I. Lý do chọn đề tài Ta đã biết rằng bài toán tìm điều kiện về tính chất nghiên cứu phơng trình, bất phơng trình thờng xuất hiện trong các kỳ thi đại học và khi chơng sách giáo khoa bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên mất đi một công cụ để giải. Tuy nhiên nếu phân tích vấn đề một cách cẩn thận thì tuyến vẫn đề đó có thể giải quyết bằng phơng pháp cực trị tơng đối hiệu quả. Và thực tế giải bằng phơng pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn hơn. Mặt khác hớng dẫn học sinh bằng phơng pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất t duy nh phát triển tơng khái quát hoá, t duy hàm, t duy phân tích tổng hợp từ việc phân tích ở trên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu Sử dụng phơng pháp cục trị để xét phơng trình, bất phơng trình. II. Nội dung nghiên cứu A. Lý thuyết 1. Phơng trình f(x) = m có nghiệm trên D )(max)(min xfmxf D D 2. Bất phơng trình f(x) m có nghiệm trên D <=> )(max xfm D 3. Bất phơng trình : f(x) m có nghiệm đúng x+D <=> )(min xfm D 4. Bất phơng trình : f(x) m vô nghiệm trên D <=> )(max xfm D > 5. Bất phơng trình m > f(x) có nghiệm x+ D <=> )(min xfm D > 6. Bất phơng trình : f(x) > m có nghiệm đúng x+D <=> )(max xfm D > 7. Bất phơng trình : m > f(x) vô nghiệm trên D <=> )(min xfm 1 (Với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên D) B. Bài toán Bài toán 1: Tìm m để phơng trình x 2 2x = m có nghiệm x [ 0; 1] Giải: Xét hàm số f(x) = x 2 2x Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên [0;1] Ta có : maxf(x) = 0 ; min f(x) = - 1 [0 ; 1] [0; 1] Vậy điều cận cần và đủ để phơng trình có nghiệm trên [0; 1] là 1 m0 Bài toán 2: Tìm m để bất phơng trình 4x x 2 m nghiệm đúng x [0; 5] Giải: Xét hàm số f(x) = 4x x 2 là hàm số bậc hai, biến x: Có 4 2 = a b Ta có f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5 Bất phơng trình nghiệm đúng x [0; 5] Đáp số : m - 5 Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phơng trình mx 4 4x + m 0 nghiệm đúng xR Giải vắn tắt : Bất phơng trình )( 1 4 4 xg x x m = + Bằng phơng pháp đạo hàm xét hàm G(x) = ; 1 4 4 + x x Ta có : 4 27)(max = xg R Do đó bất phơng trình nghiệm đúng xR điều kiện cần và đủ là : m 4 27)(max = xg R Đáp số : 4 27 m Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị của m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất ph- ơng trình 5)2(log42log 2 4 2 2 +++ mxxmxx 2 Giải : Điều kiện )2( 2 mxx + 1 Bất phơng trình 5)2(log42log 2 4 2 2 +++ mxxmxx Đặt t = 0;5)2(log 2 4 + tmxx Bất phơng trình trở thành : t 2 + 4t 5 0 - 5 t t Kết hợp với t 0 Ta có : 0 t 1 Suy ra : 0 1)2(log 2 4 + mxx 42 12 2 2 + + mxx mxx mxx mxx 42 12 2 2 Bất phơng trình nghiệm đúng x [0; 2] khi và chỉ khi mxx mxx 4)2(max 1)2(min 2 ]2;0[ 2 ]2;0[ y m m 40 11 (Xem hình bên) 2 m 4 0 2 x -1 Bài toán 5: Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm X 3 + 3x 2 1 a ( 3 )1 xx (1) Giải vắn tắt: + Do 01 > xx nên (5) (x 3 + 3x 2 1) ( 3 )1 xx a (2) TXĐ của (2) là : x 1 + Hai hàm số : f(x) = x 3 + 3x 2 1 và g(x) = 1 xx đều dơng và đống biến khi : x 1 => Hàm số h(x) = x 3 + 3x 2 1 ( 3 )1 + xx Đồng biến khi x 1 => 