) đều là ước của ƯCLN(4;6). • Vậy để tìm các ước chung của các số đã cho thì ta tìm ước của “ƯCLN của các số đó”. Vd 2: ƯCLN(8,12) = ? B1: ƯC(8,12)={1;2;4} B2: Số “4” là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 8 và 12. Vậy ƯCLN(8,12)= 4. 2. Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố a, phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là: viết số đó dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Vd1: 30= 2.3.5 Quy tắc: Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực 3 bước : B1 :Phân tích mỗi số đó ra thừa số nguyên tố. B2 : Chọn các thừa số chung lấy số mũ nhỏ nhất. B3 : Lập tích các thừa số đã chọn ,mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.Tích đó là ƯCLN phải tìm. Vd 2:ƯCLN(14;6,20) = ? B1:phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố: Hoạt động 3 :Thuật Toán Ơ-clit 1. Thuật Toán Ơ-clit Vd1(Vd3 phần 2): ƯCLN(396;378) = ? Ta có : 396 = 378.(…)+ (…) ? HS: 396 = 378.1+ 18 Theo bổ đề 2 ta được: • ƯCLN(396;378) = ƯCLN(…; .) ? (*) HS: ƯCLN(396;378) = ƯCLN(378;18) (*) Ta có : 378 = 18.(…) + (…) ? HS: 378 = 18.21 + 0 Theo bổ đề 1 : • ƯCLN(378;18) = … ? (**) HS: ƯCLN(378;18) = 18 (**) Vậy từ (*) và (**) ta có: … = … HS: Vậy từ (*) và (**) ta có: ƯCLN(396;378) = 18. Vd2: ƯCLN(126;51) = ? Áp dụng theo từng bước của thuật toán Oclit. HS: • B1 : Ta có 126 = 51.2 + 24 Vì 24 ≠ 0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24) • B2; 51 = 24.2 + 3 Vì 3 ≠ 0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3) • B3; 24 = 3.8 + 0 Vậy : ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3)=3 GV hướng dẫn cách ghi sau: 126 51 51 24 2 24 3 2 0 8 Vd3: a, ƯCLN(57;38) = ? 323 57 57 38 5 38 19 1 1. Thuật Toán Ơ-clit Định lí : ∃ ƯCLN(a;b) ∀ a, b ∈ Z * .  Với hai số nguyên a,b khác 0 ta có ƯCLN(a;b) = ƯCLN(|a|;|b|) nên ta có thể giả thiết a>0,b>0 và a>b. a, B ổ đề 1 : ƯCLN(a;b) = b nếu aMb . Vd :ƯCLN(12;48) = 12. b, Bổ đề 2 : nếu a = bq + r , 0 ≤ r < b thì ƯCLN(a;b) = ƯCLN(b;r)  Thuật Toán : cho a,b là 2 số nguyên (a > b > 0) tìm số tự nhiên d = ƯCLN(a;b) Thực hiện phép chia có dư: a = bq + r (*) 0 ≤ r < b Đặt: a = r o , b= r 1 , r = r 2 , q = q 1 khi đó (*) trở thành: r o = r 1 .q 1 + r 2 (0 ≤ r 2 <r 1 ) B1: Nếu r 2 = 0 (hay a M b) theo bổ đề 1 ta được: d=ƯCLN(a;b) = ƯCLN(r o ;r 1 ) = r 1 = b . ⇒ Kết thúc B2: Nếu r 2 ≠ 0 (hay a M b) theo bổ đề 2 ta được: d=ƯCLN(a;b)=ƯCLN(r o ;r 1 ) =ƯCLN(r 1 ; r 2 ) Thực hiện phép chia có dư: r 1 = r 2 .q 2 + r 3 (0 ≤ r 3 <r 2 ) B3: Nếu r 3 = 0 thì d = r 2 ⇒ Kết thúc. B4: Nếu r 3 ≠ 0 quay lại B2 …… Thực hiện liên tiếp quá trình này ta được dãy giảm nghiêm ngặt những số tự nhiên: r 1 > r 2 > r 3 …………. ≥ 0 Quá trình trên phải kết thúc, không quá b bước ( ∃ n <= b sa o cho r n-1 = r n .q n ) d=ƯCLN(a;b)=ƯCLN(r o ;r 1 ) =ƯCLN(r 1 ; r 2 ) ………. = ƯCLN(r n-1 ;r n ) . Hệ Quả : Nếu d = ƯCLN(a;b) ⇒ ∃ x,y ∈ Z sao cho d = a.x + b.y. Khi d = 1 thì a,b nguyên tố cùng nhau Vd2: ƯCLN(126;51) = ? • B1 : Ta có 126 = 51.2 + 24 Vì 24 ≠ 0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24) • B2; 51 = 24.2 + 3 Vì 3 ≠ 0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3) 0 2 ƯCLN(323;57) = 19 . b, Tìm x,y ∈ Z sao cho 19 = 323.x + 57.y ? GV hướng dẫn : Từ thuật toán Ơ-clit ta suy ra được một thuật toán cho phép tìm đồng thời d = ƯCLN(a;b) và cặp số x,y ∈ Z sao cho d =a.x + b.y.Được gọi là thuật toán Ơ-clit mở rộng . 