NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 NHĨM TOÁN VD – VDC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi: 10 tháng 06 năm 2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM Họ tên: ………………………………………………………… SBD: ……………… Câu Hàm số y x2 x nghịch biến khoảng đây? A (1; 3) Câu B ( ; 1) Trong không gian Oxyz cho u C ( 3;1) (2; 1;1), v D (1; ) ( 3; 4; 5) Số đo góc hai vectơ u v Câu A 1500 B 1200 C 600 D 300 Cho khối chóp có chiều cao 2a , đáy hình thoi cạnh a có góc 60 Thể tích khối chóp cho A a3 Câu a3 A x  1 B x  Trong không gian Oxyz , 4z B u2   5; 2; 3 D x  mặt phẳng P : x 2y 3z 0, C u3  8;1; 2  D u4   4; 1; 2  f x dx B 12 C D Giá trị lớn hàm số y   x  x  A B  C D Cho hình nón có bán kính đáy , góc đường sinh trục hình nón 300 Diện tích xung quanh hình nón cho A Câu a3 f x dx Nếu tích phân A C x  giao tuyến hai Câu D có véc tơ phương A u1   5; 2; 3 Câu a3 Điểm cực đại hàm số y   x3  3x  Q :x Câu C 3 B 3 C 3 D 2 Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm M  4; 5;3 qua trục Oz có tọa độ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu B NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 A  4; 5; 3 B  4;5;3 C  4;5; 3 A C B x2  x3  x  x D Câu 11 Bất phương trình log  x  1  log  x  5 có nghiệm nguyên? C B A Câu 12 Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   A C  x  1 B D 4x  4x 1 C 2x 1 C  C 2x 1 D  C  x  1 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 10 Tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  D  0;0;3 Câu 13 Số điểm cực trị hàm số y  x  sin x khoảng   ; 2  A Câu 14 B  Tích nghiệm phương trình  B 2 A D C  x 5 x    D 5 C Câu 15 Cho khối trụ có chiều cao bán kính đáy có diện tích thiết diện qua trục khối trụ 16 Thể tích khối trụ cho A 64 A   x 1 e 2x 64 C 1 B 80 D 16 2 dx  a  x  b  e2 x  C , với a, b số hữu tỉ Giá trị a  b Câu 17 Biết phương trình log92 x  log3 A C 16 2 B D x  có hai nghiệm x1 , x2 với x1  x2 Hiệu x2  x1 27 80 27 C 6560 27 D 6560 729 Câu 18 Biết tập nghiệm bất phương trình 4x  8.6x  12.9x  khoảng  a; b  Giá trị b  a A  log B log C  log D log 3 Câu 19 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh a Thể tích khối cầu có tâm A tiếp xúc với đường thẳng AC A 2 a B 6 a 27 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 3 a D 6 a3 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 16 Biết B NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Câu 20 Biết  x   dx  a  b  c với a, b, c số hữu tỉ Giá trị a  b  c 41 B 25 C 13 D   Câu 21 Biết nghiệm dương nhỏ phương trình  3.cosx sinx  cos2 x x0  số nguyên dương a  10 Giá trị a+b A 23 B C 11 Câu 22 Tiếp tuyến qua điểm A  1;0  đồ thị hàm số y  1 A y  x  3 B y  x  a , với a,b b D 17 2x 1 x 1 C  C y  3x  có phương trình NHĨM TỐN VD – VDC A D y   x  Câu 23 Cho phương trình 9x   m  1 3x  m   với m tham số Có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm thực phân biệt? A C B D Vô số Câu 24 Cắt bìa hình trịn có bán kính ( độ dày khơng đáng kể) theo đường gấp khúc SAQCPBS hình 1, sau gấp phần đa giác lại theo đoạn AB , BC , CA cho điểm S , P, Q trùng để hình chóp có đáy tam giác ABC hình NHĨM TỐN VD – VDC Giá trị lớn thể tích khối chóp SABC A B 15 125 C 15 125 D Câu 25 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B 'C ' có cạnh đáy a chiều cao 3a Một hình trụ T có hai đáy nội tiếp tam giác ABC , A ' B 'C ' Gọi M trung điểm cạnh BC Đường thẳng A ' M cắt mặt xung quanh hình trụ T N ( N khác M ) Tính độ dài đoạn thẳng MN A MN  a 15 B MN  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc a 15 C MN  a 39 D MN  a 39 Trang NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 x Câu 26 Gọi C m đồ thị hàm số y 2m x m2 m x với m tham số Có thị C m điểm cực tiểu đồ thị C m ? B A C D Vơ số ln x , trục hồnh đường thẳng x x  Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  xung quanh trục hoành Câu 27 Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   a  b ln   với a, b số hữu tỉ Tính a  3b NHĨM TỐN VD – VDC điểm M cho tồn hai giá trị khác m1, m2 mà M điểm cực đại đồ B a  3b   C a  3b  1 D a  3b  2 Câu 28 Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  2a , BC  4a , AA  3a Gọi M trung điểm cạnh AB Diện tích thiết diện lăng trụ ABC ABC cắt bới mặt phẳng  MBC   A a  3b  A 10a B 10a C 10a D 10a Câu 29 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a BAC  1200 Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh BC với HC  2HB Góc SB mặt phẳng  ABC  600 Mặt phẳng qua H vng góc với SA cắt cạnh SA, SC A, C  Tính tích V khối chóp B ACCA 3a 192 B V  3a 64 C V  3a 100 D V  3a3 108  x2   2m  3 x  m2  m  6  log 1 x  với m tham số Có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Câu 30 Cho phương trình log 1 Câu 31 Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có điểm chung A 1; 2; 1 , tiếp xúc với mặt phẳng  Oxy  có tâm thuộc đường thẳng d : hai tâm hai mặt cầu  S1  ,  S2  A B 46 C x 1 y 1 z 1 Khoảng cách   1 D Câu 32 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AC  a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm H đối xứng với B qua AC Góc hai mặt phẳng  SAC   ABC  45 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 2 a B V  2 a https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 5 a D 5 a Trang NHÓM TỐN VD – VDC A V  NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Câu 33 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương đoạn 1;4 , f 1  1, f    x  f  x dx A B C D Câu 34 Đồ thị  C  hàm số y  ax3  bx  cx  3a đồ thị  C ' hàm số y  3ax  2bx  c  a, b, c  , a   có hai điểm chung khác A, B điểm A có hồnh độ Các tiếp tuyến  C   C ' điểm A trùng nhau; diện tích hình phẳng giới hạn  C   C ' Giá trị a  b  c A 12 B 17 C 60 NHĨM TỐN VD – VDC x f  x  f '  x   x   f  x  , x  1; 4 Tích phân D 45 Câu 35 Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác thuộc đoạn [1;25] Gọi A biến cố “Chọn sáu số tự nhiên cho tổng bình phương sáu số chia hết cho 3” Xác suất biến cố A 633 453 211 1803 A B C D 6325 6325 6325 6325 Câu 36 Cho bất phương trình x2  (m  2019) x  2020m  ( x  m  1) log 2019 x  2020 với m tham số Có giá trị nguyên m để tập nghiệm bất phương trình cho chứa khoảng (1000;2020) ? A 1018 B 1019 C 1020 D 1021 thuộc cạnh CC ' cho mp( MBD) vng góc với mp( A ' BD) Thể tích khối tứ diện A ' BDM 13 3a A 10a B Câu 38 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm 100a C 13 3a D 24 có bảng biến thiên sau : Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 1  m f ( x) f ( x)  có nghiệm thực phân biệt Hỏi tập S có phần tử? A B Vơ số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 37 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, AD  a 3, AA '  3a Gọi M điểm NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Câu 39 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A, B theo thứ tự thay đổi tia Ox, Oy cho OAOB  Điểm S thuộc mặt phẳng  Ozx  cho hai mặt phẳng  SAB   SOB  thức P  a  c trường hợp thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A P  10 B P  40 81 C P  40 D P  45 Câu 40 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn  x  z    y  z   3z  Giá trị lớn biểu 2 x3  y  z   y  x  z   z xy thức P  xy A 112 27 B 110 27 C 128 27 D 55 27 NHĨM TỐN VD – VDC tạo với mặt phẳng  Oxy  góc 30o Gọi  a;0; c  tọa độ điểm S Tính giá trị biểu HẾT - NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 BẢNG ĐÁP ÁN 2A 3B 4D 5C 6A 7A 8D 9B 10C 11B 12D 13A 14C 15C 16D 17D 18C 19B 20C 21A 22A 23A 24B 25C 26C 27C 28B 29A 30D 31A 32D 33D 34C 35D 36D 37D 38C 39A 40A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Hàm số y x2 x nghịch biến khoảng đây? A (1; 3) B ( ; 1) 1, y ' C ( 3;1) Lời giải D (1; ) NHĨM TỐN VD – VDC 1A Chọn A y' x 2x (x 1)2 x x 1; x y '   x  (1;3) \ {1} Hàm số nghịch biến (1;1) (1; 3) Câu Trong không gian Oxyz cho u (2; 1;1), v ( 3; 4; 5) Số đo góc hai vectơ u v A 1500 B 1200 C 600 Lời giải D 300 cos(u, v )  Câu u.v u v  15 6.5   (u, v )  1500 Cho khối chóp có chiều cao 2a , đáy hình thoi cạnh a có góc 60 Thể tích khối chóp cho A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn B Diện tích hình thoi S  a sin 60  a2 1 a2 a3 Thể tích khối chóp V  Sh  2a  3 Câu Điểm cực đại hàm số y   x3  3x  A x  1 B x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C x  D x  Trang NHĨM TỐN VD – VDC Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Lời giải Chọn D NHĨM TỐN VD – VDC TXĐ D  x  Ta có y  3x  ; y     x  1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại x  Câu Trong không gian 4z Q :x Oxyz , giao tuyến hai mặt P : x 2y phẳng 3z 0, có véc tơ phương A u1   5; 2; 3 B u2   5; 2; 3 C u3  8;1; 2  D u4   4; 1; 2  Lời giải 1; 2; ; Mặt Q có véc tơ pháp tuyến n2 1; 0; ; giao tuyến hai mặt phẳng P Q , u véc tơ phương Gọi ta có u n1 u n1 n2 u n2 8; 1; n1 , n2 f x dx Nếu tích phân có véc tơ phương u3 Suy u3 véc tơ phương Câu đường thẳng ; f x dx A C B 12 D Lời giải Chọn A Đặt x u dx Khi f x dx Câu du ; đổi cận x 1 f u du 2 u 1; x f u du 1 u 3 f x dx 1 Giá trị lớn hàm số y   x  x  A B  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D Trang NHĨM TỐN VD – VDC Chọn C Mặt P có véc tơ pháp tuyến n1 NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Lời giải Chọn A Ta có y      x  x 1   1         0, x   1;  2  x x 1  2  x x 1  Suy hàm số nghịch biến đoạn  1; 2 nên Max y  y  1  Câu Cho hình nón có bán kính đáy , góc đường sinh trục hình nón 300 Diện tích xung quanh hình nón cho A 3 B 3 C 3 NHĨM TỐN VD – VDC 2  x   x    x   1; 2 Hàm số có nghĩa    x 1   x  1 D 2 Lời giải Chọn D NHĨM TỐN VD – VDC Xét tam giác SOB ta có OB  1, OSB  300  sin 300  OB OB  SB   SB sin 300 Vậy ta có S xq   Rl   1.2  2 Câu Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm M  4; 5;3 qua trục Oz có tọa độ A  4; 5; 3 B  4;5;3 C  4;5; 3 D  0;0;3 Lời giải Chọn B Hình chiếu điểm M lên trục Oz H  0;0;3 Gọi M  điểm đối xứng với điểm M qua trục Oz Ta có H trung điểm MM  nên suy H  4;5;3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Câu 10 Tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  C B NHĨM TỐN VD – VDC A