3)1()(min 1 == hxh x Vậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi : a 3)2(min 1 = h x Đáp số : a 3 3 Bài toán 6: Cho hàm số f(x) = (m 1) 6 x - 12 6 2 ++ m x tìm m để bất phơng trình (x 6 1-x ) . f(x) 0 x [0; 1] Giải vắn tắt : + Với x = 1 thì bất phơng trình thoả mãn không phụ thuộc vào m, nên chỉ cần tìm m để bất phơng trình thoả mãn x [0; 1] Lu ý : h(x) = x 6 1-x =x 6 ( x ) 6 1 ( là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = 0 => h(x) < 0 x [0; 1] Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x) 0 x [0; 1] Đặt t = 6 [0; 6] Ta có : m )( 2 2 2 2 xg tt tt = + Với t [0; 6] Lập bảng biến thiên g(t) trên [1 ; 6] ta có kết quả 2 1 )(min ]6;1[ = tg Đáp số : m 2 1 Bài toán 7: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm ( mxxxx =++++ )3)(1(31 Giải : Đặt t = xx +++ 31 thì 2 t 2 2 + Khi đó phơng trình trở thành f(x) = mt t =++ 2 2 2 Lập bảng biến thiên của f(t) với 2 t 2 2 Ta có : 222)(min ]22;2[ = tf 2)'(max ]22;2[ = tf Vậy phơng trình có nghiệm 2222 m Bài toán 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm x 3 3x + m 2 - 03 3 = xx (1) 4 Giải : Đặt t = 0 32 23 ';3 3 2 3 < = xx x txx t(-1) = 0)0(;2 = t => 0 t 2 (1) => t 2 + m 2 t = 0 <=> m = -t 2 + t + 2 = f(t) => f(t) = -2t + 1 ; f(t) = 0 t = 1/2 Bảng biến thiên: T 0 1/2 2 f + 0 - f 9/4 2 2 => 2)(min; 4 9 )(max ]2;0[ ]2;0[ == tftf Đáp số : m [ ] 4 9 ;2 Bài toán 9: Tìm m để phơng trình 021211 2 =++++ mxxx (1) Vô nghiệm Giải: Đặt t = xx ++ 11 với x [-1;1] t = 0 12 1 12 1 = + xx x + 1 = 1 x x = 0 t(-1) = t(1) = 2 t(1) = 2 => t [ ]2;2 Với t 2 = 2 + 2 12 x (1) trở thành : t + t 2 2 m + 2 = 0 m = t 2 + t = f(t) => f(t) = 2t + 1> 0 t [ ]2;2 ; f( 2 ) = 2 + 2 ; f(2) = 6 => 6)(max;22)(min ]2;2[]2;2[ =+= tftf Vậy phơng trình có nghiệm m [ 2 + 2 ; 6] Phơng trình vô nghiệm m (- );6()22; ++ 5 Đáp số : m (- );6()22; ++ Bài toán 10: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm Sin 4 x + cos 4 x + sin2x + m = 0 Giải vắn tắt : Phơng trình Sin 2 2x 2sin2x 2(m+1) = 0 Đặt t = sin 2x ; [t] 1 => t 2 2t 2 (m + 1) = 0 m = )(1 2 1 2 tgtt = Ta có : g(-1) = 1/2 ; g(1) = -3/2 ; g(1/4) = -39/32 => 2 3 )(min; 2 1 )(max ]1;1[]1;1[ == tgtg Đáp số : 2 1 2 3 m Các bài toán tự giải Bài 1: Tìm m để phơng trình: x 2 mx + 2m 1 = 0 Có nghiệm x (0; 1) Bài 2: Tìm a để bất phơng trình sau nghiệm đúng x R (x 2 + 4x + 3) (x 2 + 4x + 6) a Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm Phân biệt [0; 2] 024 122 22 =+ + m xxxx Bài 4: Tìm m để phơng trình x 4 - 2x 3 + mx 2 2x + 1 = 0 có nghiệm x(0; 1) Bài 5: Tìm m để bất phơng trình sau vô nghiệm x 4 + 4x 3 + (m+4)x 2 + 2mx 2 + 2m 0 6 III. Kết luận Trên đây là một sáng kiến nhỏ của chúng tôi mong các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn. Nghi Lộc, ngày 20 tháng 5 năm 2009 Ngi thc hin Nguyễn Văn Nho 7 . cứu Sử dụng phơng pháp cục trị để xét phơng trình, bất phơng trình. II. Nội dung nghiên cứu A. Lý thuyết 1. Phơng trình f(x) = m có nghiệm trên D )(max)(min. đây là một sáng kiến nhỏ của chúng tôi mong các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn. Nghi Lộc, ngày 20 tháng 5 năm 2009 Ngi thc hin