2 Thuật Toán Ơ-clit mở rộng Vd1 (Vd3 b): Tìm x,y ∈ Z sao cho 19 = 323.x + 57.y ? • B3; 24 = 3.8 + 0 Vậy : ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3)=3 2. Thuật Toán Ơ-clit mở rộng Tìm công thức của x k ,y k sao cho ở từng bước của thuật toán Ơ-clit xảy ra đẳng thức : r k = a.x k + b.y k (*) Vì: r 0 = a = a.1+ b.0 nên lấy x 0 = 1, y 0 =0 r 1 = b = a.0+ b.1 nên lấy x 0 = 0, y 0 =1 Giả sử tính được x k-2 , y k-2 và x k-1 , y k-1 thì : • x k = x k-2 - x k-1 .q k-1 • y k = y k-2 - y k-1 .q k-1 (2 ≤ k ≤ n) Khi thuật toán kết thúc thì r n+1 =0 và d = r n . (*) trở thành : r n = a.x n + b.y n Với : x n = x n-2 – x n-1 .q n-1 y n = y n-2 – y n-1 .q n-1 Vậy: d = r n và x = x n ,y = y n d = ƯCLN(a;b) và d =a.x + b.y i q r 0 r 1 r 2 x 0 x 1 x 2 y 0 y 1 y 2 0 5 323 57 38 1 0 1 0 1 -5 1 1 57 38 19 0 1 -1 1 -5 6 2 2 38 19 0 1 -1 -5 6 Vd2 :Tìm x,y ∈ Z sao cho d = 41.x + 24.y Với d = ƯCLN(41;24) ? i q r 0 r 1 r 2 x 0 x 1 x 2 y 0 y 1 y 2 0 1 41 24 17 1 0 1 0 1 -1 1 1 24 17 7 0 1 -1 1 -1 2 2 2 17 7 3 1 -1 3 -1 2 -5 3 2 7 3 1 -1 3 -7 2 -5 12 4 3 3 1 0 3 -7 -5 12 ƯCLN(41;24) = 1 và 1 = 41.(-7) + 24.12 Vd3 : ƯCLN(f(x);g(x)) = ? f(x) = x 4 – 4x 3 + 3x 2 + 4x – 4 và g(x) = x 4 – 4x 3 + 5x 2 – 2x GV hướng dẫn : để tìm ƯCLN của 2 đa thức ta có thể dùng thuật toán Ơ-clit như tìm ƯCLN của hai số nguyên không ? 3Thuật Toán Ơ-clit tìm ƯCLN của đa thức Để tìm UCLN của hai đa thức, ta dùng thuật toán giống như thuật toán Ơclit để tìm UCLN của hai số nguyên. Vì UCLN của hai số nguyên là 1 trường hợp đặc biệt của UCLN của hai đa thức, khi hai đa thức chỉ có hạng tử tự do. Vd1 ( Vd3 phần 2): ƯCLN(f(x);g(x)) = ? f(x) = x 4 – 4x 3 + 3x 2 + 4x – 4 và g(x) = x 4 – 4x 3 + 5x 2 – 2x 3Thuật Toán Ơ-clit tìm ƯCLN của đa thức • Định lí 1. Đối với hai đa thức khác không f(x) và g(x) của P(x) luôn tồn tại và duy nhất UCLN của chúng. Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức trên trường số P. Ta gọi đa thức h(x) là ước chung của f(x) và g(x) nếu f(x) và g(x) đều chia hết cho h(x). Đa thức d(x) P[x] được gọi là ước chung lớn nhất (UCLN) của f(x) và g(x), kí hiệu là: d(x) = UCLN(f(x), g(x))nếu: a) d(x) là ước chung của f(x) và g(x). b) d(x) chia hết cho mọi ước chung của f(x) và g(x). c) hệ số cao nhất của d(x) bằng 1. Hai đa thức f(x) và g(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếuUCLN(f(x), g(x)) = 1 • Định lí 2 . Giả sử (f(x), g(x)) = d(x), khi đó tồn tại các đa thức u(x) và v(x) sao cho: f(x).u(x) + g(x).v(x) = d(x) Hoạt động 4 : Củng Cố Bài tập 1: Tìm x là số tự nhiên lớn nhất sao cho: 72Mx ; 48Mx a,Theo cách phân tích các số ra tích các thừa số nguyên tố b,Theo thuật toán Ơ-clit Hướng dẫn : ta có 72Mx theo định nghĩa thì x là ….của 72 ? 48Mx theo định nghĩa thì x là ….của 48 ? Ta lại có đề bài cho “x là số tự nhiên lớn nhất” Vậy: x là gì của 72 và 48 ? Bài tập 2: Môt căn phòng tắm có kích thước nền là 4,2(m) x 2,8(m). Tìm kích thước viên gạch nát nền hình vuông sao cho vừa vặn lát kín căn phòng (không phải xẻ thêm viên nào để chèn vào chỗ còn thừa) và số lượng viên gạch là ít nhất. Hướng dẫn : Gọi x là cạnh viên gạch hình vuông cần tìm. Để thuận lợ cho quá trình tính toán , đổi : 4,2m =….cm ? 2,8m =….cm ? Vì : Viên gạch nát nền hình vuông sao cho vừa vặn lát kín căn phòng thì …………. Số lượng viên gạch là ít nhất nên…………… Bài 3: Tìm x,y ∈ Z sao cho d = 204.x + 63.y .Với d = ƯCLN(204;63) ? Bài 4: Tìm ƯCLN của các đa thức f(x) = x 4 +4x 3 – 3x 2 – 4x – 1 và g(x) = x 3 + x 2 – x–1 . Giáo viên hướng dẫn: Thầy Thiện Nhóm thuyết trình VI: Tiển, Long, Trinh. Bài giảng UCLN VÀ THUẬT TOÁN Ơ-CLIT I. Mục Tiêu • Nhằm giúp giáo sinh. ƯCLN(396;378) = 18. Vd2: ƯCLN(126;51) = ? Áp dụng theo từng bước của thuật toán Oclit. HS: • B1 : Ta có 126 = 51.2 + 24 Vì 24 ≠ 0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)