x2  x3  x  x D Lời giải Chọn C  x     x  2  x   x2    Hàm số xác định   x     x  2  x x  x    x   x  2   TXĐ: D    ; 2  2;   4  1 2 x 4 x  lim x x   *) Ta có lim y  lim  lim x x x  x2  2x x x  x2  2x x 1  x x suy y  đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số  x 1 *) Không tồn lim y, lim y, lim y, lim y x 0 x 0 x 1 x 1 Khi x   2 hàm số khơng xác định nên ta tìm lim  y  x 2 Ta có lim  y  lim  x 2  x x2  x    x    x  2  lim    lim  x 2  lim     x2  x  x  1 x  2 NHĨM TỐN VD – VDC x 2 x2    x    x  x  1   x  2 x 2  x  x  1    x  2  suy x  2 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Do tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 2 Câu 11 Bất phương trình log  x  1  log  x  5 có nghiệm nguyên? B A C Lời giải D Chọn B x 1   x  Điều kiện  6 x   Bất phương trình log  x  1  log  x  5  log  x  1  log  x  5   x  1  x   x2  8x      x   Kết hợp điều kiện   x   Vì x  Z  x 2;3;4;5;6;7;8 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Đường thẳng qua A  1;0  với hệ số góc k có phương trình y  k  x  1  kx  k tiếp xúc với (C)  kx  k  NHĨM TỐN VD – VDC 2x 1   kx  k  x  1  x  có nghiệm kép x  1 x 1  kx2  x  k  1  k   có nghiệm kép x  1 k  k   '      k  1  k  k  1   3k    1k  k  k   k   k       1 Vậy tiếp tuyến y  x  3 Câu 23 Cho phương trình 9x   m  1 3x  m   với m tham số Có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm thực phân biệt? A B C D.Vô số Lời giải Chọn A Đặt t  3x  t   ta phương trình t   m  1 t  m   1 Theo yêu cầu đề suy phương trình 1 phải có nghiệm phân biệt dương Suy có giá trị nguyên tham số m 6; 5; 4 Câu 24 Cắt bìa hình trịn có bán kính ( độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc SAQCPBS hình 1, sau gấp phần đa giác lại theo đoạn AB , BC , CA cho điểm S , P, Q trùng để hình chóp có đáy tam giác ABC hình https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHĨM TỐN VD – VDC m  m   m   ; 3   2;           S   2  m  1   m  1  7  m  3 P  m   m  7    NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Giá trị lớn thể tích khối chóp SABC B 15 125 C 15 125 D NHĨM TỐN VD – VDC A Lời giải Chọn B NHĨM TỐN VD – VDC Đặt AB  x; SA  y  x  0; y  0 Ta có tâm O hình trịn tâm tam giác ABC SO  AB 2 x2  x2 x2 x Khi đó: SH  y  ; OH   x     4 12 3  Mà SO   SH  OH   y   y2  x2 x x2 x2 x    y2   1  4 12 x2 x  1 3 Mặt khác, ta tích khối chóp SABC V  Xét hàm số y  x  2 x2 x x y   x 1 12 12 3x  x x ĐK:  x  Có y  3x BBT: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHĨM TỐN VD – VDC x HSG QUẢNG NAM-2020   y 48 125 Vậy giá trị lớn thể tích 48 15  12 125 125 Câu 25 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B 'C ' có cạnh đáy a chiều cao 3a Một hình NHĨM TỐN VD – VDC y trụ T có hai đáy nội tiếp tam giác ABC , A ' B 'C ' Gọi M trung điểm cạnh BC Đường thẳng A ' M cắt mặt xung quanh hình trụ T N ( N khác M ) Tính độ dài đoạn thẳng MN A MN  a 15 B MN  a 15 C MN  a 39 D MN  a 39 Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC Ta có MD MA MN MA ' Câu 26 Gọi C m đồ thị hàm số y x MA2 3a AA '2 2m x m2 9a a 39 m x với m tham số Có điểm M cho tồn hai giá trị khác m1, m2 mà M điểm cực đại đồ thị C m điểm cực tiểu đồ thị C m ? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 B A C D Vô số Lời giải x2 Ta có y ' Giả sử x0 m1 M m2 m 1x m2 x ; y0 m2 m y0 2m m thỏa x x mãn 1 m 2 2m2 m2 m m yêu y y cầu m m1 m 2 2m m m m tốn, ta 2m2 có hệ m2 NHĨM TỐN VD – VDC Chọn C 6 2m2 1 M 0; Như vậy, có điểm M tiểu đồ thị với m m2 0; điểm cực đại đồ thị với m điểm cực ln x , trục hoành đường thẳng x x  Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  xung quanh trục hoành Câu 27 Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  B a  3b   A a  3b  C a  3b  1 D a  3b  Lời giải Chọn C x  x  ln x   Xét phương trình   ln x    x   x  x ln x  x    Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình  H  xung quanh trục hoành 2 2    ln x  ln x 1  1  V      dx    dx    ln x.d       ln x   d  ln x   x  x x  x  1 1  x  2     1  1      ln   dx      ln   dx      ln    x x  x x 1       1       ln   1    ln    2   1 Vậy a  ; b   Suy a  3b  1 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHĨM TỐN VD – VDC  a  b ln   với a, b số hữu tỉ Tính a  3b NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 A 10a B 10a C 10a Lời giải D 10a Chọn B Ta có ABC ABC lăng trụ đứng nên BC / / BC mà NHĨM TỐN VD – VDC Câu 28 Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  2a , BC  4a , AA  3a Gọi M trung điểm cạnh AB Diện tích thiết diện lăng trụ ABC ABC cắt bới mặt phẳng  MBC   M   MBC   ABC    MBC   ABC   MN / / BC nên N trung điểm AC  MBC   ABC  BC ;  MBC   ABBA  BM Suy thiết diện lăng trụ ABC ABC cắt bới mặt phẳng  MBC   hình thang BCNM Tam giác ABC vuông B nên BC  AB ABC ABC lăng trụ đứng nên AA  BC suy BC   AABB  mà MN / / BC  MN   AABB   MN  BM Suy S BCNM  MN  BC  BM BC  2a ; MB  BB2  BM  MN  BC  2a  4a  BM  a 10  10a 2 Mặt khác ta có BC   BC  4a; MN  Vậy S BCNM  3a   a  a 10 Câu 29 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a BAC  1200 Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh BC với HC  2HB Góc SB mặt phẳng  ABC  600 Mặt phẳng qua H vng góc với SA cắt cạnh SA, SC A, C  Tính tích V khối chóp B ACCA 3a A V  192 3a B V  64 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 3a C V  100 Lời giải 3a3 D V  108 Trang 19 NHĨM TỐN VD – VDC Do  MBC   ABC   MN ;  MBC   ACCA  NC ; NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Do SH   ABC  nên góc SB mặt phẳng  ABC  SBH  600 Ta có BC  AB2  AC  AB AC.cos1202  3a  BC  a HB  a 2a , HC  3 Trong ta giác vng SHB ta có SH  HB.tan 600  a 3a  2a  a 21 Trong ta giác vng SHC ta có SC  SH  BC  a       2 a2 a  AH  3 NHĨM TỐN VD – VDC Trong tam giác AHC ta có AH  AC  HC  AC.HC.cos 300  a 3 2a Trong ta giác vuông SHA ta có SA  AH  SH  a       2 Khi SA2  AC  SC tam giác SAC vuông A hay SA  AC SA SC  Do SA   HAC   SA  AC Vậy AC  song song với AC , suy  SA SC SA SH SA SH    Khi SAH đồng dạng với SHA  SH SA SA SA2 V SA SC   SH    VS ABC  VS ACB Mà S AC B    VS ACB SA SC  SA  16 Ta có VB ACCA Khi VB ACCA 7 3a3  VS ABC  VS ABC  SH AB AC.sin120  16 16 192  x2   2m  3 x  m2  m  6  log 1 x  với m tham số Có giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Lời giải Câu 30 Cho phương trình log 1 Chọn D https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có log HSG QUẢNG NAM-2020  x   2m  3 x  m2  m  6  log 1   x  x    2 1   x   2m   x  m  m   x   Ta có    m  1  m2  m    m   m  Nghệm kép: x  TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hay m2  m    2  m  Vì m ngun nên m1;0;1; 2 TH3:: Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương m  Vì x  nghiệm (1) nên m2  m      m  2 NHĨM TỐN VD – VDC  x   2   x   m  1 x  m  m   1 Bài tốn trở thành: Có giá trị m ngun đề phương trình (1) có nghiệm dương TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép dương x  * Với m  phương trình (1) trở thành x  x    Vậy m  (t/m) x  x  * Với m  2 phương trình (1) trở thành x  x    Vậy m  2 (Loại)  x  6 Vậy có giá trị m nguyên Câu 31 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có điểm chung A 1; 2; 1 , tiếp xúc với mặt phẳng  Oxy  có tâm thuộc đường thẳng d : A B C Lời giải 46 NHĨM TỐN VD – VDC hai tâm hai mặt cầu  S1  ,  S2  x 1 y 1 z 1 Khoảng cách   1 D Chọn A Gọi I điểm thuộc đường d thẳng thỏa mãn AI  d  I ,  Oxy   x  1 t  Phương trình tham số d :  y   t  z  1  2t  Tọa độ điểm I 1  t;1  t; 1  2t   d Khi AI  d  I ,  Oxy     t    t  1   2t  2  1  2t t   I 1;1; 1  6t  2t   4t  4t   2t  2t    t  1  I  2;0; 3 Do tọa độ tâm hai mặt cầu  S1  ,  S2  I1 1;1; 1 , I  2;0; 3 ngược lại Vậy Khoảng cách hai tâm hai mặt cầu  S1  ,  S2  12  12   2   Câu 32 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AC  a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm H đối xứng với B qua AC Góc https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21 NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 hai mặt phẳng  SAC   ABC  45 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC B V  2 a C 5 a D 5 a NHÓM TOÁN VD – VDC A 2 a Lời giải Chọn D Do điểm H đối xứng với B qua AC nên tứ giác ABCH hình vng Gọi O giao điểm AC HB Ta có HO  AC SH  AC nên AC   SHO   SO  AC Do góc hai mặt phẳng  SAC   ABC  SOH  45 Ta có: SH ABCH nên SH BC mà HC Tương tự ta chứng minh AB Do SHB SAB SCB NHĨM TỐN VD – VDC Trong tam giác SHO có SH  HO.tan SOH  1 a AC.tan SOH  a.tan 45  2 BC nên BC (SHC ) BC SC SA 90 Suy điểm S , A, B, C, H thuộc mặt cầu đường kính SB Do bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCH R SB SH 2 a2 HB a2 a Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC S  4 R  4 5a 5 a  16 Câu 33 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương đoạn 1;4 , f 1  1, f    x f  x  f '  x   x3   f  x  , x  1; 4 Tích phân x  f  x dx https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHĨM TỐN VD – VDC A HSG QUẢNG NAM-2020 B 2 C D NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn D Ta có: x f  x  f '  x   f  x   x3  x f  x  f '  x   xf  x   x 2  f  x  x f  x  f '  x   xf  x      ' 1 x4 x    f  x  f  x Tích phân hai vế ta    x  C  f  x  x x  C  '  1  2 x x   Thay x   C  Vậy f  x   x x   x x x 2 x 2 Câu 34 Đồ thị  C  hàm số y  ax3  bx  cx  3a đồ thị  C ' hàm số y  3ax  2bx  c  a, b, c  , a   có hai điểm chung khác A, B điểm A có hồnh độ Các tiếp tuyến  C   C ' điểm A trùng nhau; diện tích hình phẳng giới hạn  C   C ' Giá trị a  b  c A 12 B 17 C 60 D 45 Lời giải Gọi f  x   ax3  bx2  cx  3a; g  x   3ax2  2bx  c Ta có: f  x   g  x  có nghiệm f '  x   g '  x  có nghiệm Do c  3a   b  a đó: Diện tích hình phẳng giới hạn C   C ' a  x  x  1 dx   a  12  a  b  c  60 Câu 35 Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác thuộc đoạn [1;25] Gọi A biến cố “Chọn sáu số tự nhiên cho tổng bình phương sáu số chia hết cho 3” Xác suất biến cố A 633 453 211 1803 A B C D 6325 6325 6325 6325 Lời giải Chọn D Nhận xét: Số phương chia ln dư dư Thật vậy: Xét số phương n (n  N ) , ta có trường hợp: Trường hợp 1: n = 3k (k ∈ N): https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHĨM TỐN VD – VDC Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Khi đó: n  9k Trường hợp 2: n = 3k + (k ∈ N): 2 2 Trường hợp 3: n = 3k + (k ∈ N) Khi đó: n  (3k  2)  9k  12k   (9k  12k  3)  chia dư Vậy, số phương chia dư Chia 25 số tự nhiên đoạn [1;25] thành nhóm Nhóm 1: Gồm số tự nhiên chia hết cho Có số tự nhiên thuộc nhóm Nhóm 2: Gồm số tự nhiên khơng chia hết cho Có 17 số tự nhiên thuộc nhóm Để chọn sáu số tự nhiên cho tổng bình phương sáu số chia hết cho thực cách chọn: Cách 1: Cả số tự nhiên chọn nằm nhóm Cách 2: Cả số tự nhiên chọn nằm nhóm Cách 3: Chọn số tự nhiên nhóm số tự nhiên nhóm 2 2 NHĨM TỐN VD – VDC Khi đó: n  (3k  1)  9k  6k  1chia dư  177100 Số phần tử không gian mẫu: n     C25 Xác suất biến cố A: PA  C86  C176  C83 C173 1803  177100 6325 Câu 36 Cho bất phương trình x2  (m  2019) x  2020m  ( x  m  1) log 2019 x  2020 với m tham số Có giá trị nguyên m để tập nghiệm bất phương trình cho chứa khoảng (1000;2020) ? B 1019 C 1020 D 1021 NHĨM TỐN VD – VDC A 1018 Lời giải Chọn D Theo ra: x  (m  2019) x  2020m  ( x  m  1) log 2019 x  2020  x  2019 x  mx  2020m  x.log 2019 x  m.log 2019 x  log 2019 x  2020  m( x  2020  log 2019 x)  2020  x  2019 x  x.log 2019 x  log 2019 x  m( x  2020  log 2019 x)  ( x  2020  log 2019 x)  x(2020  x  log 2019 x)  m( x  2020  log 2019 x)  ( x  2020  log 2019 x)(1  x) Trường hợp 1:  x  2020  log 2019 x  Xét hàm số f ( x)   x  2020  log 2019 x : f '( x)  1   0x  (1000; 2020) x.ln 2019 Do đó, f’(x) hàm nghịch biến (1000;2020) Mà f(2019) = nên phương trình f(x) = nhận nghiệm x = 2019 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Khi đó, bất phương trình trở thành: 0.m < 0.(1 – 2019) (Vô lý) Trường hợp 2:  x  2020  log 2019 x  Vì hàm f(x) nghịch biến nên x < 2019 Khi m   x  x  m  Mà tập nghiệm bất phương trình chứa khoảng (1000;2019) nên 1000  m 1  2019  1001  m  2020 Trường hợp có 1019 giá trị ngun m thỏa mãn tốn NHĨM TỐN VD – VDC Như vậy, x = 2019 không nghiệm bất phương trình cho Trường hợp 3:  x  2020  log 2019 x  Vì hàm f(x) nghịch biến nên x > 2019 Khi m   x  x  m  Mà bất phương trình tập nghiệm cho chứa khoảng (2019;2020) nên 2019  m   2020  2020  m  2021 Trường hợp có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn toán Trường hợp 4: m = 2020 *) Nếu x  2019 bất phương trình tương đương với 2020  x   x  2019 Tập nghiệm bất phương trình: S   *) Nếu x < 2019, chứng minh tương tự, ta tập nghiệm phương trình S   Vì tập rỗng nằm (1000;2020) nên m = 2020 thỏa mãn tốn Vậy có tất 1021 giá trị nguyên m cho tập nghiệm bất phương trình chứa khoảng (1000;2020) Câu 37 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, AD  a 3, AA '  3a Gọi M điểm thuộc cạnh CC ' cho mp( MBD) vng góc với mp( A ' BD) Thể tích khối tứ diện A ' BDM 13 3a A 10a B 100a C 13 3a D 24 Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHĨM TỐN VD – VDC Bất phương trình trở thành: 2020( x  2020  log 2019 x)   x  1 ( x  2020  log 2019 x) NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có A '(0;0;0), B(a;0;3a), D(0; a 3;3a) Giả M (a; a 3; z0 ) , sử suy  A ' B  (a;0;3a)    A ' B, A ' D   3a 3; 3a ; a Chọn véctơ pháp tuyến    A ' D  (0; a 3;3a)   mp( A ' BD) n  (3;  3;1) Lại có   BM  (0; a 3; z0  3a)    BM , BD   a 3( z0  3a); a( z0  3a); a    BD  (a; a 3;0)     Chọn véctơ pháp tuyến mp( MBD) n '   3( z0  3a);(3a  z0 ); a Vì ( A ' BD)  (MBD)  n.n '   3( z0  3a)  3(3a  z0 )  a  11a 11a   M  a; a 3;   VA ' BDM   A ' B, A ' D  A ' M   Vậy 11a3 13a3 3  3a  3a   24 Câu 38 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm có bảng biến thiên sau : Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình 1  m f ( x) f ( x)  có nghiệm thực phân biệt Hỏi tập S có phần tử? A B Vô số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D Trang 26 NHĨM TỐN VD – VDC  3z0  9a  3a  3z0  a   3z0  11a  z0  NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Lời giải Chọn C 1   m (1) f ( x) f ( x)  NHĨM TỐN VD – VDC Xét phương trình  f ( x)   f ( x)  Điều kiện  x  a  Ta có f ( x)    x  b  (1;2) ; f ( x)   x  d  c   x  c  g ( x)  Đặt 1  f ( x) f ( x)     g '( x)   f '( x)   2   f ( x)  f ( x)  2  x   g '( x)   f '( x)    x  Bảng biến thiên: chung phân biệt với đồ thị hàm số y  g ( x) , m   Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 39 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A, B theo thứ tự thay đổi tia Ox, Oy cho OAOB  Điểm S thuộc mặt phẳng  Ozx  cho hai mặt phẳng  SAB   SOB  tạo với mặt phẳng  Oxy  góc 30o Gọi  a;0; c  tọa độ điểm S Tính giá trị biểu thức P  a  c trường hợp thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A P  10 B P  40 81 C P  40 D P  45 Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHĨM TỐN VD – VDC Phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y  m có điểm NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có: Hạ SH  OA    SOB  ,  Oxy    SOH HE  AB    SAB  ,  Oxy    SEH  SOH  SEH  30o  HO  HE  SH , suy BH tia phân giác góc OBA V  SOAB SH  SH  Vmax  SH max  HOmax Đặt OA  x, OB  y , x, y   x y  NHĨM TỐN VD – VDC OH OB OA.OB (Do BH tia phân giác góc OBA )   OH  HA BA OB  BA  OH  y  x2  y Xét A  y  (Do x y  ) 81 y y y2 81 81  y2   A  y    y2 y y  A2  Ay   OH   81 81  Ay  Ay   3 81A2  A6  27.81 A2  A4  27 y y 4 4 3 4    S 3;0;  a  3; c      27 27 3   10 Vậy P  a  c    3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Câu 40 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn  x  z    y  z   3z  Giá trị lớn biểu A x3  y  z   y  x  z   z xy xy 112 27 B 110 27 C 128 27 D NHĨM TỐN VD – VDC thức P  55 27 Lời giải Chọn A  x  z    y  z   3z   x2  xz  z  y  yz  z  3z   x2  y  z  x  y   z   x2  y  z  x  y   z  1 Ta Khi có: z  x  8y x  y  z   y  x  z   z xy x3 y  x3 z  y x  y z  z xy   x2  y  xy xy xy P  2z  x  y   z   3 z  x  y   x  y  xy  xy đó: z  z (Do 1 )  x  y  xy   z  x  y  1  z z 4 xy    2 z  x  y   x  2y xy  z  z    z  z  Dấu xảy x  y Xét hàm f  z    z  z  với z  Ta có f '  z   3z  z   z  (do z  ) Bảng biến thiên: HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHĨM TỐN VD – VDC xy  x  y  2z  x  y   z  z3  xy ... (m  2019) x  2020m  ( x  m  1) log 2019 x  2020  x  2019 x  mx  2020m  x.log 2019 x  m.log 2019 x  log 2019 x  2020  m( x  2020  log 2019 x)  2020  x  2019 x  x.log 2019. .. log 2019 x  m( x  2020  log 2019 x)  ( x  2020  log 2019 x)  x (2020  x  log 2019 x)  m( x  2020  log 2019 x)  ( x  2020  log 2019 x)(1  x) Trường hợp 1:  x  2020  log 2019. .. Trang 25 NHĨM TỐN VD – VDC Bất phương trình trở thành: 2020(  x  2020  log 2019 x)   x  1 ( x  2020  log 2019 x) NHĨM TỐN VD – VDC HSG QUẢNG NAM -2020 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có A ''(0;0;0),